《高考數(shù)學三輪講練測核心熱點總動員新課標版 專題17 數(shù)列的基本運算大題、三角形的解答題 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學三輪講練測核心熱點總動員新課標版 專題17 數(shù)列的基本運算大題、三角形的解答題 Word版含解析（32頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、【名師精講指南篇】【名師精講指南篇】【高考真題再現(xiàn)】【高考真題再現(xiàn)】1.【2013新課標全國】如圖，在ABC中，ABC90，AB= 3 ，BC=1，P為ABC內一點，BPC90(1)若 PB=12，求 PA；(2)若APB150，求 tanPBAABCP【解析】 （1）利用余弦定理可以求出 PA； （2）在PBA中使用正弦定理可以得到003sinsin150sin(30)，進而化簡，得到結論.2.【2013新課標全國】已知等差數(shù)列na的前n項和nS滿足30S ，55S .（）求na的通項公式；（）求數(shù)列21211nnaa的前n項和.【答案】依題意，230a ，355a ，故1d ，所以11a
2、，所以1 (1)nan ，即2nan；（2）21211111111( 1)(21)(23)2 232122121nnnaannnnnn ；【解析】（1）利用等差數(shù)列的前 n 項和公式構造二元一次方程組進行求解；（2）使用裂項法求和.3.【2014 高考全國 1 第 17 題】已知數(shù)列 na的前n項和為nS，11a ，0na ，11nnna aS，其中為常數(shù)，（I）證明：2nnaa；（II）是否存在，使得 na為等差數(shù)列？并說明理由.4. 【2014 高考全國 1 文第 17 題】 已知 na是遞增的等差數(shù)列，2a，4a是方程2560 xx的根.（I）求 na的通項公式；（II）求數(shù)列2nna的
3、前n項和.【解析】 （1）方程2560 xx的兩根為 2,3，由題意得242,3aa.設數(shù)列na的公差為 d，則422aad，故12d ，從而132a .所以na的通項公式為112nan.（2）設2nna的前 n 項和為nS，由（1）知1222nnnan，則23134122222nnnnnS，34121341222222nnnnnS.兩式相減得23412131112()222222nnnnS123112(1)4422nnn所以1422nnnS.5.【2015 全國 2】在ABC中，D是BC上的點，AD平分BAC，ABD是ADC面積的 2 倍(1)求sinsinBC；(2)（理）若1,ADDC2
4、2，求BD和AC的長.(2)（文）若60BAC，求B.（2） 理： 由題意知，21ABDADCSBDSDC， 所以2BDDC. 又因為22DC ， 所以2BD 在ABD和ADC中，由余弦定理得，2222cosABADBDAD BDADB，2222cosACADDCAD DCADC故222222326ABACADBDDC由(1)知2ABAC，所以1AC 即所求為2BD ，1AC .(2)文：因為180CBACB ，60BAC，所以31sinsincossin22CBACBBB .由(1)知2sinsinBC，所以3tan3B，即30B.6.【2015 全國 1 理 17】nS為數(shù)列 na的前n項
5、和，已知0na ，2243nnnaaS.（1）求 na的通項公式；（2）設11nnnba a，求數(shù)列 nb的前n項和7.【2015 全國 1 文】已知, ,a b c分別為ABC內角,A B C的對邊，2sin2sinsinBAC.（1）若ab，求cosB；（2）設90B，且2a ，求ABC的面積.解析解析（1 由正弦定理得，22bac.又ab，所以22aac，即2ac.則22222212cos2422aaaacbBaaca.（2）解法一解法一：因為90B ，所以2sin12sinsin2sinsin 90BACAA ，即2sincos1AA ，亦即sin 21A .又因為在ABC中，90B
6、，所以090A ，則290A ，得45A .所以ABC為等腰直角三角形，得2ac，所以12212ABCS.解法二解法二：由（1）可知22bac，因為90B ，所以222acb，將代入得20ac，則2ac，所以12212ABCS.【熱點深度剖析】【熱點深度剖析】1.新課標高考對數(shù)列的考查重點是考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、性質、通項公式、前n項和公式，簡單遞推數(shù)列問題、分組求和、拆項相消、錯位相減、倒序求和等常見數(shù)列求和方法通過三年的高考試題也可以發(fā)現(xiàn)，試題的位置均為第一大題，試題難度中下，主要以等差數(shù)列等比數(shù)列為背景考查數(shù)列的通項公式和數(shù)列求和問題，不在考查遞推數(shù)列問題. 2013年理科考查了
