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1、 課程目標 1雙基目標 1理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘向量運算的性質，會運用上述知識熟練地進行空間向量的運算 2理解共線向量定理、共面向量定理和空間向量分解定理，會用所學知識解決立體幾何中有關的簡單問題 3掌握空間的向量夾角的概念及表示方法，掌握兩個向量的數(shù)量積的概念、性質及運算律，會用它解決立體幾何中的簡單問題 4理解空間向量坐標的概念，掌握空間向量的坐標運算，會判斷兩個向量平行或垂直；掌握兩個向量的夾角公式和向量長度的坐標計算公式，并會用這些公式解決有關問題 5理解直線的方向向量與平面的法向量，能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關系 6能用向量方法證明有關線
2、、面位置關系的一些定理(包括三垂線定理)，能夠用向量方法解決線線、線面、面面的夾角及距離問題 7在運用空間向量解決有關直線、平面位置關系的問題中，體會向量方法在研究幾何圖形中的作用，進一步發(fā)展空間想象能力和幾何直觀能力 2情感目標 讓學生經(jīng)歷由平面向量向空間向量推廣的過程，感悟運算、推理在探索和發(fā)現(xiàn)中的作用，感受理性思維的力量，提高學生的數(shù)學素養(yǎng) 重點難點 本章重點：空間向量及其運算，以空間向量為工具通過空間向量的運算證明空間直線與直線、直線與平面、兩個平面的平行和垂直，求空間兩條直線、直線與平面所成的角、二面角的大小，求空間點到平面的距離 本章難點：用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行
3、關系，能用向量方法證明有關線、面關系的一些定理，并能解決線線、線面、面面的夾角及距離的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用 學法探究 空間向量與平面向量沒有本質區(qū)別，都是表示具有大小和方向的量，它們的運算：加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積也完全相同因此，利用空間向量解決立體幾何問題，也是先利用空間向量表示空間點、直線、平面等元素，建立立體幾何與空間向量的聯(lián)系，進行空間向量的運算；作出運算結果的幾何解釋，進而得出幾何結論。在學習過程中，我們要注意空間向量與平面向量的類比，體會空間向量在立體幾何中的作用 31空間向量及其運算空間向量及其運算 1知識與技能 通過本節(jié)的學習，理解向量的概念掌握空間向量
4、的加法、減法和數(shù)乘運算 2過程與方法 通過與平面向量的類比、學習空間向量的運算，探究它們的共同與不同之處 3情感態(tài)度與價值觀 激發(fā)學生善于發(fā)現(xiàn)，勇于探索的精神 重點：向量的概念及其運算 難點：向量的運算 1空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量的意義及運算律與平面向量類似，這些運算不但適合中學里的代數(shù)運算律，而且有很多性質與實數(shù)性質完全相同 空間任意兩個向量都可以(通過平移)轉化為平面向量，兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立 此即為空間向量和的多邊形法則 用折線作向量的和時，有可能折線的終點恰恰重合到起點上，這時的和向量就為零向量 3空間向量的加法和數(shù)乘向量運算與平面向量一樣，滿足如下運算律
5、(1)加法交換律：abba； (2)加法結合律：(ab)ca(bc)； (3)分配律：()aaa，(ab)ab. 1. 在空間，具有_的量叫做向量 2同向且等長的有向線段表示_ 3表示向量a的有向線段的長度叫做向量的_，記作|a|. 4有向線段所在的直線叫做_ 5如果空間向量的基線互相平行或重合，則這些向量叫做_，a平行于b，記作_ 6 空 間 向 量 的 加 法 與 數(shù) 乘 向 量 滿 足_以及數(shù)乘分配律 答案1.大小和方向 2同一向量或相等的向量 3長度或模 4向量的基線 5共線向量或平行向量ab 6加法交換律、結合律 例1給出以下命題： 若空間向量m，n，p滿足mn，np，則mp. 若a
6、0，則0或a0. 若空間向量a，b，c滿足ab，bc，則ac. 其中正確命題的序號是_ 解析正確mn， m與n的長度相等，方向相同 又np，n與p的長度相等，方向相同， m與p的長度相等，方向相同，即mp. 正確由數(shù)乘向量的定義知 |a|a|0|， |a|0，|0或|a|0， 即0或a0. 錯誤0與任何空間向量平行， a0，0c，但a與c有可能不平行 所以正確 答案 說明數(shù)學概念是數(shù)學體系的基礎，準確掌握數(shù)學概念的內(nèi)涵和外延是進一步學好數(shù)學的前提，空間向量的相關概念也是如此熟練掌握空間向量的有關概念是解決這類問題的關鍵 給出以下命題： 零向量無方向； (a)()a； a，b，c為空間向量，則有
7、|abc|a|b|c|. 其中命題正確的序號為_ 答案 例2如圖所示，已知正方體ABCDA1B1C1D1中，點E是上底面A1C1的中心，化簡下列向量表達式， 并在圖中標出化簡結果的向量 分析由加法法則直接化簡 說明化簡向量表達式一定要觀察立體圖形，運用向量的三角形法則或平行四邊形法則，把空間向量轉化為平面向量解決 已知正方體ABCDABCD的中心為O，則在下列各結論中正確的結論共有() 答案C 解析如圖所示 分析要想用a、b、c表示出所給向量，只需結合圖形，充分運用空間向量的加法和數(shù)乘向量的運算律即可 解析如圖所示 說明用已知向量表示未知向量，一定要結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵 設四面體
8、ABCD的三條棱b，c，d.求四面體其他各棱，以及面BCD上的中線和向量，其中Q是三角形BCD的重心 例4如圖所示，ABCD ABCD中，點E是上底面ABCD的中心，求下列各式的x、y、z的值： 說明用不共面的向量表示空間的其他向量，一般要用向量的加法、減法、數(shù)乘的運算法則，包括加法的平行四邊形法則及加法、減法的三角形法則 例5給出下列命題： 兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同； 若空間向量a，b滿足|a|b|，是ab； 若向量a是向量b的相反向量，則|a|b|； 空間向量的減法滿足結合律； 在四邊形ABCD中，一定有； 在正方體ABCDA1B1C1D1中，必有； 若空間向量m、n
9、、p滿足mn，np，則mp； 空間中任意兩個單位向量必相等 其中正確的命題序號為_ 誤解 辨析根據(jù)空間向量的基本概念，加、減法和數(shù)乘運算法則，以及性質判斷 正解根據(jù)向量的平移知錯誤； 向量的模相等，只是表示空間向量的有向線段長度相等，而體現(xiàn)不出方向間關系，故錯誤； a，b是相反向量，則ab，|a|b|，正確； 向量只定義加法且有結合律，減法不具有結合律，錯誤； 一般的四邊形不具有，只有平行四邊形才能成立錯誤； 顯然正確； 空間中任意兩個單位向量模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，故錯 答案 一、選擇題 1空間四邊形ABCD中() AabcBcab Cabc Dbac 答案B 2在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，與向量相等的向量共有() A1個B2個 C3個D4個 答案C 3空間四邊形ABCD中，若E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，則下列各式中成立的是() 答案B 三、解答題 6已知ABCD為正方形，P是ABCD所成平面外一點，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O.Q是CD的中點，求下列各題中x，y的值：
高中數(shù)學 311空間向量的線性運算課件 新人教B版選修21
