高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個重要的不等式學(xué)案 北師大版選修45

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1、6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3

2、3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 第二章第二章 幾個重要的不等式幾個重要的不等式 1 柯西不等式 1.1 簡單形式的柯西不等式 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.認(rèn)識并理解平面上的柯西不等式的代數(shù)和向量形式. 2.會用柯西不等的代數(shù)形式和向量形式證明比較簡單的不等式，會求某些函數(shù)的最值. 預(yù)習(xí)自測 1.柯西不等式 若a，b，c，dR R，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，等號成立adbc. 2.柯西不等式的向量形式 設(shè)，為平面上的兩個向量，則|，當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實數(shù)

3、k，使k時，等號成立. 自主探究 1.如何證明：a1，a2，b1，b2R R 時，(a21a22)(b21b22)(a1b1a2b2)2? 提示 (a21a22)(b21b22)(a1b1a2b2)20 a21b21a22b22a21b22a22b21a21b21a22b222a1b1a2b20 a21b222a1b1a2b2a22b210 (a1b2a2b1)20. 上式中等號成立a1b2a2b1. 2.設(shè)平面上兩個向量為(a1，a2)，(b1，b2)，你能證明|嗎？ 提示 cos，| | |a1b1a2b2a21a22b21b22， cos2，（a1b1a2b2）2（a21a22）（b21

4、b22）1， 即(a21a22)(b21b22)(a1b1a2b2)2， a21a22b21b22|a1b1a2b2|. |，等號成立的充要條件為 (0). 典例剖析 知識點(diǎn) 1 利用柯西不等式證明不等式 【例 1】 已知 3x22y26，求證：2xy 11. 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F

5、 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 證明 由于 2xy23( 3x)12( 2y). 由柯西不等式(a1b1a2b2)2(a21a22)(b21b22)得 (2xy)2232122(3x22y2) 4312

6、6116611， |2xy| 11，2xy 11. 【反思感悟】 柯西不等式(a21a22)(b21b22)(a1b1a2b2)2a21a22 b21b22|a1b1a2b2|，應(yīng)用時關(guān)鍵是對已知條件的變形. 1.已知a，b，c，dR R，x0，y0，且x2a2b2，y2c2d2，求證：xyacbd. 證明 由柯西不等式知： acbda2b2c2d2x2y2xy. xyacbd. 【例 2】 (二維形式的三角不等式)設(shè)x1，y1，x2，y2R R， 用代數(shù)的方法證明 x21y21x22y22 （x1x2）2（y1y2）2. 證明 (x21y21x22y22)2 x21y212x21y21 x2

7、2y22x22y22 x21y212|x1x2y1y2|x22y22 x21y212(x1x2y1y2)x22y22 x212x1x2x22y212y1y2y22(x1x2)2(y1y2)2 x21y21x22y22 （x1x2）2（y1y2）2 【反思感悟】 在平面中設(shè)(x1，y1)，(x2，y2)，則(x1x2，y1y2)，由向量加法的三角形法則知： |x21y21x22y22 （x1x2）2（y1y2）2，由向量減法的幾何意義知： |x21y21x22y22 （x1x2）2（y1y2）2. 2.利用柯西不等式證明：a2b28ab42. 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5

8、1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D

9、B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 證明 ab42a4b42(a2b2)142142a2b28. 知識點(diǎn) 2 利用柯西不等式求函數(shù)的最值 【例 3】 求函數(shù)y5x1 102x的最大值. 解 函數(shù)的定義域為x|1x5. y5x1 2 5x 522x15x 2726 3當(dāng)且僅當(dāng) 5 5x 2x1 即x12727時取等號，故函數(shù)的最大值為 6 3. 【反思感悟】 解題的關(guān)鍵是對函數(shù)解析式進(jìn)行變形，使形式上適合應(yīng)用柯西不等式，還要注意求出使函數(shù)取得最值時的自變量的值. 3.已知xy1，求 2x23y2的最小值. 解 2x2

