線性網(wǎng)絡(luò)編碼的導(dǎo)出與擴(kuò)展軟件學(xué)報(bào)

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1、不同組播率下線性網(wǎng)絡(luò)編碼的導(dǎo)出與擴(kuò)展蒲保興1,2+,楊路明1,王偉平11(中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙,410083)2(邵陽(yáng)學(xué)院 信息工程系,湖南 邵陽(yáng),422001)Generation and Extension of Linear Network Coding at Different Multicast RatePU Bao-Xing1,2+,YANG Lu-Ming1,WANG Wei-Ping11 (School of Information Science and Engineering, Central South University, Changsha 410

2、083, China)2(Department of Information Engineering, Shaoyang College, Shaoyang 422001,Hunan, China）+ Corresponding author: Phn: +86-0739-5432505, E-mail:Received 2008-10-11; Accepted 2009-00-00Abstract: Aiming at single-source multicast network,by studying the intrinsic mechanism of linear network c

3、oding, this paper proposes a concept of generation and extension between two coding schemes at different multicast rates. We find out that a coding scheme at lower multicast rate is a generation of one at higher multicast rate, and a coding scheme at higher multicast rate is an extension of one at l

4、ower multicast rate. Furthermore, we find out a determinate relationship between channels global encoding vectors under two generation-extension coding schemes. Besides, by combining with random linear network coding, several important properties are derived, which are helpful to implement linear ne

5、twork coding for single-source multicast network. Several related applications are enumerated, and simulation results validate the conclusions derived by theoretical analysis. Key words: single-source multicast network, random linear network coding, generation and extension of coding schemes at diff

6、erent multicast rate.摘要摘要:針對(duì)單源組播網(wǎng)絡(luò),通過(guò)對(duì)線性網(wǎng)絡(luò)編碼方案(編碼系數(shù)的組合)的內(nèi)在機(jī)理進(jìn)行分析,提出了不同組播率下編碼方案的導(dǎo)出與擴(kuò)展的概念:低組播的編碼方案可以由高組播率的編碼方案導(dǎo)出,高組播率的編碼方案可以由低組播率的編碼方案擴(kuò)展而成.研究了具有導(dǎo)出與擴(kuò)展關(guān)系的兩個(gè)編碼方案下全局編碼向量間的相互聯(lián)系,結(jié)合隨機(jī)線性網(wǎng)絡(luò)編碼,導(dǎo)出了幾個(gè)重要的性質(zhì),這些性質(zhì)有助于有效地運(yùn)用線性網(wǎng)絡(luò)編碼技術(shù)實(shí)現(xiàn)單組播連接,具有一定的應(yīng)用價(jià)值.列出了幾個(gè)方面的應(yīng)用,基于相關(guān)的應(yīng)用給出了仿真實(shí)驗(yàn),仿真結(jié)果驗(yàn)證了理論分析的結(jié)論.關(guān)關(guān)鍵鍵字字:單源組播;隨機(jī)線性網(wǎng)絡(luò)編碼;不同組播率下編碼

7、方案的導(dǎo)出與擴(kuò)展中圖法分類號(hào): TP911文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼: A網(wǎng)絡(luò)編碼1-4是一種新型的數(shù)據(jù)傳輸技術(shù),能提高網(wǎng)絡(luò)的吞吐率、魯棒性和安全性.Ahlswede 等人1首次提出了網(wǎng)絡(luò)編碼的概念,并指出:通過(guò)網(wǎng)絡(luò)中間節(jié)點(diǎn)的編碼可以實(shí)現(xiàn)單源組播網(wǎng)絡(luò)的最大流界,而傳統(tǒng)的路由技術(shù)一般情況下不能達(dá)到這個(gè)極限.李碩彥等人2提出了線性網(wǎng)絡(luò)編碼技術(shù),并證明了線性網(wǎng)絡(luò)編碼技術(shù)可以充分實(shí)現(xiàn)這一功能.Koetter 等人3給出了線性網(wǎng)絡(luò)編碼的代數(shù)框架.因線性網(wǎng)絡(luò)編碼具有簡(jiǎn)單的特點(diǎn),從而得到了深入廣泛地研究4,5,6,7,8.運(yùn)用線性網(wǎng)絡(luò)編碼進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸必須構(gòu)造編碼方案:確定源點(diǎn)的數(shù)據(jù)傳輸速率(組播率)和各信道的編碼系數(shù).已有

8、文獻(xiàn)主要針對(duì)同一組播率下的編碼方案進(jìn)行研究,而對(duì)不同的組播率下的編碼方案之間的關(guān)系研究較少.在實(shí)際應(yīng)用中,運(yùn)用線性網(wǎng)絡(luò)編碼技術(shù)面臨以下問(wèn)題:1)有時(shí)需要以不同的組播率進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸,如采用已有的方法,則針對(duì)不同的組播率要設(shè)計(jì)不同的編碼方案,且編碼節(jié)點(diǎn)需保存不同組播率下的編碼系數(shù),占用了大量的存貯空間;2)盡管有文獻(xiàn)9,10,11基于網(wǎng)絡(luò)編碼提出了分布式構(gòu)造編碼方案或減少編碼代價(jià)的方法,但均是針對(duì)某一可行的組播率(不超過(guò)組播容量)進(jìn)行研究,且假定組播容量是已知的或者能運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)的全局拓?fù)渲R(shí)采用最大流算法求出組播容量,而在實(shí)際應(yīng)用中,若源點(diǎn)缺乏全局網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲R(shí),獲知網(wǎng)絡(luò)的組播容量是一件困難的事情,從

9、而選定一個(gè)可行的組播率也是困難的;3)文獻(xiàn)12,13研究了動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)洵h(huán)境下的線性網(wǎng)絡(luò)編碼問(wèn)題,均假定組播容量是已知且不變的,事實(shí)上在數(shù)據(jù)傳輸過(guò)程中,因接收點(diǎn)的隨機(jī)加入或離開(kāi),節(jié)點(diǎn)或鏈路的失效會(huì)造成網(wǎng)絡(luò)拓?fù)潆S時(shí)間動(dòng)態(tài)變化,從而導(dǎo)致了組播容量的變化,因此數(shù)據(jù)傳輸過(guò)程中需要?jiǎng)討B(tài)地測(cè)試組播容量,以便動(dòng)態(tài)地更改組播率.針對(duì)單源組播網(wǎng)絡(luò),通過(guò)對(duì)線性網(wǎng)絡(luò)編碼的內(nèi)在機(jī)理進(jìn)行分析,提出了不同組播率下編碼方案的導(dǎo)出與擴(kuò)展的概念:一個(gè)組播率為h 的編碼方案能導(dǎo)出一個(gè)組播率為 k(kh)的編碼方案,而后者僅在源點(diǎn)輸出信道的編碼系數(shù)略有不同,而一個(gè)組播為 k 的編碼方案通過(guò)擴(kuò)展源點(diǎn)輸出信道的編碼系數(shù)便可以得到一個(gè)組播

