2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 專題突破三 離心率的求法學(xué)案（含解析）北師大版選修1 -1.docx

專題突破三離心率的求法一、以漸近線為指向求離心率例1已知雙曲線兩漸近線的夾角為60，則雙曲線的離心率為_思維切入雙曲線的兩漸近線有兩種情況，焦點位置也有兩種情況，分別討論即可考點題點答案2或解析由題意知，雙曲線的漸近線存在兩種情況當(dāng)雙曲線的焦點在x軸上時，若其中一條漸近線的傾斜角為60，如圖1所示；若其中一條漸近線的傾斜角為30，如圖2所示所以雙曲線的一條漸近線的斜率k或k，即或.又b2c2a2，所以3或，所以e24或，所以e2或.同理，當(dāng)雙曲線的焦點在y軸上時，則有或，所以或，亦可得到e或2.綜上可得，雙曲線的離心率為2或.點評雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著密切的聯(lián)系，可以借助進行互求一般地，如果已知雙曲線離心率的值求漸近線方程，或者已知漸近線方程，求離心率的值，都會有兩解(焦點在x軸上和焦點在y軸上兩種情況)，不能忘記分類討論跟蹤訓(xùn)練1中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(4，2)，則它的離心率為()A.B.C.D.考點雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點求雙曲線的離心率答案D解析由題意知，過點(4，2)的漸近線的方程為yx，24，a2b.方法一設(shè)bk(k>0)，則a2k，ck，e.方法二e211，故e.二、以焦點三角形為指向求離心率例2如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線1(a>0，b>0)的兩個焦點，A和B是以O(shè)為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為_思維切入連接AF1，在F1AF2中利用雙曲線的定義可求解考點雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點求雙曲線的離心率答案1解析方法一如圖，連接AF1，由F2AB是等邊三角形，知AF2F130.易知AF1F2為直角三角形，則|AF1|F1F2|c，|AF2|c，2a(1)c，從而雙曲線的離心率e1.方法二如圖，連接AF1，易得F1AF290，F(xiàn)1F2A30，F(xiàn)2F1A60，于是離心率e1.點評涉及到焦點三角形的題目往往利用圓錐曲線的定義求得的值跟蹤訓(xùn)練2橢圓1(a>b>0)的兩焦點為F1，F(xiàn)2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為_考點題點答案1解析方法一如圖，DF1F2為正三角形，N為DF2的中點，F(xiàn)1NF2N，|NF2|OF2|c，|NF1|c，由橢圓的定義可知|NF1|NF2|2a，cc2a，a，e1.方法二注意到焦點三角形NF1F2中，NF1F230，NF2F160，F(xiàn)1NF290，則由離心率的三角形式，可得e1.三、尋求齊次方程求離心率例3已知雙曲線E：1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|3|BC|，則E的離心率是_思維切入通過2|AB|3|BC|，得到a，b，c的關(guān)系式，再由b2c2a2，得到a和c的關(guān)系式，同時除以a2，即可得到關(guān)于e的一元二次方程，求得e.考點雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點求雙曲線的離心率答案2解析如圖，由題意知|AB|，|BC|2c.又2|AB|3|BC|，232c，即2b23ac，2(c2a2)3ac，兩邊同除以a2并整理得2e23e20，解得e2(負(fù)值舍去)點評求圓錐曲線的離心率，就是求a和c的值或a和c的關(guān)系，然后根據(jù)離心率的定義求得但在多數(shù)情況下，由于受到題目已知條件的限制，很難或不可能求出a和c的值，只能將條件整理成關(guān)于a和c的關(guān)系式，進而求得的值，其關(guān)鍵是善于利用定義以及圖形中的幾何關(guān)系來建立關(guān)于參數(shù)a，b，c的關(guān)系式，結(jié)合c2a2b2，化簡為參數(shù)a，c的關(guān)系式進行求解跟蹤訓(xùn)練3已知橢圓1(a>b>0)，A，B分別為橢圓的左頂點和上頂點，F(xiàn)為右焦點，且ABBF，則橢圓的離心率為_考點橢圓的離心率問題題點求a，b，c的齊次關(guān)系式得離心率答案解析在ABF中，|AB|，|BF|a，|AF|ac.由ABBF得|AB|2|BF|2|AF|2，將b2a2c2代入，得a2acc20，即e2e10，解得e.因為0<e<1，所以e.四、利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求離心率的取值范圍例4已知雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點，則雙曲線的離心率e的取值范圍是_思維切入畫圖，通過圖像找出直線l與雙曲線漸近線斜率的關(guān)系，利用e求解考點雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點求雙曲線的離心率答案2，)解析由題意知，即23，e2，故離心率e的取值范圍是2，)點評(1)當(dāng)直線與雙曲線有一個公共點時，利用數(shù)形結(jié)合思想得到已知直線與漸近線斜率的關(guān)系，得到的范圍，再利用e得到離心率的取值范圍(2)當(dāng)直線與雙曲線有兩個公共點時，可聯(lián)立方程組應(yīng)用判別式>0，從而可得的范圍，再利用e即可得離心率的取值范圍跟蹤訓(xùn)練4設(shè)雙曲線C：y21(a>0)與直線l：xy1相交于兩個不同的點，則雙曲線C的離心率e的取值范圍為()A.B(，)C.D.