萬有引力定律和開普勒三定律的互相推導

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1、從開普勒三定律推導萬有引力定律 開普勒第一定律：行星圍繞太陽的運動軌跡是一個橢圓，太陽在橢圓的一個 焦點上。 上式為橢岡的極坐標方程。這電p =忙是焦參數(shù)，e= 1-氣是離心率，a和 b是橢圓的半長軸和半短軸，廠是行星到太陽的距離。 行星的坐標可以用向量的記號表示f&r = (rcos(p,rsin(p),由牛頓第二定律 可知F = ^=md = m暮，&是物體的加速度c dt dt^ 則行星X方向和y方向上的加速度分S分別為： 記 i 方向上的單位向itrb =~ = (cos(p,sin(p),% =(p(-sin(p,cos(p)則加速度

2、 開普勒第二定律：在相同的時間內，矢徑掃過的面積相同。 也就是說矢彳仝掃過的向枳隨著時間的變化率是一個常數(shù)，矢徑掃過的血枳微 元為ds = ^r2d(pf那么 行星繞太陽一州的時間設為T,則經(jīng)過丁時間內矢徑掃過的而積剛好為整個 橢圓的面積Trab,那么對(2)式分離變最求積分后可得 nab = ^r2(pT 可化為: 9 2nab r(p = —-— = const 對網(wǎng)邊求導后得: (r2(py = 2r(p + r(p = 0 這樣(1)中的最后一項就去掉了，(1)式可重新寫成 d2r ... . 2、— —=(r - r

3、加速度方向(也就是受力方向)都在矢徑那條 宜線上。 把橢圓的極坐標方程變?yōu)? p = r(l + ecos(p) 對上式方程兩邊求二階導，可得： r-r(p2 0 = p =—— ? p + 廠0 所以 (八0)2 1 4n2a2b2 開普勒笫三定律：行星軌跡橢圓的半長軸的三次方和運動周期的平方成正比。 即= const,記太陽的質量為M,則 A 一 d2r 9 一 47T2 a3 Mm_ ^ = ma = m_ = m(r-r

4、到萬有引力定律的數(shù)學表達式： F 廠Mm十 用萬有引力定律推導開普勒三定律 萬有引力定律數(shù)學表達式卡=-響幣（G為引力常數(shù),m是行星的質量, nT是太陽質量）,設a = Gmm9,則戸=-芻喬? 向心力場中，角動暈守恒：M = mr2（p = const ⑴ 欠徑掃過的而積微元為dS = ^2d（p,結合（1）可得 dS M —=-—=const dt 2m 即太陽到行星的欠徑掃過的而積隨時間的變化率是一個常數(shù)，那么在相同的 時間內，矢徑掃過的而積相同。（開普勒第二定律） 因為向心力是保守力，所以在向心力場中，質點的機械能守恒： E = |mv2 + U（r） U（r）

5、表示勢能 化成極坐標的形式：E = ^rnr2 + ^mr2（p2 + [7（r） 把（1）代入上式，得E = imr2+^ + （7（r） 2 2mr2 v z 在平方反比的引力（萬有引力）中，質點（行星）的勢能〃（廠）=-半 a為正常數(shù)，在無窮遠處，勢能為0. 則遵循平方反比引力的質點機械能可寫成: E = -mt2 +-^-- 2 2mrz r 可得十=y at 4^ => rft = T dr (1)式中可寫成d(p = => dt = ~~^-d(p 對比(3)、(4),消去 dt,得 d(p = (M/r2)dr 將上式積分可得：（f）=

6、f jM/產）" =+ const 2叫E+刁-恃 解積分可得：（p = arccos M/r-ma/M J2ME+加％2/臚 + const (5) 選擇卩的起始位置，使得上式中const=0. aF 2EM2 ma2 軌跡方程（5）可寫成 P/r =1 + ecoscp 這正是惻錐Illi線方程的極坐標形式。（開普勒笫一定律） ① E<0時，偏心率0 1,軌跡為雙曲線的一支； ③ E=0時，偏心率e = 1,軌跡為拋物線。 （上面的M、m、Q分別

7、是質點的角動最、質最和引力場常數(shù)，均為常數(shù)值） 三、 假設行星（質點）運動軌跡是一個橢圓。 則在（6）式中橢圓的半長軸為a = ~~2 =扌葺 (8) 半短軸為b = -7== — / “ V l-e- y/2Tn\E\ 由開普勒第二定律可知：= 設枳分時間為行星橢関運動的一個 2 m 周期 0^^S = ^T=>2mS = MT (9) (10) T = 27raB/2 J# = na （S為橢圓的面積,T為運動周期）；橢圓面積為S = nab 結合（7）、（8）、（9）、（10）四式可得: 說明行星（質點）運動的周期依賴丁?行星（質點）的機械能。從上式還可知: T2 = 4n2a3- a 亦即: T2 4n2m a3 a 所以，行星運動周期的平方與它橢圓軌跡半長軸的三次方成正比。（開普勒 第三定律）