10、率為 h 的編碼方案.運(yùn)用線性代數(shù)的相關(guān)理論對(duì)互為導(dǎo)出與擴(kuò)展的兩個(gè)編碼方案進(jìn)行研究,我們發(fā)現(xiàn)信道的全局編碼向量具有確定的關(guān)系.運(yùn)用這一關(guān)系,結(jié)合隨機(jī)線性網(wǎng)絡(luò)編碼方法,推導(dǎo)出了幾個(gè)重要的性質(zhì),這些性質(zhì)對(duì)于運(yùn)用線性網(wǎng)絡(luò)編碼技術(shù)具有一定的實(shí)用價(jià)值,能夠有效地解決上述問(wèn)題:不同組播率下的編碼方案可共享編碼系數(shù),而不需重新構(gòu)造編碼方案;可以在線測(cè)試組播容量,且能把測(cè)試組播容量嵌入到數(shù)據(jù)傳輸過(guò)程中,而不會(huì)中斷數(shù)據(jù)傳輸;能在線構(gòu)造確定的編碼方案.對(duì)相關(guān)的應(yīng)用進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn),仿真結(jié)果驗(yàn)證了理論分析的結(jié)論.1.相關(guān)知識(shí)相關(guān)知識(shí)以下根據(jù)文獻(xiàn)5來(lái)敘述線性網(wǎng)絡(luò)編碼的相關(guān)定義.一個(gè)單源組播網(wǎng)絡(luò)用有向無(wú)環(huán)多重圖 G=(V

11、,E)表示,其中 V 為節(jié)點(diǎn)集,E 為有向邊集,TV 代表宿點(diǎn)集,sV 是源點(diǎn),為討論方便,限定鏈路的容量為整數(shù),若網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間存在容量大于 1 的有向鏈路,把它分成多條有向邊,有向邊 e=(u,v)E 代表節(jié)點(diǎn) u 至節(jié)點(diǎn) v 的單位容量的有向信道,其中 u 稱為 e 的始點(diǎn),記為 u=tail(e),v 稱為 e 的終點(diǎn),記為v=head(e).記 In(v)=dE:head(d)=v為 v 的輸入信道集合, 記 Out(u)=eE:tail(e)=u為 u 的輸出信道集合.定義定義 1:組播率和組播容量組播率和組播容量.單源組播網(wǎng)絡(luò)的組播率是指源點(diǎn)的數(shù)據(jù)傳輸速率,記為 h;組播容量記為

12、C,等于源點(diǎn)與所有宿點(diǎn)之間的最小割值1.線性網(wǎng)絡(luò)編碼操作在有限域上(本文采用伽羅華域 GF(2m)14,信息的編碼操作對(duì)應(yīng)于有限域上的字符運(yùn)算,在單位時(shí)間內(nèi),假設(shè)源點(diǎn)播出的信息字符為 x1,x2,xh,每一字符均為 m 比特,屬于 GF(2m)上的字符.信道 eE 傳輸?shù)男畔⒂洖?y(e),也屬于 GF(2m)上的字符.定義定義 2:局部編碼向量局部編碼向量.采用線性網(wǎng)絡(luò)編碼,每一節(jié)點(diǎn)的輸出信道 e 傳輸?shù)男畔⑹窃摴?jié)點(diǎn)所有輸入信道傳輸信息的線性組合,這個(gè)線性組合的系數(shù)構(gòu)成該信道的局部編碼向量,記為 m(e),則有m(e)=md,e GF(2m):dIn(tail(e) (1) (2)d,ed

13、In(tail(e)(e)(d)ymy定義定義 3:全局編碼向量和全局編碼矩陣全局編碼向量和全局編碼矩陣.若采用線性網(wǎng)絡(luò)編碼以組播率 h 傳輸數(shù)據(jù),每一信道 e 傳輸?shù)男畔⒕梢员硎緸樵袋c(diǎn)播出信息x1,x2,xh的線性組合,這個(gè)線性組合的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)向量,記為g(e)=(ge,1,ge,2,ge,h),則有 (3)e,=1(e) =hiiiyg x (4)d,ed In(tail(e)(e)(d)mgg對(duì)于任意節(jié)點(diǎn) vV,該節(jié)點(diǎn)所有輸入信道的全局編碼向量構(gòu)成了一個(gè)|In(v)|行,h 列的矩陣,稱為該節(jié)點(diǎn)的全局編碼矩陣,每一信道的全局編碼向量構(gòu)成矩陣的一個(gè)行向量(注:|.|為集合的元素個(gè)數(shù)或向

14、量的分量個(gè)數(shù),以下同).由式(3),宿點(diǎn)可以通過(guò)其全局編碼矩陣和接收到的信息字符形成一個(gè)線性方程組,只有當(dāng)該線性方程組的系數(shù)矩陣的秩等于 h,宿點(diǎn)才能恢復(fù)出源點(diǎn)的信息.定義定義 4:編碼方案編碼方案.單源組播網(wǎng)絡(luò)以組播率 h 采用線性網(wǎng)絡(luò)編碼進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸,各信道的局部編碼向量的集合稱為一個(gè)組播率為 h的編碼方案,在該編碼方案下,若所有宿點(diǎn)的全局編碼矩陣的秩均為 h,則稱為一個(gè)可行編碼方案.一個(gè)編碼方案不一定是可行的,其最大組播率為 H=|Out(s)|;若編碼方案是可行的,由文獻(xiàn)2,其組播率不能超過(guò)組播容量 C.文獻(xiàn)8提出了隨機(jī)線性網(wǎng)絡(luò)編碼方法,與集中式網(wǎng)絡(luò)編碼構(gòu)造方法6相比,該方法不需要獲知

15、全局網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲R(shí),它在數(shù)據(jù)傳輸過(guò)程中隨機(jī)地產(chǎn)生編碼系數(shù),即所有編碼節(jié)點(diǎn)為其輸出信道隨機(jī)生成局部編碼向量,為了使宿點(diǎn)實(shí)現(xiàn)解碼,每一編碼節(jié)點(diǎn)不僅需要進(jìn)行信息編碼運(yùn)算,同時(shí)需要計(jì)算輸出信道的全局編碼向量,且把全局編碼向量與傳輸?shù)男畔⒁詳?shù)據(jù)包形式沿輸出信道傳輸至下游節(jié)點(diǎn).根據(jù)文獻(xiàn)5,若組播率為 h,則信道上傳輸?shù)臄?shù)據(jù)包的格式如圖 1 所示.g1 g2 gh包頭 全局編碼向量數(shù)據(jù)塊z1 z2 zLxx.xFig.1 The structure of a data packet with random linear network coding圖 1 隨機(jī)線性網(wǎng)絡(luò)編碼的數(shù)據(jù)包格式L 稱為數(shù)據(jù)塊的長(zhǎng)度,一般

16、來(lái)說(shuō),所傳輸?shù)男畔⒘窟h(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò) L,因而需要進(jìn)行若干批數(shù)據(jù)傳輸才能完成整個(gè)數(shù)據(jù)傳輸任務(wù).2. 線性網(wǎng)絡(luò)編碼方案的導(dǎo)出與擴(kuò)展線性網(wǎng)絡(luò)編碼方案的導(dǎo)出與擴(kuò)展以下定義了不同組播率下線性網(wǎng)絡(luò)編碼的導(dǎo)出與擴(kuò)展的概念.記一個(gè)組播率為 h 的編碼方案為h (編碼方案是一個(gè)集合,集合的元素是各信道的局部編碼向量;也可以把編碼方案看成是由編碼系數(shù)構(gòu)成的集合,h是一個(gè)集合變量).在編碼方案h下,對(duì)于信道 eE,其局部編碼向量記為 m(e,h),全局編碼向量記為 g(e, h);節(jié)點(diǎn) v的全局編碼矩陣記為 M(v, h).由定義(2)和定義(3),信道 e 的局部編碼向量的維數(shù)為|In(tail(e)|,全局編碼向量的

