高中數(shù)學(xué) 3章歸納總結(jié)課件 新人教B版選修21

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1、本章歸納總結(jié)本章歸納總結(jié) 1空間向量的概念及其運(yùn)算與平面向量類(lèi)似，向量加、減法的平行四邊形法則，三角形法則以及相關(guān)的運(yùn)算律仍然成立空間向量的數(shù)量積運(yùn)算、共線向量定理、共面向量定理都是平面向量在空間中的推廣，空間向量基本定理則是向量由二維到三維的推廣 2ab0ab是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一，這是運(yùn)用空間向量研究線線、線面、面面垂直的關(guān)鍵，通常可以與向量的運(yùn)算法則、有關(guān)運(yùn)算律聯(lián)系來(lái)解決垂直的論證問(wèn)題 4直線的方向向量與平面的法向量是用來(lái)描述空間中直線和平面的相對(duì)位置的重要概念，通過(guò)研究方向向量與法向量之間的關(guān)系，可以來(lái)確定直線與直線、直線與平面、平面與平面等的位置關(guān)系以及有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題 5用空間向量判斷

2、空間中的位置關(guān)系的常用方法 (1)線線平行 證明兩條直線垂直，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量 (2)線線垂直 證明兩條直線平行，只需證明兩直線的方向向量垂直，即abab0. (3)線面平行 用向量證明線面平行的方法主要有： 證明直線的方向向量與平面的法向量垂直； 證明可在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與直線方向向量是共線向量， 利用共面向量定理，即證明可在平面內(nèi)找到兩不共線向量來(lái)線性表示直線的方向向量 (4)線面垂直 用向量證明線面垂直的方法主要有： 證明直線方向向量與平面法向量平行； 利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線線垂直問(wèn)題 (5)面面平行 證明兩個(gè)平面的法向量平行(即是共線向量)； 轉(zhuǎn)化為線面平

3、行、線線平行問(wèn)題 (6)面面垂直 證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直； 轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問(wèn)題 6運(yùn)用空間向量求空間角 (1)求兩異面直線所成角 (2)求線面角 求直線與平面所成角時(shí)，一種方法是先求出直線及射影直線的方向向量，通過(guò)數(shù)量積求出直線與平面所成角；另一種方法是借助平面的法向量，先求出直線方向向量與平面法向量的夾角.即可求出直線與平面所成的角其關(guān)系是sin| cos|. (3)求二面角 用向量法求二面角也有兩種方法：一種方法是利用平面角的定義，在兩個(gè)面內(nèi)先求出與棱垂直的兩條直線對(duì)應(yīng)的方向向量，然后求出這兩個(gè)方向向量的夾角，由此可求出二面角的大?。涣硪环N方法是轉(zhuǎn)化為求二面角的兩個(gè)面的法向

4、量的夾角，它與二面角的大小相等或互補(bǔ) 7運(yùn)用空間向量求空間距離 空間中的各種距離一般都可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、點(diǎn)與面的距離 (1)點(diǎn)與點(diǎn)的距離 點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離就是這兩點(diǎn)間線段的長(zhǎng)度，因此也就是這兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)向量的模 (2)點(diǎn)與面的距離 點(diǎn)面距離的求解步驟是： 求出該平面的一個(gè)法向量； 求出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量； 求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除以法向量的模，即可得到要求的點(diǎn)面距離 1.空間向量有關(guān)概念的辨析題、空間向量中的所有概念都是嚴(yán)密、精練、準(zhǔn)確的，在出辨析題時(shí)往往改變、缺失概念中的某些條件或者忽略概念規(guī)定的特殊情況所以對(duì)基本概念的理解要做到全面、準(zhǔn)確、深入

5、 若ab0，則a，b是鈍角； 若a是直線l的方向向量，則a(R)也是l的方向向量； 非零向量a，b，c滿足a與b，b與c，c與a都是共面向量，則a，b，c必共面 其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)是() A1B2 C3D4 答案D 說(shuō)明正確理解，掌握空間向量的基本概念和公式，才能迅速解決此類(lèi)問(wèn)題 以下四個(gè)命題中，正確的命題個(gè)數(shù)為() 若a，b共線，則a與b所在直線平行 若a，b所在直線是異面直線，則a與b一定不共面 若a，b，c三向量?jī)蓛晒裁?，則由a，b，c三向量一定也共面 若a，b，c三向量共面，則a，b所在直線所確定的平面與由b，c所在直線所確定的平面一定平行 A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè) 答案A 解析a，b

