2020版高中數學 第四章 導數應用 2.1 實際問題中導數的意義學案（含解析）北師大版選修1 -1.docx
《2020版高中數學 第四章 導數應用 2.1 實際問題中導數的意義學案（含解析）北師大版選修1 -1.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高中數學 第四章 導數應用 2.1 實際問題中導數的意義學案（含解析）北師大版選修1 -1.docx（11頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
2．1 實際問題中導數的意義 學習目標 1.利用實際問題加強對導數概念的理解.2.能利用導數求解有關實際問題． 知識點 實際問題中導數的意義 思考 某人拉動一個物體前進，他所做的功W(單位：J)是時間t(單位：s)的函數，設這個函數可以表示為W＝W(t)＝t3－4t2＋10t. (1)t從1s到4s時W關于t的平均變化率是多少？ (2)上述問題的實際意義是什么？ (3)W′(1)的實際意義是什么？ 答案 (1)＝＝11 (J/s)． (2)它表示從t＝1s到t＝4s這段時間內，這個人平均每秒做功11J. (3)W′(t)＝3t2－8t＋10， W′(1)＝5表示在t＝1s時每秒做功5J. 總結 (1)功與功率：在物理學中，通常稱力在單位時間內做的功為功率，它的單位是瓦特．功率是功關于時間的導數． (2)降雨強度：在氣象學中，通常把單位時間(如1時，1天等)內的降雨量稱作降雨強度，它是反映一次降雨大小的一個重要指標．降雨強度是降雨量關于時間的導數． (3)邊際成本：在經濟學中，通常把生產成本y關于產量x的函數y＝f(x)的導函數稱為邊際成本．邊際成本f′(x0)指的是當產量為x0時，生產成本的增加速度，也就是當產量為x0時，每增加一個單位的產量，需要增加f′(x0)個單位的成本． (4)瞬時速度：物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度，它是位移s對時間t的導數；速度對時間的導數是加速度． (5)線密度：單位長度的物體質量稱為線密度，它是質量關于長度的導數． 1．導數解決的問題通常是變化率的問題．( √ ) 2．位移對時間的導數是速度，速度對時間的導數為加速度．( √ ) 3．導數的實際意義與變量表示的實際含義有關，同一個函數表達式，其導數的實際意義因變量實際含義的不同而不同．( √ ) 題型一 導數在物理學中的意義 例1 某質點的運動方程為s＝s(t)＝2t2＋3t，其中s是位移(單位：m)，t是時間(單位：s)． (1)求當t從1s變到3s時，位移s關于時間t的平均變化率，并解釋它的實際意義； (2)求s′(1)，s′(2)，并解釋它們的實際意義． 考點 實際問題中導數的意義 題點 導數在物理學中的意義 解 (1)當t從1s變到3s時，s關于t的平均變化率為＝＝＝11(m/s)． 它表示從t＝1s到t＝3s這段時間內，該質點平均每秒的位移是11m. (2)由導數公式表和導數的運算法則可得s′(t)＝4t＋3，則s′(1)＝4＋3＝7(m/s)，s′(2)＝42＋3＝11(m/s)． s′(1)表示的是該質點在t＝1s時的瞬時速度，也就是該質點在t＝1s這個時刻的瞬時速度為7m/s. s′(2)表示的是該質點在t＝2s時的瞬時速度，也就是該質點在t＝2s這個時刻的瞬時速度為11m/s. 反思感悟 根據導數的實際意義，在物理學中，除了我們所熟悉的位移、速度與時間的關系、功與時間的關系，還應了解質量關于體積的導數為密度，電量關于時間的導數為電流強度等．因此，在解釋某點處的導數的物理意義時，應結合這些導數的實際意義進行理解． 跟蹤訓練1 某河流在一段時間xmin內流過的水量為ym3，y是x的函數，且y＝f(x)＝. (1)當x從1變到8時，y關于x的平均變化率是多少？ (2)求f′(27)，并解釋它的實際意義． 考點 實際問題中導數的意義 題點 導數在物理學中的意義 解 (1)當x從1變到8時，y關于x的平均變化率為＝＝ (m3/min)． (2)f′(x)＝，于是f′(27)＝＝ (m3/min)，實際意義為當時間為27min時，水流量增加的速度為m3/min，也就是當時間為27min時，每增加1min，水流量增加m3. 題型二 導數在經濟生活中的應用 例2 某機械廠生產某種機器配件的最大生產能力為每日100件，假設日產品的總成本C(元)與日產量x(件)的函數關系為C(x)＝x2＋60x＋2050.求當日產量由10件提高到20件時，總成本的平均改變量，并說明其實際意義． 考點 實際問題中導數的意義 題點 導數在經濟生活中的應用 解 當x從10件提高到20件時，總成本C從C(10)＝2675元變到C(20)＝3350元． 此時總成本的平均改變量為 ＝67.5(元/件)， 其表示日產量從10件提高到20件時平均每件產品的總成本的改變量． 引申探究 1．若本例條件不變，求當日產量為75件時的邊際成本，并說明其實際意義． 解 因為C′(x)＝x＋60， 所以C′(75)＝75＋60＝97.5(元/件)， 它指的是當日產量為75件時，每多生產一件產品，需增加成本97.5元． 2．若本例的條件“C(x)＝x2＋60x＋2050”變?yōu)椤癈(x)＝x2＋ax＋2050，當日產量為75件時的邊際成本大于97.5”，求a的取值范圍． 解 因為C′(x)＝x＋a， 所以日產量為75件時的邊際成本大于97.5， 即C′(75)＝75＋a>97.5， 解得a>60. 反思感悟 生產成本y關于產量x的函數y＝f(x)中，f′(x0)指的是當產量為x0時，生產成本的增加速度，也就是當產量為x0時，每增加一個單位的產量，需增加f′(x0)個單位的成本． 跟蹤訓練2 已知某商品的成本函數為C(Q)＝100＋(Q為產品的數量)． (1)求當Q＝10時的總成本、平均成本及邊際成本； (2)當產量Q為多少時，平均成本最小？最小為多少？ 考點 實際問題中導數的意義 題點 導數在經濟生活中的應用 解 (1)當Q＝10時的總成本C(10)＝100＋＝125； Q＝10時的平均成本＝＝12.5. 邊際成本即成本函數C(Q)對產量Q的導數， 故邊際成本C′(Q)＝Q， Q＝10時的邊際成本是C′(10)＝5. (2)由(1)得，平均成本＝＝＋， 而＋≥2＝10， 當且僅當＝，即Q＝20時，等號成立， 所以當產量Q為20時，平均成本最小，且平均成本的最小值是10. 題型三 導數在日常生活中的應用 例3 一名工人上班后開始連續(xù)工作，生產的產品質量y(單位：g)是工作時間x(單位：h)的函數，設這個函數為y＝f(x)＝＋4. (1)求x從1h變到4h時，y關于時間x的平均變化率，并解釋它的實際意義； (2)求f′(1)，f′(4)，并解釋它的意義． 考點 實際問題中導數的意義 題點 導數在日常生活中的應用 解 (1)當x從1h變到4h時， 產量y從f(1)＝g變到f(4)＝g， 此時平均變化率為＝＝ (g/h)， 它表示從1h到4h這段時間這個人平均每小時生產g產品． (2)f′(x)＝＋， 于是f′(1)＝ (g/h)，f′(4)＝ (g/h)， 分別表示在第1小時和第4小時這個人每小時生產產品g和g. 反思感悟 在不同的實際問題中導數的意義是不相同的，要結合具體問題進行分析，在某一點處的導數的實際意義是當自變量在該點處的改變量趨近于零時，平均變化率所趨近的值，問題不同有不同的意義． 跟蹤訓練3 某年高考，某考生在參加數學考試時，其解答完的題目數量y(單位：道)與所用時間x(單位：分鐘)近似地滿足函數關系式y(tǒng)＝f(x)＝2. (1)求x從0分鐘變化到36分鐘時，y關于x的平均變化率，并解釋它的實際意義； (2)求f′(64)，f′(100)，并解釋它的實際意義． 