高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講課件 第12單元第70講 離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差 湘教版

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1、1理解取有限個(gè)體的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的分布列2理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題 0.915 A1.5 B 1.35C 13.5 1. D 15有一批豌豆種子，如果每一粒發(fā)芽的概率為，播下粒種子，則種子發(fā)芽的粒數(shù)的均值為 15,0.9150.913.5.C.XXBEX 設(shè)種子發(fā)芽的粒數(shù)為 ，則 ，因此解故選析： 1EXnpp有關(guān)二項(xiàng)分布的期望與方差公式記憶錯(cuò)誤，誤認(rèn)為易錯(cuò)點(diǎn)： 12A. B.334C. D 192.ABCAE兩封信隨機(jī)投入 、 、 三個(gè)空郵箱， 郵箱中的信件數(shù)為 ，

2、則211222220,1,2244P0P1393911P2394412012.993B9C CE 解依題設(shè)， 的可能取值為，且，因此，故選析 1,2,3.的可能取值錯(cuò)誤地判定為易錯(cuò)點(diǎn)： 522 34A. B.7734C. D103.10XE某學(xué)校要從 名男生和 名女生中選出 人為某社區(qū)服務(wù)的志愿者，若隨機(jī)變量 表示選出的志愿者中女生人數(shù)，則211525227722270,1,2C10C C10P0P1C21C21C1101014P2E012C2121217.B12X 依題設(shè)， 的可能取值為，則，析 故選解：X沒(méi)有正確判定 服從超幾何分布，從而用排列知識(shí)計(jì)算隨機(jī)變量取值易錯(cuò)點(diǎn)： 的概率01 .

3、.4XEXDXab已知離散型隨機(jī)變量 的分布列如下表若，則，112X-1012Pabc222211.01211101 c200.126110001012201.6351.124a+b+cEXab-a+c+DXabca+cab 依題設(shè)，由，得，即又，則，即解得，解析： _1_2_1_.3XYabab如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量表示，那么這樣的變量叫做，隨機(jī)變量常用字母 ， ， 等表示叫做離散型隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機(jī)變量叫做若 是隨隨機(jī)變量，其中 、 是常數(shù)，則也是機(jī)變量的概念隨機(jī)變量 12i1().(1,2)_2_niiixxxxx inPxp概率分布列 分

4、布列 ：設(shè)離散型隨機(jī)變量 可能取的值為 ， ， ， ，取每一個(gè)離散型隨機(jī)變量的值，的概率，則表稱為，概率分布列簡(jiǎn)稱 的分布列x1x2xixnPp1p2pipn 2C0,1,2_()kkn-knpnkPkpqknq=1- pB npnpp二項(xiàng)分布：如果一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是 ，那么在 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生 次的概率是，其中， ， ，我們稱這樣的隨機(jī)變量 服從，記作 ， ，其中 ， 為參數(shù)，并稱 為成功概率 3_1XpP x兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量 的分布列是像這樣的分布列稱為兩點(diǎn)分布列如果隨機(jī)變量的分布列為，就稱 服從兩點(diǎn)分布，且稱為成功概率X01P1-pp *4CCP0,1,2C

5、minv. .knkMNMnNMNnkkkmmMnnNMNnM N超幾何分布：在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為， ，其中，且， ，稱分布列為如果隨機(jī)變量 的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布00CCnMNMnNC11C CCnMNMnNCCCmnmMNMnN01m1122_._34iinnEx px px px p若離散型隨機(jī)變量 的分布列為：則稱為離散型離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)離散型隨機(jī)變隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平量的均值均水平x1x2xixnPp1p2pipn2211222n5xE_.()nDxEpxEpp離散型隨機(jī)變量的

6、方差稱為隨機(jī)變量 的方差，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量 的，記作離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散型隨機(jī)變量取值相對(duì)于均值的平均波動(dòng)大小 即 取值的穩(wěn)定性 1_ ()2_()3_4()_.5_6_.E ccE ababcabD ababDB npEED，、 、 為常數(shù) ；設(shè) 、 為常數(shù)，則、 為常數(shù) ；若 服從二項(xiàng)分布，即 ， ，則若 服從兩點(diǎn)分布，則，性質(zhì)12220(1,2,3)1b11niiiPiPa EaDEEnpnppppp隨機(jī)變量；所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量；連續(xù)型隨機(jī)變量；隨機(jī)變量 的概率分布列；二項(xiàng)分布；兩點(diǎn)分布列；超幾何分布列；， ，；隨機(jī)變量 的均值或數(shù)學(xué)期望；標(biāo)準(zhǔn)差； ；【要點(diǎn)指

7、南】 200101,2,3,412111.nnnab EDa b袋中有 個(gè)大小相同的球，其中記上 號(hào)的有 個(gè)，記上 號(hào)的有 個(gè)現(xiàn)從袋中任取一球，表示所取球的標(biāo)號(hào)求 的分布列、期望和方差；例若，試求 ，1的值題型一離散型隨機(jī)變量分布列、期望題型一離散型隨機(jī)變量分布列、期望與方差及性質(zhì)的應(yīng)用與方差及性質(zhì)的應(yīng)用 222221.11113101234.2201020511101.511.521.5220103131.541.552.755.20ED 解析的分布列為：121201103201501234P 2222.75112.212 1.52212 1.54.2224Da DaaEaEbabbabba