10、3y2( 2x)2( 3y)212213265 652x12 3y13265(xy)265. 課堂小結(jié) 1.二維形式的柯西不等式 (a21a22)(b21b22)(a1b1a2b2)2，當(dāng)且僅當(dāng)a1b2a2b1時等號成立. 2.推論：(1)(ab)(cd)(acbd)2； (2)a21a22b21b22|a1b1a2b2|； (3)a21a22b21b22|a1b1|a2b2|. 3.柯西不等式的向量形式|，當(dāng)且僅當(dāng)存在實數(shù)0，使時等號成立. 4.二維形式的三角不等式 (1)a21a22b21b22 （a1b1）2（a2b2）2(或 a21a22b21b22 （a1b1）2（a2b2）2)；

11、(2) （a1b1）2（a2b2）2 （b1c1）2（b2c2）2 （a1c1）2（a2c2）2. 隨堂演練 1.寫出空間直角坐標(biāo)系中柯西不等式的代數(shù)形式. 解 (a21a22a23)(b21b22b23) 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E

12、D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 (a1b1a2b2a3b3)2(a1，a2，a3，b1，b2，b3R R). 當(dāng)且僅當(dāng)a1b1a2b2a3b3時等號成立. 2.寫出空間代數(shù)形式的三角不等式. 解 有兩種形式分別對應(yīng)定理 3、定理 4. 定理 3 為a21a

13、22a23b21b22b23 （a1b1）2（a2b2）2（a3b3）2 定理 4 為 （a1b1）2（a2b2）2（a3b3）2 （b1c1）2（b2c2）2（b3c3）2 （a1c1）2（a2c2）2（a3c3）2. 3.已知a2b2c21，x2y2z21. 求證：axbycz1. 證明 由柯西不等式得： (a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2. a2b2c21，x2y2z21，|axbycz|1. axbycz1. 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1

14、 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7

15、 5 一、選擇題 1.下列說法： 二維形式的柯西不等式中a，b，c，d沒有取值限制. 二維形式的柯西不等式中a，b，c，d只能取數(shù)，不能為代數(shù)式. 柯西不等式的向量式中取等號的條件是. 其中正確的個數(shù)有( ) A.1 個 B.2 個 C.3 個 D.0 個 解析 由柯西不等式的概念知，只正確，a，b，c，d是實數(shù)，沒有其取值限制. 答案 A 2.函數(shù)y2x912xx0，12的最小值是( ) A.20 B.25 C.27 D.18 解析 y2x912x2x(12x)2x912x ( 2x)2( 12x)22x2912x2 2x2x 12x912x2(23)225. 答案 B 3.設(shè)a、b(0，)

16、，且ab，Pa2bb2a，Qab，則( ) A.PQ B.PQ C.P0，b0，ab0.a2bb2a（ab）2abab. 又ab，而等號成立的條件是ababab， 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5

17、1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 即ab，a2bb2aab.即PQ. 答案 A 二、填空題 4.設(shè)a、b、c是正實數(shù)，且abc9，則2a2b2c的最小值是_. 解析 (abc)2a2b2c(a)2(b)2(c)22a22b22c2 a2ab2bc2c218.2a2b2c2. 答案 2 5.若a2b2c

18、22，x2y2z24，則axbycz的取值范圍是_. 解析 (a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2， (axbycz)28，2 2axbycz2 2. 答案 2 2，2 2 6.設(shè)a，b，m，nR R，且a2b25，manb5，則m2n2的最小值為_. 解析 運(yùn)用柯西不等式求解. 根據(jù)柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得 255(m2n2)，m2n25，m2n2的最小值為 5. 答案 5 三、解答題 7.若 2x3y1，求 4x29y2的最小值，并求出最小值點(diǎn). 解 由柯西不等式(4x29y2)(1212)(2x3y)21， 4x29y212. 當(dāng)且僅當(dāng) 2x13y

19、1，即 2x3y時取等號. 由2x3y，2x3y1. 得x14，y16. 4x29y2的最小值為12，最小值點(diǎn)為14，16. 8.設(shè)a，b(0，)，若ab2，求1a1b的最小值. 解 (ab)1a1b 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B

20、 C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 (a)2(b)21a21b2 a1ab1b2(11)24. 21a1b4，即1a1b2. 當(dāng)且僅當(dāng)a1bb1a，即ab時取等號， 當(dāng)ab1 時，1a1b的最小值為 2. 9.已知a2b21，a，bR R，求證：|acos bsin