考點 實際問題中導數的意義 題點 導數在日常生活中的應用 解 (1)x從0分鐘變化到36分鐘，y關于x的平均變化率為＝＝. 它表示該考生前36分鐘平均每分鐘解答道題． (2)∵f′(x)＝，∴f′(64)＝，f′(100)＝. 它們分別表示該考生在第64分鐘和第100分鐘時每分鐘可解答和道題. 1．某公司的盈利y(元)和時間x(天)的函數關系是y＝f(x)，假設f(x)＞0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，則這些數據說明第20天與第10天比較( ) A．公司已經虧損 B．公司的盈利在增加，且增加的幅度變大 C．公司在虧損且虧損幅度變小 D．公司的盈利在增加，但增加的幅度變小 考點 實際問題中導數的意義 題點 導數在經濟中的應用 答案 D 解析 導數為正說明盈利是增加的，導數變小說明增加的幅度變小了，但還是增加的． 2．某人拉動一個物體前進，他所做的功W是時間t的函數，即W＝W(t)，則W′(t0)表示( ) A．t＝t0時做的功 B．t＝t0時的速度 C．t＝t0時的位移 D．t＝t0時的功率 考點 實際問題中導數的意義 題點 導數在物理學中的應用 答案 D 解析 W′(t0)表示t＝t0時的功率． 3．某收音機制造廠的管理者通過對上午上班工人工作效率的研究表明：一個中等技術水平的工人，從8：00開始工作，t小時后可裝配晶體管收音機的臺數為Q(t)＝－t3＋9t2＋12t，則Q′(2)＝________，它的實際意義是__________________________________． 考點 實際生活中導數的意義 題點 導數在日常生活中的應用 答案 36臺/小時 10：00時，工人裝配晶體管收音機的速度為36臺/小時 解析 Q′(t)＝－3t2＋18t＋12，則Q′(2)＝36， 由題意知10：00時，工人裝配晶體管收音機的速度為36臺/小時． 4．某物體的運動速度與時間的關系為v(t)＝2t2－1，則t＝2時的加速度為________． 考點 實際生活中導數的意義 題點 導數在物理學中的意義 答案 8 解析 ∵v′(t)＝4t，∴v′(2)＝8. 5．建造一幢長度為xm的橋梁需成本y萬元，函數關系為y＝f(x)＝(x2＋x＋3)(x>0)． (1)當x從100變到200時，平均每米的成本為____萬元； (2)f′(100)＝____________萬元/m， 其實際意義為____________________________． 答案 (1)30.1 (2)20.1 當長度為100m時，每增加1m的長度，成本就增加20.1萬元 解析 (1)f(100)＝1010.3，f(200)＝4020.3， ∴＝30.1(萬元/m)， 即平均變化率為30.1萬元/m. (2)f′(x)＝(2x＋1)，∴f′(100)＝20.1(萬元/m)，即當長度為100m時，每增加1m的長度，成本就增加20.1萬元． 1．解決實際問題的一般思路：實際問題轉化為數學問題，數學問題的結論回到實際問題的結論． 2．解決實際問題的一般步驟 (1)審題：閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結論，找出問題的主要關系． (2)建模：將文字語言轉化成數學語言，利用數學知識，建立相應的數學模型． (3)解模：把數學問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數學方法求解． (4)對結果進行驗證評估，定性、定量分析，作出正確的判斷，確定其答案． 一、選擇題 1．