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《兩角和與差的余弦》說課稿
一、教材分析:
㈠、地位和作用:
兩角和與差的正弦、余弦、正切是本章的重要內(nèi)容,是正弦線、余弦線和誘導(dǎo)公式等知識的延伸,是后繼內(nèi)容二倍角公式、和差化積、積化和差公式的知識基礎(chǔ),對于三角變換、三角恒等式的證明和三角函數(shù)式的化簡、求值等三角問題的解決有重要的支撐作用。本課時主要講授平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式、兩角和與差的余弦公式以及誘導(dǎo)公式。
㈡、教學(xué)目標(biāo):
1、知識目標(biāo):
(1)使學(xué)生了解平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)并熟記公式;
(2)使學(xué)生理解兩角和與差的余弦公式和誘導(dǎo)公式的推導(dǎo);
(3) 使學(xué)生能夠從正反
2、兩個方向運(yùn)用公式解決簡單應(yīng)用問題。
2、能力目標(biāo):
①、培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的意識和習(xí)慣;
②、培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)意識,特殊值法的應(yīng)用意識;
③、培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力,邏輯推理能力和合作學(xué)習(xí)能力。
3、情感目標(biāo):
①、通過觀察、對比體會公式的線形美,對稱美;
②、培養(yǎng)學(xué)生不怕困難,勇于探索的求知精神。
(設(shè)計依據(jù):建構(gòu)主義理論認(rèn)為,學(xué)生的能力培養(yǎng)不是單方面的知識教育,而應(yīng)該是知識、能力、情感三維一體的一個完整體系,因此,我在教學(xué)中設(shè)計三方面的目標(biāo)要求。其中知識目標(biāo)是近期目標(biāo),另兩個目標(biāo)是遠(yuǎn)期目標(biāo)。)
㈢、教學(xué)重、難點(diǎn):
1、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式的推導(dǎo)和應(yīng)用是
3、本節(jié)的一個重點(diǎn);
2、兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)和應(yīng)用是本節(jié)的又一個重點(diǎn),也是本節(jié)的一個難點(diǎn)。
(設(shè)計依據(jù):平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式在本節(jié)課中是‘兩角和余弦公式推導(dǎo)’的主要依據(jù),在后繼知識中也有廣泛的應(yīng)用,所以是本節(jié)的一個重點(diǎn)。由于 ‘兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)和應(yīng)用’對后幾節(jié)內(nèi)容能否掌握具有決定意義,在三角變換、三角恒等式的證明、三角函數(shù)式的化簡求值等方面有著廣泛的應(yīng)用,因此也是本節(jié)的一個重點(diǎn)。由于其推導(dǎo)方法的特殊性和推導(dǎo)過程的復(fù)雜性,所以也是一個難點(diǎn)。)
二、教學(xué)方法:
1、創(chuàng)設(shè)情境----提出問題----探索嘗試----啟發(fā)引導(dǎo)----解決問題。
(設(shè)計意圖:創(chuàng)設(shè)情境有利于問題自
4、然、流暢地提出,提出問題是為了引發(fā)思考,思考的表現(xiàn)形式是探索嘗試,探索嘗試是思維活動中最有意義的部分,激發(fā)學(xué)生積極主動的思維活動是我們每節(jié)課都應(yīng)追求的目標(biāo)。給學(xué)生的思維以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)并不一定會降低學(xué)生思維的層次,反而能夠提高思維的有效性。從而體現(xiàn)教師主導(dǎo)作用和學(xué)生主體作用的和諧統(tǒng)一。)
