第三十一講 分解質(zhì)因數(shù)法
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1、第三十一講 分解質(zhì)因數(shù)法 ————————————————姚老師數(shù)學(xué)樂園 廣安岳池 姚文國(guó) 通過把一個(gè)合數(shù)分解為兩個(gè)或兩個(gè)以上質(zhì)因數(shù),來解答應(yīng)用題的解題方法叫做分解質(zhì)因數(shù)法。 分解質(zhì)因數(shù)的方法在求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)時(shí)有用,在學(xué)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算、因式分解、解方程等方面也有廣泛的應(yīng)用。分解質(zhì)因數(shù)的方法還可為一些數(shù)學(xué)問題提供新穎的解法,有益于開辟解題思路,啟迪創(chuàng)造性思維。 例1 一塊正方體木塊,體積是1331立方厘米。這塊正方體木塊的棱長(zhǎng)是多少厘米?(適于六年級(jí)程度) 解:把1331分解質(zhì)因數(shù): 1331=11×11×11 答:這塊正方體木塊的棱長(zhǎng)是11厘米。 例2
2、 一個(gè)數(shù)的平方等于324,求這個(gè)數(shù)。(適于六年級(jí)程度) 解:把324分解質(zhì)因數(shù): 324= 2×2×3×3×3×3 =(2×3×3)×(2×3×3) =18×18 答:這個(gè)數(shù)是18。例3 相鄰兩個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)是462,求這兩個(gè)數(shù)。(適于六年級(jí)程度) 解:把462分解質(zhì)因數(shù): 462=2×3×7×11 =(3×7)×(2×11) =21×22 答:這兩個(gè)數(shù)是21和22。 *例4 ABC×D=1673,在這個(gè)乘法算式中,A、B、C、D代表不同的數(shù)字,ABC是一個(gè)三位數(shù)。求ABC代表什么數(shù)?(適于六年級(jí)程度) 解:因?yàn)锳BC×D=1673,ABC是一個(gè)三位數(shù),所
3、以可把1673分解質(zhì)因數(shù),然后把質(zhì)因數(shù)組合成一個(gè)三位數(shù)與另一個(gè)數(shù)相乘的形式,這個(gè)三位數(shù)就是ABC所代表的數(shù)。 1673=239×7 答:ABC代表239。 例5 一塊正方形田地,面積是2304平方米,這塊田地的周長(zhǎng)是多少米?(適于六年級(jí)程度) 解:先把2304分解質(zhì)因數(shù),并把分解后所得的質(zhì)因數(shù)分成積相同的兩組質(zhì)因數(shù),每組質(zhì)因數(shù)的積就是正方形的邊長(zhǎng)。 2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3 =(2×2×2×2×3)×(2×2×2×2×3) =48×48 正方形的邊長(zhǎng)是48米。 這塊田地的周長(zhǎng)是: 48×4=192(米) 答略。 *例6 有3250個(gè)桔子,平均分給
4、一個(gè)幼兒園的小朋友,剩下10個(gè)。已知每一名小朋友分得的桔子數(shù)接近40個(gè)。求這個(gè)幼兒園有多少名小朋友?(適于六年級(jí)程度) 解:3250-10=3240(個(gè)) 把3240分解質(zhì)因數(shù): 3240=23×34×5 接近40的數(shù)有36、37、38、39 這些數(shù)中36=22×32,所以只有36是3240的約數(shù)。 23×34×5÷(22×32) =2×32×5 =90 答:這個(gè)幼兒園有90名小朋友。 *例7 105的約數(shù)共有幾個(gè)?(適于六年級(jí)程度) 解:求一個(gè)給定的自然數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù),可先將這個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù),然后按一個(gè)質(zhì)數(shù)、兩個(gè)質(zhì)數(shù)、三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積……逐一由小到大寫出,再求出它的個(gè)數(shù)即
5、可。 因?yàn)椋?05=3×5×7, 所以,含有一個(gè)質(zhì)數(shù)的約數(shù)有1、3、5、7共4個(gè); 含有兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的約數(shù)有3×5、3×7、5×7共3個(gè); 含有三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的約數(shù)有3×5×7共1個(gè)。 所以,105的約數(shù)共有4+3+1=8個(gè)。 答略。 *例8 把15、22、30、35、39、44、52、77、91這九個(gè)數(shù)平均分成三組,使每組三個(gè)數(shù)的乘積都相等。這三組數(shù)分別是多少?(適于六年級(jí)程度) 解:將這九個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù): 15=3×5 22=2×11 30=2×3×5 35=5×7 39=3×13 44=2×2×11 52=2×2×13 77=7×11 91=7×1
6、3 觀察上面九個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù),不難看出,九個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)中共有六個(gè)2,三個(gè)3,三個(gè)5,三個(gè)7,三個(gè)11,三個(gè)13,這樣每組中三個(gè)數(shù)應(yīng)包括的質(zhì)因數(shù)有兩個(gè)2,一個(gè)3,一個(gè)5,一個(gè)7,一個(gè)11和一個(gè)13。 由以上觀察分析可得這三組數(shù)分別是: 15、52和77; 22、30和91; 35、39和44。 答略。 *例9 有四個(gè)學(xué)生,他們的年齡恰好一個(gè)比一個(gè)大一歲,他們的年齡數(shù)相乘的積是5040。四個(gè)學(xué)生的年齡分別是幾歲?(適于六年級(jí)程度) 解:把5040分解質(zhì)因數(shù): 5040=2×2×2×2×3×3×5×7 由于四個(gè)學(xué)生的年齡一個(gè)比一個(gè)大1歲,所以他們的年齡數(shù)就是四個(gè)連續(xù)自然數(shù)。用八個(gè)質(zhì)
7、因數(shù)表示四個(gè)連續(xù)自然數(shù)是: 7,2×2×2,3×3,2×5 即四個(gè)學(xué)生的年齡分別是7歲、8歲、9歲、10歲。 答略。 *例10 在等式35×(??? )×81×27=7×18×(??? )×162的兩個(gè)括號(hào)中,填上適當(dāng)?shù)淖钚〉臄?shù)。(適于六年級(jí)程度) 解:將已知等式的兩邊分解質(zhì)因數(shù),得: 5×37×7×(??? )=22×36×7×(??? ) 把上面的等式化簡(jiǎn),得: 15×(??? )=4×(??? ) 所以,在左邊的括號(hào)內(nèi)填4,在右邊的括號(hào)內(nèi)填15。 15×(4)=4×(15) 答略。 *例11 把84名學(xué)生分成人數(shù)相等的小組(每組最少2人),一共有幾種分法?(適于六