17、維數(shù)為 h.因組播率為 h,源點(diǎn)相當(dāng)于具有 h 條虛擬輸入信道,它們把要傳輸?shù)?h 個(gè)字符以及 h 維向量空間的 h 個(gè)單位向量分別注入至源點(diǎn).則對(duì)于源點(diǎn)的輸出信道,其局部編碼向量的維數(shù)是 h,且全局編碼向量與局部編碼向量相等.而其余信道的局部編碼向量的維數(shù)與組播率 h 無(wú)關(guān),即: (5)| In(tail(e)| eOut(s)|(e,)|eOut(s) hh m若若 從式(5)可以看出,一個(gè)編碼方案h包含了組播率為 k(1kh)的編碼方案(在同一有限域下,以下同).定義定義 5:編碼方案的導(dǎo)出與擴(kuò)展編碼方案的導(dǎo)出與擴(kuò)展.對(duì)于一個(gè)組播率為 h 的編碼方案h,稱由式(6)確定的一個(gè)組播率為 k

18、(1kh)的編碼方案k是由h導(dǎo)出的,并稱h是由k擴(kuò)展而成.k=m(e, k):eE 且 m(e, k)滿足式(7) (6) (7) (e,) eOut(s) (e,)(e,) eOut(s)hkhkmmm個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè) 式(7)的含義為:當(dāng) e 為源點(diǎn) s 的輸出信道時(shí),在k下局部編碼向量由h下的局部編碼向量的前 k 個(gè)元素構(gòu)成;對(duì)于其它信道,在k下的局部編碼向量與h下的局部編碼向量相同.例如,圖 2 中的2是由3導(dǎo)出的.從定義 5 可知,對(duì)于一個(gè)組播率為 k 的編碼方案,只要對(duì)源點(diǎn)輸出信道的局部編碼向量進(jìn)行擴(kuò)展,每一個(gè)局部編碼向量添加 h-k 個(gè)元素,構(gòu)成維數(shù)為 h 的向量,而對(duì)于其它信道

19、,保持其局部編碼向量不變,則形成了一個(gè)組播率為 h 的編碼方案.因此,對(duì)于一個(gè)組播率為 k(1kh)的編碼方案,可以由某一個(gè)組播率為 h 的編碼方案導(dǎo)出,反之,一個(gè)組播率為 h 的編碼方案可以由某一個(gè)組播率為 k 的編碼方案擴(kuò)展而成.3. 幾個(gè)重要性質(zhì)幾個(gè)重要性質(zhì)定理定理 1:設(shè)兩個(gè)組播率 k 和 h,h是組播率為 h 的某一個(gè)編碼方案,k是組播率為 k 且由h導(dǎo)出的編碼方案,則在兩個(gè)編碼方案下,對(duì)于任意信道 eE,它的全局編碼向量具有以下性質(zhì):g(e, k)的 k 個(gè)分量與 g(e, h )的前 k 個(gè)分量對(duì)應(yīng)相同,即若 g(e,h )= (g1,g2,gk,gk+1,gh), 則 g(e,

20、 k)=(g1,g2,gk).證明:采用歸納法證明.1) 當(dāng) eout(s)時(shí),由上所述,有 g(e, k)=m(e, k) , g(e, h)=m(e, h)成立.根據(jù)定義 5,結(jié)論成立.2)假設(shè)對(duì)于編碼節(jié)點(diǎn) v(vs),若 dIn(v)時(shí)結(jié)論成立,即:g(d, h )=(g(d, k) g),其中 g是一個(gè)含有 h-k 個(gè)分量的向量*.不妨記節(jié)點(diǎn) v 的輸入信道分別為 d1,d2,d|In(v)|,并注意到定義 3,節(jié)點(diǎn)的全局編碼矩陣是由其輸入信道的全局編碼向量組成,則12|In(v)|(d ,)(d ,)M(v, (d,)kkkk )=ggg (8)12|In(v)|(d ,)(d ,)

21、M(v,)(M(v, ) M) (d,)hhhkh=ggg其中 M是一個(gè)|In(v)|行,h-k 列的矩陣.對(duì)于 eOut(v),根據(jù)定義 5,有 m(e, k)=m(e, h).假定 m(e, k)=(m1,m2,m|In(v)|),再根據(jù)式(4),則 (9)121|In(v)|In(v)|(d ,)(d ,)(e,)(. )e, (v,) (d,)kkkkkkmmgggm()Mg (10)121|In(v)|In(v)|(d ,)(d ,)(e,)( . )(e, )(v,) (d,)hhhhhhmmgggmMg結(jié)合式(8),(9),(10),根據(jù)分塊矩陣相乘的性質(zhì),得出:g(e,h)=m

22、(e,k)(M(v,k) M)=(g(e, k) m(e,k)M).從而對(duì)于節(jié)點(diǎn) v 的輸出信道,結(jié)論也成立.因單源組播網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)有向無(wú)環(huán)圖,所有的節(jié)點(diǎn)存在一個(gè)偏序,按照這個(gè)偏序反復(fù)使用公式(4),可以把所有信道的全局編碼向量求出.由歸納法原理,結(jié)論成立. 圖 2 給出了定理 1 的一個(gè)示例.在圖 2 中,各鏈路的容量均為 1,s 為源點(diǎn),r1和 r2為宿點(diǎn).3是一個(gè)編碼方案,而2是由3導(dǎo)出的編碼方案.采用的有限域?yàn)?GF(22),其極小多項(xiàng)式為 x2+x+1.分別在兩個(gè)編碼方案下,采用式(4)計(jì)算信道的全局編碼向量,所得結(jié)果如圖 2 所示,顯然滿足定理 1 的結(jié)論.1 1s3r r1 1r2

23、2 2p p1 1 = =( (1 1, ,0 0, ,0 0) )p p1 1= =( (1 1, ,0 0) )p p1 1 = =( (0 0, ,1 1, ,0 0) )p p2 2= =( (0 0, ,1 1) )p p3 3 = =( (0 0, ,0 0, ,1 1) )( (2 2, ,1 1, ,3 3) )( (2 2, ,1 1) )( (3 3, ,1 1, ,1 1) )( (3 3, ,1 1) )( (2 2, ,2 2, ,1 1) )( (2 2, ,2 2) )( (1 1) )( (1 1) )( (1 1) )( (1 1) )( (1 1) )( (

24、1 1) )( (1 1) )( (1 1) )( (2 2, ,1 1, ,2 2) )( (2 2, ,1 1, ,2 2) )( (1 1, ,1 1, ,1 1) )( (1 1, ,1 1, ,1 1) )= = ( (2 2, ,1 1, ,3 3) ), ,( (3 3, ,1 1, ,1 1) ), ,( (2 2, ,2 2, ,1 1) ) , ,( (1 1) ), ,( (1 1) ), ,( (1 1) ), ,( (1 1) ), ,( (2 2, ,1 1, ,2 2) ), ,( (1 1, ,1 1, ,1 1) )32 ( (2 2, ,1 1) ), ,(

25、 (3 3, ,1 1) ), ,( (2 2, ,2 2) ), ,( (1 1) ), ,( (1 1) ), ,( (1 1) ), ,( (1 1) ), ,( (2 2, ,1 1, ,2 2) ), ,( (1 1, ,1 1, ,1 1) ) ab bc cd de ef fg gi ij j按按信信道道a a, ,b b, ,c c, ,d d, ,e e, ,f f, ,g g, ,i i, ,j j的的順順序序各各信信道道的的全全局局編編碼碼向向量量: :a a: :( (2 2, ,1 1, ,3 3) ), ,b b: :( (3 3, ,1 1, ,1 1) ), ,