8、abb 由，得，即又，所以當(dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，由，得所以或即為所求 評(píng)析：(1)在求隨機(jī)變量分布列時(shí)，關(guān)鍵是分析判定離散型隨機(jī)變量取每一個(gè)可能值時(shí)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件，從而正確求出其概率(2)若兩變量之間存在某種線性關(guān)系，則可以直接利用其中一個(gè)變量的期望與方差求出另一個(gè)變量的期望與方差 93.121501一批零件有 個(gè)合格品， 個(gè)不合格品，安裝機(jī)器時(shí)，從中任取一個(gè)，若取出不合格品不再放回去，設(shè)在取得合格品以前已取出的不合格品數(shù)為隨機(jī)變量求 的分布列；若工人取得合格品以前取出個(gè)不合格品獲得勞務(wù)費(fèi) 元，求工人所得勞務(wù)素：費(fèi)材的期望 1930,1,2,301243993299121211441211102

9、209991P311244220220PPP設(shè)隨機(jī)變量 表示在取得合格品以前已取出的不合格品數(shù)，則，可得，故 的分解析：布列為：34944922012200123P 99913210123124422022010505015()EEEE 由則元，2.(2011)A BP某社會(huì)機(jī)構(gòu)為更好地宣傳“低碳”生活觀念，對(duì)某市 、 兩個(gè)大型社區(qū)進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，這兩族的人數(shù)占各自小區(qū)總?cè)藬?shù)的比例 統(tǒng)例廈門質(zhì)檢計(jì)如下：題型二題型二 二項(xiàng)分布及應(yīng)用二項(xiàng)分布及應(yīng)用 142220%22525.ABAAE如果甲、乙兩人來(lái)自 區(qū)，丙

10、、丁兩人來(lái)自 區(qū)，求這 人中恰有 人是低碳族的概率；區(qū)經(jīng)過(guò)大力宣傳后，每周非低碳族中有的人加入到低碳族的行列，如果 周后隨機(jī)從 區(qū)中任選人，記 表示這人中低碳族人數(shù)，求1212A區(qū)低碳族 非低碳族比例P4515B區(qū)低碳族非低碳族比例P 21142.111111411144334.2255225522551001112522881721.2525251717(25)2517.2525AP AaAaPaPBE 記“ 人中恰有 人是低碳族”為事件設(shè) 區(qū)有 人， 周后非低碳族的概率，則 周后低碳族的概率依題意， ， ，則解析： 評(píng)析：隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布的判定標(biāo)準(zhǔn)是對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)服從獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，在?/p>

11、析求解時(shí)應(yīng)樹立判定并轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布問(wèn)題求解的意識(shí) 0.6.1522.p某運(yùn)動(dòng)員投籃的命中率為求一次投籃時(shí)命中次數(shù) 的均值，方差；求重復(fù) 次投籃時(shí)，命中次數(shù) 的素材均值與方差 2210 0.4 1 0.60.600.60.41 0.60.60.24.25B 5,0.65 0.63.5 0.6 0.41.2.EDED 投籃一次，命中次數(shù) 的分布列為：則，重復(fù) 次投籃，命中次數(shù) 服從二項(xiàng)分布，即 ，解故析：01P0.40.63.(2010)3pq pq某同學(xué)參加 門課程的考試假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率為，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率分別為 、，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績(jī)相互獨(dú)立記

12、為該生取得優(yōu)秀成績(jī)的課程數(shù)，其例北京卷分布列為題型三題型三 隨機(jī)變量的分布列、期望的實(shí)際應(yīng)用隨機(jī)變量的分布列、期望的實(shí)際應(yīng)用6125241250123Pab 1123.pqE求該生至少有 門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率；求 ， 的值；求數(shù)學(xué)期望題型三題型三 隨機(jī)變量的分布列、期望的實(shí)際應(yīng)用隨機(jī)變量的分布列、期望的實(shí)際應(yīng)用 123i41,2,3.511016101.119125125iAiP AP Ap P AqP 事件 表示“該生第門課程取得優(yōu)秀成績(jī)”，由題意知，由于事件“該生至少有 門課程取得優(yōu)秀成績(jī)”與事件“”是對(duì)立的，所以該生至少有 門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率是：解析： 12312320()()

13、 () ()166111.51252532.55PP A AAP A P A P Apqpqp+qpqpq由題意知，整理得，注意到，故可解得， 12312312312312312331(AA )4113711115551252(A)4415811555125aPP AAAAAAApqpqp qbPP AAAAAAAApqp qpq由題意知，；，62458(1)12512512562490123.1251255baEab 或者則 評(píng)析：期望、方差問(wèn)題既可以以實(shí)際問(wèn)題情況為載體，又可以分析決策實(shí)際問(wèn)題 6(0.01)3.120有甲、乙兩個(gè)建材廠，都想投標(biāo)參加某重點(diǎn)建設(shè)，為了對(duì)重點(diǎn)建設(shè)負(fù)責(zé)，政府到兩