8、年級(jí)程度) 解:把84分解質(zhì)因數(shù): 84=2×2×3×7 除了1和84外,84的約數(shù)有: 2,3,7,2×2=4,2×3=6,2×7=14,3×7=21,2×2×3=12,2×2×7=28,2×3×7=42。下面可根據(jù)不同的約數(shù)進(jìn)行分組。84÷2=42(組),84÷3=28(組),84÷4=21(組),84÷6=14(組),84÷7=12(組),84÷12=7(組),84÷14=6(組),84÷21=4(組),84÷28=3(組),84÷42=2(組)。 因此每組2人分42組;每組3人分28組;每組4人分21組;每組6人分14組;每組7人分12組;每組12人分7組;每組14人分6組;
9、每組21人分4組;每組28人分3組;每組42人分2組。一共有10種分法。 答略。 *例12 把14、30、33、75、143、169、4445、4953這八個(gè)數(shù)分成兩組,每組四個(gè)數(shù),要使各組數(shù)中四個(gè)數(shù)的乘積相等。求這兩組數(shù)。(適于六年級(jí)程度) 解:要使兩組數(shù)的乘積相等,這兩組乘積中的每個(gè)因數(shù)不必相同,但這些因數(shù)經(jīng)分解質(zhì)因數(shù),它們所含有的質(zhì)因數(shù)一定相同。因此,首先應(yīng)把八個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。 14=2×7??????? 143=11×13 30=2×3×5??? 169=13×13 33=3×11?????? 4445=5×7×127 75=3×5×5??? 4953=3×13×127
10、 在上面的質(zhì)因式中,質(zhì)因數(shù)2、7、11、127各有2個(gè),質(zhì)因數(shù)3、5、13各有4個(gè)。 在把題中的八個(gè)數(shù)分為兩組時(shí),應(yīng)使每一組中的質(zhì)因數(shù)2、7、11、127各有1個(gè),質(zhì)因數(shù)3、5、13各有2個(gè)。 按這個(gè)要求每一組四個(gè)數(shù)的積應(yīng)是: 2×7×11×127×3×3×5×5×13×13 因?yàn)?,?×7)×(3×5×5)×(11×13)×(3×13×127)=14×75×143×4953,根據(jù)接下來為“14、75、143、4953”正符合題意,因此,要求的一組數(shù)是14、75、143、4953,另一組的四個(gè)數(shù)是:30、33、169、4445。 答略。 *例13 一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是315平方厘米,
11、長(zhǎng)比寬多6厘米。求這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。(適于五年級(jí)程度) 解:設(shè)長(zhǎng)方形的寬為x厘米,則長(zhǎng)為(x+6)厘米。根據(jù)題意列方程,得: x(x+6)= 315 x(x+6)=3×3×5×7 =(3×5)×(3×7) x(x+6)=15×21 x(x+6)=15×(15+6) x=15 x+6=21 答:這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是21厘米,寬是15厘米。 *例14 已知三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積為210,求這三個(gè)自然數(shù)各是多少?(適于五年級(jí)程度) 解:設(shè)這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)分別是x-1,x,x+1,根據(jù)題意列方程,得: (x-1)×x×(x+1) =210 =21×10 =3×7×2×5 =5
12、×6×7 比較方程兩邊的因數(shù),得:x=6,x-1=5,x+1=7。 答:這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)分別是5、6、7。 *例15 將37分為甲、乙、丙三個(gè)數(shù),使甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的乘積為1440,并且甲、乙兩數(shù)的積比丙數(shù)的3倍多12,求甲、乙、丙各是幾?(適于六年級(jí)程度) 解:把1440分解質(zhì)因數(shù): 1440= 12×12×10 =2×2×3×2×2×3×2×5 =(2×2×2)×(3×3)×(2×2×5) =8×9×20 如果甲、乙二數(shù)分別是8、9,丙數(shù)是20,則: 8×9=72, 20×3+12=72 正符合題中條件。 答:甲、乙、丙三個(gè)數(shù)分別是8、9、20。 *例16 一個(gè)
13、星期天的早晨,母親對(duì)孩子們說:“你們是否發(fā)現(xiàn)在你們中間,大哥的年齡等于兩個(gè)弟弟年齡之和?”兒子們齊聲回答說:“是的,我們的年齡和您年齡的乘積,等于您兒子人數(shù)的立方乘以1000加上您兒子人數(shù)的平方乘以10。”從這次談話中,你能否確定母親在多大時(shí),才生下第二個(gè)兒子?(適于六年級(jí)程度) 解:由題意可知,母親有三個(gè)兒子。母親的年齡與三個(gè)兒子年齡的乘積等于: 33×1000+32×10=27090 把27090分解質(zhì)因數(shù): 27090=43×7×5×32×2 根據(jù)“大哥的年齡等于兩個(gè)弟弟年齡之和”,重新組合上面的質(zhì)因式得: 43×14×9×5 這個(gè)質(zhì)因式中14就是9與5之和。 所以母親4
14、3歲,大兒子14歲,二兒子9歲,小兒子5歲。 43-9=34(歲) 答:母親在34歲時(shí)生下第二個(gè)兒子。 第三十二講 最大公約數(shù)法 通過計(jì)算出幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)來解題的方法,叫做最大公約數(shù)法。 例1 甲班有42名學(xué)生,乙班有48名學(xué)生,現(xiàn)在要把這兩個(gè)班的學(xué)生平均分成若干個(gè)小組,并且使每個(gè)小組都是同一個(gè)班的學(xué)生。每個(gè)小組最多有多少名學(xué)生?(適于六年級(jí)程度) 解:要使每個(gè)小組都是同一個(gè)班的學(xué)生,并且要使每個(gè)小組的人數(shù)盡可能多,就要求出42和48的最大公約數(shù): 2×3=6 42和48的最大公約數(shù)是6。 答:每個(gè)小組最多能有6名學(xué)生。 例2 有一張長(zhǎng)150厘米、寬
15、60厘米的長(zhǎng)方形紙板,要把它分割成若干個(gè)面積最大,井已面積相等的正方形。能分割成多少個(gè)正方形?(適于六年級(jí)程度) 解:因?yàn)榉指畛傻恼叫蔚拿娣e最大,并且面積相等,所以正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)是150和60的最大公約數(shù)。 求出150和60的最大公約數(shù): 2×3×5=30 150和60的最大公約數(shù)是30,即正方形的邊長(zhǎng)是30厘米。 看上面的短除式中,150、60除以2之后,再除以3、5,最后的商是5和2。這說明,當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)是30厘米時(shí),長(zhǎng)方形的長(zhǎng)150厘米中含有5個(gè)30厘米,寬60厘米中含有2個(gè)30厘米。 所以,這個(gè)長(zhǎng)方形能分割成正方形: 5×2=10(個(gè)) 答:能分割成10個(gè)正方形