21、 |1. 證明 (acos bsin )2(a2b2)(cos2sin2) 111，|acos bsin |1. 1.2 一般形式的柯西不等式 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解三維形式的柯西不等式，在此基礎(chǔ)上，過渡到柯西不等式的一般形式. 2.會用三維形式及一般形式的柯西不等式證明有關(guān)不等式和求函數(shù)的最值. 預(yù)習(xí)自測 1.定理 2，設(shè)a1，a2，an與b1，b2，bn是兩組實數(shù)，則有(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1a2b2anbn)2，當(dāng)向量(a1，a2，an)與向量(b1，b2，bn)共線時，等號成立. 2.證明柯西不等式的一般形式的方法稱為參數(shù)配方法. 3.推論 設(shè)a1，a2，a3

22、，b1，b2，b3是兩組實數(shù)，則有(a21a22a23)(b21b22b23)(a1b1a2b2a3b3)2.當(dāng)向量(a1，a2，a3)與向量(b1，b2，b3)共線時“”成立. 自主探究 1.由二維的柯西不等式的向量式|， 你能推導(dǎo)出二維的柯西不等式的代數(shù)式嗎？ 提示 設(shè)(a1，a2)，(b1，b2)，則a1b1a2b2 代入向量式得：(a21a22)(b21b22)(a1b1a2b2)2. 當(dāng)且僅當(dāng)a1b2a2b1時，等號成立. 2.在空間向量中，|，你能據(jù)此推導(dǎo)出三維的柯西不等式的代數(shù)式嗎？ 提示 設(shè)(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)， 6 E D B C 3 1 9 1 F 2

23、 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6

24、 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 則a1b1a2b2a3b3代入向量式得 (a21a22a23)(b21b22b23)(a1b1a2b2a3b3)2. 當(dāng)且僅當(dāng)與共線時，即存在一個數(shù)k，使得aikbi (i1，2，3)時，等號成立. 3.你能猜想出柯西不等式的一般形式并給出證明嗎？ 提示 柯西不等式的一般形式為：若a1，a2，an，b1，b2，bn都為實數(shù)，則有(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1a2b2anbn)2，證明如下： 若a1a2an0，則不等式顯然成立，故設(shè)a1，a2，an

25、至少有一個不為零，則a21a22a2n0. 考慮二次三項式(a21a22a2n)x22(a1b1a2b2anbn)x(b21b22b2n) (a1xb1)2(a2xb2)2(anxbn)20. 對于一切實數(shù)x成立，設(shè)二次三項式的判別式為， 則4(a1b1a2b2anbn)2(a21a22a2n)(b21b22b2n)0. 所以(a21a22a2n)(b21b22b2n) (a1b1a2b2anbn)2. 即(a21a22a2n)12()b21b22b2n12|a1b1a2b2anbn| 等號成立a1b1a2b2anbn. 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1

26、5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9

27、1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 典例剖析 知識點(diǎn) 1 利用柯西不等式證明不等式 【例 1】 設(shè)a，b，c為正數(shù)且互不相等，求證：2ab2bc2ca9abc. 證明 2(abc)1ab1bc1ca (ab)(bc)(ca)1ab1bc1ca (ab)2(bc)2(ca)2 1ab2 1bc2 1ca2 ab 1abbc 1bcca 1ca2 (111)29. 2ab2bc2ca9abc. a，b，c互不相等， 等號不可能成立，從而原不等式成立. 【反思感悟】 有些問題本身不具備運(yùn)用柯西不等式的條件，但是我們只要改變一下多項式的形態(tài)結(jié)

28、構(gòu)，就可以達(dá)到利用柯西不等式的目的. 1.已知a1，a2，a3為實數(shù)，b1，b2，b3為正實數(shù). 求證：a21b1a22b2a23b3（a1a2a3）2b1b2b3. 證明 由柯西不等式得： a21b1a22b2a23b3(b1b2b3) a1b1b1a2b2b2a3b3b32 (a1a2a3)2. a21b1a22b2a23b3（a1a2a3）2b1b2b3. 知識點(diǎn) 2 利用柯西不等式求函數(shù)的最值 【例 2】 已知a，b，c(0，)且abc1，求 4a1 4b1 4c1的最大值. 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5

