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1、第3講空間向量與立體幾何真題感悟自主學習導引答案A2(2012遼寧)如圖，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABACAA，點M，N分別為AB和BC的中點(1)證明：MN平面AACC；(2)若二面角AMNC為直二面角，求的值解析(1)證明證法一連接AB，AC，由已知BAC90，ABAC，三棱柱ABCABC為直三棱柱，所以M為AB的中點又因為N為BC的中點，所以MNAC.又MN平面AACC，AC平面AACC，因此MN平面AACC.證法二取AB的中點P，連接MP，NP.而M，N分別為AB與BC的中點，所以MPAA，PNAC，所以MP平面AACC，PN平面AACC.又MPNPP，因此平面MPN平面AA
2、CC.而MN平面MPN，所以MN平面AACC.(2)以A為坐標原點，分別以直線AB，AC，AA為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Oxyz，如圖所示設AA1，則ABAC，應用空間向量解決立體幾何問題是高考的必考考點，空間向量的工具性主要體現在平行與垂直的判定，求空間的角的大小解題時要特別注意避免計算失誤考題分析網絡構建高頻考點突破考點一：利用向量證明平行與垂直【例1】如圖所示，在底面是矩形的四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，E、F分別是PC、PD的中點，PAAB1，BC2.求證：(1)EF平面PAB；(2)平面PAD平面PDC.審題導引建立空間直角坐標系后，使用向量的共線定理證明即可證明第
3、(1)問，第(2)問根據向量的垂直關系證明線線垂直，進而證明線面垂直，得出面面垂直【規(guī)律總結】用空間向量證明位置關系的方法(1)線線平行：欲證直線與直線平行，只要證明它們的方向向量平行即可；(2)線面平行：用線面平行的判定定理，證明直線的方向向量與平面內一條直線的方向向量平行；用共面向量定理，證明平面外直線的方向向量與平面內兩相交直線的方向向量共面；證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；(3)面面平行：平面與平面的平行，除了用線面平行的判定定理轉化為線面平行外，只要證明兩平面的法向量平行即可；(4)線線垂直：直線與直線的垂直，只要證明兩直線的方向向量垂直；(5)線面垂直：用線面垂直的定義，證明
4、直線的方向向量與平面內的任意一條直線的方向向量垂直；用線面垂直的判定定理，證明直線的方向向量與平面內的兩條相交直線的方向向量垂直；證明直線的方向向量與平面的法向量平行；(6)面面垂直：平面與平面的垂直，除了用面面垂直的判定定理轉化為線面垂直外，只要證明兩平面的法向量垂直即可【變式訓練】1如圖所示，在底面是正方形的四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，BD交AC于點E，F是PC的中點，G為AC上一點(1)求證：BDFG；(2)確定點G在線段AC上的位置，使FG平面PBD，并說明理由解析(1)證明以A為原點，AB、BD、PA所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系Axyz，如圖所示，設
5、正方形ABCD的邊長為1，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，考點二：利用向量求線線角、線面角【例2】如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD2，AB1，BMPD于點M.(1)求證：AMPD；(2)求直線CD與平面ACM所成角的余弦值審題導引建立坐標系，求出平面ACM的法向量，利用向量法求直線CD與平面ACM所成角的余弦值規(guī)范解答(1)證明PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.ABAD，ADPAA，AD平面PAD，PA平面PAD，AB平面PAD.PD平面PAD，ABPD.BMPD，ABBMB，AB平面ABM，B
6、M平面ABM，PD平面ABM.AM平面ABM，AMPD.【規(guī)律總結】向量法求線線角、線面角的注意事項(1)建立適當的直角坐標系，根據對稱性原則，使盡可能多的點在坐標軸，易于求各點的坐標；(2)求直線與平面所成的角，主要通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即sin |cos |.【變式訓練】考點三：利用向量求二面角【例3】(2012泉州模擬)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，B90，D為棱BB1上一點，且面DA1C面AA1C1C.審題導引(1)取AC的中點F，A1C的中點E，利用BD綊EF證明；(2)以D為原點建系，設出相關點的坐標，利用公式求解規(guī)范解答(
7、1)證明過點D作DEA1C于E點，取AC的中點F，連BF、EF.(2)建立如圖所示的直角坐標系，設AA12b，ABBCa，【規(guī)律總結】利用向量求二面角的注意事項(1)兩平面的法向量的夾角不一定就是所求的二面角，有可能兩法向量夾角的補角為所求(2)求平面的法向量的方法：待定系數法：設出法向量坐標，利用垂直關系建立坐標的方程解之先確定平面的垂線，然后取相關線段對應的向量，即確定了平面的法向量當平面的垂線較易確定時，?？紤]此方法【變式訓練】3(2012北京東城二模)如圖，矩形AMND所在的平面與直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MBNC，MNMB，且MCCB，BC2，MB4，DN3.(1)求證：A
8、B平面DNC；(2)求二面角DBCN的余弦值解析(1)證明因為MBNC，MB 平面DNC，NC平面DNC，所以MB平面DNC.因為AMND為矩形，所以MADN.又MA 平面DNC，DN平面DNC，所以MA平面DNC.又MAMBM，且MA，MB平面AMB，所以平面AMB平面DNC.又AB平面AMB，所以AB平面DNC.(2)由已知平面AMND平面MBCN，且平面AMND平面MBCNMN，DNMN，所以DN平面MBCN，又MNNC，故以點N為坐標原點，建立空間直角坐標系Nxyz.名師押題高考【押題1】如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長都相等，且CC1底面ABC，M是側棱CC1的中點，則異
9、面直線AB1和BM所成的角為答案A押題依據空間向量與立體幾何相結合是高考的一個熱點問題，空間向量在高考試題中的出現主要體現其工具性，獨立命題的可能性很小，一般用以解決立體幾何中的線面位置關系的證明，求空間角的大小及空間的距離解析(1)證明因為側面PCD底面ABCD，PDCD，所以PD底面ABCD，所以PDAD.又因為ADC90，即ADCD，以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，押題依據高考對立體幾何的考查，主要以柱體、錐體或其組合體為載體，考查線面位置關系的判定與證明，求空間角的大小等，但有時也會給出位置關系或角的大小，求使其成立的充分條件，即所謂的探索性問題，此類問題利用空間向量解決則更加方便本題立意新穎，考查全面，難度適中，故押此題課時訓練提能課時訓練提能本講結束請按ESC鍵返回
高考數學專題復習 專題四第3講 空間向量與立體幾何課件