16、。 例3 有一個(gè)長(zhǎng)方體的方木,長(zhǎng)是3.25米,寬是1.75米,厚是0.75米。如果將這塊方木截成體積相等的小正方體木塊,并使每個(gè)小正方體木塊盡可能大。小木塊的棱長(zhǎng)是多少?可以截成多少塊這樣的小木塊?(適于六年級(jí)程度) 解:3.25米=325厘米,1.75米=175厘米,0.75米=75厘米,此題實(shí)際是求325、175和75的最大公約數(shù)。 5×5=25 325、175和75的最大公約數(shù)是25,即小正方體木塊的棱長(zhǎng)是25厘米。 因?yàn)?5、175、325除以5得商15、35、65,15、35、65再除以5,最后的商是3、7、13,而小正方體木塊的棱長(zhǎng)是25厘米,所以,在75厘米中包含3
17、個(gè)25厘米,在175厘米中包含7個(gè)25厘米,在325厘米中包含13個(gè)25厘米。 可以截成棱長(zhǎng)是25厘米的小木塊: 3×7×13=273(塊) 答:小正方體木塊的棱長(zhǎng)是25厘米,可以截成這樣大的正方體273塊。 例4 有三根繩子,第一根長(zhǎng)45米,第二根長(zhǎng)60米,第三根長(zhǎng)75米。現(xiàn)在要把三根長(zhǎng)繩截成長(zhǎng)度相等的小段。每段最長(zhǎng)是多少米?一共可以截成多少段?(適于六年級(jí)程度) 解:此題實(shí)際是求三條繩子長(zhǎng)度的最大公約數(shù)。 3×5=15 45、60和75的最大公約數(shù)是15,即每一小段繩子最長(zhǎng)15米。 因?yàn)槎坛街凶詈蟮纳淌?、4、5,所以在把繩子截成15米這么長(zhǎng)時(shí),45米長(zhǎng)的繩子可以截成
18、3段,60米長(zhǎng)的繩子可以截成4段,75米長(zhǎng)的繩子可以截成5段。所以有: 3+4+5=12(段) 答:每段最長(zhǎng)15米,一共可以截成12段。 例5 某校有男生234人,女生146人,把男、女生分別分成人數(shù)相等的若干組后,男、女生各剩3人。要使組數(shù)最少,每組應(yīng)是多少人?能分成多少組?(適于六年級(jí)程度) 解:因?yàn)槟小⑴魇?人,所以進(jìn)入各組的男、女生的人數(shù)分別是: 234-3=231(人)…………………男 146-3=143(人)…………………女 要使組數(shù)最少,每一組的人數(shù)應(yīng)當(dāng)是最多的,即每一組的人數(shù)應(yīng)當(dāng)是231人和143人的最大公約數(shù)。 231、143的最大公約數(shù)是11,即每一
19、組是11人。 因?yàn)?31、143除以11時(shí),商是21和13,所以男生可以分為21組,女生可以分為13組。 21+13=34(組) 答:每一組應(yīng)是11人,能分成34組。 例6 把330個(gè)紅玻璃球和360個(gè)綠玻璃球分別裝在小盒子里,要使每一個(gè)盒里玻璃球的個(gè)數(shù)相同且裝得最多。一共要裝多少個(gè)小盒?(適于六年級(jí)程度) 解:求一共可以裝多少個(gè)盒子,要知道紅、綠各裝多少盒。要將紅、綠分別裝在盒子中,且每個(gè)盒子里球的個(gè)數(shù)相同,裝的最多,則每盒球的個(gè)數(shù)必定是330和360的最大公約數(shù)。 2×3×5=30 330和360的最大公約數(shù)是30,即每盒裝30個(gè)球。 330÷30=11(盒)……………
20、紅球裝11盒 360÷30=12(盒)……………綠球裝12盒 11+12=23(盒)……………共裝23盒 答略。 例7 一個(gè)數(shù)除40不足2,除68也不足2。這個(gè)數(shù)最大是多少?(適于六年級(jí)程度) 解:“一個(gè)數(shù)除40不足2,除68也不足2”的意思是:40被這個(gè)數(shù)除,不能整除,要是在40之上加上2,才能被這個(gè)數(shù)整除;68被這個(gè)數(shù)除,也不能整除,要是在68之上加上2,才能被這個(gè)數(shù)整除。 看來,能被這個(gè)數(shù)整除的數(shù)是:40+2=42,68+2=70。這個(gè)數(shù)是42和70的公約數(shù),而且是最大的公約數(shù)。 2×7=14 答:這個(gè)數(shù)最大是14。 例8 李明昨天賣了三筐白菜,每筐白菜的重量都是整
21、千克。第一筐賣了1.04元,第二筐賣了1.95元,第三筐賣了2.34元。每1千克白菜的價(jià)錢都是按當(dāng)?shù)厥袌?chǎng)規(guī)定的價(jià)格賣的。問三筐白菜各是多少千克,李明一共賣了多少千克白菜?(適于六年級(jí)程度) 解:三筐白菜的錢數(shù)分別是104分、195分、234分,每千克白菜的價(jià)錢一定是這三個(gè)數(shù)的公約數(shù)。 把104、195、234分別分解質(zhì)因數(shù): 104=23×13 195=3×5×13 234=2×32×13 104、195、234最大的公有的質(zhì)因數(shù)是13,所以104、195、234的最大公約數(shù)是13,即每千克白菜的價(jià)錢是0.13元。 1.04÷0.13=8(千克)………第一筐 1.95÷0.13
22、=15(千克)………第二筐 2.34÷0.13=18(千克)………第三筐 8+15+18=41(千克) 答:第一、二、三筐白菜的重量分別是8千克、15千克、18千克,李明一共賣了41千克白菜。 例9 一個(gè)兩位數(shù)除472,余數(shù)是17。這個(gè)兩位數(shù)是多少?(適于六年級(jí)程度) 解:因?yàn)檫@個(gè)“兩位數(shù)除472,余數(shù)是17”,所以,472-17=455,455一定能被這個(gè)兩位數(shù)整除。 455的約數(shù)有1、5、7、13、35、65、91和455,這些約數(shù)中35、65和91大于17,并且是兩位數(shù),所以這個(gè)兩位數(shù)可以是35或65,也可以是91。 答略。 例10 把圖32-1的鐵板用點(diǎn)焊的方式焊在一個(gè)
23、大的鐵制部件上,要使每個(gè)角必須有一個(gè)焊點(diǎn),并且各邊焊點(diǎn)間的距離相等。最少要焊多少個(gè)點(diǎn)?(單位:厘米)(適于六年級(jí)程度) 解:要求焊點(diǎn)最少,焊點(diǎn)間距就要最大;要求每個(gè)角有一個(gè)焊點(diǎn),焊點(diǎn)間距離相等,焊點(diǎn)間距離就應(yīng)是42厘米、24厘米、18厘米、36厘米的最大公約數(shù)。 2×3=6 它們的最大公約數(shù)是6,即焊點(diǎn)間距離為6厘米。焊點(diǎn)數(shù)為: 7+4+3+6=20(個(gè)) 按這個(gè)算法每個(gè)角上的焊點(diǎn)是兩個(gè),因?yàn)橐竺恳粋€(gè)角上要有一個(gè)焊點(diǎn),所以,要從20個(gè)焊點(diǎn)中減4個(gè)焊點(diǎn)。 20-4=16(個(gè)) 答略。 第三十三講 最小公倍數(shù)法 通過計(jì)算出幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù),從而解答出問題的解