29、 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1

30、 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 解 4a1 4b1 4c1 4a11 4b11 4c11 (4a14b14c1)12(121212)12 7 3 21. 當(dāng)且僅當(dāng)4a114b114c11時取等號. 即abc13時，所求的最大值為 21. 【反思感悟】 利用柯西不等式， 可以方便地解決一些函數(shù)的最大值或最小值問題.通過巧拆常數(shù)、重新排序、改變結(jié)構(gòu)、添項等技巧變形為能利用柯西不等式的形式. 2.設(shè) 2x3y5z29，求函數(shù)u 2x1 3y4 5z6的最大值. 解 根據(jù)柯西不等式 1203(2x1)(3y4)(5z6)(1 2x11 3y41 5z6)2， 故 2x1 3y

31、4 5z62 30. 當(dāng)且僅當(dāng) 2x13y45z6， 即x376，y289，z2215時等號成立，此時umax2 30. 知識點(diǎn) 3 利用柯西不等式解方程 【例 3】 在實數(shù)集內(nèi)解方程x2y2z294，8x6y24z39. 解 由柯西不等式，得(x2y2z2)(8)262(24)2 (8x6y24z)2. (x2y2z2)(8)262(24)2 94(6436576)392，又(8x6y24y)2392， (x2y2z2)(8)262(24)2 (8x6y24z)2， 即不等式中只有等號成立， 從而由柯西不等式中等號成立的條件，得 x8y6z24， 它與8x6y24z39 聯(lián)立，可得 6 E

32、D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D

33、4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 x613，y926，z1813. 【反思感悟】 利用柯西不等式解方程，關(guān)鍵是由不等關(guān)系轉(zhuǎn)換成相等關(guān)系，然后再通過等號成立的條件求出未知數(shù)的值. 3.利用柯西不等式解方程：2 12x 4x3 15. 解 2 12x 4x3 224x1 4x3 24x4x3 21 5 3 15. 又由已知 2 12x 4x3 15.所以等號成立， 由等號成立的條件 24x1 4x3 2 得：24x8x6，x13， 即方程的解為x13. 課堂小結(jié) 柯西不等式

34、的證明有多種方法，如數(shù)學(xué)歸納法；教材中的參數(shù)配方法(或判別式法)等，參數(shù)配方法在解決其它問題方面也有廣泛的應(yīng)用.柯西不等式的應(yīng)用比較廣泛，常見的有證明不等式，求函數(shù)最值，解方程等.應(yīng)用時，通過拆常數(shù)、重新排序、添項、改變結(jié)構(gòu)等手段改變題設(shè)條件，以利于應(yīng)用柯西不等式. 隨堂演練 1.ABC的三邊長為a、b、c，其外接圓半徑為R，求證： (a2b2c2)1sin2A1sin2B1sin2C36R2. 證明 由三角形中的正弦定理得 sin Aa2R， 所以1sin2A4R2a2，同理1sin2B4R2b2，1sin2C4R2c2 于是左邊(a2b2c2)4R2a24R2b24R2c2 a2Rab2R

35、bc2Rc236R2. 故原不等式獲證. 2.已知a1，a2，an都是實數(shù)，求證： 1n(a1a2an)2a21a22a2n. 證明 (121212)(a21a22a2n) 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2

36、 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 (1a11a21an)2. n(a21a22a2n)(a1a2an)2 1n(a1a2an)2a21a22a2n. 一、選擇題 1.設(shè)a，b，c(0，)，且abc3，則1a1b1c的最小值為( ) A.9 B.3 C. 3 D.1 解析 (a)2(b)2(c

37、)21a21b21c2 a1ab1bc1c2 即(abc)1a1b1c32. 又abc3，1a1b1c3，最小值為 3. 答案 B 2.已知a21a22a2n1，x21x22x2n1，則a1x1a2x2anxn的最大值為( ) A.1 B.n C.n D.2 解析 由柯西不等式(a21a22a2n)(x21x22x2n)(a1x1a2x2anxn)2得11(a1x1a2x2anxn)2，a1x1a2x2anxn1.所求的最大值為 1. 答案 A 3.已知 2x3y4z10，則x2y2z2取到最小值時的x，y，z的值為( ) A.53，109，56 B.2029，3029，4029 C.1，12