26、c c: :( (2 2, ,2 2, ,1 1) ), ,d d: :( (2 2, ,1 1, ,3 3) ), ,e e: :( (2 2, ,1 1, ,3 3) ), ,f f: :( (2 2, ,2 2, ,1 1) ), ,g g: :( (2 2, ,2 2, ,1 1) ), ,i i: :( (3 3, ,0 0, ,2 2) ), ,j j: :( (3 3, ,2 2, ,3 3) )各各信信道道的的全全局局編編碼碼向向量量: :a a: :( (2 2, ,1 1) ), ,b b: :( (3 3, ,1 1) ), ,c c: :( (2 2, ,2 2) ),

27、 ,d d: :( (2 2, ,1 1) ), ,e e: :( (2 2, ,1 1) ), ,f f: :( (2 2, ,2 2) ), ,g g: :( (2 2, ,2 2) ), ,i i: :( (3 3, ,0 0) ), ,j j: :( (3 3, ,2 2) )在編碼方案h下,對(duì)于節(jié)點(diǎn) vV,令 N(v,h,k)是由其全局編碼矩陣 M(v,h)的前 k 列構(gòu)成的一個(gè)矩陣,這里 1kh.推論推論 1:若h是組播率為 h 的一個(gè)編碼方案,而k是由h導(dǎo)出且組播率為 k 的編碼方案,則對(duì)于任一節(jié)點(diǎn) vT,在編碼方案k下的全局編碼矩陣是由在編碼方案h下的全局編碼矩陣的前 k 列組

28、成,即:M(v, k)= N(v, h ,k)證明:由定理 1 和定義 3,結(jié)論顯然成立. 推論推論 2:若h是組播率為 h 的一個(gè)編碼方案,而k是由h導(dǎo)出且組播率為 k 的編碼方案,則k是可行編碼方案的充分必要條件是對(duì)于每一個(gè)宿點(diǎn) rT,有 rank(N(r, h, k) )=k,其中 rank(.)表示矩陣的秩.證明:根據(jù)推論 1,對(duì)于每一宿點(diǎn) rT,它在編碼方案k下的全局編碼矩陣為 N(r, h ,k),再根據(jù)定義 4,結(jié)論成立. 性質(zhì)性質(zhì) 1:若h是組播率為 h 的一個(gè)可行的編碼方案,若 1kh,則由h導(dǎo)出且組播率為 k 的編碼方案k一定是可行的.證明:因h是可行的,從而任一宿點(diǎn) rT

29、 在h下的全局編碼矩陣的秩為 h,注意到這個(gè)矩陣只有 h 列,且矩陣的行數(shù)不小于 h,這個(gè)矩陣的 h 個(gè)列向量線性無(wú)關(guān),則前 k 個(gè)列向量必定線性無(wú)關(guān),從而由這個(gè)矩陣的前 k 列構(gòu)成的矩陣其秩必為 k,再由推論 1,則任一宿點(diǎn)在編碼方案k下的全局編碼矩陣的秩必為 k,由推論 2,結(jié)論成立. 源點(diǎn) s 能獲知其輸出信道數(shù) H=|Out(s)|,H 為源點(diǎn)的最大發(fā)送速率,記 Vs=s,則是分離源點(diǎn) s 與所有宿點(diǎn)的一個(gè)割集,其Vs,Vs割值為 H,因 C 為組播容量,由定義 1,下列式子成立.CH (11)在單源組播網(wǎng)絡(luò)中,讓 maxflow(s,r)為分離源點(diǎn) s 與宿點(diǎn) r 的最小割值.若以組

30、播率 H 采用線性網(wǎng)絡(luò)編碼方法組播數(shù)據(jù)至所有宿點(diǎn),相當(dāng)于隨機(jī)產(chǎn)生了一個(gè)編碼方案,不妨記其編碼方案為H.引理引理 1:在編碼方案H下,則每一宿點(diǎn) rT 的全局編碼矩陣的秩不會(huì)超過(guò) maxflow(s,r),即rank(M(r, H)maxflow(s,r) rT (12)證明:由最大流-最小割定理,對(duì)于宿點(diǎn) rT,存在一個(gè)分離源點(diǎn) s 與宿點(diǎn) r 的最小割,該割中有且只有 maxflow(s,r)條信道,這maxflow(s,r)條信道攜帶的全局編碼向量張成了 H 維向量空間的一個(gè)子空間,該子空間的秩不超過(guò) maxflow(s,r),由線性網(wǎng)絡(luò)編碼的特點(diǎn)2,宿點(diǎn) r 的每一輸入信道的全局編碼向量

31、一定可以表示成這個(gè)最小割中的信道所攜帶的全局編碼向量的線性組合,由代數(shù)知識(shí),宿點(diǎn) r 的全局編碼矩陣的秩不能超過(guò) maxflow(s,r),從而不等式(12)成立. 對(duì)不等式(12)兩邊取最小值,再由定義 1,則 (13)Hr Tr Tmin(M(r,)min(s,r)= Crankmaxflow文獻(xiàn)5,8指出:在單源組播網(wǎng)絡(luò)中以組播率 C 采用隨機(jī)線性網(wǎng)絡(luò)編碼方法組播數(shù)據(jù),且采用的有限域的階為 q(q|T|,|T|為宿點(diǎn)個(gè)數(shù)),則所有宿點(diǎn)全局編碼矩陣的秩均為 C 的概率大于 0,當(dāng)有限域的階足夠大時(shí),這個(gè)概率接近于 1,不妨記這個(gè)概率為 Pq.注意到當(dāng)所有宿點(diǎn)的全局編碼矩陣的秩為 C 時(shí),則

32、對(duì)應(yīng)一個(gè)組播率為 C 的可行編碼方案,由于隨機(jī)線性網(wǎng)絡(luò)編碼產(chǎn)生編碼系數(shù)的均勻性和隨機(jī)性,從而隨Fig. 2 An illustration for generation and extension of coding schemes圖 2 編碼方案的導(dǎo)出與擴(kuò)展示意圖機(jī)從組播率為 C 的編碼方案中選擇一個(gè)編碼方案,其編碼方案是可行的概率為 Pq.定理定理 2: 在單源組播網(wǎng)絡(luò)中以組播率 H 采用隨機(jī)線性網(wǎng)絡(luò)編碼方法組播數(shù)據(jù),且采用的有限域的階為 q(q|T|),記其編碼方案為H,宿點(diǎn) rT 的全局編碼矩陣的前 C 列構(gòu)成的矩陣記為 N(r, H,C),則對(duì)于所有宿點(diǎn),N(r, H,C)的秩等于

33、C 的概率為 Pq,即 (14)HHr TPr:( (r,C)C)PqrankN證明:在其階為 q 的有限域下,不妨設(shè)有個(gè)組播率為 C 的編碼方案,其中有個(gè)是可行的,則 Pq= /.注意到 CH,由定義 5,所有組播率為 H 的編碼方案均由組播率為 C 的編碼方案擴(kuò)展而成.對(duì)組播率為 C 的編碼方案,只需對(duì)源點(diǎn)輸出信道的局部編碼向量進(jìn)行擴(kuò)展,每一向量擴(kuò)展 H-C 個(gè)分量,便構(gòu)成了組播率為 H 的編碼方案,則組播率為 H 的編碼方案比組播率為 C 的編碼方案多了 (H-C) |Out(s)|個(gè)分量,由隨機(jī)線性網(wǎng)絡(luò)編碼方法在 q 階有限域上取各分量值的均勻和隨機(jī)性,再根據(jù)乘法原理,則組播率為 H