6、共線時(shí)，a與b所在的直線平行或重合，不正確；空間任意兩向量共面，不正確；由知a，b，c一定兩兩共面，但無(wú)法保證a，b，c共面，不正確；a，b，c共面時(shí)，a，b所在的直線可能異面，不正確 2空間向量的運(yùn)算及其坐標(biāo)表示法 空間向量的運(yùn)算是其應(yīng)用的主要途徑，尤其是兩個(gè)向量的數(shù)量積是應(yīng)用的重點(diǎn)，空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示是立體幾何中的證明、計(jì)算轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題的唯一通道，尤其是立體幾何中的開(kāi)放性問(wèn)題可轉(zhuǎn)化成代數(shù)中的解方程問(wèn)題，從而得到簡(jiǎn)單的解答 解析根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程是否有解的問(wèn)題如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(

7、1,1,0)，D(0,2,0)，設(shè)直線AP上有一點(diǎn)M(0,0，z0)，設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則由 說(shuō)明利用空間向量的運(yùn)算，可以完成空間中的有關(guān)計(jì)算、證明等題型 如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB2，AD1，AA13，M是BC的中點(diǎn)在DD1上是否存在一點(diǎn)N，使MNDC1？并說(shuō)明理由 1.利用空間向量解決平行垂直問(wèn)題，直線與直線的平行轉(zhuǎn)化為共線向量；直線與直線的垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0；直線與平面的平行轉(zhuǎn)化為直線的方向向量用平面內(nèi)兩不共線向量表示出來(lái)或直線的方向向量與平面法向量表示，而面面平行與垂直，也是從兩平面的法向量的平行與垂直體現(xiàn)的 例3(2

8、010安徽理，18)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EFAB，EFFB，AB2EF，BFC90，BFFC，H為BC的中點(diǎn) (1)求證：FH平面EDB； (2)求證：AC平面EDB； (3)求二面角BDEC的大小 解析四邊形ABCD為正方形，ABBC. 又EFAB，EFBC. 又EFFB，EF平面BFC. EFFH，ABFH. 又BFFC，H為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)HBC. FH平面ABC. 點(diǎn)評(píng)綜合法更注重推理，方法巧妙，計(jì)算量不大，對(duì)空間想象能力以及邏輯推理能力要求較高，而向量法更多的是計(jì)算而且方法統(tǒng)一，具有格式化，易于掌握從近幾年高考尤其新課標(biāo)地區(qū)的高考題來(lái)看主要以向量法的考

9、察為主，較少使用綜合法 如圖，四棱錐PABCD中，PB底面ABCD，CDPD，底面ABCD為直角梯形，ADBC，ABBC，ABADPB3.點(diǎn)E在棱PA上，且PE2EA. (1)求證：PC平面EBD； (2)求平面PCD與平面PAB所成的角的大小(用反三角函數(shù)表示) 2利用空間向量求異面直線所成角、線面角及二面角大小，簡(jiǎn)化了這類(lèi)題型的思維量 例4如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn) (1)求直線A1C與DE所成的角； (2)求直線AD與平面B1ED所成的角 解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系 說(shuō)明向量所成角與異面直線所成角、線面角及二面角的大小之間有著密切聯(lián)系，注意范圍，這也是這三類(lèi)角的最主要求法 3利用空間向量求距離 立體幾何求距離是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，求解的常見(jiàn)方法有作出所求的線段構(gòu)造三角形、解這個(gè)三角形或利用等面積、等體積轉(zhuǎn)化或運(yùn)用向量來(lái)解決 例5四棱錐EABCD中，底面ABCD是矩形，AB2BC2，側(cè)面ADE是正三角形且垂直于底面ABCD，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，AD中點(diǎn)為O，求O到平面EFC的距離