(，)考點雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點求雙曲線的離心率答案D解析由消去y并整理得(1a2)x22a2x2a20.由于直線與雙曲線相交于兩個不同的點，則1a20a21，且此時4a2(2a2)>0a2<2，所以a2(0,1)(1,2)另一方面，e，則a2，從而e(，)五、利用焦半徑的性質(zhì)求離心率的取值范圍例5已知橢圓1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)若橢圓上存在點P使，則該橢圓的離心率的取值范圍為_思維切入答案(1,1)解析在PF1F2中，由正弦定理知，因為，所以，即|PF1|e|PF2|.又因為點P在橢圓上，所以|PF1|PF2|2a.將代入得|PF2|，又ac<|PF2|<ac，同除以a得，1e<<1e，又0<e<1，解得1<e<1.點評圓錐曲線上一點到焦點的距離叫做該點的焦半徑(1)橢圓焦半徑的取值范圍為ac，ac(2)雙曲線的焦半徑：點P與焦點F位于y軸同側(cè)時，其取值范圍為ca，)；點P與焦點F位于y軸異側(cè)時，其取值范圍為ca，)跟蹤訓(xùn)練5已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為()A.B.C2D.考點雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點求雙曲線的離心率答案B解析P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|2a，|PF1|4|PF2|，4|PF2|PF2|2a，即|PF2|a，根據(jù)點P在雙曲線的右支上，可得|PF2|aca，ac，又e>1，1<e，此雙曲線的離心率e的最大值為.1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點F(c,0)到一條漸近線的距離為c，則其離心率的值是()A.B3C2D4考點題點答案C解析不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線的方程為yx，所以bc，所以b2c2a2c2，得c2a，所以雙曲線的離心率e2.2若雙曲線1(a>0，b>0)與直線y2x無交點，則離心率e的取值范圍是()A(1,2) B(1,2 C(1，) D(1，考點雙曲線的離心率與漸近線題點雙曲線離心率的取值范圍答案D解析由題意可得，雙曲線漸近線的斜率2，所以e.又e>1，所以離心率e的取值范圍是(1，3.如圖，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，現(xiàn)以F2為圓心作一個圓恰好經(jīng)過橢圓中心并且交橢圓于點M，N，若過F1的直線MF1是圓F2的切線，則橢圓的離心率為()A.1B2C.D.考點橢圓的離心率問題題點由a與c的關(guān)系式得離心率答案A解析過F1的直線MF1是圓F2的切線，F(xiàn)1MF290，|MF2|c，|F1F2|2c，|MF1|c，由橢圓定義可得|MF1|MF2|cc2a，橢圓離心率e1.4已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若ABF2為鈍角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為()A(1，) B(1，)C(1，1) D(1，)考點雙曲線的幾何性質(zhì)題點求雙曲線離心率的取值范圍答案B解析由題設(shè)條件可知ABF2為等腰三角形，且AF2BF2，只要AF2B為鈍角即可由題設(shè)可得AF1，所以有>2c，即2ac<c2a2，解得e(1，)故選B.5過雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點作一條與其漸近線平行的直線，交C于點P.若點P的橫坐標(biāo)為2a，則C的離心率為_考點題點答案2解析由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)直線方程為y(xc)由得x.由2a，e，解得e2(e2舍去)6已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M在雙曲線的左支上，且|MF2|7|MF1|，則此雙曲線的離心率的最大值為_考點題點答案解析因為|MF2|7|MF1|，所以|MF2|MF1|6|MF1|，即2a6|MF1|6(ca)，故8a6c，即e，當(dāng)且僅當(dāng)M為雙曲線的左頂點時，等號成立故此雙曲線離心率的最大值為.7已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓C上，線段PF2與圓：x2y2b2相切于點Q，若Q是線段PF2的中點，e為C的離心率，則的最小值是_考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點橢圓中的定點、定值、取值范圍問題答案解析如圖，連接PF1，OQ，由OQ為PF1F2的中位線，可得OQPF1，|OQ|PF1|.由圓x2y2b2，可得|OQ|b，則|PF1|2b.由橢圓的定義可得|PF1|PF2|2a，即|PF2|2a2b.又OQPF2，所以PF1PF2，即(2b)2(2a2b)2(2c)2，即b2a22abb2c2a2b2，化簡得2a3b，即ba.ca，則e.2，當(dāng)且僅當(dāng)a，即a時等號成立，所以的最小值為.