34、的編碼方案數(shù)為q|out(s)|(H-C),其中有q|out(s)|(H-C)個(gè)編碼方案是由組播率為 C 的可行編碼方案擴(kuò)展而成的,因而隨機(jī)構(gòu)造一個(gè)組播率為 H 的編碼方案,它是由組播率為 C 的可行編碼方案擴(kuò)展而成的概率為 Pq,由推論 2,結(jié)論成立. 性質(zhì)性質(zhì) 2:對(duì)于單源組播網(wǎng)絡(luò),以組播率 H 采用隨機(jī)線性網(wǎng)絡(luò)編碼方法傳輸數(shù)據(jù),不妨記其編碼方案為H,則宿點(diǎn) rT 接收到所有的數(shù)據(jù)包后,析出全局編碼矩陣,并按式(15)計(jì)算 h(r,H) ,源點(diǎn)按式(16)計(jì)算 f(H),當(dāng)采用的有限域足夠大時(shí),f(H)不超過(guò) C 且 f(H)=C 的概率接近于 1. (15)HH1Hh(r,)max :(

35、N(r, )hh rankhh (16)HHr Tf()minh(r,)證明:由矩陣的性質(zhì),當(dāng) kH 時(shí),有 rank(N(r, H, k) rank(M(r, H),再根據(jù)式(13),(15),(16),必定有 f(H) C.根據(jù)定理 2,則 f(H) C的概率為 Pq,從而當(dāng)有限域較大時(shí),f(H) =C 的概率接近于 1. 式(15)的含義是:對(duì)于任一宿點(diǎn) r,尋找一個(gè)最大的 h,且滿足全局編碼矩陣 M(v,H)的前 h 列構(gòu)成的矩陣其秩為 h.可以通過(guò)對(duì)矩陣M(v, H)作行初等變換,把矩陣化為上三角形式來(lái)計(jì)算式(15),限于篇幅,不作詳細(xì)討論.4. 應(yīng)用應(yīng)用以上描述的定理、推論與性質(zhì)有

36、助于有效地運(yùn)用線性網(wǎng)絡(luò)編碼技術(shù),具有一定的實(shí)用價(jià)值.4.1 不同組播率下編碼系數(shù)的共享不同組播率下編碼系數(shù)的共享由性質(zhì) 1,若單源組播網(wǎng)絡(luò)具有一個(gè)組播率為 h 的可行編碼方案,則可以任意選擇組播率 k(kh)進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸,而不用重新構(gòu)造編碼方案.記原有可行編碼方案為h,若采用組播率 k 進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸,則可以采用h的導(dǎo)出編碼方案.由性質(zhì) 1,h的導(dǎo)出編碼方案必定是可行的.在組播率為 k 的導(dǎo)出編碼方案下,源點(diǎn)輸出信道的局部編碼向量取其在h編碼方案下的局部編碼向量的前 k 個(gè)分量,而其余信道的局部編碼向量不變,從而各節(jié)點(diǎn)只要保存組播率為 h 的可行編碼方案的編碼系數(shù),便可以采用組播率 k(kh)進(jìn)

37、行數(shù)據(jù)傳輸.4.2 測(cè)試組播容量及構(gòu)造編碼方案測(cè)試組播容量及構(gòu)造編碼方案性質(zhì) 2 提供了一個(gè)測(cè)試組播容量的方法,因源點(diǎn)能獲知其輸出信道數(shù) H,則能以組播率 H 采用隨機(jī)線性網(wǎng)絡(luò)編碼方法組播試驗(yàn)包至所有宿點(diǎn),由于僅關(guān)心宿點(diǎn)的全局編碼矩陣,則數(shù)據(jù)塊可以為空,從而試驗(yàn)包的格式如圖 3 所示.xxxxxxxg1 g2 gH包頭全局編碼向量若以組播率為 H 采用隨機(jī)線性網(wǎng)絡(luò)編碼方法組播數(shù)據(jù)至網(wǎng)絡(luò),相當(dāng)于隨機(jī)產(chǎn)生了一個(gè)編碼方案,不妨記為H.所有宿點(diǎn)只需按式(15)計(jì)算 h(r, H),源點(diǎn)按式(16)計(jì)算 f(H).由性質(zhì) 2, 當(dāng)有限域較大時(shí),f(H)=C 的概率接近于 1.我們把一次試驗(yàn)包的傳輸稱為一

38、次測(cè)試,當(dāng)采用的有限域的階不夠大時(shí),為確保找到組播容量,可以采用蒙托卡羅法進(jìn)行多次測(cè)試.每次測(cè)試時(shí),源點(diǎn)記錄最好的結(jié)果.這一策略還可以用于構(gòu)造編碼方案,只需在測(cè)試過(guò)程中各節(jié)點(diǎn)保存編碼系數(shù),則在測(cè)試出組播容量 C 的同時(shí),構(gòu)造出了組播率為 C 的可行編碼方案.與文獻(xiàn)6提出的 LIF 法相比,該方法具有操作簡(jiǎn)單的特點(diǎn).若各宿點(diǎn)能反饋信息至源點(diǎn),即宿點(diǎn)能把 h(r,H)的值傳輸至源點(diǎn),則可以采用分布式方式在線測(cè)試組播容量.對(duì)于靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)(網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湓谕瓿烧麄€(gè)數(shù)據(jù)傳輸任務(wù)的過(guò)程中不會(huì)發(fā)生變化),若所有宿點(diǎn)能反饋信息至源點(diǎn),則可以在線構(gòu)造確定的網(wǎng)絡(luò)編碼方案,且各編碼系數(shù)保存在相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)中,從而可以采用確定的

39、網(wǎng)絡(luò)編碼數(shù)據(jù)傳輸策略傳輸數(shù)據(jù).Fig.3 The structure of a trial packet圖 3 試驗(yàn)包的結(jié)構(gòu)4.3 動(dòng)態(tài)環(huán)境下網(wǎng)絡(luò)編碼數(shù)據(jù)傳輸策略動(dòng)態(tài)環(huán)境下網(wǎng)絡(luò)編碼數(shù)據(jù)傳輸策略假設(shè)宿點(diǎn)能反饋信息至源點(diǎn),則根據(jù)上述理論可以構(gòu)造出網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋭?dòng)態(tài)變化環(huán)境下的網(wǎng)絡(luò)編碼數(shù)據(jù)傳輸策略.采用網(wǎng)絡(luò)編碼進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸?shù)淖顑?yōu)策略是使組播率不超過(guò)且貼近組播容量,以便使網(wǎng)絡(luò)的吞吐率盡可能大.如前所述,一個(gè)傳輸任務(wù)通過(guò)多批數(shù)據(jù)傳輸來(lái)完成,因網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞淖兓瘯?huì)造成組播容量的變化,則在各批數(shù)據(jù)傳輸時(shí)需要更改組播率以適應(yīng)組播容量的變化.因此,一方面需進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸,另一方面要測(cè)試組播容量,如把測(cè)試組播容量嵌入到每批數(shù)