7、解三角形，文科考查等差數(shù)列定義以及數(shù)列求和的方法，考查學生對定義的理解以及邏輯思維能力，2014 年理科考查了遞推公式，數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列，文科考查了等差數(shù)列的基本量計算，數(shù)列的求和，試題難度中等偏下.2015 年問題四份試卷有 3 分考生解三角形，1 份考查數(shù)列。 從近幾年的高考試題來看，等差數(shù)列，等比數(shù)列作為最基本的數(shù)列模型，一直是高考重點考查的對象難度屬中低檔的題目，小題突出“小、巧、活”，主要以通項公式、前n項和公式為載體，結合等差數(shù)列的性質考查分類討論、化歸與方程等思想，要注重通性、通法；解答題“大而全”，注重題目的綜合與新穎，突出對邏輯思維能力的考查預測 2016 年高考解答
8、題考查數(shù)列的可能性較大，重點是等差等比數(shù)列的通項、求和及錯位相減法求和、裂項求和。重點考查學生的運算能力與邏輯推理能力理科可能與不等式恒成立巧妙結合出一大題2. 2012 年高考文理主要考查解三角形中的正弦定理或余弦定理的運用，以及運用三角公式進行三角變換的能力和利用三角形面積求邊長. 2013 年理科考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應用，考查學生數(shù)形結合的能力以及轉化與化歸能力， 2014 年文理都沒考查.從近幾年的高考試題來看，正弦定理、余弦定理是高考的熱點，主要考查利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形的度量問題，常與同角三角函數(shù)的關系、誘導公式、和差角公式，甚至三角函數(shù)的圖象和
9、性質等交匯命題，多以解答題的形式出現(xiàn)，屬解答題中的低檔題預測2015 年高考仍將以正弦定理、余弦定理，尤其是兩個定理的綜合應用為主要考點，可能與三角函數(shù)的圖象和性質等交匯命題，重點考查計算能力以及應用數(shù)學知識分析和解決問題的能力【重點知識整合】【重點知識整合】1.等差數(shù)列的有關概念：（1）等差數(shù)列的判斷方法：定義法1(nnaad d為常數(shù)）或11(2)nnnnaaaan.（2）等差數(shù)列的通項：1(1)naand或()nmaanm d.（3）等差數(shù)列的前n和：1()2nnn aaS，1(1)2nn nSnad.（4）等差中項：若, ,a A b成等差數(shù)列，則 A 叫做a與b的等差中項，且2abA
10、.2.等差數(shù)列的性質：（1） 當公差0d 時， 等差數(shù)列的通項公式11(1)naanddnad是關于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d； 前n和211(1)()222nn nddSnadnan是關于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為 0.（2）若公差0d ，則為遞增等差數(shù)列，若公差0d ，則為遞減等差數(shù)列，若公差0d ，則為常數(shù)列.（3）當mnpq時,則有qpnmaaaa，特別地，當2mnp時，則有2mnpaaa.(4) 若na、 nb是等差數(shù)列，則nka、nnkapb(k、p是非零常數(shù))、*( ,)p nqap qN、232,nnnnnSSSSS， 也成等差數(shù)列， 而naa成等比數(shù)列； 若na是等比數(shù)列，且0
11、na ，則lgna是等差數(shù)列.（5）在等差數(shù)列na中，當項數(shù)為偶數(shù)2n時，SSnd偶奇；項數(shù)為奇數(shù)21n時，SSa奇偶中，21(21)nSna中（這里a中即na） ；:(1):奇偶SSkk.（6）若等差數(shù)列na、 nb的前n和分別為nA、nB，且( )nnAf nB，則2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB.(7)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等差數(shù)列中，前n項和的最小值是所有非正項之和.法一：由不等式組000011nnnnaaaa或確定出前多少項為非負（或非正） ；法二：因等差數(shù)列前n項是關于n的二次函數(shù)，故可轉化為求二次
12、函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性*nN.上述兩種方法是運用了哪種數(shù)學思想？（函數(shù)思想） ，由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項嗎？3.等比數(shù)列的有關概念：（1）等比數(shù)列的判斷方法：定義法1(nnaq qa為常數(shù)），其中0,0nqa或11nnnnaaaa(2)n .（2）等比數(shù)列的通項：11nnaa q或n mnmaa q.（3）等比數(shù)列的前n和：當1q 時，1nSna；當1q 時，1(1)1nnaqSq11naa qq.特別提醒：等比數(shù)列前n項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前n項和時，首先要判斷公比q是否為 1，再由q的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比q是否為 1 時，要對q分1q 和