一次降雨過程中，降雨量y是時間t的函數，用y＝f(t)表示，則f′(10)表示( ) A．t＝10時的降雨強度 B．t＝10時的降雨量 C．t＝10時的時間 D．t＝10時的溫度 考點 實際生活中導數的意義 題點 導數在日常生活中的應用 答案 A 解析 f′(t)表示t時刻的降雨強度． 2．圓的面積S是半徑r的函數S(r)＝πr2，那么在r＝3時，面積的變化率是( ) A．6B．9C．9πD．6π 考點 實際生活中導數的意義 題點 導數在日常生活中的意義 答案 D 解析 面積S在r＝3時的變化率為S′(3)＝2π3＝6π. 3．設一輛轎車在公路上做加速直線運動，假設速度v(單位：m/s)與時間t(單位：s)的函數關系為v＝v(t)＝t3＋3t，則t＝t0s時轎車的加速度為( ) A．t＋3t0 B．3t＋3 C．3t＋3t0 D．t＋3 考點 實際生活中導數的意義 題點 導數在物理學中的意義 答案 B 解析 v′(t)＝3t2＋3，則當t＝t0s時的速度變化率為v′(t0)＝3t＋3(m/s2)，則t＝t0s時轎車的加速度為(3t＋3) m/s2. 4．某汽車的緊急剎車裝置在遇到特別情況時需在2s內完成剎車，其位移(單位：m)關于時間(單位：s)的函數為s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，則s′(1)的實際意義為( ) A．汽車剎車后1s內的位移 B．汽車剎車后1s內的平均速度 C．汽車剎車后1s時的瞬時速度 D．汽車剎車后1s時的位移 考點 實際生活中導數的意義 題點 導數在物理學中的意義 答案 C 5．從時刻t＝0開始的ts內，通過某導體的電量(單位：C)可由公式q＝2t2＋3t表示，則第5s時電流強度為( ) A．27C/s B．20 C/s C．25C/s D．23 C/s 考點 實際生活中導數的意義 題點 導數在物理學中的意義 答案 D 解析 某導體的電量q在5s時的瞬時變化率就是第5s時的電流強度． ∵q′＝4t＋3， ∴當t＝5時，電流強度為45＋3＝23(C/s)． 6．汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數，其圖像可能是( ) 考點 實際生活中導數的意義 題點 導數在物理學中的意義 答案 A 解析 開始啟動，從原點開始；加速行駛，則路程的增速較快；勻速行駛，路程的增速是常數；減速行駛，路程的增速減慢，所以只有選項A合適． 7．已知一根金屬棒的質量y(單位：kg)是長度x(單位：m)的函數：y＝f(x)＝3，則從4m到9m這一段金屬棒的平均線密度是( ) A.kg/m B.kg/m C.kg/m D.kg/m 答案 B 解析?。剑?kg/m)． 8．如圖所示，設有定圓C和定點O，當l從l0開始在平面上繞O勻速旋轉(旋轉角度不超過90)時，它掃過的圓內陰影部分的面積S是時間t的函數，則函數的圖像大致是( ) 考點 實際生活中導數的意義 題點 導數在日常生活中的應用 答案 D 解析 由于是勻速旋轉，所以陰影部分的面積在開始和最后時段緩慢增加，而中間時段相對增速較快．選項A表示面積的增速是常數，與實際不符；選項B表示最后時段面積的增速較快，與實際不符；選項C表示開始和最后時段面積的增速比中間時段面積的增速快，與實際不符；選項D表示開始和最后時段面積的增速緩慢，中間時段增速較快，符合實際． 二、填空題 9．某物體的位移s是時間t的函數s＝2t3－at，物體在t＝1時的速度為8，則a的值為________． 考點 實際生活中導數的意義 題點 導數在物理學中的意義 答案 －2 解析 s′＝6t2－a，由題意知612－a＝8，∴a＝－2. 10．已知某生產廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產量x(單位：萬件)的函數關系式為y＝－x3＋81x－234，則使該生產廠家獲得最大年利潤的年產量為________萬件． 