40、據(jù)傳輸過(guò)程中,則不會(huì)中斷網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)傳輸.設(shè)當(dāng)前的組播率為 k, 若采用隨機(jī)線性網(wǎng)絡(luò)編碼方法組播數(shù)據(jù),則對(duì)應(yīng)一個(gè)組播率為 k 的編碼方案,不妨記為k;為測(cè)試組播容量,由上所述,需要以組播率為 H采用隨機(jī)線性網(wǎng)絡(luò)編碼方法組播試驗(yàn)包至網(wǎng)絡(luò),其編碼方案記為H.由于兩者均具有隨機(jī)性,可以把k當(dāng)成是H的導(dǎo)出編碼方案,由定義 5 和推論 1,可以讓這兩個(gè)編碼方案的編碼系數(shù)共享.實(shí)施方法如下:源點(diǎn)相當(dāng)于具有 H 條虛擬輸入信道,它們分別注入 H 維向量空間的單位向量至源點(diǎn) s,記為 p1,p2,pH,前 k 條虛擬輸入信道分別把要發(fā)送的字符注入至源點(diǎn) s,記為 y1,y2,yk,如圖 4 所示.1s23456

41、78910111213141516171819204324r1r2r3r4r52142221223122222222133333333333333222333.p p1y1p p2y2p pkyk.p pk+1.p pH對(duì)于源點(diǎn) s 的輸出信道 eOut(s), 其局部編碼向量 m(e)是一個(gè) H 維的向量,設(shè) m(e)=(me,1,me,H),各分量由源點(diǎn)隨機(jī)產(chǎn)生,則信道e 傳輸?shù)娜志幋a向量與字符分別按式(17)和式(18)計(jì)算. (17)He,1(e)(e)iiimgpm (18)e,1( )kiiiy em y若 eOut(v)(vs), 其局部編碼向量如式(1)所示,各分量由節(jié)點(diǎn) v

42、 隨機(jī)產(chǎn)生,信道 e 傳輸?shù)娜志幋a向量和字符分別按式(4)和式(2)計(jì)算.宿點(diǎn) rT 接收到所有的數(shù)據(jù)包后,從中析出全局編碼矩陣 M(r, H),把前 k 列構(gòu)成的矩陣 N(r, H,k)作為方程組的系數(shù)矩陣,解出源信息字符;再按式(15)求出 h(r, H)并傳輸至源點(diǎn) s,源點(diǎn) s 收到所有宿點(diǎn)的反饋信息后,按式(16)便可以計(jì)算出組播容量(當(dāng)有限域較大時(shí)),從而在下一批數(shù)據(jù)傳輸時(shí),可以根據(jù)測(cè)試出的組播容量調(diào)整組播率,以便適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞淖兓?由性質(zhì) 2,因 f(H) C,即使 f(H)達(dá)不到 C,則源點(diǎn)選取不超過(guò) f(H)的組播率必定為可行的組播率.盡管采用這種策略測(cè)試出的組播容量是傳輸

43、前一批數(shù)據(jù)時(shí)的組播容量,但當(dāng)組播容量的變化具有一定的平穩(wěn)性時(shí),并結(jié)合重傳技術(shù)(當(dāng)有宿點(diǎn)不能解碼時(shí),要求源點(diǎn)重傳信息),則仍不失為一種較好的策略,它能跟蹤網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞淖兓?使組播率盡可能地適應(yīng)組播容量的變化,且把測(cè)試組播容量嵌入至數(shù)據(jù)傳輸過(guò)程中,不會(huì)中斷網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)傳輸,與隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)編碼方法相比,信道傳輸?shù)臄?shù)據(jù)包僅增加了全局編碼向量的維數(shù).5. 仿真測(cè)試仿真測(cè)試采用 5 個(gè)測(cè)試用例,其中測(cè)試用例 1 如圖 4 所示,其它 4 測(cè)試用例采用文獻(xiàn)15的方法隨機(jī)產(chǎn)生.測(cè)試用例1:|V|=26,|E|=85,|T|=5,H=13,C=6;測(cè)試用例 2:|V|=40,|E|=174,|T|=10,H=11,C=

44、10;測(cè)試用例 3:|V|=45,|E|=202,|T|=10, H=12,C=9;測(cè)試用例 4: |V|=50,|E|=237,|T|=10,H=13,C=12;測(cè)試用例 5:|V|=55,|E|=259, |T|=10, H=14,C=11.Fig.4 Testing multicast capacity in data transmission圖 4 數(shù)據(jù)傳輸過(guò)程中測(cè)試組播容量測(cè)試方法如下,對(duì)不同的測(cè)試用例,在不同的伽羅華域 GF(2m)下,以組播率 H 采用隨機(jī)線性網(wǎng)絡(luò)編碼的方法組播試驗(yàn)包至網(wǎng)絡(luò),測(cè)試次數(shù)為 500 次,統(tǒng)計(jì)出所有宿點(diǎn)全局編碼矩陣的前 k(k=k1,C,其中 k1C 時(shí)

45、,第三個(gè)編碼方案必定是不可行的,前兩個(gè)編碼方案是第三個(gè)編碼方案的導(dǎo)出編碼方案,第一個(gè)編碼方案也是第二個(gè)編碼方案的導(dǎo)出編碼方案,在測(cè)試過(guò)程中,我們還驗(yàn)證當(dāng)?shù)诙€(gè)編碼方案是可行時(shí),第一個(gè)編碼方案的可行性.Table 1 Simulation results表 1 仿真結(jié)果測(cè)試用例 1測(cè)試用例 2測(cè)試用例 3測(cè)試用例 4測(cè)試用例 5mk=5k=6k=9k=10k=8k=9k=10k=12k=10k=1140.8940.2720.8460.2740.980 0.7020.9940.3280.9980.91850.9800.5660.964 0.6120.996 0.8380.998 0.62810.9

46、5460.9960.7480.9960.8320.9980.91810.78210.99070.9980.8620.998 0.8961 0.9621 0.9001 0.992810.93010.95210.98610.95211910.97010.97210.99010.978111010.98810.98010.99210.986111110.98610.99410.9981111121111111111我們的試驗(yàn)結(jié)果表明,每當(dāng)?shù)诙€(gè)編碼方案是可行的,第一個(gè)編碼方案必定是可行的,從而驗(yàn)證了性質(zhì) 1 的正確性.從表 1 中可以看出,當(dāng)有限域較大時(shí)(m10),對(duì)于給定的測(cè)試用例,在線測(cè)試出組播

47、容量是一個(gè)大概率事件,從而驗(yàn)證了性質(zhì) 2 的正確性;即使當(dāng)有限域較小時(shí)(4m10),采用蒙托卡羅法,能測(cè)試出組播容量也是一個(gè)大概率事件.注意以下事實(shí):采用式(16)求 f(H),則 f(H)k(kC)的充要條件是對(duì)于所有的 rT,有 rank(N(r, H, k) =k 成立.因而當(dāng)有限域較大時(shí),本文給出的動(dòng)態(tài)環(huán)境下的數(shù)據(jù)傳輸策略是有效的,從表 1 中可以看出:對(duì)于單次測(cè)試,能測(cè)試出組播容量是一個(gè)大概率事件,即使式(16)中的 f(H)達(dá)不到 C,必定與 C 接近.例如對(duì)于測(cè)試用例 3,5,當(dāng) m6 時(shí)，每一次測(cè)試均使 f(H)的值不低于 C-1.6. 結(jié)束語(yǔ)結(jié)束語(yǔ)針對(duì)單源組播網(wǎng)絡(luò),通過(guò)對(duì)線性