13、1q 兩種情形討論求解.（4）等比中項：若, ,a A b成等比數(shù)列，那么 A 叫做a與b的等比中項.提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個ab.4.等比數(shù)列的性質：（1） 當mnpq時， 則有mnpqaaaa， 特別地， 當2mnp時， 則有2mnpaaa.(2) 若na是等比數(shù)列，則|na、*( ,)p nqap qN、nka成等比數(shù)列；若 nnab、成等比數(shù)列，則nna b、nnab成等比數(shù)列； 若na是等比數(shù)列，且公比1q ，則數(shù)列232,nnnnnSSSSS，也是等比數(shù)列.當1q ，且n為偶數(shù)時，數(shù)列232,nnnnnSSSSS，是常數(shù)數(shù)列 0，它不是等
14、比數(shù)列.(3)若10,1aq，則na為遞增數(shù)列；若10,1aq, 則na為遞減數(shù)列；若10,01aq，則na為遞減數(shù)列；若10,01aq, 則na為遞增數(shù)列；若0q ，則na為擺動數(shù)列；若1q ，則na為常數(shù)列.(4) 當1q 時，baqqaqqaSnnn1111，這里0ab，但0,0ab，這是等比數(shù)列前n項和公式的一個特征，據此很容易根據nS，判斷數(shù)列na是否為等比數(shù)列.(5)如果數(shù)列na既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列na是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列na僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件.5.數(shù)列的通項的求法：公式法：等差數(shù)列通項公式；等比數(shù)列通項公式.已知nS（即12(
15、)naaaf n）求na，用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn.已知12( )na aaf n求na，用作商法：(1),(1)( ),(2)(1)nfnf nanf n.若1( )nnaaf n求na用累加法：11221()()()nnnnnaaaaaaa1a(2)n .已知1( )nnaf na求na，用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaa(2)n .已知遞推關系求na， 用構造法 （構造等差、 等比數(shù)列） .特別地， （1） 形如1nnakab、1nnnakab（, k b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉化為公比為k的等比數(shù)列后，再求na.如(21)已知111,
16、32nnaaa，求na； （2）形如11nnnaakab的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項.注意：（1） 用1nnnSSa求數(shù)列的通項公式時， 你注意到此等式成立的條件了嗎？ （2n ，當1n 時，11Sa ） ； （2）一般地當已知條件中含有na與nS的混合關系時，常需運用關系式1nnnSSa，先將已知條件轉化為只含na或nS的關系式，然后再求解.6.數(shù)列求和的常用方法：（1）公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運用等比數(shù)列求和公式，務必檢查其公比與 1 的關系，必要時需分類討論.（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法
17、求和.（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前n和公式的推導方法）. （4）錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數(shù)列前n和公式的推導方法）. （5）裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：111(1)1n nnn； 11 11()()n nkk nnk；2211111()1211kkkk，211111111(1)(1)1kkkkkkkkk；