38、，13 D.1，14，19 解析 x2y2z2（x2y2z2）（223242）29 （2x3y4z）22910029， 當(dāng)且僅當(dāng)x2k，y3k，z4k時，等號成立，則 4k9k16k29k10， 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C

39、3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 解得k1029，x2029，y3029，z4029.選 B. 答案 B 二、填空題 4.已知實數(shù)a，b，c，d，e滿足abcde8，a2b2c2d2e216，則e的取值范圍為_. 解析 4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d

40、2) (abcd)2 即 4(16e2)(8e)2，即 644e26416ee2 5e216e0，故 0e165. 答案 0，165 5.設(shè)a，b，c0 且abcA(A為常數(shù)).則1a1b1c的最小值為_. 解析 1a1b1c1a1b1c（abc）A a1ab1bc1c2A9A. 答案 9A 三、解答題 6.已知實數(shù)a，b，c，d滿足abcd3，a22b23c26d25，試求a的最值. 解 由柯西不等式得，有 (2b23c26d2)121316(bcd)2， 即 2b23c26d2(bcd)2 由條件可得，5a2(3a)2 解得，1a2 當(dāng)且僅當(dāng)2b123c136d16時等號成立，代入b12，

41、c13，d16時，amax2. 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1

42、D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 b1，c23，d13時，amin1. 7.設(shè)a1a2anan1，求證： 1a1a21a2a31anan11an1a10. 證明 a1an1(a1a2)(a2a3)(anan1)， (a1a2)(a2a3)(anan1) 1a1a21a2a31anan1 (a1a21a1a2a2a31a2a3anan11anan1)2n21. (a1an1)1a1a21a2a31anan11. 即1a1a21a2a

43、31anan11a1an1， 故1a1a21a2a31anan11an1a10. 8.設(shè)P是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，x，y，z是P到三邊a，b，c的距離.R是ABC外接圓的半徑，證明：xyz12Ra2b2c2. 證明 由柯西不等式得， xyzax 1aby 1bcz 1c axbycz 1a1b1c. 設(shè)S為ABC的面積，則 axbycz2S2abc4Rabc2R， xyz abc2R abbccaabc 12Rabbcca12R a2b2c2， 故不等式成立. 9.已知a0，b0，c0，函數(shù)f(x)|xa|xb|c的最小值為 4. (1)求abc的值； (2)求14a219b2c2的最小值. 6 E

44、 D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D

45、 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 解 (1)因為f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c， 當(dāng)且僅當(dāng)axb時，等號成立. 又a0，b0，所以|ab|ab. 所以f(x)的最小值為abc. 又已知f(x)的最小值為 4，所以abc4. (2)由(1)知abc4，由柯西不等式，得 14a219b2c2(491) a22b33c12(abc)216， 即14a219b2c287. 當(dāng)且僅當(dāng)12a213b3c1，即a87，b187，c27時等號成立，故14a2

46、19b2c2的最小值是87. 2 排序不等式 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解排序不等式的“探究猜想證明應(yīng)用”的研究過程. 2.初步認(rèn)識排序不等式的有關(guān)知識及簡單應(yīng)用. 預(yù)習(xí)自測 1.定理 1：設(shè)a，b和c，d都是實數(shù)，如果ab，cd，那么acbdadbc，此式當(dāng)且僅當(dāng)ab(或cd)時取“”號. 2.定理 2：(排序不等式)設(shè)有兩個有序?qū)崝?shù)組 a1a2an及b1b2bn， 則 (順序和) a1b1a2b2anbn (亂序和) a1bj1a2bj2anbjn (逆序和) a1bna2bn1anb1. 其中j1，j2，jn是 1，2，n的任一排列方式.上式當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an(或b1b2bn)時取“”號. 自主

47、探究 1.某班學(xué)生要開聯(lián)歡會，需要買價格不同的禮品 4 件、5 件及 2 件，現(xiàn)在選擇商店中有單價為 3 元、2 元和 1 元的禮品，問有多少不同的購買方案？在這些方案中哪種花錢最少？哪種花錢最多？ 提示 有多少種不同的購買方案，實質(zhì)上就是禮品和單價有多少種不同的對應(yīng)關(guān)系.與單價6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D

48、8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 3 元對應(yīng)的禮品可以是 4 件的禮品，也可以是 5 件或 2 件的禮品共有三種對應(yīng)關(guān)系，與單價2 元對應(yīng)的只還有剩下的 2 種.與單價一元對應(yīng)的只有一種