24、題方法叫做最小公倍數(shù)法。 例1 用長(zhǎng)36厘米,寬24厘米的長(zhǎng)方形瓷磚鋪一個(gè)正方形地面,最少需要多少塊瓷磚?(適于六年級(jí)程度) 解:因?yàn)榍筮@個(gè)正方形地面所需要的長(zhǎng)方形瓷磚最少,所以正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)是36、24的最小公倍數(shù)。 2×2×3×3×2=72 36、24的最小公倍數(shù)是72,即正方形的邊長(zhǎng)是72厘米。 72÷36=2 72÷24=3 2×3=6(塊) 答:最少需要6塊瓷磚。 *例2 王光用長(zhǎng)6厘米、寬4厘米、高3厘米的長(zhǎng)方體木塊拼最小的正方體模型。這個(gè)正方體模型的體積是多大?用多少塊上面那樣的長(zhǎng)方體木塊?(適于六年級(jí)程度) 解:此題應(yīng)先求正方體模型的棱長(zhǎng),這個(gè)棱長(zhǎng)就是
25、6、4和3的最小公倍數(shù)。 2×3×2=12 6、4和3的最小公倍數(shù)是12,即正方體模型的棱長(zhǎng)是12厘米。 正方體模型的體積為: 12×12×12=1728(立方厘米) 長(zhǎng)方體木塊的塊數(shù)是: 1728÷(6×4×3) =1728÷72 =24(塊) 答略。例3 有一個(gè)不足50人的班級(jí),每12人分為一組余1人,每16人分為一組也余1人。這個(gè)班級(jí)有多少人?(適于六年級(jí)程度) 解:這個(gè)班的學(xué)生每12人分為一組余1人,每16人分為一組也余1人,這說明這個(gè)班的人數(shù)比12與16的公倍數(shù)(50以內(nèi))多1人。所以先求12與16的最小公倍數(shù)。 2×2×3×4=48 12與16的最小
26、公倍數(shù)是48。 48+1=49(人) 49<50,正好符合題中全班不足50人的要求。 答:這個(gè)班有49人。 例4 某公共汽車站有三條線路通往不同的地方。第一條線路每隔8分鐘發(fā)一次車;第二條線路每隔10分鐘發(fā)一次車;第三條線路每隔12分鐘發(fā)一次車。三條線路的汽車在同一時(shí)間發(fā)車以后,至少再經(jīng)過多少分鐘又在同一時(shí)間發(fā)車?(適于六年級(jí)程度) 解:求三條線路的汽車在同一時(shí)間發(fā)車以后,至少再經(jīng)過多少分鐘又在同一時(shí)間發(fā)車,就是要求出三條線路汽車發(fā)車時(shí)間間隔的最小公倍數(shù),即8、10、12的最小公倍數(shù)。 2×2×2×5×3=120 答:至少經(jīng)過120分鐘又在同一時(shí)間發(fā)車。 例5 有一筐雞蛋,
27、4個(gè)4個(gè)地?cái)?shù)余2個(gè),5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)余3個(gè),6個(gè)6個(gè)地?cái)?shù)余4個(gè)。這筐雞蛋最少有多少個(gè)?(適于六年級(jí)程度) 解:從題中的已知條件可以看出.不論是4個(gè)4個(gè)地?cái)?shù),還是5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)、6個(gè)6個(gè)地?cái)?shù),筐中的雞蛋數(shù)都是只差2個(gè)就正好是能被4、5、6整除的數(shù)。因?yàn)橐筮@筐雞蛋最少是多少個(gè),所以求出4、5、6的最小公倍數(shù)后再減去2,就得到雞蛋的個(gè)數(shù)。 2×2×5×3=60 4、5、6的最小公倍數(shù)是60。 60-2=58(個(gè)) 答:這筐雞蛋最少有58個(gè)。 *例6 文化路小學(xué)舉行了一次智力競(jìng)賽。參加競(jìng)賽的人中,平均每15人有3個(gè)人得一等獎(jiǎng),每8人有2個(gè)人得二等獎(jiǎng),每12人有4個(gè)人得三等獎(jiǎng)。參加這次競(jìng)賽的
28、共有94人得獎(jiǎng)。求有多少人參加了這次競(jìng)賽?得一、二、三等獎(jiǎng)的各有多少人?(適于六年級(jí)程度) 解:15、8和12的最小公倍數(shù)是120,參加這次競(jìng)賽的人數(shù)是120人。 得一等獎(jiǎng)的人數(shù)是: 3×(120÷15)=24(人) 得二等獎(jiǎng)的人數(shù)是: 2×(120÷8)=30(人) 得三等獎(jiǎng)的人數(shù)是: 4×(120÷12)=40(人) 答略。 *例7 有一個(gè)電子鐘,每到整點(diǎn)響一次鈴,每走9分鐘亮一次燈。中午12點(diǎn)整時(shí),電子鐘既響鈴又亮燈。求下一次既響鈴又亮燈是幾點(diǎn)鐘?(適于六年級(jí)程度) 解:每到整點(diǎn)響一次鈴,就是每到60分鐘響一次鈴。求間隔多長(zhǎng)時(shí)間后,電子鐘既響鈴又亮燈,就是求60與9的
29、最小公倍數(shù)。 60與9的最小公倍數(shù)是180。 180÷60=3(小時(shí)) 由于是中午12點(diǎn)時(shí)既響鈴又亮燈,所以下一次既響鈴又亮燈是下午3點(diǎn)鐘。 答略。 *例8 一個(gè)植樹小組原計(jì)劃在96米長(zhǎng)的一段土地上每隔4米栽一棵樹,并且已經(jīng)挖好坑。后來改為每隔6米栽一棵樹。求重新挖樹坑時(shí)可以少挖幾個(gè)?(適于六年級(jí)程度) 解:這一段地全長(zhǎng)96米,從一端每隔4米挖一個(gè)坑,一共要挖樹坑: 96÷4+1=25(個(gè)) 后來,改為每隔6米栽一棵樹,原來挖的坑有的正好趕在6米一棵的坑位上,可不重新挖。由于4和6的最小公倍數(shù)是12,所以從第一個(gè)坑開始,每隔12米的那個(gè)坑不必挖。 96÷12+1=9(個(gè))
30、96米中有8個(gè)12米,有8個(gè)坑是已挖好的,再加上已挖好的第一個(gè)坑,一共有9個(gè)坑不必重新挖。 答略。 例9 一項(xiàng)工程,甲隊(duì)單獨(dú)做需要18天,乙隊(duì)單獨(dú)做需要24天。兩隊(duì)合作8天后,余下的工程由甲隊(duì)單獨(dú)做,甲隊(duì)還要做幾天?(適于六年級(jí)程度) 解:由18、24的最小公倍數(shù)是72,可把全工程分為72等份。 72÷18=4(份)…………是甲一天做的份數(shù) 72÷24=3(份)…………是乙一天做的份數(shù) (4+3)×8=56份)………兩隊(duì)8天合作的份數(shù) 72-56=16(份)…………余下工程的份數(shù) 16÷4=4(天)……………甲還要做的天數(shù) 答略。 *例10 甲、乙兩個(gè)碼頭之間的水路長(zhǎng)234
31、千米,某船從甲碼頭到乙碼頭需要9小時(shí),從乙碼頭返回甲碼頭需要13小時(shí)。求此船在靜水中的速度?(適于高年級(jí)程度) 解:9、13的最小公倍數(shù)是117,可以把兩碼頭之間的水路234千米分成117等份。 每一份是: 234÷117=2(千米) 靜水中船的速度占總份數(shù)的: (13+9)÷2=11(份) 船在靜水中每小時(shí)行: 2×11=22(千米) 答略。 *例11 王勇從山腳下登上山頂,再按原路返回。他上山的速度為每小時(shí)3千米,下山的速度為每小時(shí)5千米。他上、下山的平均速度是每小時(shí)多少千米?(適于六年級(jí)程度) 解:設(shè)山腳到山頂?shù)木嚯x為3與5的最小公倍數(shù)。 3×5=15(千米) 上
