高中數(shù)學(xué) 321直線的方向向量與直線的向量方程課件 新人教B版選修21

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1、 32空間向量在立體幾何中的應(yīng)用 1知識與技能 理解直線的方向向量 掌握空間直線的向量參數(shù)方程及線段的向量公式 能夠確定直線上點的位置 能夠用向量語言證明線線、線面、面面的平行關(guān)系 2過程與方法 用向量的觀點研究直線和直線與直線的位置關(guān)系 3情感態(tài)度與價值觀 讓學(xué)生體會代數(shù)與幾何的完美結(jié)合,說明事物可以相互聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)讓的 重點:理解直線的向量參數(shù)方程及向量中點公式 難點:利用向量證明平行垂直問題 1直線的方向向量是一個很重要的概念,由定點A和方向向量a不僅可以確定直線l的位置,還可具體表示出l上的任意點;還可確定直線平行的條件,計算兩條直線所成的角等 2判定直線平行或垂直:v1l,v2m,l

2、mv1v2;lmv1v2. 5設(shè)兩條直線所成角為(銳角),則直線方向向量的夾角與相等或互補,設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2,則l1l2_. 答案1.直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)) 3v1v2 4vv1(或vv2)或存在兩個實數(shù)x,y,使vxv1yv2 5v1v2,coscos 例1設(shè)a,b分別是直線l1、l2的方向向量,根據(jù)下列條件判斷l(xiāng)1、l2的位置關(guān)系 (1)a(2,1,2),b(6,3,6); (2)a(1,2,2),b(2,3,2); (3)a(0,0,1),b(0,0,3) 分析設(shè)l1、l2的方向向量分別為a,b,則l1l2ab,l1l2ab,由此判斷 解析(1)顯然有b3

3、a,即ab,l1l2(或l1與l2重合) (2)觀察知ab,又ab1(2)23(2)22640,ab,l1l2. (3)顯然b3a,即ab,故l1l2(或l1與l2重合) 說明首先根據(jù)a,b的坐標(biāo),對a,b的關(guān)系(平行、垂直或其他情況)作出初步判斷,然后再用有關(guān)知識給予驗證,從而得到相關(guān)結(jié)論直線的方向向量在研究線線、線面位置關(guān)系,求角或距離等有關(guān)問題時要用到,希望注意 l,m是兩條直線,方向向量分別是a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),若lm,則() Ax1x2,y1y2,z1z2 Bx1kx2,y1py2,zqz2 Cx1x2y1y2z1z20 Dx1x2,y1y2,z1z2 答

4、案D 解析由向量平行的充要條件可得. 例2在長方體OAEBO1A1E1B1中,|OA|3,|OB|4,|OO1|2,點P在棱AA1上,且|AP|2|PA1|,點S在棱BB1上,且|SB1|2|BS|,點Q、R分別是O1B1、AE的中點,求證:PQRS. 證明方法一如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0,2), A1(3,0,2),B1(0,4,2),E(3,4,0) |AP|2|PA1|, 在正方體AC1中,O,M分別為BD1,D1C1的中點證明:OMBC1. 解析以D為原點,DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系Dxyz. 例3如圖所

5、示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M、N分別是C1C、B1C1的中點求證:MN平面A1BD. 如圖所示,已知正方形ABCD和正方形ABEF相交于AB,點M,N分別在AE,BD上,且AMDN. 求證:MN平面BCE. 例4正方體ABCDA1B1C1D1中,E為AC的中點證明:(1)BD1AC;(2)BD1EB1. 如圖所示,棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1,E、F、G是DD1、BD、BB1的中點 求證:EFCF. 解析建立如圖的空間直角坐標(biāo)系Dxyz. 例5如圖,已知F是正方體ABCDA1B1C1D1的棱C1D1的中點,試求異面直線A1C1與DF所成角的余弦值 說明求兩條異面直線所

6、成角常用的方法有兩種: (1)向量法:即通過兩條直線方向向量的夾角來求兩條異面直線的夾角 (2)定義法(平移法):由兩條異面直線所成角定義將求兩條異面直線所成角的大小轉(zhuǎn)化為平面角求解求解的方法是解三角形 在本例給出的正方體中,E為棱AA1的中點,求異面直線BE與AC所成角的大小 分析利用線面平行滿足的條件,轉(zhuǎn)化為向量運算求待定量 方法二:如圖,以A為坐標(biāo)原點,直線AD、AP分別為y軸、z軸,過A點垂直于平面PAD的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系 說明運用空間向量將幾何推理轉(zhuǎn)化為向量運算時,應(yīng)注意處理和把握以下兩大關(guān)系:一是一些幾何題能用純幾何法和向量法解決,體現(xiàn)了純幾何法和向量法在解題中的相互

7、滲透,選哪種方法,多多體驗;二是向量法解題時也有用基向量法和坐標(biāo)向量法兩種選擇,根據(jù)題目中所給的空間體選擇合適的解題途徑如正方體、長方體、直棱柱等往往通過建系用坐標(biāo)方法解決更為方便 例7已知四棱錐PABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD為菱形ABC60,AB2PA,E是線段BC中點 (1)判斷PE與AD關(guān)系; (2)在線段PD上是否存在一點F,使得CF平面PAE,并給出證明 誤解(1)取A為坐標(biāo)原點,AB,AC,AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)PA1,則P(0,0,1),B(2,0,0),O(0,2,0),C(2,2,0),E(2,1,0), 辨析首先應(yīng)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,其次用向量表示形式驗證求解 正解四邊形ABCD是ABC60的菱形,E為邊BC的中點, AEBC,AEAD,又PA平面ABCD, PAAE,PAAD,以AE、AD、AP分別為x、y、z軸建立坐標(biāo)系如圖,設(shè)AB2, A(1,3,3)B(9,1,1) C(1,3,3) D(9,1,1) 答案B 答案B A28 B28 C14 D14 答案D 二、填空題 4已知a(2,2,3),b(4,2,x),且ab,則x_. 解析代入夾角公式,求得

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