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1、第第3課時平面向量的數(shù)量積課時平面向量的數(shù)量積第四章平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入第四章平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入回歸教材回歸教材 夯實雙基夯實雙基基礎梳理基礎梳理AOB(0180)當當90時，時，a與與b垂直，記作垂直，記作ab；當當0時，時，a與與b同向；同向；當當180時，時，a與與b反向反向(2)a與與b的數(shù)量積的數(shù)量積已知兩個非零向量已知兩個非零向量a和和b，它們的夾角，它們的夾角為為，則把，則把|a|b|cos叫做叫做a和和b的的數(shù) 量 積數(shù) 量 積 ( 或 內 積或 內 積 ) ， 記 作， 記 作_.(3)規(guī)定規(guī)定0a0.ab|a|b|cos 思考探究思考探究2向量的數(shù)
2、量積的性質向量的數(shù)量積的性質設設a，b都是非零向量，都是非零向量，e是與是與b方向相方向相同的單位向量，同的單位向量，是是a與與e的夾角，則的夾角，則(1)ea_.(2)ab_.(3)當當a與與b同向時，同向時，ab_；當當a與與b反向時，反向時，ab_.ae|a|cosab0|a|b|a|b|特別地特別地aa_.(4)cos_.(5)|ab|_.3向量的數(shù)量積的運算律向量的數(shù)量積的運算律(1)ab_.(2)(a)b_(3)(ab)c_.|a|2|a|b|ba(ab)a(b)(R)acbc 思考探究思考探究 2非零向量非零向量a，b的夾角為的夾角為，則，則ab0是是為銳角的什么條件？為銳角的什
3、么條件？ 提示：提示：ab0為銳角或為銳角或a、b的夾角為的夾角為0，而當，而當為銳角時，為銳角時，ab|a|b|cos一定為正值，所以一定為正值，所以ab0是是為銳角的必要不充分條件為銳角的必要不充分條件 課前熱身課前熱身 1若若a(1,2)，b(1，1)，則，則2ab和和ab的夾角等于的夾角等于_答案：答案：33(2011高考課標全國卷高考課標全國卷)已知已知a和和b為為兩個不共線的單位向量，兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)，若向為實數(shù)，若向量量a b和 向 量和 向 量 ka b垂 直 ， 則垂 直 ， 則 k_.解析：解析：a、b是單位向量，是單位向量，|a|b|1，又又kab和和ab垂
4、直，垂直，(ab)(kab)0，k1kabab0 即即k1kcoscos0(為為a、b夾夾 角角)， (k1)(1cos)0. 又又a和和b不共線，不共線，cos1，k1. 答案：答案：1 4(2011高考重慶卷高考重慶卷)已知單位向量已知單位向量e1，e2的夾角為的夾角為60，則，則|2e1e2|_.考點探究考點探究 講練互動講練互動考點考點1數(shù)量積的定義數(shù)量積的定義例例1【名師點評名師點評】(1)要注意向量運算律要注意向量運算律與實數(shù)運算律的區(qū)別和聯(lián)系，在向量的與實數(shù)運算律的區(qū)別和聯(lián)系，在向量的運算中，靈活運用運算律，達到簡化運運算中，靈活運用運算律，達到簡化運算的目的算的目的(2)可借助
5、圖形，如平行四邊形、三角可借助圖形，如平行四邊形、三角形，再結合解三角形的相關知識解決形，再結合解三角形的相關知識解決 備選例題備選例題(教師用書獨具教師用書獨具)【答案】【答案】26答案：答案：考點考點2長度與角度問題長度與角度問題1向量的模多為求兩點間的距離，考查向量的模多為求兩點間的距離，考查向量的加、減法，坐標運算和數(shù)量積向量的加、減法，坐標運算和數(shù)量積2向量的夾角涉及到三角函數(shù)問題，因向量的夾角涉及到三角函數(shù)問題，因而是考查的熱點之一，重點在角的范而是考查的熱點之一，重點在角的范圍，數(shù)量積公式的應用上，也同時可考圍，數(shù)量積公式的應用上，也同時可考查數(shù)形結合思想的應用查數(shù)形結合思想的應
6、用例例2【名師點評名師點評】(1)解決兩向量夾角問解決兩向量夾角問題要考慮兩向量夾角的范圍；題要考慮兩向量夾角的范圍；(2)解決向量模的問題，一般采用平方解決向量模的問題，一般采用平方的方法的方法 備選例題備選例題(教師用書獨具教師用書獨具) (2011高考安徽卷高考安徽卷)已知向量已知向量a、b滿足滿足(a2b)(ab)6且且|a|1，|b|2，則，則a與與b的夾角為的夾角為_ 變式訓練變式訓練 2已知已知|a|1，|b|6，a(ba)2，則向量則向量a與與b的夾角是的夾角是_考點考點3平行與垂直問題平行與垂直問題 設向量設向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4s