14、個(gè)建材廠抽樣檢查，他們從中各抽取等量的樣品檢查他們的抗拉強(qiáng)度指數(shù)如下：其中至少有 人被治愈的概率 精確到其中 和 分別表示甲、乙兩建材廠材料的抗拉強(qiáng)度，在使用時(shí)要求抗拉強(qiáng)度在不低于的條件下，比較甲、乙兩建材廠材料哪一種穩(wěn)定素材性較好110120125130135P0.10.20.40.10.2100115125130145P0.10.20.40.10.2222221100.11200.21250.41300.11350.21251000.11150.21250.41300.11450.21250.11101250.21201250.41251250.11301250.213512550EEDD

15、首先看兩建材廠的材料的抗拉強(qiáng)度的期望，然后再比較他們的方差，析，解：222220.11001250.21151250.41251250.11301250.2145125165.EEDD由于，而，故甲建材廠的材料穩(wěn)定性較好 200126502041621121()121()31%隨機(jī)抽取某嬰幼兒奶粉生產(chǎn)企業(yè)的某種產(chǎn)品件，經(jīng)國(guó)家質(zhì)檢部門檢測(cè)，其中有一等品件、二等品件、三等品件、次品 件已知生產(chǎn) 件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為 萬(wàn)元、萬(wàn)元、萬(wàn)元，而件次品虧損 萬(wàn)元設(shè) 件產(chǎn)品的利潤(rùn)為單位：萬(wàn)元 求 的分布列；求 件產(chǎn)品的平均利潤(rùn) 即 的數(shù)學(xué)期望 ；為了提高乳制品的質(zhì)量，經(jīng)技術(shù)革新后，雖仍有四個(gè)等級(jí)的

16、產(chǎn)品，但次品率降備題為選例，一等70%.14.73品率提高為如果此時(shí)要求 件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于萬(wàn)元，則三等品率最多是多少？ 12 1 2 6412012120050200105011266326.2004200100PPPP 的可能取值為、，的解析：分布列為：1501101463100-2126P 2111632126501041004.3414.34E 的數(shù)學(xué)期望為：，即 件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)是萬(wàn)元 32 1 2 6170291100100100 xyx+ y技術(shù)革新后 的可能取值仍為、，但 的分布列為：其中 、 分別為三、二等品率，根據(jù)分布列的性質(zhì)有：，110070100-2126Pxy11

17、702126.10010014.734.7347634.73.10010014.733%.ExyxExx 所以技術(shù)革新后 件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為：要使 件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于萬(wàn)元，即，由得即要使技術(shù)革新后 件產(chǎn)品平均利潤(rùn)不小于萬(wàn)元，三等產(chǎn)品率最多為1求離散型隨機(jī)變量的概率分布列的步驟：(1)求出隨機(jī)變量的所有可能取值；(2)求出各取值的概率；(3)列成表格(4)用分布列的性質(zhì)P1+P2+Pi+Pn=1進(jìn)行驗(yàn)證2期望和方差是離散型隨機(jī)變量的兩個(gè)最重要的特征數(shù)有時(shí)判斷某事物的優(yōu)劣，計(jì)算其期望就能區(qū)別出來(lái)，而有時(shí)僅靠期望不能完善地說(shuō)明隨機(jī)變量的分布特征，還需研究其方差 3隨機(jī)變量是可變的，可取不同值，而

18、期望E是不變的，它描述取值的平均狀態(tài)4方差D表示隨機(jī)變量對(duì)期望E的平均偏離程度，D越大，表明平均偏離程度越大，說(shuō)明的取值越分散，反之，D越小，的取值越集中在E附近103431033XX在 件產(chǎn)品中，有 件一等品，件二等品，件三等品，從這件產(chǎn)品中任取 件，取出的 件產(chǎn)品中，一等品件數(shù)為 ，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望33103.1030,1,2,3(3)1033C () (1)0,1,2,31010393.1010ii-iAP AXXBP X = iiXEX記 表示事件“從件產(chǎn)品中任取一件是一等品”，則由題意，的可能取值為，且，且，其中，從而的分錯(cuò)解：布列為12337C()10100337C()1022337C()1010 x0123P3333C()10本題設(shè)情境應(yīng)是超幾何分布，而作答者錯(cuò)誤地認(rèn)為是二錯(cuò)誤分析：項(xiàng)分布310337337310103C103C C103C C0,1,2,3C7217190123.24404012010kkkkkkP X = kkXEX 由于從件產(chǎn)品中任取 件的結(jié)果數(shù)為，從件產(chǎn)品中任取 件，其中恰有 件一等品的結(jié)果數(shù)為，則從件產(chǎn)品中任取 件，其中恰有 件一等品的概率為，所以隨機(jī)變量 的分布列為正解：72421407401120X0123P