32、山用: 15÷3=5(小時(shí)) 下山用: 15÷5=3(小時(shí)) 總距離÷總時(shí)間=平均速度 (15×2)÷(5+3)=3.75(千米) 答:他上、下山的平均速度是每小時(shí)3.75千米。 *例12 某工廠生產(chǎn)一種零件,要經(jīng)過三道工序。第一道工序每個(gè)工人每小時(shí)做50個(gè);第二道工序每個(gè)工人每小時(shí)做30個(gè);第三道工序每個(gè)工人每小時(shí)做25個(gè)。在要求均衡生產(chǎn)的條件下,這三道工序至少各應(yīng)分配多少名工人?(適于六年級(jí)程度) 解:50、30、25三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是150。 第一道工序至少應(yīng)分配: 150÷50=3(人) 第二道工序至少應(yīng)分配: 150÷30=5(人) 第三道工序至少應(yīng)分配:
33、 150÷25=6(人) 答略。 第三十四講 解平均數(shù)問題的方法 已知幾個(gè)不相等的數(shù)及它們的份數(shù),求總平均值的問題,叫做平均數(shù)問題。 解答平均數(shù)問題時(shí),要先求出總數(shù)量和總份數(shù)??倲?shù)量是幾個(gè)數(shù)的和,總份數(shù)是這幾個(gè)數(shù)的份數(shù)的和。解答這類問題的公式是; 總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù) 例1 氣象小組在一天的2點(diǎn)、8點(diǎn)、14點(diǎn)、20點(diǎn)測(cè)得某地的溫度分別是13攝氏度、16攝氏度、25攝氏度、18攝氏度。算出這一天的平均溫度。(適于四年級(jí)程度) 解:本題可運(yùn)用求平均數(shù)的解題規(guī)律“總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)”進(jìn)行計(jì)算。這里的總數(shù)量是指測(cè)得的四個(gè)溫度的和,即13攝氏度、16攝氏度、25攝氏度、18
34、攝氏度的和;這里的總份數(shù)是指測(cè)量氣溫的次數(shù),一天測(cè)量四次氣溫,所以總份數(shù)為4。 (13+16+25+18)÷4 =72÷4 =18(攝氏度) 答:這一天的平均氣溫為18攝氏度。 例2 王師傅加工一批零件,前3天加工了148個(gè),后4天加工了167個(gè)。王師傅平均每天加工多少個(gè)零件?(適于四年級(jí)程度) 解:此題的總數(shù)量是指前3天和后4天一共加工的零件數(shù),總份數(shù)是指前、后加工零件的天數(shù)之和。用總數(shù)量除以總份數(shù),便求出平均數(shù)。 前、后共加工的零件數(shù): 148+167=315(個(gè)) 前、后加工零件共用的天數(shù): 3+4=7(天) 平均每天加工的零件數(shù): 315÷7=45(個(gè)) 綜合
35、算式: (148+167)÷(3+4) =315÷7 =45(個(gè)) 答:平均每天加工45個(gè)零件。 例3 某工程隊(duì)鋪一段自來水管道。前3天每天鋪150米,后2天每天鋪200米,正好鋪完。這個(gè)工程隊(duì)平均每天鋪多少米?(適于四年級(jí)程度) 解:本題的總數(shù)量是指工程隊(duì)前3天、后2天一共鋪?zhàn)詠硭艿赖拿讛?shù)??偡輸?shù)是指鋪?zhàn)詠硭艿赖目偺鞌?shù)。用鋪?zhàn)詠硭艿赖目偯讛?shù)除以鋪?zhàn)詠硭艿赖目偺鞌?shù),就可以求出平均每天鋪的米數(shù)。 前3天鋪的自來水管道米數(shù): 150×3=450(米) 后2天鋪的自來水管道米數(shù): 200×2=400(米) 一共鋪的自來水管道米數(shù): 450+400=850(米) 一共
36、鋪的天數(shù): 3+2=5(天) 平均每天鋪的米數(shù): 850÷5=170(米) 綜合算式: (150×3+200×2)÷(3+2) =(450+400)÷5 =850÷5 =170(米) 答略。 例4 有兩塊實(shí)驗(yàn)田,第一塊有地3.5畝,平均畝產(chǎn)小麥480千克;第二塊有地1.5畝,共產(chǎn)小麥750千克。這兩塊地平均畝產(chǎn)小麥多少千克?(適于四年級(jí)程度) 解:本題的總數(shù)量是指兩塊地小麥的總產(chǎn)量,總份數(shù)是指兩塊地的總畝數(shù),用兩塊地的總產(chǎn)量除以兩塊地的總畝數(shù),可求出兩塊地平均畝產(chǎn)小麥多少千克。 3.5畝共產(chǎn)小麥: 480×3.5=1680(千克) 兩塊地總產(chǎn)量: 1680+750
37、=2430(千克) 兩塊地的總畝數(shù): 3.5+1.5=5(畝) 兩塊地平均畝產(chǎn)小麥: 2430÷5=486(千克) 綜合算式: (480×3.5+750)÷(3.5+1.5) =(1680+750)÷5 =2430÷5 =486(千克) 答略。 例5 東風(fēng)機(jī)器廠,五月份上半月的產(chǎn)值是125.2萬元,比下半月的產(chǎn)值少70萬元。這個(gè)廠五月份平均每天的產(chǎn)值是多少萬元?(適于四年級(jí)程度) 解:本題的總數(shù)量是指五月份的總產(chǎn)值。五月份上半月的產(chǎn)值是125.2萬元,比下半月的產(chǎn)值少70萬元,也就是下半月比上半月多70萬元,所以下半月產(chǎn)值為125.2+70=195.2(萬元)。把上半月
38、的產(chǎn)值和下半月的產(chǎn)值相加,求出五月份的總產(chǎn)值。 本題的總份數(shù)是指五月份的實(shí)際天數(shù)。五月份為大月,共有31天。用五月份的總產(chǎn)值除以五月份的實(shí)際天數(shù),可求出五月份平均每天的產(chǎn)值是多少萬元。 下半月產(chǎn)值: 125.2+70=195.2(萬元) 五月份的總產(chǎn)值: 125.2+195.2=320.4(萬元) 五月份平均每天的產(chǎn)值: 320.4÷31≈10.3(萬元) 綜合算式: (125.2+125.2+70)÷31 =320.4÷31 ≈10.3(萬元) 答略。 例6 崇光軸承廠六月上旬平均每天生產(chǎn)軸承527只,中旬生產(chǎn)5580只,下旬生產(chǎn)5890只。這個(gè)月平均每天生產(chǎn)軸承多
39、少只?(適于四年級(jí)程度) 解:本題的總數(shù)量是指六月份生產(chǎn)軸承的總只數(shù),總份數(shù)是指六月份生產(chǎn)軸承的總天數(shù)。用六月份生產(chǎn)軸承的總只數(shù)除以六月份的總天數(shù),可求出六月份平均每天生產(chǎn)軸承數(shù)。 六月上旬生產(chǎn)軸承的只數(shù): 527×10=5270(只) 六月中、下旬共生產(chǎn)軸承: 5580+5890=11470(只) 六月份共生產(chǎn)軸承: 5270+11470=16740(只) 六月份平均每天生產(chǎn)軸承: 16740÷30=558(只) 綜合算式: (527×10+5580+5890)÷30 =(5270+5580+5890)÷30 =16740÷30 =558(只) 答略。 例7
40、糖果店配混合糖,用每千克4.8元的奶糖5千克,每千克3.6元的軟糖10千克,每千克2.4元的硬糖10千克。這樣配成的混合糖,每千克應(yīng)賣多少元?(適于四年級(jí)程度) 解:本題中的總數(shù)量是指三種糖的總錢數(shù);總份數(shù)是指三種糖的總重量??傚X數(shù)除以總重量,可求出每千克混合糖應(yīng)賣多少錢。 三種糖總的錢數(shù): 4.8×5+3.6×10+2.4×10 =24+36+24 =84(元) 三種糖的總的重量: 5+10+10=25(千克) 每千克混合糖應(yīng)賣的價(jià)錢: 84÷25=3.36(元) 綜合算式: (4.8×5+3.6×10+2.4×10)÷(5+10+10) =84÷25 =3.36(