7、in)(1)若若a和和b2c垂直，求垂直，求tan()；(2)求求|bc|的最大值；的最大值；(3)若若tantan16，求證，求證ab.例例3【解解】(1)a和和b2c垂直，故垂直，故a(b2c)4cossin8coscos4sincos8sinsin4sin()8cos()0，tan()2.【名師點評】【名師點評】向量的垂直和平行可向量的垂直和平行可化為向量坐標的運算問題，實現(xiàn)了幾化為向量坐標的運算問題，實現(xiàn)了幾何與代數(shù)的相互轉化何與代數(shù)的相互轉化 備選例題備選例題(教師用書獨具教師用書獨具) 變式訓練變式訓練 3已知已知|a|5，|b|4，且，且a與與b的夾角的夾角為為60，則當，則當k
8、為何值時，向量為何值時，向量kab與與a2b垂直？垂直？考點考點4數(shù)量積的綜合應用數(shù)量積的綜合應用例例4【名師點評名師點評】新課標強調向量的工具新課標強調向量的工具性，要求加強向量與三角函數(shù)、函數(shù)、性，要求加強向量與三角函數(shù)、函數(shù)、解析幾何、立體幾何等知識的聯(lián)系解析幾何、立體幾何等知識的聯(lián)系 方法技巧方法技巧 1平面向量的數(shù)量積的運算有兩種形式，平面向量的數(shù)量積的運算有兩種形式，一是依據(jù)長度與夾角，二是利用坐標來計一是依據(jù)長度與夾角，二是利用坐標來計算，具體應用哪種形式由已知條件的特征算，具體應用哪種形式由已知條件的特征來選擇來選擇 2利用數(shù)量積求長度問題是數(shù)量積的重要利用數(shù)量積求長度問題是數(shù)
9、量積的重要應用，要掌握此類問題的處理方法：應用，要掌握此類問題的處理方法： (1)|a|2a2aa； (2)|ab|2(ab)2a22abb2. 3求向量的夾角時要注意：求向量的夾角時要注意：(1)向量的數(shù)量向量的數(shù)量積不滿足結合律；積不滿足結合律；(2)數(shù)量積大于數(shù)量積大于0說明不共說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩且兩向量不能共線時兩向量的夾角就是鈍角向量不能共線時兩向量的夾角就是鈍角 4應用向量解決問題的關鍵是要構造合適應用向量解決問題的關鍵是要構造合適的向量，觀察條件和
10、結論，選擇使用向量的向量，觀察條件和結論，選擇使用向量的哪些性質解決相應的問題，如用數(shù)量積的哪些性質解決相應的問題，如用數(shù)量積解決垂直、夾角問題，用三角形法則、模解決垂直、夾角問題，用三角形法則、模長公式解決平面幾何線段長度問題，用向長公式解決平面幾何線段長度問題，用向量共線解決三點共線問題等量共線解決三點共線問題等 總之，要應用向量，如果題設條件中有向總之，要應用向量，如果題設條件中有向量，則可以聯(lián)想性質直接使用，如果沒有量，則可以聯(lián)想性質直接使用，如果沒有向量，則更需要有向量工具的應用意識，向量，則更需要有向量工具的應用意識，強化知識的聯(lián)系，善于構造向量解決問強化知識的聯(lián)系，善于構造向量解
11、決問題題 失誤防范失誤防范 1兩向量兩向量a，b的數(shù)量積的數(shù)量積ab與代數(shù)中與代數(shù)中 a，b的乘積寫法不同，不應該漏掉其中的乘積寫法不同，不應該漏掉其中的的“” 2b在在a上的投影是一個數(shù)量，它可上的投影是一個數(shù)量，它可 正，可負，也可以等于正，可負，也可以等于0.考向瞭望考向瞭望 把脈高考把脈高考 命題預測命題預測 江蘇高考對本考點的能級要求為江蘇高考對本考點的能級要求為C，向量，向量的長度和角度問題要求較高，主要是中等的長度和角度問題要求較高，主要是中等偏難題，數(shù)量積的綜合應用以中檔題為主，偏難題，數(shù)量積的綜合應用以中檔題為主，難度不大難度不大 預測預測2013對向量的長度和角度及數(shù)量積的
12、對向量的長度和角度及數(shù)量積的求法、垂直與平行可能仍將重點考求法、垂直與平行可能仍將重點考 查，題型預計還會保持填空題的形式，但查，題型預計還會保持填空題的形式，但運用數(shù)量積處理其他數(shù)學問題是一種新的運用數(shù)量積處理其他數(shù)學問題是一種新的趨勢，值得關注趨勢，值得關注 典例透析典例透析 2011高考湖北卷改編高考湖北卷改編)已知向量已知向量a(xz,3)，b(2，yz)且且ab，若，若x，y滿足滿足|x|y|1，則，則z的取值范圍是的取值范圍是_ 例例【解析解析】a(xz,3)，b(2，yz)且且ab，ab2(xz)3(yz)0即即2x3yz0.又又|x|y|1表示的區(qū)域表示的區(qū)域為圖中陰影部分為圖中陰影部分當當2x3yz0過點過點B(0，1)時，時，zmin3，當當2x3yz0過點過點A(0,1)時，時，zmax3.z3,3【答案答案】3,3【得分技巧得分技巧】解決本題的關鍵：解決本題的關鍵：(1)正確地把向量問題轉化成線性規(guī)劃正確地把向量問題轉化成線性規(guī)劃問題；問題；(2)正確地進行分類，畫出可行域正確地進行分類，畫出可行域【失分溯源失分溯源】本題失分的原因在于不能本題失分的原因在于不能正確畫出可行域正確畫出可行域
高考數(shù)學總復習 第四章第3課時 平面向量的數(shù)量積課件
