2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 專題突破三 離心率的求法學(xué)案(含解析)北師大版選修1 -1.docx
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專題突破三離心率的求法一、以漸近線為指向求離心率例1已知雙曲線兩漸近線的夾角為60,則雙曲線的離心率為_思維切入雙曲線的兩漸近線有兩種情況,焦點(diǎn)位置也有兩種情況,分別討論即可考點(diǎn)題點(diǎn)答案2或解析由題意知,雙曲線的漸近線存在兩種情況當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),若其中一條漸近線的傾斜角為60,如圖1所示;若其中一條漸近線的傾斜角為30,如圖2所示所以雙曲線的一條漸近線的斜率k或k,即或.又b2c2a2,所以3或,所以e24或,所以e2或.同理,當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),則有或,所以或,亦可得到e或2.綜上可得,雙曲線的離心率為2或.點(diǎn)評雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著密切的聯(lián)系,可以借助進(jìn)行互求一般地,如果已知雙曲線離心率的值求漸近線方程,或者已知漸近線方程,求離心率的值,都會(huì)有兩解(焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上兩種情況),不能忘記分類討論跟蹤訓(xùn)練1中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(4,2),則它的離心率為()A.B.C.D.考點(diǎn)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案D解析由題意知,過點(diǎn)(4,2)的漸近線的方程為yx,24,a2b.方法一設(shè)bk(k0),則a2k,ck,e.方法二e211,故e.二、以焦點(diǎn)三角形為指向求離心率例2如圖,F(xiàn)1和F2分別是雙曲線1(a0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn),A和B是以O(shè)為圓心,|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn),且F2AB是等邊三角形,則雙曲線的離心率為_思維切入連接AF1,在F1AF2中利用雙曲線的定義可求解考點(diǎn)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案1解析方法一如圖,連接AF1,由F2AB是等邊三角形,知AF2F130.易知AF1F2為直角三角形,則|AF1|F1F2|c,|AF2|c,2a(1)c,從而雙曲線的離心率e1.方法二如圖,連接AF1,易得F1AF290,F(xiàn)1F2A30,F(xiàn)2F1A60,于是離心率e1.點(diǎn)評涉及到焦點(diǎn)三角形的題目往往利用圓錐曲線的定義求得的值跟蹤訓(xùn)練2橢圓1(ab0)的兩焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,以F1F2為邊作正三角形,若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊,則橢圓的離心率為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案1解析方法一如圖,DF1F2為正三角形,N為DF2的中點(diǎn),F(xiàn)1NF2N,|NF2|OF2|c,|NF1|c,由橢圓的定義可知|NF1|NF2|2a,cc2a,a,e1.方法二注意到焦點(diǎn)三角形NF1F2中,NF1F230,NF2F160,F(xiàn)1NF290,則由離心率的三角形式,可得e1.三、尋求齊次方程求離心率例3已知雙曲線E:1(a0,b0),若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上,AB,CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn),且2|AB|3|BC|,則E的離心率是_思維切入通過2|AB|3|BC|,得到a,b,c的關(guān)系式,再由b2c2a2,得到a和c的關(guān)系式,同時(shí)除以a2,即可得到關(guān)于e的一元二次方程,求得e.考點(diǎn)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案2解析如圖,由題意知|AB|,|BC|2c.又2|AB|3|BC|,232c,即2b23ac,2(c2a2)3ac,兩邊同除以a2并整理得2e23e20,解得e2(負(fù)值舍去)點(diǎn)評求圓錐曲線的離心率,就是求a和c的值或a和c的關(guān)系,然后根據(jù)離心率的定義求得但在多數(shù)情況下,由于受到題目已知條件的限制,很難或不可能求出a和c的值,只能將條件整理成關(guān)于a和c的關(guān)系式,進(jìn)而求得的值,其關(guān)鍵是善于利用定義以及圖形中的幾何關(guān)系來建立關(guān)于參數(shù)a,b,c的關(guān)系式,結(jié)合c2a2b2,化簡為參數(shù)a,c的關(guān)系式進(jìn)行求解跟蹤訓(xùn)練3已知橢圓1(ab0),A,B分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),F(xiàn)為右焦點(diǎn),且ABBF,則橢圓的離心率為_考點(diǎn)橢圓的離心率問題題點(diǎn)求a,b,c的齊次關(guān)系式得離心率答案解析在ABF中,|AB|,|BF|a,|AF|ac.由ABBF得|AB|2|BF|2|AF|2,將b2a2c2代入,得a2acc20,即e2e10,解得e.因?yàn)?e0,b0)的右焦點(diǎn)為F,若過點(diǎn)F且傾斜角為60的直線l與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),則雙曲線的離心率e的取值范圍是_思維切入畫圖,通過圖像找出直線l與雙曲線漸近線斜率的關(guān)系,利用e求解考點(diǎn)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案2,)解析由題意知,即23,e2,故離心率e的取值范圍是2,)點(diǎn)評(1)當(dāng)直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),利用數(shù)形結(jié)合思想得到已知直線與漸近線斜率的關(guān)系,得到的范圍,再利用e得到離心率的取值范圍(2)當(dāng)直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),可聯(lián)立方程組應(yīng)用判別式0,從而可得的范圍,再利用e即可得離心率的取值范圍跟蹤訓(xùn)練4設(shè)雙曲線C:y21(a0)與直線l:xy1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),則雙曲線C的離心率e的取值范圍為()A.B(,)C.D.