18、 （6）通項轉換法：先對通項進行變形，發(fā)現(xiàn)其內在特征，再運用分組求和法求和.7.求角問題（1）內角和定理：三角形三角和為.任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.（2） 正弦定理：sinsinsinabcABC 2R(R為三角形外接圓的半徑).正弦定理的變式：sinsinsinABC a b c,sin A 2aR,sin B 2bR,sinC 2cR；（3）余弦定理：cos A 2222bcabc，cosB 2222acbac，cosC 2222bacba；（4）利用面積公式：sinC 2Sab，sin B 2Sac，sin A 2Sbc.8.求邊問題（1）邊與邊關系
19、：a+bc，b+ca，c+ab，abc，bcb；（2）正弦定理的變式:a 2 sinRA ,b 2 sinRB ,b 2 sinRC；（3）余弦定理:2a 222cosbcbcA.變形式：sinsinsinabcABCsinsinabABsinaA；（4）利用面積公式：a 2aShab 、2sinSC;（5）射影定理：a coscosbCcB.9.求三角形的面積問題三角形的面積公式：（1）S21aha21bhb12cch（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高） ；（2）S1sin2abC1sin2bcA1sin2acB；（3）S1()2r abc（其中r為三角形內切圓半徑）,2,Srabc
20、內切圓r直角 內切圓2abc斜邊；（4）221(| |)()2OABSOAOBOA OB .(與向量的數(shù)量積聯(lián)系)10.求三角形的綜合問題（1） 求解三角形中的問題時，一定要注意ABC這個特殊性：,sin()ABCAB sinC ,sin2AB cos2C；cos()ABcosC,cos2AB sin2C；tan()ABtanC,tan2AB cot2C；tantantanABC tantantanABC.（2）求解三角形中含有邊角混合關系的問題時，常運用正弦定理、余弦定理實現(xiàn)邊角互化,達到角的統(tǒng)一或邊的統(tǒng)一.（3）在ABC 中，熟記并會證明：A，B，C 成等差數(shù)列的充分必要條件是B=60；A
21、BC 是正三角形的充分必要條件是A、B、C 成等差數(shù)列且abc、 、成等比數(shù)列.（4） 銳角三角形三內角都是銳角三內角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方；鈍角角三角形三內角一個為鈍角一個角的余弦值為負值兩銳角的和仍為銳角兩個銳角對應的兩邊的平方和小于第三邊的平方.（5）三角形內常見的不等關系abAB sinsinAB;銳角ABC中,2AB,sin A cosB ,cos A sinB;鈍角ABC中，設C為鈍角，則2AB,sin A cosB ,cos A sinB.【應試技巧點撥】【應試技巧點撥】1.等差數(shù)列的判斷與證明的方法(1)利用定義：1nnaad或1(2,*
22、)nnaad nnN，其中d為常數(shù)；(2)利用等差中項：112(2,*)nnnaaannN；(3)利用通項公式：()nadnc dc、 為常數(shù)；(4)利用前n項公式：2()nSAnBn AB、 為常數(shù).注意證明等差數(shù)列的方法必須用定義法或等差中項的方法去證明；在選擇題和填空題中，可根據題設條件恰當?shù)倪x擇任意一種方法.有時還可以利用“歸納-猜想-證明”的方法去打開解題思路.如果證明數(shù)列不是等差數(shù)列，可采用舉反例的方法，如證明2132aaa.2.等差數(shù)列前n項和的最值問題對于等差數(shù)列前n項和的最值問題，取決于首項和公差的正負即：10a ，0d 時，nS有最大值；10a ，0d 時，nS有最小值.常
23、用下面兩個方法去解決：(1)若已知nS，可用二次函數(shù)最值的求法（nN） ；(2)若已知na，則nS最值時n的值（nN）可如下確定100nnaa或100nnaa.3. 如何判斷和證明數(shù)列是等比數(shù)列判斷和證明 na是等比數(shù)列常用以下幾個方法：（1）利用定義：1nnaqa或1nnaqa(,2)nNn（q為非零常數(shù)） ；（2）利用等比中項：212nnnaaa；（3）利用通項公式：nnacq（0,0cq） ；（4）利用求和公式：nnSkqk（11akq，0k ，1q ）.注意證明數(shù)列為等比數(shù)列只能用定義和等比中項去證明，但是在選擇題或填空題中可以用任何一種方法.4.利用等比數(shù)列求和公式注意的問題在利用等
24、比數(shù)列前 n 項和公式求和時，如果公比q未知，且需要利用求和公式列方程時，一定要對公比q分11qq和兩種情況進行討論.5.如何選擇恰當?shù)姆椒ㄇ髷?shù)列的和在數(shù)列求和問題中，由于題目的千變萬化，使得不少同學一籌莫展，方法老師也介紹過，就不清楚什么特征用什么方法.為此提供一個通法 “特征聯(lián)想法”：就是抓住數(shù)列的通項公式的特征，再去聯(lián)想常用數(shù)列的求和方法.通項公式作為數(shù)列的靈魂，只有抓住它的特征，才能對號入座，得到求和方法.特征一：.nnnbaC， 數(shù)列nC的通項公式能夠分解成幾部分， 一般用“分組求和法”.特征二：nnnCab，數(shù)列nC的通項公式能夠分解成等差數(shù)列和等比數(shù)列的乘積，一般用“錯位相減法”