2、教具:多媒體投影系統(tǒng)。
本節(jié)課中‘平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式’雖然以前曾經(jīng)用過,但其證明對學(xué)生來說仍然具有一定難度,為了使學(xué)生便于理解,采用幾何畫板動畫演示,增加直觀性,減少講授時間;兩角和的余弦公式的推導(dǎo)也通過幾何畫板動畫掩飾來幫助學(xué)生認(rèn)識、理解、加深印象。
(多媒體系統(tǒng)可以有效增加課堂容量,色彩的強(qiáng)烈對比
5、可以突出對比效果;動畫的應(yīng)用可以將抽象的問題直觀化,體現(xiàn)直觀性原則。)
三、學(xué)法指導(dǎo):
1、要求學(xué)生做好正弦線、余弦線、同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間距離公式,特別是用角的余弦和正弦表示終邊上特殊點(diǎn)的坐標(biāo)這些必要的知識準(zhǔn)備。(體現(xiàn)學(xué)習(xí)過程中循序漸進(jìn),溫故知新的認(rèn)知規(guī)律。)
2、讓學(xué)生注意觀察、對比兩角和與差的余弦公式中正弦、余弦的順序;角的順序關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力,并通過觀察體會公式的對稱美。
四、教學(xué)過程:
教學(xué)程序
課題引入
引言:同學(xué)們,前面我們學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù),我們知道它也是一種運(yùn)算。在以前的運(yùn)算中有乘法對加法的分配律:a(b+c)=ab+ac,那么:cos(α+β)=co
6、sα+cosβ是否也成立呢?如果成立為什么?如果不成立,它又等于什么呢?這正是我們今天要研究的內(nèi)容。
揭示課題:兩角和與差的余弦。
通過創(chuàng)設(shè)問題情境,自然流暢地提出問題,揭示課題,引發(fā)學(xué)生思考。使學(xué)生目標(biāo)明確、迅速進(jìn)入角色。
(一)入門
揭示課題,展示目標(biāo),指出重點(diǎn),說明難點(diǎn)。
師:下列兩個等式成立嗎?
⑴cos75=cos(45+30)=cos45+ cos30
⑵cos15=cos(45-30)=cos45-cos30
生:由于cos45+ cos30= 1,而cos75<1,因此,cos(45 -30)≠cos45 -cos30,由于cos45-cos30< 0,而cos
7、15>0,因此,cos(45-30)≠cos45-30
師:究竟cos75=? cos15=?
這就是我們這節(jié)課將共同學(xué)習(xí)與探討的兩角和與差的余弦公式。(板書“兩角和與差的余弦”)這一章中一共有四十多個公式,這是其中第一個公式,如果我們抓住這第一公式,后面的公式則勢如破竹,迎刃而解,從中說明學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的必要性。
(二)入境
1、提出問題設(shè)置情境,導(dǎo)入新知
通過以上驗證,我們很快知道cos(45-30)=cos45-cos30是錯誤的,請同學(xué)們回顧一下我們提出的問題:cos(45 30),cos(45-30)能否用45與30的角的三角函數(shù)來表達(dá)?即如何用α與β。各自用三角函數(shù)表示co
8、s(α β)=?,也就是我們可以把sinα、cosα、sinβ、cosβ當(dāng)成已知數(shù)去求cos(α β)。
2、學(xué)法指導(dǎo),探索新知
在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時,大家已體會到數(shù)形結(jié)合的思想是很重要的,我們現(xiàn)在怎么辦呢?
