《高考第二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)案專題四 數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考第二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)案專題四 數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列
1．（2011陜西高考，文10）植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米．開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊．現(xiàn)將樹坑從1到20依次編號(hào)，為使各位同學(xué)從各自樹坑前來(lái)領(lǐng)取樹苗所走的路程總和最小，樹苗可以放置的兩個(gè)最佳坑位的編號(hào)為（ ?。?
A．①和B．⑨和⑩C．⑨和D．⑩和
2．（2011廣東高考，文11）已知{an}是遞增等比數(shù)列，a2＝2，a4－a3＝4，則此數(shù)列的公比q＝__________．
3．（2010重慶高考，文2）在等差數(shù)列{an}中，a1＋a9＝10，則a5的值為（ ?。?
A．5B．6
C．
2、8D．10
對(duì)等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)及其運(yùn)用的考查，多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，突出“小巧、靈活、善變”的特點(diǎn)，在高考題中，數(shù)列常常與函數(shù)、不等式、三角、解析幾何、概率、充要條件相結(jié)合，在知識(shí)交匯處命題．以考查等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)、單調(diào)性等性質(zhì)為主．
熱點(diǎn)一 等差、等比數(shù)列的判定與證明
判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差（等比）數(shù)列或證明一個(gè)數(shù)列是等差（等比）數(shù)列，最基本的方法是根據(jù)等差（等比）數(shù)列的定義，另外，還可使用中項(xiàng)公式，通項(xiàng)公式，或者前n項(xiàng)和公式等；若已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)時(shí)，常對(duì)遞推關(guān)系變形，構(gòu)造一個(gè)新的等差（等比）數(shù)列，從而進(jìn)一步求原數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而判斷或證明．
3、【例1】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an＋Sn＝n．求證：數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列．
思路點(diǎn)撥：利用定義證為常數(shù)．
判定或證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列或等比數(shù)列的四種基本方法：
（1）定義法：an＋1－an＝d（d為常數(shù)）
?{an}為等差數(shù)列；
＝q（q為非零常數(shù)）?{an}為等比數(shù)列．
（2）中項(xiàng)公式法：2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*）?{an}為等差數(shù)列；
a＝an·an＋2（an≠0，n∈N*）?{an}為等比數(shù)列．
（3）通項(xiàng)公式法：an＝pn＋q（p，q為常數(shù)）?{an}為等差數(shù)列；
an＝cqn（c，q為非零常數(shù)，n∈N*）?{an}為等比數(shù)列．
4、
（4）前n項(xiàng)和公式法：Sn＝an2＋bn＋c（a，b，c都是常數(shù)），c＝0?{an}為等差數(shù)列；
Sn＝k（qn－1），k為常數(shù)，且q≠0，1?{an}為等比數(shù)列．
提醒：①前兩種方法是證明等差（等比）數(shù)列的常用方法，而后兩種方法常用于選擇、填空中的判定；
②若要判定一個(gè)數(shù)列不是等差（等比）數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等差（等比）即可．
拓展延伸在數(shù)列{an}中，an＋1＋an＝2n－44（n∈N*），a1＝－23．是否存在常數(shù)λ使數(shù)列{an－n＋λ}為等比數(shù)列，若存在，求出λ的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
熱點(diǎn)二 由遞推公式到通項(xiàng)公式
（1）通過(guò)遞推關(guān)系求得數(shù)
5、列類型（等差或等比），進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；
（2）觀察遞推關(guān)系的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)方法求得．一般常利用“化歸法”、“累加法”、“累乘法”等．
【例2】在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋．求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
思路點(diǎn)撥：由題意an＋1－an＝＝－，故可用累加法求an．
1．已知Sn，求an可用分段函數(shù)an＝
求解．