49、.由乘法分步計數(shù)原理知共有3216 種不同的購買方案. 根據(jù)生活的實際經(jīng)驗， 花錢最少的方案應(yīng)是最貴的禮品買最少的件數(shù)， 最便宜的禮品買最多的件數(shù)，即 15243219 元，花錢最多的方案應(yīng)是：單價最高的禮品買最多的件數(shù)，單價最低的禮品買最少的件數(shù)，即 12243525 元. 2.設(shè)有兩組實數(shù)，a1a2a3，b1b2b3，設(shè)c1、c2、c3是b1、b2、b3的任一個排列，作和a1c1a2c2a3c3，你能猜測和的最大值及最小值分別是怎樣的和式嗎？ 提示 由問題 1 我應(yīng)得到啟發(fā)， 和最大的應(yīng)該為a1b1a2b2a3b3， 和最小的應(yīng)該是a1b3a2b2a3b1. 3.有 10 個人各拿一只水桶

50、去接水，設(shè)水龍頭注滿第i(i1，2，10)個人的水桶需要ti分，假設(shè)這些ti各不相同，問只有一個水龍頭時，應(yīng)如何安排 10 人的順序，使他們等候的總時間最??？這個最少的總時間等于多少？(根據(jù)排序原理回答) 提示 不妨設(shè)t1t2t10，1230，abc0， 于是b2c2c2a2a2b2abcabc. 1.已知a1a2an，b1b2bn， 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E

51、 D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 求證：(a1b1a2b2anbn)1n(a1a2an)(b1b2bn). 證明 令Sa1b1a

52、2b2anbn，則 Sa1b2a2b3anb1， Sa1b3a2b4anb2， Sa1bna2b1anbn1， 將上面n個式子相加，并按列求和可得 nSa1(b1b2bn)a2(b1b2bn)an(b1b2bn) (a1a2an)(b1b2bn) S1n(a1a2an)(b1b2bn) 即(a1b1a2b2anbn) 1n(a1a2an)(b1b2bn). 【例 2】 設(shè)a1，a2， ，an是n個互不相同的正整數(shù)， 求證： 112131na1a222a332ann2. 證明 1222321221n2. 設(shè)c1，c2，cn是a1，a2，an由小到大的一個排列， 即c1c2c3cn， 根據(jù)排序原理

53、中，逆序和亂序和， 得c1c222c332cnn2a1a222a332ann2， 而c1，c2，cn分別大于或等于 1，2，n， c1c222c332cnn21222332nn2 1121n， 112131na1a222ann2. 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5

54、F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 2.設(shè)c1，c2，cn為正數(shù)組a1，a2，an的某一排列，求證：a1c1a2c2ancnn. 證明 不妨設(shè) 0a1a2an，則1a11a21an. 因為1c1，1c2，1cn是1a1，1a2，1an的

55、一個排序， 故由排序原理：逆序和亂序和 得a11a1a21a2an1an a11c1a21c2an1cn. 即a1c1a2c2ancnn. 知識點(diǎn) 2 利用排序原理求最值 【例 3】 設(shè)a，b，c為任意正數(shù)，求abcbcacab的最小值. 解 不妨設(shè)abc， 則abacbc，1bc1ca1ab， 由排序不等式得， abcbcacabbbcccaaab abcbcacabcbcacabab 上述兩式相加得：2abcbcacab3. 即abcbcacab32. 當(dāng)且僅當(dāng)abc時，abcbcacab取最小值32. 3.設(shè) 00， 則有1a11a21an 由排序不等式，得a11a1a21a2an1an

56、n a1a2ann1a11a21ann， 即nna1a2ann1a11a21ann， 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6

57、 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 a1a2annn1a11a21an. 2.已知a，b，c為正數(shù)，abc.求證：a5b3c3b5c3a3c5a3b31a1b1c. 證明 abc0，a3b3c3，a3b3a3c3b3c3， 1a3b31a3c31b3c3，又a5b5c5，由排序原理得： a5b3c3b5a3c3c5a3b3a5a3b3b5b3c3c5a3c3(順序和亂序和)， 即