48、網(wǎng)絡(luò)編碼的內(nèi)在機(jī)理進(jìn)行分析,提出了不同組播率下編碼方案的導(dǎo)出與擴(kuò)展的概念,對(duì)具有導(dǎo)出與擴(kuò)展的兩個(gè)編碼方案進(jìn)行研究,導(dǎo)出了信道全局編碼向量之間的確切關(guān)系,利用這個(gè)關(guān)系,結(jié)合隨機(jī)線性網(wǎng)絡(luò)編碼方法,得出了幾個(gè)重要的性質(zhì),這些性質(zhì)有助于有效地運(yùn)用線性網(wǎng)絡(luò)編碼技術(shù),具有一定的應(yīng)用價(jià)值.仿真結(jié)果驗(yàn)證了理論分析的結(jié)論.下一步的工作是在多源組播情況下,如何對(duì)這些理論和應(yīng)用進(jìn)行推廣.References:References:1Ahlswede R,Cai N,Li S R,et al.Network information flow .IEEE Transaction on Information Theor

49、y,2000,46(4):1204-1216.2Li S-Y R,Yeung R W,Cai N.Linear network coding.IEEE Transaction Information Theory,2003,49(2):371-381.3Koetter R,Medard M.An algebraoc approach to network coding.IEEE/ACM Transaction on Networking, 2003,11(5):782-795.4Yang Lin, Zheng Gang, Hu Xiao-hui. Research on network cod

50、ing:A Survey.Journal of Computer Research and Development,2008,45(3):400-407.5Chou P A,Wu Y, Jain K. Practical network coding.Allerton Conference on Communication, Control and Computing, Monticello, 2003:473-482.6Jaggi s,Sanders p,Chou A et al.Polynomial time algorithms for multicast network code co

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54、y of network coding in dynamic Environments. Informational Workshop on Wireless Ad-hoc Networks (IWWAN) 2004.13Zhao F, Medard M. Online network coding for the dynamic multicast problem. ISIT 2006, Seattle, USA.14Wang Beng-shan. Discrete mathematics.Changsha: National University of Defence Technology

55、 Press, 2004:263-281.15Melancon G,Philippe F. Generating connected acyclic digraphs uniformly at random.Information Processing Letters,2004, 90(4):209-213.附中文參考文獻(xiàn):4 楊林,鄭剛,胡曉惠.網(wǎng)絡(luò)編碼研究進(jìn)展.計(jì)算機(jī)研究與發(fā)展,2008,45(3):400-407.14 王兵山.離散數(shù)學(xué).長(zhǎng)沙:國(guó)防科技大學(xué)出版社,2004:263-281.附附 錄錄為專家審稿方便,特提供這個(gè)附錄,如本文能發(fā)表,則附錄部分不必刊登.1 GF(22)運(yùn)算表運(yùn)

56、算表(極小多項(xiàng)式為)21xx圖 2 中的數(shù)據(jù)按以下表計(jì)算.四進(jìn)制形式加法運(yùn)算表+012300123110322230133210四進(jìn)制形式乘法運(yùn)算表*012300000101232023130312二進(jìn)制形式加法運(yùn)算表+000110110000011011010100111010101100011111100100二進(jìn)制形式乘法運(yùn)算表*0001101100000000000100011011100010110111001101102 求式求式(15)中中 h(r, H) 的算法的算法找一個(gè)最大的列數(shù) h,使矩陣的前 h 列構(gòu)成的矩陣的秩為 h.設(shè)矩陣為,其中 m 為行數(shù),n 為列數(shù).,()i

57、jn ma第 1 步:置 i=1,mark=1;第 2 步:while mark=1 and im+1 and in+1 do第 3 步:檢查第 i 列中自第 i 行至第 m 行的元素(ai,i,ai+1,i,am,i),若所有元素全為零,置 mark=0; 否則找出其不為零的元素所在的行號(hào)(記為 k);第 4 步:若 mark=1,則進(jìn)行下述工作 4.1 把第 i 行與第 k 行交換;4.2 把第 j(iji;第 5 步: end while第 6 步:輸出結(jié)果為 i-1;第 7 步:結(jié)束.該算法的時(shí)間復(fù)雜度為 O(h2),其中 h 是滿足條件的最大者.3 仿真測(cè)試中伽羅華域的代數(shù)運(yùn)算方法仿

58、真測(cè)試中伽羅華域的代數(shù)運(yùn)算方法因信息編碼與數(shù)據(jù)通信均以比特流為基礎(chǔ),盡管文獻(xiàn)1-3中指出網(wǎng)絡(luò)編碼技術(shù)是在有限域上進(jìn)行信息編碼,但在實(shí)際應(yīng)用中宜采用伽羅華域（伽羅華域是有限域的特例）.這是因?yàn)橥毁ち_華域上的字符均為位數(shù)相同的二進(jìn)串,而一般的有限域不具備這個(gè)性質(zhì).定義定義 114:一個(gè) F(2)上的不可約多項(xiàng)式叫做一個(gè)極小多項(xiàng)式,一個(gè)極小多項(xiàng)式可以唯一確定一個(gè)伽羅華域.一個(gè)極小多項(xiàng)式?jīng)Q定了其對(duì)應(yīng)的伽羅華域的各個(gè)元素（字符）,同時(shí)也確定了該伽羅華域上的運(yùn)算.在組播網(wǎng)絡(luò)中采用網(wǎng)絡(luò)編碼技術(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸時(shí),要使各宿點(diǎn)能正確地解出源點(diǎn)播出的信息字符,各節(jié)點(diǎn)必須在相同的伽羅華域上進(jìn)行編碼,即各節(jié)點(diǎn)選定的極小

59、多項(xiàng)式是相同的.設(shè)一個(gè)次數(shù)為 m 的極小多項(xiàng)式,如式(a)所示,其相應(yīng)的伽羅華域記為 GF(2m),其中 q=2m稱為伽羅華域的階,m 稱為伽羅華域的次. (a)mm-1m-110P(x) = x+ px+.+ p x + p式(a)中的,即取 1 或 0.1F(2)mp10,.,pp由伽羅華域的性質(zhì),GF(2m)中的每一元素(字符)都是其極小多項(xiàng)式的根,即任意,有2 )mxGF( (b)1( )0mmp xxpxx個(gè)m-110+.+p+p在已有的文獻(xiàn)中,針對(duì)伽羅華域的乘除運(yùn)算一般采用硬件電路實(shí)現(xiàn),或者通過(guò)查找乘法表實(shí)現(xiàn).由于不同的伽羅華域的乘法運(yùn)算與不同的硬件電路對(duì)應(yīng),也與不同的乘法表對(duì)應(yīng),

60、盡管這些方法運(yùn)算簡(jiǎn)便,但對(duì)于網(wǎng)絡(luò)編碼技術(shù)是不適合的,主要原因是難以設(shè)計(jì)節(jié)點(diǎn)的編碼器/解碼器.網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)可能會(huì)參與不同的組播連接,而每一組播連接所采用的伽羅華域的階不一定相同,即節(jié)點(diǎn)必須具有不同階伽羅華域的計(jì)算能力.若采用硬件電路實(shí)現(xiàn)乘除法運(yùn)算,編碼器/解碼器上必須具有不同階伽羅華域的乘除法運(yùn)算電路;若采用查表法實(shí)現(xiàn),則每一節(jié)點(diǎn)需要保存不同階伽羅華域的乘法表,內(nèi)存開(kāi)銷將會(huì)相當(dāng)?shù)卮?從而對(duì)網(wǎng)絡(luò)編碼來(lái)說(shuō),只能從伽羅華域的代數(shù)結(jié)構(gòu)出發(fā)來(lái)構(gòu)造代數(shù)運(yùn)算方法,這樣,節(jié)點(diǎn)的編碼器/解碼器只需要保存不同階的伽羅華域的極小多項(xiàng)式和代數(shù)運(yùn)算的算法,從而設(shè)計(jì)編碼器/解碼器成為可能.設(shè) GF(2m)上參與運(yùn)算的三個(gè)字

