2021年全國(guó)乙卷理科數(shù)學(xué)及答案

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1、2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)乙卷 注意事項(xiàng)： 1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。 2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。 3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1.設(shè)2（z+）+3(z-)=4+6i，則z=( ). A.1-2i B.1+2i C.1+i D.1-i 2.已知集合S=｛

2、s|s=2n+1,n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1,n∈Z｝，則S∩T=( ) A. B.S C.T D.Z 3.已知命題p：x∈R，sinx＜1；命題q：x∈R，≥1，則下列命題中為真命題的是（ ） A.pq B.pq C.pq D.(pVq) 4.設(shè)函數(shù)f(x)=，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ） A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線(xiàn)PB與AD1所成的角為（ ） A. B. C. D. 6.將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短

3、道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ） A.60種 B.120種 C.240種 D.480種 7.把函數(shù)y=f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線(xiàn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=sin(x-)的圖像，則f(x)=（ ） A.sin() B. sin() C. sin() D. sin() 8.在區(qū)間（0,1）與（1,2）中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（ ） A. B. C. D. 9.魏晉時(shí)期劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是

4、測(cè)量海盜的高。如圖，點(diǎn)E,H,G在水平線(xiàn)AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱(chēng)為“表高”，EG稱(chēng)為“表距”，GC和EH都稱(chēng)為“表目距”，GC與EH的差稱(chēng)為“表目距的差”。則海島的高AB=（ ）. A： B： C： D： 10.設(shè)a≠0，若x=a為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（ ）. A：a＜b B：a＞b C：ab＜a2 D：ab＞a2 11.設(shè)B是橢圓C：（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)P都滿(mǎn)足，則C的離心率的取值范圍是（ ）. A： B： C： D： 12.設(shè)，，，則（ ）. A：a＜b＜c B：b＜c＜a C：b＜a＜c D

5、：c＜a＜b 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13.已知雙曲線(xiàn)C：（m>0）的一條漸近線(xiàn)為+my=0，則C的焦距為. 14.已知向量a=（1，3），b=（3，4），若（a-λb）⊥b，則λ=。 15.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為，B=60°，a2+c2=3ac，則b=. 16.以圖①為正視圖和俯視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為（寫(xiě)出符合要求的一組答案即可）. 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17-21題為必考題，

6、每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共60分。 17.（12分） 某廠(chǎng)研究了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下： 舊設(shè)備 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新設(shè)備 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為s12

7、和s22 （1） 求，， s12，s22； （2） 判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果-≥，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）. 18.(12分) 如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M為BC的中點(diǎn)，且PB⊥AM， （1） 求BC； （2） 求二面角A-PM-B的正弦值。 19.（12分） 記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，bn為數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和，已知=2. （1） 證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； （2） 求{an}的通項(xiàng)公式. 20.（12分） 設(shè)函數(shù)

8、f（x）=ln（a-x），已知x=0是函數(shù)y=xf（x）的極值點(diǎn)。 （1） 求a； （2） 設(shè)函數(shù)g（x）=，證明：g（x）＜1. 21.（12 分） 己知拋物線(xiàn)C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：x2+（y+4）2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4. （1）求p； （2）若點(diǎn)P在M上，PA,PB是C的兩條切線(xiàn)，A,B是切點(diǎn)，求PAB的最大值. （二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。 22.［選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分） 在直角坐標(biāo)系xOy中，C的圓心為C（2，1），半徑為1. （1）寫(xiě)出C的一個(gè)參數(shù)

9、方程；的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； （2）過(guò)點(diǎn)F（4,1）作C的兩條切線(xiàn), 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程. 23.[選修4一5：不等式選講]（10分） 已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x+3|. （1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥6的解集； （2）若f（x）≥—a,求a的取值范圍. 2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)乙卷（參考答案） 注意事項(xiàng)： 1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。 2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選

10、涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。 3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回 1-5 CCABD 6-10 CBBAD 11-12 CB 13.4 14. 15.2 16.②⑤或③④ 17.解：（1）各項(xiàng)所求值如下所示 =(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0 =(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3 =x [(9.7-10.0)2+ 2 x (9.8-10.0)2+ (9.9-10.0)2