41、元) 答略。 例8 一輛汽車從甲地開往乙地,在平地上行駛了2.5小時(shí),每小時(shí)行駛42千米;在上坡路行駛了1.5小時(shí),每小時(shí)行駛30千米;在下坡路行駛了2小時(shí),每小時(shí)行駛45千米,就正好到達(dá)乙地。求這輛汽車從甲地到乙地的平均速度。(適于四年級(jí)程度) 解:本題中的總數(shù)量是由甲地到乙地的總路程: 42×2.5+30×1.5+45×2 =105+45+90 =240(千米) 本題中的總份數(shù)是由甲地到乙地所用的時(shí)間: 2.5+1.5+2=6(小時(shí)) 這輛汽車從甲地到乙地的平均速度是: 240÷6=40(千米/小時(shí)) 綜合算式: (42×2.5+30×1.5+45×2)÷(2.5+
42、1.5+2) =240÷6 =40(千米/小時(shí)) 答略。 *例9 學(xué)校發(fā)動(dòng)學(xué)生積肥支援農(nóng)業(yè),三年級(jí)85人積肥3640千克,四年級(jí)92人比三年級(jí)多積肥475千克,五年級(jí)的人數(shù)比四年級(jí)多3人,積肥數(shù)比三年級(jí)多845千克。三個(gè)年級(jí)的學(xué)生平均每人積肥多少千克?(適于四年級(jí)程度) 解:本題中的總數(shù)量是三個(gè)年級(jí)積肥的總重量。已知三年級(jí)積肥3640千克。 四年級(jí)積肥: 3640+475=4115(千克) 五年級(jí)積肥: 3640+845=4485(千克) 三個(gè)年級(jí)共積肥: 3640+4115+4485=12240(千克) 本題中的總份數(shù)就是三個(gè)年級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)。三年級(jí)學(xué)生人數(shù)是85人已
43、知,四年級(jí)學(xué)生人數(shù)是92人已知,五年級(jí)學(xué)生人數(shù)是: 92+3=95(人) 三個(gè)年級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)是: 85+92+95=272(人) 三個(gè)年級(jí)的學(xué)生平均每人積肥: 12240÷272=45(千克) 綜合算式: (3640×3+475+845)÷(85+92×2+3) =12240÷272 =45(千克) 答略。 例10 山上某鎮(zhèn)離山下縣城有60千米的路程。一人騎自行車從該鎮(zhèn)出發(fā)去縣城,每小時(shí)行20千米。從縣城返回該鎮(zhèn)時(shí),由于是上坡路,每小時(shí)只行了15千米。問此人往返一次平均每小時(shí)行了多少千米?(適于四年級(jí)程度) 解:本題中的總數(shù)量是從某鎮(zhèn)到縣城往返一次的總路程: 60×
44、2=120(千米) 總份數(shù)是往返一次用的時(shí)間: 60÷20+6O÷15 =3+4 =7(小時(shí)) 此人往返一次平均每小時(shí)行的路程是: 120÷7≈17.14(千米) 綜合算式: 60×2÷(60÷20+60÷15) =120÷(3+4) =120÷7 ≈17.14(千米) 答略。 *例11 有兩塊棉田,平均畝產(chǎn)皮棉91.5千克。已知一塊田是3畝,平均畝產(chǎn)皮棉104千克。另一塊田是5畝,求這塊田平均畝產(chǎn)皮棉多少千克?(適于四年級(jí)程度) 解:兩塊棉田皮棉的總產(chǎn)量是: 91.5×(3+5)=732(千克) 3畝的那塊棉田皮棉的產(chǎn)量是: 104×3=312(千克) 另
45、一塊棉田皮棉的平均畝產(chǎn)量是: (732-312)÷5 =420÷5 =84(千克) 綜合算式: [91.5×(3+5)-104×3]÷5 =[732-312]÷5 =420÷5 =84(千克) 答略。 *例12 王伯伯釣魚,前4天共釣了36條,后6天平均每天比前4天多釣了5條。問王伯伯平均每天釣魚多少條?(適于四年級(jí)程度) 解(1):題中前4天共釣36條已知,后6天共釣魚: (36÷4+5)×6 =14×6 =84(條) 一共釣魚的天數(shù)是: 4+6=10(天) 10天共釣魚: 36+84=120(條) 平均每天釣魚: 120÷10=12(條) 綜合算式
46、: [36+(36÷4+5)×6]÷(4+6) =[36+84]÷10 =120÷10 =12(條) 答略。 解(2):這道題除用一般方法解之外,還可將后6天多釣的魚按10天平均后,再加上原來4天的平均釣魚數(shù)。 (5×6)÷(4+6)+36÷4 =3+9 =12(條) 答:王伯伯平均每天釣魚12條。 例13 一個(gè)小朋友爬山,上山速度為每小時(shí)2千米,到達(dá)山頂后立即按原路下山,下山速度為每小時(shí)6千米。這個(gè)小朋友上、下山的平均速度是多少?(適于四年級(jí)程度) 解:本題的總數(shù)量是上山、下山的總路程,題中沒有說總路程是多少。假設(shè)上山的路程是1千米,那么下山的路程也是1千米,上山、下
47、山的總路程是2千米。 本題的總份數(shù)是上山、下山總共用的時(shí)間。 上山、下山總共用的時(shí)間是: 所以,上山、下山的平均速度是: 答略。 例14 某廠一、二月份的平均產(chǎn)值是1.2萬元,三月份的產(chǎn)值比第一季度的平均月產(chǎn)值還多0.4萬元。這個(gè)工廠三月份的產(chǎn)值是多少萬元?(適于四年級(jí)程度) 解:此題數(shù)量關(guān)系比較隱蔽,用“總數(shù)量÷總份數(shù)”的方法做不出來。作圖(34-1)。從圖34-1可以看出,一、二月份的平均產(chǎn)值都是1.2萬元。題中說“三月份的產(chǎn)值比第一季度的平均月產(chǎn)值還多0.4萬元”,那么三月份的產(chǎn)值一定比一、二月份的平均產(chǎn)值要高,所以圖34-1中表示三月份產(chǎn)值的線段比表示一、二月份
48、平均產(chǎn)值的線段長(zhǎng)。 第一季度的平均產(chǎn)值是多少萬元呢? 我們用“移多補(bǔ)少”的方法,把圖34-1中三月份的0.4萬元平均分成2份,分別加到一、二月份的產(chǎn)值上,這樣就得到第一季度的平均產(chǎn)值了。 1.2+0.4÷2=1.4(萬元) 因?yàn)槿路莸漠a(chǎn)值比第一季度的平均月產(chǎn)值還多0.4萬元,所以三月份的產(chǎn)值是: 1.4+0.4=1.8(萬元) 綜合算式: 1.2+0.4÷2+0.4 =1.4+0.4 =1.8(萬元) 答略。 *例15 蘋果2千克賣2元錢,梨3千克賣2元錢。把每一筐15千克的梨、蘋果各一筐摻到一起,按2元錢2.5千克來賣,是掙錢,還是賠錢?按照前面的標(biāo)準(zhǔn)價(jià)計(jì)算差了多
49、少元?(適于四年級(jí)程度) 解:蘋果的單價(jià)是每1千克1元錢,梨的單價(jià)是每1千克2/3元,混合后每1千克混合水果的價(jià)錢應(yīng)當(dāng)是: 因?yàn)槭前衙恳豢?5千克的梨、蘋果各一筐摻合到一起,所以混合的水果一共是30千克,這30千克水果要少賣錢: 答:混合后是賠錢,照標(biāo)準(zhǔn)價(jià)差了1元錢。 *例16 三塊小麥實(shí)驗(yàn)田的平均畝產(chǎn)量是267.5千克。已知第一塊地是3畝,平均畝產(chǎn)量是275千克;第二塊是5畝,平均畝產(chǎn)量是285千克;而第三塊地的平均畝產(chǎn)量只有240千克。第三塊地是多少畝?(適于四年級(jí)程度) 解:第三塊地的畝產(chǎn)量比總平均畝產(chǎn)量低: 267.5-240=27.5(千克) 每畝低27