61、符分別記為: , (c)1210.maaa a a12 1 0.mbbb bb12 1 0.mccc cc由文獻(xiàn)14,伽羅華域的乘除法運(yùn)算歸結(jié)為其相應(yīng)的多項(xiàng)式的運(yùn)算,則它們對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式分別記為:, (d)10( )miiiA xa x10( )miiiB xb x10( )miiiC xc x接下來(lái)敘述伽羅華域的代數(shù)運(yùn)算方法,其中除法運(yùn)算方法是我們首次提出的.加法加法(減法減法)運(yùn)算運(yùn)算:加法運(yùn)算就是兩個(gè)字符對(duì)應(yīng)位的異或運(yùn)算,若,則有,在伽羅華域上,減法與加法cab (0-1)iiicabim 是同一運(yùn)算乘法運(yùn)算乘法運(yùn)算:兩個(gè)字符的乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化它們相應(yīng)的多項(xiàng)式運(yùn)算,若 c=ab,則 C(x)滿

62、足下列關(guān)系式14: (e)( )( ( ) ( )mod P(x)C xA x B x由式(e)可以確定乘法運(yùn)算的方法:先進(jìn)行兩個(gè)多項(xiàng)式的相乘,在相乘過(guò)程中合并同類項(xiàng)時(shí)系數(shù)按模 2 加（即異或運(yùn)算）,得到一個(gè)不高于 2m-2 次的多項(xiàng)式;然后對(duì)于次數(shù)大于或等于 m 的項(xiàng),用式(b)代入進(jìn)行降次,最后得到一個(gè)次數(shù)低于 m 的多項(xiàng)式,其系數(shù)便是字符 c 的相應(yīng)位.除法運(yùn)算除法運(yùn)算:我們提出了一種適合網(wǎng)絡(luò)編碼的伽羅華域上的除法運(yùn)算方法,該方法類似于歐幾里德除法,描述如下:求 c=a/b,則它們對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式必須滿足: (f)( )( ( ) ( )mod( ( )A xB x C xP x由于 a,b

63、 是已知的,則它們對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式 A(x)和 B(x)的系數(shù)是已知的,而 C(x)是系數(shù)是未知的,分別用未知數(shù) c0,c1,cm-1表示,計(jì)算方程（f）的右邊部分就是兩個(gè)字符的乘法運(yùn)算,則通過(guò)逐位相乘并合并同類項(xiàng)后得到一個(gè)次數(shù)不超過(guò) 2m-2 的多項(xiàng)式,它們的系數(shù)中含有未知數(shù),與上所述,再用式(b)進(jìn)行降次,便得到了一個(gè)次數(shù)不超過(guò) m 且系數(shù)含有求知數(shù)的多項(xiàng)式,由式(f),利用與 A(x)相等的關(guān)系,則其系數(shù)對(duì)應(yīng)相同,可以得到一個(gè) m 階的線性方程組,采用高斯消元法求解這個(gè)線性方程組便提出了 C(x)的系數(shù),從而求出了商 c.例:取 m=3,極小多項(xiàng)式方程為,求伽羅華域 GF(23)的兩個(gè)字符(

64、101)2與(110)2的商.31xx解:置,2210( )C xc xc xc2( )1A xx2( )B xxx則,用代入后,得432212010( ) ( )()()B x C xc xcc xcc xc x31xx,再用代入得32212010(1)()()c x xcc xcc xc x322121020()()()cc xccc xcc x31xx22101021()()ccc xcc xcc再根據(jù)22101021( )()()A xccc xcc xcc則得到以下線性方程組:2101021101ccccccc采用高斯消元法求解得到商 c=(100)2. 廣播劇編劇學(xué)習(xí)小總結(jié)廣播劇編

65、劇學(xué)習(xí)小總結(jié)劇本內(nèi)容： 現(xiàn)在的廣播劇多為單一劇本制，即劇組的所有部門都共用一份劇本，所以寫劇本時(shí)應(yīng)考慮到各部門的需求。 網(wǎng)絡(luò)廣播劇劇本沒(méi)有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，但無(wú)論以怎樣的形式表現(xiàn)，內(nèi)容不外乎以下幾樣。 1、角色簡(jiǎn)介。 (1)內(nèi)容主要包括性別、年齡、背景、性格、聲線等。一千個(gè)讀者眼中有一千個(gè)哈姆雷特，但是劇組中對(duì)每個(gè)角色的定位應(yīng)相同。 (2)每個(gè)角色使用不同的字體顏色，顏色應(yīng)清晰而不刺眼，還應(yīng)考慮到劇本中相鄰角色字體顏色的協(xié)調(diào)和可辨別性。 2、符號(hào)說(shuō)明。劇本的符號(hào)太籠統(tǒng)了不方便各部門各司其職，太復(fù)雜用著又累。以下為錢童鞋慣用符號(hào)： (1)音效 【】 后期制作 配音說(shuō)明 （） CV 錄制 有的音效需要

66、CV 錄制，有的需要后期制作。劇本里標(biāo)清楚，明確職責(zé)。 (2)內(nèi)容說(shuō)明 () 幫助理解劇本。 (3)同時(shí)發(fā)聲 適合音效較多較復(fù)雜的劇使用。 另外，音樂(lè)和音效分為前景音和背景音。前景音多為動(dòng)作音，背景音多為環(huán)境音效。人與人之間的理解是有偏差的，劇本盡量寫清楚點(diǎn)，減少誤解。 4、幕頭（錢童鞋亂諏的名字） 。包括幕數(shù)、場(chǎng)景、人物、劇情概述等。幕數(shù)不用解釋。廣播劇因?yàn)闆](méi)有圖像，所以更應(yīng)該標(biāo)明場(chǎng)景，讓使用劇本的人明晰。標(biāo)明本幕出場(chǎng)人物方便導(dǎo)演預(yù)約 CV和后期尋找干音。要是心情好還可以寫上本幕劇情概述。 5、正文。標(biāo)明說(shuō)話人、感情、音效、內(nèi)容說(shuō)明，把原著轉(zhuǎn)換為廣播劇可表現(xiàn)的形式。 劇本最終是以聲音的形式表現(xiàn)，所以寫的時(shí)候想的不僅僅是書面上的表達(dá)，心中要清楚這些文字轉(zhuǎn)變?yōu)槁曇艉蟮男Ч?把小說(shuō)中非對(duì)話的內(nèi)容需要轉(zhuǎn)換為語(yǔ)言表達(dá)。簡(jiǎn)單一點(diǎn)的直接轉(zhuǎn)換為旁白、獨(dú)白或?qū)υ挘鐖?chǎng)景描述、背景介紹等。復(fù)雜一點(diǎn)的就得自己編一段故事了，例如：花姐如此這般說(shuō)了一通，從此錢錢便打消了當(dāng) CV 的念頭。于是，幫花姐編一段振振有詞絲絲入扣的話去吧，順便鄙視一下偷懶的原著作者。 點(diǎn)明身份。廣播劇沒(méi)有畫面，而聲音的辨識(shí)度有限，特