25、.特征三：1nnnCab，數(shù)列nC的通項公式是一個分式結構，一般采用“裂項相消法”.特征四：nnnnCCa，數(shù)列nC的通項公式是一個組合數(shù)和等差數(shù)列通項公式組成，一般采用“倒序相加法”.6. 利用轉化，解決遞推公式為nS與na的關系式.數(shù)列na的前n項和nS與通項na的關系：11(1)(2)nnnSnaSSn.通過紐帶：12)nnnaSSn（，根據題目求解特點，消掉一個nnaS或.然后再進行構造成等差或者等比數(shù)列進行求解.如需消掉nS，利用已知遞推式，把 n 換成（n+1）得到遞推式，兩式相減即可.若消掉na，只需把1nnnaSS帶入遞推式即可.不論哪種形式，需要注意公式1nnnaSS成立的條
26、件2.n 7.由遞推關系求數(shù)列的通項公式（1）利用“累加法”和“累乘法”求通項公式此解法來源與等差數(shù)列和等比數(shù)列求通項的方法，遞推關系為1( )nnaaf n用累加法；遞推關系為1( )nnaf na用累乘法.解題時需要分析給定的遞推式，使之變形為1nnaa、1nnaa結構，然后求解.要特別注意累加或累乘時，應該為) 1( n個式子，不要誤認為n個.(2)利用待定系數(shù)法，構造等差、等比數(shù)列求通項公式求數(shù)列通項公式方法靈活多樣，特別是對于給定的遞推關系求通項公式，觀察、分析、推理能力要求較高.通?？蓪f推式變換，轉化成特殊數(shù)列（等差或等比數(shù)列）來求解，這種方法體現(xiàn)了數(shù)學中化未知為已知的化歸思想，
27、而運用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉化方法.遞推公式為qpaann1（其中 p，q 均為常數(shù)，)0) 1(ppq）.把原遞推公式轉化為：)(1taptann，其中pqt1，再利用換元法轉化為等比數(shù)列求解.余弦定理的重要應用三角形的余弦定理作為解決三角形問題的利劍，必須熟練掌握應用.為此，就其常見的幾種變形形式，介紹如下.聯(lián)系完全平方式巧過渡:由222()2bcbcbc則22222cos()2(1cos )abcbcAbcbcA.聯(lián)系重要不等式求范圍：由222bcbc，則2222cos22cos2(1cos )abcbcAbcbcAbcA當且僅當bc等號成立.聯(lián)系數(shù)量積的定義式妙轉
28、化：在ABC中，由222222coscos22abcabcCA CBCA CBCabCabab .如何恰當選擇正弦定理與余弦定理解題利用正弦定理解三角形時，可將正弦定理視為方程或方程組，利用方程思想處理已知量與未知量的關系.熟記正弦定理同三角形外接圓半徑、三角形面積之間的關系等結論，對于相關問題是十分有益的.利用正弦定理可解決以下兩類問題：一是已知兩角和一角的對邊，求其他邊角；二是已知兩邊和一邊對應的角，求其他邊角，由于此時的三角形不能確定，應對它進行分類討論.利用正弦定理解題一般適應的特點（1）如果所給的等式兩邊有齊次的邊的形式或齊次的角的正弦的形式，可以利用正弦定理進行邊角互換，這是高考中
29、常見的形式； （2）根據所給條件構造（1）的形式，便于利用正弦定理進行邊角互換，體現(xiàn)的是轉化思想的靈活應用.余弦定理與平面幾何知識、向量、三角函數(shù)有著密切的聯(lián)系，常解決一下兩類問題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊角；二是已知三邊求三角.由于這兩種情形下三角形是唯一確定的，所以其解也是唯一.【考場經驗分享】【考場經驗分享】1數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當自變量依次從小到大取值時所對應的一列函數(shù)值，就是數(shù)列因此，在研究函數(shù)問題時既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性2由nS求na時11,(1),(2)nnnSnaSSn，注意驗證a1是否包含
30、在后面an的公式中，若不符合要單獨列出，一般已知條件含an與Sn的關系的數(shù)列題均可考慮上述公式3如果mnpq， ，則qpnmaaaa，一般地，pqp qaaa，必須是兩項相加，當然可以是112pppaaa4等差數(shù)列的通項公式通常是n的一次函數(shù)，除非公差0d .5公差不為 0 的等差數(shù)列的前n項和公式是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項為 0.若某數(shù)列的前n項和公式是n的常數(shù)項不為 0 的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項起成等差數(shù)列6特別注意1q 時，1nSna這一特殊情況7由1nnaqa，0q ，并不能立即斷言 na為等比數(shù)列，還要驗證10a .8.因試題難度與位置的調整，數(shù)列問題已經變?yōu)閷W生得