生:建立平面直角坐標(biāo)系,把α、β與α β畫出來,根據(jù)單位圓中的正弦線與余弦線的定義。(此時教師把畫圖在黑板上)
師:啟發(fā)學(xué)生在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出單位圓,并以X軸正半軸為始邊分別作α、β、α β這三個角(圖1)。
生:共同始邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)是P1(1,0),α、β、α β的終邊與單位圓的交點(diǎn)是:
P2(cosα,sinα),P3(cosβ,sinβ)
P4(cos(α β),si
9、n(α β)
師:引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)P1、P2、P3、P4這四點(diǎn)坐標(biāo),出現(xiàn)了cosα,cosβ,cos(α β),α β的終邊與單位圓的交點(diǎn)P4的坐標(biāo)是用α β的三角函數(shù)線表示的,故可考慮尋找出與線段P1P4相等的另一線段,利用(多媒體展示)。將△P1OP4進(jìn)行旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)的過程中,線段P1P4的長度保持不變,將△P1OP4旋轉(zhuǎn)到哪里呢?(讓學(xué)生自己思考、探索、發(fā)現(xiàn))
生:要想得到α、β、α β等量關(guān)系應(yīng)將△P1OP4旋轉(zhuǎn)到一邊與α或β終邊重合的位置,即將△P1OP4旋轉(zhuǎn)到△P5OP2的位置,如圖2,求出P5點(diǎn)坐標(biāo)為(cos(-β),sin(-β))。
師:讓學(xué)生自己用兩點(diǎn)間的距離公式完成由|
10、P1P4|=|P2P5|得出結(jié)論的運(yùn)算過程。即:cos(α β)=cosαcosβ-sinαsinβ(板書)。接著引導(dǎo)學(xué)生觀察公式的結(jié)構(gòu)特征,并強(qiáng)調(diào)α、β為任意角,故啟發(fā)學(xué)生將上公式中的β?lián)Q為-β,公式怎樣?(提問)生:cos(α-β)=cosαcosβ sinαsinβ
師:再次引導(dǎo)學(xué)生將以上兩個公式進(jìn)行比較,注意區(qū)別
(三)入理
1、質(zhì)疑答辯,排難解惑
為了進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對公式的理解記憶,下面設(shè)計三個例題:例1讓學(xué)生熟悉公式;例2是公式逆用來增強(qiáng)學(xué)生對公式記憶理解;例3作變式訓(xùn)練。從而提高學(xué)生的綜合計算能力。
例1:不查表,計算下列各式的值。
⑴cos75 ⑵cos15
例2
11、:化簡
⑴cos42cos18-sin42sin18 ⑵cos70sin40-sin110cos40
例3:已知sinα= ,α∈( );cos 的值。
以上三個例題都由學(xué)生自己先練,然后巡堂了解,及時用物投影機(jī)將學(xué)生的解答反饋、展示、講解。
2、互問互檢,鞏固強(qiáng)化
請學(xué)生結(jié)合例題,自己編相關(guān)的題讓同桌解答,教師巡堂視選較好的題,利用實(shí)物投影讓學(xué)生評價解答。
(四)診斷
1、分層總結(jié),全體達(dá)標(biāo)
師:下面請同學(xué)們小結(jié)一個本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。
生:兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)及其初步應(yīng)用。
師:在推導(dǎo)兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)過程中,運(yùn)用了什么數(shù)學(xué)思想方法?
生:用數(shù)形結(jié)合的
12、數(shù)學(xué)思想解決問題。
2、承上啟下,留下懸念
為了下一課時的學(xué)習(xí)內(nèi)容并結(jié)合學(xué)生提出的問題安排,下面2道題練習(xí),這樣可以達(dá)到承上啟下的目的,也激發(fā)了學(xué)生的求知欲望,留下很好的懸念。
⑴不查表求sin(90-75),及sin(90 15)的值。
⑵若α、β均為銳角,且 , ,求角β。
1、畫出一個銳角、一個鈍角的正弦線、余弦線。
2、如果角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P,點(diǎn)P的坐標(biāo)能否用角α的三角函數(shù)值表示?怎樣表示?