(,)考點(diǎn)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案D解析由消去y并整理得(1a2)x22a2x2a20.由于直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),則1a20a21,且此時(shí)4a2(2a2)0a2b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(c,0),F(xiàn)2(c,0)若橢圓上存在點(diǎn)P使,則該橢圓的離心率的取值范圍為_思維切入答案(1,1)解析在PF1F2中,由正弦定理知,因?yàn)?,所以,即|PF1|e|PF2|.又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上,所以|PF1|PF2|2a.將代入得|PF2|,又ac|PF2|ac,同除以a得,1e1e,又0e1,解得1e0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在雙曲線的右支上,且|PF1|4|PF2|,則此雙曲線的離心率e的最大值為()A.B.C2D.考點(diǎn)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案B解析P在雙曲線的右支上,由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|2a,|PF1|4|PF2|,4|PF2|PF2|2a,即|PF2|a,根據(jù)點(diǎn)P在雙曲線的右支上,可得|PF2|aca,ac,又e1,10,b0)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線的距離為c,則其離心率的值是()A.B3C2D4考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線的方程為yx,所以bc,所以b2c2a2c2,得c2a,所以雙曲線的離心率e2.2若雙曲線1(a0,b0)與直線y2x無交點(diǎn),則離心率e的取值范圍是()A(1,2) B(1,2 C(1,) D(1,考點(diǎn)雙曲線的離心率與漸近線題點(diǎn)雙曲線離心率的取值范圍答案D解析由題意可得,雙曲線漸近線的斜率2,所以e.又e1,所以離心率e的取值范圍是(1,3.如圖,已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),現(xiàn)以F2為圓心作一個(gè)圓恰好經(jīng)過橢圓中心并且交橢圓于點(diǎn)M,N,若過F1的直線MF1是圓F2的切線,則橢圓的離心率為()A.1B2C.D.考點(diǎn)橢圓的離心率問題題點(diǎn)由a與c的關(guān)系式得離心率答案A解析過F1的直線MF1是圓F2的切線,F(xiàn)1MF290,|MF2|c,|F1F2|2c,|MF1|c,由橢圓定義可得|MF1|MF2|cc2a,橢圓離心率e1.4已知F1,F(xiàn)2是雙曲線1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn),過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若ABF2為鈍角三角形,則該雙曲線的離心率e的取值范圍為()A(1,) B(1,)C(1,1) D(1,)考點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線離心率的取值范圍答案B解析由題設(shè)條件可知ABF2為等腰三角形,且AF2BF2,只要AF2B為鈍角即可由題設(shè)可得AF1,所以有2c,即2ac0,b0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線,交C于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a,則C的離心率為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案2解析由雙曲線的對稱性,不妨設(shè)直線方程為y(xc)由得x.由2a,e,解得e2(e2舍去)6已知雙曲線1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)M在雙曲線的左支上,且|MF2|7|MF1|,則此雙曲線的離心率的最大值為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析因?yàn)閨MF2|7|MF1|,所以|MF2|MF1|6|MF1|,即2a6|MF1|6(ca),故8a6c,即e,當(dāng)且僅當(dāng)M為雙曲線的左頂點(diǎn)時(shí),等號成立故此雙曲線離心率的最大值為.7已知橢圓C:1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在橢圓C上,線段PF2與圓:x2y2b2相切于點(diǎn)Q,若Q是線段PF2的中點(diǎn),e為C的離心率,則的最小值是_考點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系題點(diǎn)橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問題答案解析如圖,連接PF1,OQ,由OQ為PF1F2的中位線,可得OQPF1,|OQ|PF1|.由圓x2y2b2,可得|OQ|b,則|PF1|2b.由橢圓的定義可得|PF1|PF2|2a,即|PF2|2a2b.又OQPF2,所以PF1PF2,即(2b)2(2a2b)2(2c)2,即b2a22abb2c2a2b2,化簡得2a3b,即ba.ca,則e.2,當(dāng)且僅當(dāng)a,即a時(shí)等號成立,所以的最小值為.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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