31、全分的題目，故需要學生值得花費時間和精力去攻克，在考試過程中，計算出錯極易出現(xiàn)，故不論求通項公式還是數(shù)列求和問題均可以利用1,2,3n 進行驗證，此法切記！9對三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性進行適當“放縮”10在解實際問題時，需注意的兩個問題(1)要注意仰角、俯角、方位角等名詞，并能準確地找出這些角；(2)要注意將平面幾何中的性質、定理與正、余弦定理結合起來，發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件，才能順利解決11.利用正弦定理與余弦定理解題時，經常用到轉化思想一個是把邊轉化為角，另一個是把角轉化為邊， ，具體情況應根據題目給定的表達式進行確定，不管哪個途徑，最終轉化為角的統(tǒng)一或邊的統(tǒng)一，也是我
32、們利用正弦定理與余弦定理化簡式子的最終目標，對于兩個定理都能用的題目，應優(yōu)先考慮利用正弦定理，會給計算帶來相對的簡便，根據已知條件中邊的大小來確定角的大小，此時利用正弦定理去計算較小邊所對的角，可避免分類討論，利用余弦定理的推論，可根據角的余弦值的正負直接確定所求角是有銳角還是鈍角，但計算麻煩.【名題精選練兵篇】【名題精選練兵篇】1 【2016 屆江蘇省清江中學高三上學期】設na是一個公差大于 0 的等差數(shù)列，且滿足5563aa，1672aa.（1）求數(shù)列na的通項公式；（2）若數(shù)列na和數(shù)列nb滿足：)(2222233221 Nnbbbbann，求數(shù)列nb的通項公式nb及其前n項和nS的表達
33、式；（3）是否存在正整數(shù)m，使得mb是mS中的項？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.（2）由)(222233221 Nnbbbbannn故)2(222211 -332211 - nNnbbbbannn，-得)2(221naabnnnn，即)2(21nbnn又2211 ab，不符合上式，所以. 2,2, 1, 21nnbnn于是1433212222 nnnbbbbS624212-124-22222211432 nnn）（，即. 622nnS2 【2016 屆河南省洛陽市一中高三下學期第二次模擬】已知數(shù)列na的前n項和為nS，12a ，且滿足112nnnaS*()nN.（1）證明數(shù)列2nn
34、S為等差數(shù)列； （2）求12.nSSS.【解析】（1） 證明：由條件可知，112nnnnSSS，即1122nnnSS，整理得11122nnnnSS，所以數(shù)列2nnS是以 1 為首項，1 為公差的等差數(shù)列.（2） 由（1）可知，112nnSnn ，即2nnSn，令12nnTSSS21 22 22nnTn 2121 2(1) 22nnnTnn ，212222nnnTn，整理得12(1) 2nnTn.3 【2016 屆湖北省沙市中學高三下第三次測試】已知等比數(shù)列 na的各項均為正數(shù)，11a ，公比為q；等差數(shù)列 nb中，13b ，且 nb的前n項和 為nS，233227,SaSqa.（1）求 na與
35、 nb的通項公式；（2）設數(shù)列 nc滿足92nncS，求 nc的前n項和nT.【解析】4【2016 屆遼寧省沈陽東北育才學校高三上二?！?將函數(shù)2(sincos )yxx在區(qū)間(0,)內的全部極值點按從小到大的順序排成數(shù)列 na（）求數(shù)列 na的通項公式；（）令2nnnba，其中*nN，求數(shù)列 nb的前n項和nT5 【2016 屆青海省平安一中高三 4 月月考】已知數(shù)列 na與 nb，若13a 且對任意整數(shù)n滿足12nnaa，數(shù)列 nb的前n項和2nnSna.（1）求數(shù)列 ,nnab的通項公式；（2）求數(shù)列11nnb b的前n項和nT.【解析】 （1）由題意知數(shù)列 na是公差為2的等差數(shù)列，又
36、因為13a ，所以21nan，當1n 時，114bS；當2n時，22121121121nnnbSSnnnnn，對14b 不成立.所以，數(shù)列 nb的通項公式：4,121,2nnbnn.（2）1n 時，11 21120Tbb，當2n時，11111121232 2123nnb bnnnn,所以11 111111202 57792123nTnn116120101520 23nnnn1n 仍然適合上式.綜上，116120101520 23nnnTnn.6 【2016 屆河北省衡水中學高三下學期一?！吭O數(shù)列 na的前n項和為nS，且首項113,3nnnaaSnN（1）求證：3nnS 是等比數(shù)列；（2）若