3、寫出同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間距離公式。
通過復(fù)習(xí)使學(xué)生熟悉基礎(chǔ)知識、特別是用角的正、余弦表示特殊點(diǎn)的坐標(biāo),為新課的推進(jìn)做準(zhǔn)備。
學(xué)生通過獨(dú)立思考和分組討論,可以用特殊值法
13、證明猜想不成立,三種方法的出現(xiàn),培養(yǎng)學(xué)生多角度考慮問題的發(fā)散思維能力,合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣。隨后的提問會激發(fā)學(xué)生想要解決問題的主觀需要,提高思維的主動性。
1、通過幾何畫板動態(tài)演示,給學(xué)生以直觀感受,讓他們認(rèn)識到:平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離和同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間距離總能構(gòu)成一個直角三角形,利用勾股定理即可解決。
2、兩角和余弦公式的證明中存在兩個困難:①三角函數(shù)表示單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo),它雖然算理簡單,但學(xué)生由于陌生而很不習(xí)慣,通過前
面習(xí)環(huán)節(jié)應(yīng)該有所熟悉。②在用到:cos2(α+β)+sin2(α+β)=1時,需要教師特別指出,公式中只要求是“同角”,并不在乎角的具體度數(shù)和形式。
3、兩角和的余弦學(xué)完之
14、后,要強(qiáng)調(diào)其中兩角均為任意角,這樣一來,兩角差的余弦只是兩角和的余弦的特殊形式。
4、兩個誘導(dǎo)公式學(xué)生在初中就學(xué)習(xí)過,但今天應(yīng)通過證明,并將以前的銳角拓展到任意角。(2)式的證明實(shí)際上是(1)式的逆應(yīng)用,體現(xiàn)了代數(shù)思想,也實(shí)踐了學(xué)以制用的原則。
5、例1的作用一方面讓學(xué)生熟練兩角和與差的余弦公式,另一方面也向?qū)W生展示了公式的一種實(shí)際應(yīng)用價值,即:將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和與差。
例2的目的在于熟悉公式,同時對同角三角函數(shù)關(guān)系有復(fù)習(xí)的作用,其難度不是很大,在提供了公式之后,學(xué)生應(yīng)當(dāng)能夠完成.
小結(jié)
本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了下面兩組公式,在公式的記憶上,我們應(yīng)注意函數(shù)和符號的變化。
1、平面內(nèi)
15、兩點(diǎn)間距離公式: P1P2= (x2-x1)2+(y2-y1)2
2、兩角和與差的余弦:
(同名之積相加減,運(yùn)算符號左右反。)
cos(α+β)= cosα cosβ- sinα sinβ
cos(α-β)= cosα cosβ+ sinα sinβ
7、小節(jié)以十四字口訣概括兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系式,既體現(xiàn)了公式的本質(zhì)特征,又朗朗上口,便于記憶。有助于學(xué)生對本節(jié)課的內(nèi)容更好地掌握。
練習(xí)鞏固
8、課堂練習(xí)有助于學(xué)生進(jìn)一步熟悉公式,加深學(xué)生對公式的理解和認(rèn)識?;仞伣虒W(xué)效果。思考題對學(xué)生本節(jié)課所學(xué)知識方法的考察要求較高,但能力較強(qiáng)學(xué)生能夠完成,也是為下一節(jié)課的內(nèi)容做準(zhǔn)備。體現(xiàn)問
16、題必須略高于學(xué)生現(xiàn)有知識水平的原則。
設(shè)計說明
本節(jié)課授課內(nèi)容為是第一課時。本節(jié)課的教學(xué)對正弦線、余弦線定義;用角的余弦、正弦表示單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo);同圓上相等的圓心角所對的弦長相等這些知識有較強(qiáng)的依耐性,因此在復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)做了必要的準(zhǔn)備。本節(jié)課采用“創(chuàng)設(shè)情境----提出問題----探索嘗試----啟發(fā)引導(dǎo)----解決問題”的過程來實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。有利于知識產(chǎn)生、發(fā)展、解決這一認(rèn)知過程的完整體現(xiàn)。在教學(xué)手段上使用多媒體技術(shù),使重點(diǎn)得到突出,抽象變得直觀,有效增加課堂容量。
在教學(xué)過程環(huán)節(jié),采用先提出問題,再逐步展開的方式,能夠充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,讓學(xué)生的探索具有明確的目的性,減少盲目性。在兩角和的余弦公式得到后,利用代數(shù)思想推出兩角差的余弦公式和誘導(dǎo)公式,使學(xué)生進(jìn)一步體會代數(shù)思想的深刻性。通過對公式的對比,可以加深學(xué)生對公式特征的印象,同時體會公式的線形美與對稱美,給學(xué)生以美的陶冶。作業(yè)的布置中,突出了學(xué)生學(xué)習(xí)的個體差異現(xiàn)實(shí),使學(xué)有余力的學(xué)生產(chǎn)生挑戰(zhàn)的心理感受,也為下一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。
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