50、.5千克,需要第一、二兩塊地可拿出多少千克來填補(bǔ)呢? (275-267.5)×3+(285-267.5)×5 =7.5×3+17.5×5 =22.5+87.5 =110(千克) 110千克中含有多少個(gè)27.5千克,第三塊地就是多少畝。 110÷27.5=4(畝) 綜合算式: [(275-267.5)×3+(285-267.5)×5]÷(267.5-240) =[22.5+87.5]÷27.5 =110÷27.5 =4(畝) 答:第三塊地是4畝。 第三十五講 解行程問題的方法 已知速度、時(shí)間、距離三個(gè)數(shù)量中的任何兩個(gè),求第三個(gè)數(shù)量的應(yīng)用題,叫做行程問題。 解答行
51、程問題的關(guān)鍵是,首先要確定運(yùn)動(dòng)的方向,然后根據(jù)速度、時(shí)間和路程的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算。 行程問題的基本數(shù)量關(guān)系是: 速度×?xí)r間=路程 路程÷速度=時(shí)間 路程÷時(shí)間=速度 行程問題常見的類型是:相遇問題,追及問題(即同向運(yùn)動(dòng)問題),相離問題(即相背運(yùn)動(dòng)問題)。 (一)相遇問題 兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體作相向運(yùn)動(dòng)或在環(huán)形跑道上作背向運(yùn)動(dòng),隨著時(shí)間的發(fā)展,必然面對(duì)面地相遇,這類問題叫做相遇問題。它的特點(diǎn)是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體共同走完整個(gè)路程。 小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的行程問題,一般是指相遇問題。 相遇問題根據(jù)數(shù)量關(guān)系可分成三種類型:求路程,求相遇時(shí)間,求速度。 它們的基本關(guān)系式如下: 總路程=(甲速+乙速)×相遇
52、時(shí)間 相遇時(shí)間=總路程÷(甲速+乙速) 另一個(gè)速度=甲乙速度和-已知的一個(gè)速度 1.求路程 (1)求兩地間的距離 例1 兩輛汽車同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開出,一輛汽車每小時(shí)行56千米,另一輛汽車每小時(shí)行63千米,經(jīng)過4小時(shí)后相遇。甲乙兩地相距多少千米?(適于五年級(jí)程度) 解:兩輛汽車從同時(shí)相對(duì)開出到相遇各行4小時(shí)。一輛汽車的速度乘以它行駛的時(shí)間,就是它行駛的路程;另一輛汽車的速度乘以它行駛的時(shí)間,就是這輛汽車行駛的路程。兩車行駛路程之和,就是兩地距離。 56×4=224(千米) 63×4=252(千米) 224+252=476(千米) 綜合算式: 56×4+63×4 =22
53、4+252 =476(千米) 答略。 例2 兩列火車同時(shí)從相距480千米的兩個(gè)城市出發(fā),相向而行,甲車每小時(shí)行駛40千米,乙車每小時(shí)行駛42千米。5小時(shí)后,兩列火車相距多少千米?(適于五年級(jí)程度) 解:此題的答案不能直接求出,先求出兩車5小時(shí)共行多遠(yuǎn)后,從兩地的距離480千米中,減去兩車5小時(shí)共行的路程,所得就是兩車的距離。 480-(40+42)×5 =480-82×5 =480-410 =70(千米) 答:5小時(shí)后兩列火車相距70千米。 例3 甲、乙二人分別從A、B兩地同時(shí)相向而行,甲每小時(shí)行5千米,乙每小時(shí)行4千米。二人第一次相遇后,都繼續(xù)前進(jìn),分別到達(dá)B、A兩地后又
54、立即按原速度返回。從開始走到第二次相遇,共用了6小時(shí)。A、B兩地相距多少千米?(適于五年級(jí)程度) 解:從開始走到第一次相遇,兩人走的路程是一個(gè)AB之長(zhǎng);而到第二次相遇,兩人走的路程總共就是3個(gè)AB之長(zhǎng)(圖35-1),這三個(gè)AB之長(zhǎng)是: (5+4)×6=54(千米) 所以,A、B兩地相距的路程是: 54÷3=18(千米) 答略。 例4 兩列火車從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)對(duì)面開來,第一列火車每小時(shí)行駛60千米,第二列火車每小時(shí)行駛55千米。兩車相遇時(shí),第一列火車比第二列火車多行了20千米。求甲、乙兩地間的距離。(適于五年級(jí)程度) 解:兩車相遇時(shí),兩車的路程差是20千米。出現(xiàn)路程差的原因是
55、兩車行駛的速度不同,第一列火車每小時(shí)比第二列火車多行(60-55)千米。由此可求出兩車相遇的時(shí)間,進(jìn)而求出甲、乙兩地間的距離。 (60+55)×[20÷(60-55)] =115×[20÷5] =460(千米) 答略。 *例5 甲、乙二人同時(shí)從A、B兩地相向而行,甲每小時(shí)走6千米,乙每小時(shí)走5千米,兩個(gè)人在距離中點(diǎn)1.5千米的地方相遇。求A、B兩地之間的距離。(適于五年級(jí)程度) 解:由題意可知,當(dāng)二人相遇時(shí),甲比乙多走了1.5×2千米(圖35-2),甲比乙每小時(shí)多行(6-5)千米。由路程差與速度差,可求出相遇時(shí)間,進(jìn)而求出A、B兩地之間的距離。 (6+5)×[1.5×2÷(6
56、-5)] =11×[1.5×2÷1] =11×3 =33(千米) 答略。 由兩車“在離中點(diǎn)2千米處相遇”可知,甲車比乙車少行: 2×2=4(千米) 所以,乙車行的路程是: 甲車行的路程是: A、B兩站間的距離是: 24+20=44(千米) 答略。 同普通客車相遇。甲、乙兩城間相距多少千米?(適于六年級(jí)程度) 快車從乙城開出,普通客車與快車相對(duì)而行。已知普通客車每小時(shí)行60千米,快車每小時(shí)行80千米,可以求出兩車速度之和。又已知兩車相遇時(shí)間,可以按“速度之和×相遇時(shí)間”,求出兩車相對(duì)而行的總行程。普通客車已行駛 普通客車與快車速度之
57、和是: 60+80=140(千米/小時(shí)) 兩車相對(duì)而行的總路程是: 140×4=560(千米) 兩車所行的總路程占全程的比率是: 甲、乙兩城之間相距為: 綜合算式: 答略。 2)求各行多少 例1 兩地相距37.5千米,甲、乙二人同時(shí)從兩地出發(fā)相向而行,甲每小時(shí)走3.5千米,乙每小時(shí)走4千米。相遇時(shí)甲、乙二人各走了多少千米?(適于五年級(jí)程度) 解:到甲、乙二人相遇時(shí)所用的時(shí)間是: 37.5÷(3.5+4)=5(小時(shí)) 甲行的路程是: 3.5×5=17.5(千米) 乙行的路程是: 4×5=20(千米) 答略。 例2 甲、乙二人從相距40千米的兩地同時(shí)
58、相對(duì)走來,甲每小時(shí)走4千米,乙每小時(shí)走6千米。相遇后他們又都走了1小時(shí)。兩人各走了多少千米?(適于五年級(jí)程度) 解:到甲、乙二人相遇所用的時(shí)間是: 40÷(4+6)=4(小時(shí)) 由于他們又都走了1小時(shí),因此兩人都走了: 4+1=5(小時(shí)) 甲走的路程是: 4×5=20(千米) 乙走的路程是: 6×5=30(千米) 答略。 例3 兩列火車分別從甲、乙兩個(gè)火車站相對(duì)開出,第一列火車每小時(shí)行48.65千米,第二列火車每小時(shí)行47.35千米。在相遇時(shí)第一列火車比第二列火車多行了5.2千米。到相遇時(shí)兩列火車各行了多少千米?(適于五年級(jí)程度) 解:兩車同時(shí)開出,行的路程有一個(gè)差,這個(gè)