58、a5b3c3b5a3c3c5a3b3a2b3b2c3c2a3， 又a2b2c2，1a31b31c3 由亂序和逆序和得：a2b3b2c3c2a3a2a3b2b3c2c31a1b1c. a5b3c3b5c3a3c5a3b31a1b1c. 一、選擇題 1.有三個房間需要粉刷， 粉刷方案要求： 每個房間只用一種顏色， 且三個房間顏色各不相同.已知三個房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x，y，z，且xyz，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用(單位：元/m2)分別為a，b，c，且abc.在不同的方案中，最低的總費(fèi)用(單位：元)是( ) A.axbycz B.azbycx C.aybzcx D.aybxcz 解析 法一

59、 用特值法進(jìn)行驗證.令x1，y2，z3，a1，b2，c3.A 項：axbycz14914；B 項：azbycx34310；C 項：aybzcx26311；D 項：aybxcz22913.故選 B. 法二 由順序和亂序和反序和.可得azbycx最小. 答案 B 二、填空題 2.設(shè)a1，a2，a3，an為正數(shù)，那么Pa1a2an與Qa21a2a22a3a2n1ana2na1的大小關(guān)系是_. 解析 假設(shè)a1a2a3an，則1an1an11a1a1， 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3

60、1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5

61、F 3 7 5 并且a21a22a23a2n， Pa1a2a3ana21a1a22a2a23a3a2nan， 是反順和，Q是亂順和，由排序不等式定理PQ. 答案 PQ 三、解答題 3.設(shè)a1，a2，an為正數(shù)，求證：a21a2a22a3a2n1ana2na1a1a2an. 證明 不妨設(shè)a1a2an0，則有a21a22a2n 也有1a11a2BC，則有abc，由排序原理：順序和亂序和. aAbBcCaBbCcA；aAbBcCaCbAcB； aAbBcCaAbBcC.上述三式相加得 3(aAbBcC)(ABC)(abc)(abc). aAbBcCabc3. 法二 不妨設(shè)ABC，則有abc， 由排序

62、不等式aAbBcC3ABC3abc3， 即aAbBcC3(abc)，aAbBcCabc3. 5.設(shè)a，b，c為正數(shù)，利用排序不等式證明a3b3c33abc. 證明 不妨設(shè)abc0，a2b2c2， 由排序原理：順序和逆序和，得： a3b3a2bb2a，b3c3b2cc2b，c3a3a2cc2a， 三式相加得 2(a3b3c3)a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2). 又a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca. 所以 2(a3b3c3)6abc， a3b3c33abc. 當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立. 6.設(shè)a，b，c是正實數(shù)，求證：aabbcc(abc)abc3. 6 E D B C

63、3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3

64、5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 證明 不妨設(shè)abc0，則 lg alg blg c. 據(jù)排序不等式有： alg ablg bclg cblg aclg balg c alg ablg bclg cclg aalg bblg c alg ablg bclg calg ablg bclg c 上述三式相加得： 3(alg ablg bclg c)(abc)(lg alg blg c)， 即 lg(aabbcc)abc3lg(abc). 故aabbcc(abc)abc3. 7.設(shè)xi，

65、yi (i1，2，n)是實數(shù)，且x1x2xn，y1y2yn，而z1，z2，zn是y1，y2，yn的一個排列. 求證：ni1 (xiyi)2ni1 (xizi)2. 證明 要證ni1 (xiyi)2ni1 (xizi)2 只需證ni1y2i2ni1xiyini1z2i2ni1xizi. 因為ni1y2ini1z2i，只需證ni1xizini1xiyi. 而上式左邊為亂序和，右邊為順序和. 由排序不等式得此不等式成立. 故不等式ni1 (xiyi)2ni1 (xizi)2成立. 8.已知a，b，c為正數(shù)，且兩兩不等，求證：2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab). 證明 不妨設(shè)abc

66、0.則a2b2c2，abacbc， a2(ab)b2(ac)c2(bc) a2(bc)b2(ac)c2(ab)， 即a3c3a2bb2ab2cc2b a2(bc)b2(ac)c2(ab)， 又a2b2c2，abc， a2bb2aa3b3，b2cc2bb3c3. 即a2bb2ab2cc2ba2(bc)b2(ac)c2(ab). 3 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式 3.1 數(shù)學(xué)歸納法 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5