11、+ 2 X (10.0-10.0)2+ (10.1-10.0)2+2 x (10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2] = 0.36, = x [(10.0-10.3)2 +3 x (10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2 +2 x (10.4-10.3)2+2 x (10.5-10.3)2+ (10.6-10.3)2] = 0.4. (2)由(1)中數(shù)據(jù)得-=0.3,2≈0.34 顯然-＜2，所以不認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高。 18.解：（1）因?yàn)镻D⊥平面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，所以以,,分別為x，y，z軸正方向，D為原點(diǎn)

12、建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz。 設(shè)BC=t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（，1，0），P(0,0,1),所以=（t，1，-1），=（，1，0）， 因?yàn)镻B⊥AM，所以?=-+1=0，所以t=，所以BC=。 （2）設(shè)平面APM的一個(gè)法向量為m=（x，y，z），由于=（-，0，1），則 令x=，得m=（，1，2）。 設(shè)平面PMB的一個(gè)法向量為n=（xt，yt，zt），則 令=1，得n=(0,1,1). 所以cos（m，n）===,所以二面角A-PM-B的正弦值為. 19.（1）由已知+=2,則=Sn(n≥2) +=22bn-1+2=2bnbn-bn-1=(n

13、≥2),b1= 故｛bn｝是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列。 （2）由（1）知bn=+（n-1）=,則+=2Sn= n=1時(shí)，a1=S1= n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=-= 故an= 20.（1）[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x) 當(dāng)x=0時(shí)，[xf(x)]′=f(0)=lna=0,所以a=1 （2）由f(x)=ln(1-x),得x＜1 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f(x)=ln(1-x)＜0，xf(x)＜0；當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=ln(1-x)＞0，xf(x)＜0 故即證x+f(x)＞xf(x),x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0 令1-x=t(t＞0且t≠1)，x

14、=1-t,即證1-t+lnt-(1-t)lnt＞0 令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt,則 f′(t)=-1--[(-1)lnt+]=-1++lnt-=lnt 所以f(t)在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+∞）上單調(diào)遞增，故f(t)＞f（1）=0,得證。 21.解：（1）焦點(diǎn)到的最短距離為，所以p=2. （2）拋物線(xiàn)，設(shè)A(x1,y1）,B(x2,y2),P(x0,y0)，則 , ,且. ,都過(guò)點(diǎn)P(x0,y0）,則故，即. 聯(lián)立，得，. 所以= ，，所以 ===. 而.故當(dāng)y0=-5時(shí)，達(dá)到最大，最大值為. 22.(1)因?yàn)镃的圓心為(2,1)，半徑為

15、1.故C的參數(shù)方程為（為參數(shù)). (2)設(shè)切線(xiàn)y=k（x-4)+1,即kx-y-4k+1=0.故 =1 即|2k|=,4=，解得k=±.故直線(xiàn)方程為y= (x-4)+1, y= (x-4)+1 故兩條切線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為sin=cos-+1或sin=cos+ +1. 23.解：(l)a = 1時(shí)，f(x) = |x-1|+|x+3|， 即求|x-1|+|x-3|≥ 6 的解集. 當(dāng)x≥1時(shí)，2x十2 ≥6,得x≥ 2; 當(dāng)-3<x<1時(shí),4≥6此時(shí)沒(méi)有x滿(mǎn)足條件； 當(dāng)x≤-3時(shí)-2x-2≥6.得x≤-4， 綜上，解集為(-∞,-4]U[2, -∞). (2) f(x)最小值>-a,而由絕對(duì)值的幾何意義，即求x到a和-3距離的最小值. 當(dāng)x在a和-3之間時(shí)最小，此時(shí)f(x)最小值為|a+3|,即|a+3|＞-a. A≥-3時(shí),2a+3>0，得a>-；a<-3 時(shí),-a-3>-a,此時(shí)a不存在. 綜上，a>-.