考點 實際生活中導數的意義 題點 導數在經濟生活中的應用 答案 9 解析 令y′＝－x2＋81＝0，得x＝9或－9(舍去)， 當x＝9時，ymax＝252. 11．一物體沿直線運動的方程為s(t)＝t4－t3＋2t2，那么速度為0的時刻為(s單位：m，t單位：s)________． 考點 實際生活中導數的意義 題點 導數在物理學中的意義 答案 0s,1s,4s 解析 s′(t)＝t3－5t2＋4t，根據導數的意義可知v＝s′(t)，令t3－5t2＋4t＝0，解得t＝0或t＝1或t＝4. 三、解答題 12．在F1賽車中，賽車位移s與比賽時間t存在函數關系s＝10t＋5t2(s的單位為m，t的單位為s)． 求：(1)當t＝20，Δt＝0.1時的Δs與； (2)當t＝20時的瞬時速度． 考點 實際生活中導數的意義 題點 導數在物理學中的意義 解 (1)因為Δs＝s(20.1)－s(20) ＝(1020.1＋520.12)－(1020＋5202) ＝21.05(m)， 所以＝＝210.5(m/s)． (2)因為s′＝10＋10t，所以當t＝20時， s′＝10＋1020＝210(m/s)， 即t＝20時的瞬時速度為210m/s. 13．某食品廠生產某種食品的總成本C(單位：元)和總收入R(單位：元)都是日產量x(單位：kg)的函數，分別為C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01x2，試求邊際利潤函數以及當日產量分別為200kg,250kg,300kg時的邊際利潤，并說明其經濟意義． 考點 實際生活中導數的意義 題點 導數在經濟生活中的應用 解 (1)根據定義知，總利潤函數為 L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2， 所以邊際利潤函數為L′(x)＝5－0.02x. (2)當日產量分別為200kg,250kg,300kg時，邊際利潤分別為L′(200)＝1，L′(250)＝0，L′(300)＝－1. 其經濟意義是：當日產量為200kg時，每增加1kg，則總利潤可增加1元；當日產量為250kg時，每增加1kg，則總利潤無變化；當日產量為300kg時，每增加1kg，則總利潤減少1元．由此可得：當企業(yè)的某一產品的生產量超過了邊際利潤的零點時，反而會使企業(yè)“無利可圖”． 14．向高為8m，底面邊長為8m的倒置四棱錐形的容器內注水，其速度為每分鐘m3，則當水深為5m時，水面上升的速度為________m/min. 答案 解析 設注水tmin時，水的深度為hm，則容器內水的體積為t＝h2h， 則h＝2t， 所以h′(t)＝t－. 當h＝5時，t＝， 故v＝h′＝(m/min)． 15．日常生活中的飲用水通常是通過凈化得到的，隨著水純凈度的增加，所需凈化費用不斷增加，已知將1t水凈化到純凈度為x%時所需費用(單位：元)為c(x)＝ (80
- 配套講稿：
如PPT文件的首頁顯示word圖標，表示該PPT已包含配套word講稿。雙擊word圖標可打開word文檔。
- 特殊限制：
部分文檔作品中含有的國旗、國徽等圖片，僅作為作品整體效果示例展示，禁止商用。設計者僅對作品中獨創(chuàng)性部分享有著作權。
- 關 鍵 詞：
- 2020版高中數學 第四章 導數應用 2.1 實際問題中導數的意義學案含解析北師大版選修1 -1 2020 高中數學 第四 導數 應用 實際問題 意義 解析 北師大 選修
裝配圖網所有資源均是用戶自行上傳分享，僅供網友學習交流，未經上傳用戶書面授權，請勿作他用。
鏈接地址：http://m.italysoccerbets.com/p-4602962.html