59、差是由于速度不同而形成的??梢愿鶕?jù)“相遇時(shí)間=路程差÷速度差”的關(guān)系求出相遇時(shí)間,然后再分別求出所行的路程。 從出發(fā)到相遇所用時(shí)間是: 5.2÷(48.65-47.35) =5.2÷1.3 =4(小時(shí)) 第一列火車行駛的路程是: 48.65×4=194.6(千米) 第二列火車行駛的路程是: 47.35×4=189.4(千米) 答略。 *例4 東、西兩車站相距564千米,兩列火車同時(shí)從兩站相對(duì)開出,經(jīng)6小時(shí)相遇。第一列火車比第二列火車每小時(shí)快2千米。相遇時(shí)這兩列火車各行了多少千米?(適于五年級(jí)程度) 解:兩列火車的速度和是: 564÷6=94(千米/小時(shí)) 第一列火車每
60、小時(shí)行: (94+2)÷2=48(千米) 第二列火車每小時(shí)行: 48-2=46(千米) 相遇時(shí),第一列火車行: 48×6=288(千米) 第二列火車行: 46×6=276(千米) 答略。 2.求相遇時(shí)間 例1 兩個(gè)城市之間的路程是500千米,一列客車和一列貨車同時(shí)從兩個(gè)城市相對(duì)開出,客車的平均速度是每小時(shí)55千米,貨車的平均速度是每小時(shí)45千米。兩車開了幾小時(shí)以后相遇?(適于五年級(jí)程度) 解:已知兩個(gè)城市之間的路程是500千米,又知客車和貨車的速度,可求出兩車的速度之和。用兩城之間的路程除以兩車的速度之和可以求出兩車相遇的時(shí)間。 500÷(55+45) =500÷10
61、0 =5(小時(shí)) 答略。 例2 兩地之間的路程是420千米,一列客車和一列貨車同時(shí)從兩個(gè)城市 答略。 例3 在一次戰(zhàn)役中,敵我雙方原來相距62.75千米。據(jù)偵察員報(bào)告,敵人已向我處前進(jìn)了11千米。我軍隨即出發(fā)迎擊,每小時(shí)前進(jìn)6.5千米,敵人每小時(shí)前進(jìn)5千米。我軍出發(fā)幾小時(shí)后與敵人相遇?(適于五年級(jí)程度) 解:此題已給出總距離是62.75千米,由“敵人已向我處前進(jìn)了11千米”可知實(shí)際的總距離減少到(62.75-11)千米。 (62.75-11)÷(6.5+5) =51.75÷11.5 =4.5(小時(shí)) 答:我軍出發(fā)4.5小時(shí)后與敵人相遇。 例4 甲、乙兩地相距2
62、00千米,一列貨車由甲地開往乙地要行駛5小時(shí);一列客車由乙地開往甲地需要行駛4小時(shí)。如果兩列火車同時(shí)從兩地相對(duì)開出,經(jīng)過幾小時(shí)可以相遇?(得數(shù)保留一位小數(shù))(適于五年級(jí)程度) 解:此題用與平常說法不同的方式給出了兩車的速度。先分別求出速度再求和,根據(jù)“時(shí)間=路程÷速度”的關(guān)系,即可求出相遇時(shí)間。 200÷(200÷5+200÷4) =200÷(40+50) =200÷90 ≈2.2(小時(shí)) 答:兩車大約經(jīng)過2.2小時(shí)相遇。 例5 在復(fù)線鐵路上,快車和慢車分別從兩個(gè)車站開出,相向而行。快車車身長(zhǎng)是180米,速度為每秒鐘9米;慢車車身長(zhǎng)210米,車速為每秒鐘6米。從兩車頭相遇到兩車的
63、尾部離開,需要幾秒鐘?(適于五年級(jí)程度) 解:因?yàn)槭且詢绍囯x開為準(zhǔn)計(jì)算時(shí)間,所以兩車經(jīng)過的路程是兩個(gè)車身的總長(zhǎng)。總長(zhǎng)除以兩車的速度和,就得到兩車從相遇到車尾離開所需要的時(shí)間。 (180+210)÷(9+6) =390÷15 =26(秒) 答略。 3.求速度 例1 甲、乙兩個(gè)車站相距550千米,兩列火車同時(shí)由兩站相向開出,5小時(shí)相遇??燔嚸啃r(shí)行60千米。慢車每小時(shí)行多少千米?(適于五年級(jí)程度) 解:先求出速度和,再從速度和中減去快車的速度,便得出慢車每小時(shí)行: 550÷5-60 =110-60 =50(千米) 答略。 例2 A、B兩個(gè)城市相距380千米??蛙嚭拓涇噺膬?/p>
64、個(gè)城市同時(shí)相對(duì)開出,經(jīng)過4小時(shí)相遇。貨車比客車每小時(shí)快5千米。這兩列車每小時(shí)各行多少千米?(適于五年級(jí)程度) 解:客車每小時(shí)行: (380÷4-5)÷2 =(95-5)÷2 =45(千米) 貨車每小時(shí)行: 45+5=50(千米) 答略。 例3 甲、乙兩個(gè)城市相距980千米,兩列火車由兩城市同時(shí)相對(duì)開出,經(jīng)過10小時(shí)相遇??燔嚸啃r(shí)行50千米,比慢車每小時(shí)多行多少千米?(適于五年級(jí)程度) 解:兩城市的距離除以兩車相遇的時(shí)間,得到兩車的速度和。從兩車的速度和中減去快車的速度,得到慢車的速度。再用快車速度減去慢車的速度,即得到題中所求。 50-(980÷10-50) =50-(
65、98-50) =50-48 =2(千米) 答略。 例4 甲、乙兩地相距486千米,快車與慢車同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開出,經(jīng)過6小時(shí)相遇。已知快車與慢車的速度比是5∶4。求快車和慢車每小時(shí)各行多少千米?(適于六年級(jí)程度) 兩車的速度和是: 486÷6=81(千米/小時(shí)) 快車每小時(shí)行: 慢車每小時(shí)行: 答略。 例5 兩輛汽車同時(shí)從相距465千米的兩地相對(duì)開出,4.5小時(shí)后兩車還相距120千米。一輛汽車每小時(shí)行37千米。另一輛汽車每小時(shí)行多少千米?(適于五年級(jí)程度) 解:如果兩地間的距離減少120千米,4.5小時(shí)兩車正好相遇。也就是兩車4.5小時(shí)行465-120=3
66、45千米,345千米除以4.5小時(shí),可以求出兩車速度之和。從速度之和減去一輛車的速度,得到另一輛車的速度。 答略。 例6 甲、乙兩人從相距40千米的兩地相向而行。甲步行,每小時(shí)走5千米,先出發(fā)0.8小時(shí)。乙騎自行車,騎2小時(shí)后,兩人在某地相遇。乙騎自行車每小時(shí)行多少千米?(適于五年級(jí)程度) 解:兩人相遇時(shí),甲共走: 0.8+2=2.8(小時(shí)) 甲走的路程是: 5×2.8=14(千米) 乙在2小時(shí)內(nèi)行的路程是: 40-14=26(千米) 所以,乙每小時(shí)行: 26÷2=13(千米) 綜合算式: [40-5×(0.8+2)]÷2 =[40-5×2.8]÷2 =[40-14]÷2 =26÷2 =13(千米) 答略。 例7 甲、乙二人從相距50千米的兩地相對(duì)而行。甲先出發(fā),每小時(shí)步行5千米。1小時(shí)后乙騎自行車出發(fā),騎了2小時(shí),兩人相距11千米。乙每小時(shí)行駛多少千米?(適于五年級(jí)程度) 解:從相距的50千米中,去掉甲在1小時(shí)內(nèi)先走的5千米,又去掉相隔的11千米,便得到: 50-5-11=34(千米) 這時(shí),原題就改變成“兩地相隔34千米,甲、乙二人分別
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