37、na為遞增數(shù)列，求1a的取值范圍.72016 屆江蘇省泰州市姜堰區(qū)高三下期初考試設ABC 的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，a=btanA，且 B 為鈍角()證明：B-A=2；()求 sinA+sinC 的取值范圍8 【2016 屆湖北省龍泉中學等校高三 9 月聯(lián)考】設函數(shù)24( )cos(2)2cos.3f xxx（）求)(xf的最大值，并寫出使)(xf取最大值時 x 的集合；（）已知ABC中，角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c，若3(),22f BCbc，1a ，求ABC的面積的最大值【解析】（）2444( )cos(2)2cos(cos2 cossin2 sin)(1
38、cos2 )333f xxxxxx13cos2sin21cos(2) 1223xxx 所以)(xf的最大值為2此時)(232 , 1)32cos(Zkkxx故x的集合為Zkkxx,6（）由題意，2313)(2cos)(CBCBf，即.21)322cos(A化簡得21)32cos(A0AQ，)35,3(32 A，只有332A，.3A在ABC中，1,3aA由余弦定理，2222cos3abcbc即221bcbcbc，當且僅當bc取等號，133sin244ABCSbcAbc9 【2016 屆河北省邯鄲一中高三下第一次模擬】 如圖， 在ABC中，030B，2 5AC ，D是邊AB上一點（1）求ABC的面
39、積的最大值；（2）若2,CDACD的面積為 4，ACD為銳角，求BC的長由余弦定理，得，2225ADACCD2AC CDcos20485165 所以4AD ，由正弦定理，得sinsinADCDA，所以42sinsin A，所以5sin5A ，此時sinsinBCACAB，所以sin4sinACABCB所以BC的長為410 【2016 屆陜西省西北工大附中高三第四次適應性考試】已知函數(shù) 2cos12fxx， 11sin22g xx （1）求函數(shù) yf x的圖像的對稱軸方程；（2）求函數(shù) h xf xg x的最小正周期和值域11.1. 【山東省濟南市 2015 屆高三上學期期末考試】已知等比數(shù)列
40、na的前n項和為nS，且滿足122nnSp nN.（I）求 p 的值及數(shù)列 na的通項公式；（II）若數(shù)列 nb滿足132n na bnap，求數(shù)列 nb的前n項和nT.【解析】 （）由2,2222211nppSSannnnnn22411pSa，由321,aaa成等比得1p；（）由,)3(21nnbanpa可得nnnb2，nnnT222212，1322222121nnnT，13222121212121nnnnT，12211)2112121nnnnT（，nnnnT22121.12.2. 【四川省資陽市 2015 屆高三第二次診斷】等差數(shù)列na的前n項和為nS，數(shù)列 nb是等比數(shù)列，滿足13a ，
41、11b ，2210bS，5232aba()求數(shù)列na和 nb的通項公式；()令n 為奇數(shù)，n 為偶數(shù)，2,nnnScb設數(shù)列 nc的前n項和nT，求2nT13.13. 【陜西省寶雞市九校 2015 屆高三聯(lián)合檢測】已知na是一個單調遞增的等差數(shù)列，且滿足2421a a ,1510aa，數(shù)列nc的前n項和為1nnSa()Nn，數(shù)列 nb滿足2nnnbc .()求數(shù)列na的通項公式；()求數(shù)列 nb的前n項和.【解析】 ()設等差數(shù)列 na的公差為d,則依題知0d .由315210aaa,又可得35a .由2421a a ,得(5)(5)21dd,可得2d . 所以1321aad.可得21 (*)
42、Nnann；()由()得12nnSan ，當2n 時,122(1)2nnncSSnn當1n 時,112cS滿足上式，所以2 (*)Nncn，所以12222nnnnnbc ，即12nnb ,因為211222nnnnbb ，14b ，所以數(shù)列 nb是首項為4,公比為2的等比數(shù)列.所以前n項和24 (12 )2412nnnT .14.14. 【山東省青島市 2015 屆高三上學期期末】已知直線兩直線121: cos10:sin,26lxylyxABC ；中，內角A，B，C對邊分別為, ,2 3,4=a b cacA，且當時，兩直線恰好相互垂直；（I）求A值；（II）求b和ABC的面積15.15. 【
43、山東省濟南市 2015 屆高三上學期期末】在ABC中，角 A，B，C 的對邊分別為, ,a b c，且,4BAC成等差數(shù)列.（I）若133bac，求的值；（II）設sinsintAC，求 t 的最大值.【解析】 （）因為A，4B，C成等差數(shù)列，CAB2，因為ABC ， 所以32B.Baccababcos2, 3,13222，2340cc，14(cc 或舍去），（）3CA，sinsinsinsin()3tACAA 31sin(cossin)22AAA31 1 cos2sin2()422AA11sin(2)264A，30 A，65626A.所以當,262A即6A時，t有最大值41.16.16. 【
44、吉林省實驗中學 2015 屆高三上學期第三次模擬】已知( )f x a b，其中(2cos ,3sin2 )xxa，(cos ,1)xb，Rx（）求( )f x的單調遞減區(qū)間；（） 在ABC中， 角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，( )1f A ，7a ， 且向量(3,sin)Bm與(2,sin)Cn共線，求邊長b和c的值.【名師原創(chuàng)測試篇】【名師原創(chuàng)測試篇】1已知na是公差d0 的等差數(shù)列，2a,6a,22a成等比數(shù)列，46aa=26,數(shù)列nb是公比q為正數(shù)的等比數(shù)列，且3b=2a,5b=6a.（）求數(shù)列na,nb的通項公式；（）求數(shù)列nanb的前n項和nT.【解析】 （）na是公差d0
45、 的等差數(shù)列,2a,6a,22a成等比數(shù)列,26222aa a，2111(5 )()(21 )adad ad，即22111025aa dd=22112221aa dd，即13a=d，由46aa=26 得，128ad=26，由解得，d=3，1a=1，na=32n，3b=2a=4，即21bq=4，5b=6a=16，即41bq=16，2q=4，q為正數(shù)，q=2，1b=1,nb=12n,數(shù)列na,nb的通項公式分別為na=32n，nb=12n； （）由（）知，na=32n，nb=12n，nanb=1(32) 2nn，nT=01 2+4 2+27 2+1(32) 2nn，2nT=1 2+24 2+1(3
46、5) 2nn+(32) 2nn；nT=1+3 2+23 2+33 2+13 2n-(32) 2nn=16(1 2)1(32) 21 2nnn=(35) 25nn，nT=(35) 25nn.2. 設各項均為正數(shù)的數(shù)列 na的前n項和為nS，滿足21441,nnSan,nN且2514,a a a構成等比數(shù)列.（）求數(shù)列 na的通項公式；（）證明：對一切正整數(shù)n，有1223111112nna aa aa a.（）1223111111111 33 55 72121nna aa aa ann1111111112335572121nn1111.2212n3. 已知向量( 3sin2,cos ),(1,2c
47、os )axx bx，設函數(shù)( )f xa b.（）求函數(shù)( )f x的最小正周期和單調遞減區(qū)間；（） 在ABC中， 角 A、 B、 C 所對的邊分別是, ,a b c,若( )4f A ，2b ，sin2sinAC，求邊c的長.4. 在ABC中，內角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，226cosababC，且2sin2sinsinCAB（）求角C的值；（）若點M是ABC中角C的外角內的一點，且2CM ,過點MFBC，MEAC，垂足分別為F，E求+MF ME的最大值【命題意圖】本題考查正弦定理、余弦定理、三角恒等變形等基礎知識，意在考查基本運算能力【解析】 （）因為226cosababC，由
48、余弦定理知2222cosabcabC,所以2cos4cCab，又因為2sin2sinsinCAB，則由正弦定理得22cab，所以221cos442cabCabab，因為(0,)C， 所以3C.（）設2=3MCF（0 ），則2sinMF，22sin()3ME，所以+MF ME22sin()+2sin33cos+3sin2 3sin()6，因為230 ，故5666，所以當62，即3時，+MF ME取到最大值2 35.5.已知數(shù)列na的前n項和為nS，且22nnSa；數(shù)列 nb滿足11b ，12nnbb.nN.（）求數(shù)列na， nb的通項公式；（）記nnnca b，*nN求數(shù)列 nc的前n項和nT（）由（）知，(21)2nncn，2311 23 25 2(23) 2(21) 2 nnnTnn231121 23 2(25) 2(23) 2(21) 2 nnnnTnnn由得231122 22 22 22 2(21) 2 nnnnTn23112(12222 )(21) 2nnnnTn62)23(1nnnT，62)32(2nnnT， 數(shù)列 nc的前n項和62)32(1nnnT.6.6. 【遼寧省朝陽市三校協(xié)作體 2015 屆高三下學期開學聯(lián)考】已知數(shù)列 na滿足0na ,113a ，1122,nnnnaaaannN.（1）求證：1na是等差數(shù)列；（2）證明：2221214naaa.
高考數(shù)學三輪講練測核心熱點總動員新課標版 專題17 數(shù)列的基本運算大題、三角形的解答題 Word版含解析