2．累加法：數(shù)列遞推關(guān)系形如an＋1＝an＋f（n），其中{f（n）}要可求和．這種類型的數(shù)列求通項(xiàng)公式時(shí)，常用累加法（疊加法）．
3．累乘法：數(shù)列遞推關(guān)系形如an＋1＝g（n）an，其中{g（n）}要可求積，此數(shù)列求通項(xiàng)公式一般采用累乘法（疊乘法）．
6、4．構(gòu)造法：遞推關(guān)系形如：
（1）an＋1＝pan＋q（p，q為常數(shù)），可化為an＋1＋＝p（p≠1）的形式，利用是以p為公比的等比數(shù)列求解；
（2）遞推關(guān)系形如an＋1＝pan＋qpn＋1（p，q為常數(shù)）可化為－＝q（p≠1）的形式．
5．?dāng)?shù)列遞推關(guān)系形如an＋1＝pa（p，r為常數(shù)，且p>0，an>0），求通項(xiàng)公式時(shí)一般采用遞推關(guān)系式兩邊取對(duì)數(shù)的方法．
6．若an＝an＋T，則{an}為周期數(shù)列，周期為T（T∈N*），求an時(shí)可轉(zhuǎn)化為求a1，a2，…，aT來(lái)處理．
拓展延伸數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝1，Sn＝5an＋1．求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
熱點(diǎn)三 等差、
7、等比數(shù)列的基本運(yùn)算
（1）在等差（或等比）數(shù)列中，已知a1，n，d（或q），an，Sn五個(gè)量中任意三個(gè)，通過(guò)解方程（組）可求另外兩個(gè)；
（2）利用等差（或等比）數(shù)列的性質(zhì)解題．
【例3】在公差為d（d≠0）的等差數(shù)列{an}和公比為q的等比數(shù)列{bn}中，a2＝b1＝3，a5＝b2，a14＝b3，
（1）求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）令cn＝ban，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．
思路點(diǎn)撥：（1）由等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程組求an，bn；（2）構(gòu)造新數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式求Tn．
有關(guān)等差、等比數(shù)列的計(jì)算問(wèn)題常用到以下的基本性質(zhì)：
（1）等差數(shù)列的性質(zhì)
①若
8、m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq；
②Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差數(shù)列；
③am－an＝（m－n）d?d＝（m，n∈N*）；
④＝（A2n－1，B2n－1分別為{an}，{bn}的前2n－1項(xiàng)和）．
（2）等比數(shù)列的性質(zhì)
①若m，n，p，k∈N*，且m＋n＝p＋k，則am·an＝ap·ak；
②等比數(shù)列中連續(xù)n項(xiàng)之積構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列；
③在等比數(shù)列{an}中，公比為q（q≠－1），Sn是其前n項(xiàng)和，則數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，且公比為qn．
拓展延伸令例3（2）中的cn＝abn（其他條件不
9、變），求其前n項(xiàng)和Qn．
1．不注意“數(shù)列”是“特殊的函數(shù)”致誤
數(shù)列是特殊的函數(shù)，可以用動(dòng)態(tài)的函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列，但必須時(shí)刻注意其“特殊”性，即定義域?yàn)閚∈N*．如數(shù)列{an}，其通項(xiàng)an＝n2－3n＋2＝2－的最小值為0（n＝1或n＝2），而不是－．
2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中一定要考慮公式適用條件q＝1或q≠1，否則導(dǎo)致失誤，若q＝1，則Sn＝na1；若q≠1，則Sn＝．
3．對(duì)數(shù)列的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化不當(dāng)致誤
解決遞推數(shù)列問(wèn)題的基本原則是根據(jù)遞推數(shù)列的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，掌握以下幾類遞推關(guān)系的轉(zhuǎn)化，可極大地提高解題效率．①遞推關(guān)系形如an＋1＝qan＋p，可用待定系數(shù)法：an＋1＋λ
10、＝q（an＋λ）；
②遞推關(guān)系形如an＋1＝，可用取倒數(shù)法；
③觀察法，如an＋1＝22an?＝2·．
參考答案
考場(chǎng)傳真
1．D解析：設(shè)小樹放在第i個(gè)坑旁邊，所走路程之和為f（i）．由于每?jī)煽又g相距10米，且每個(gè)學(xué)生所走路程為往返，所以，當(dāng)i分別等于1,20,9,10,11時(shí)的路程之和分別為：
f（1）＝2[0＋10＋20＋…＋190]
＝2×＝3800（米），
f（20）＝2[190＋180＋…＋20＋10＋0]
＝2×＝3800（米），
f（9）＝2[80＋70＋60＋…＋10＋0＋10＋20＋…＋110]
＝2＝2040（米），
f（10）＝2[90＋80
11、＋70＋…＋10＋0＋10＋20＋…＋100]
＝2＝2000（米），
f（11）＝2[100＋90＋…＋10＋0＋10＋20＋…＋90]
＝2＝2000（米）．
比較可得，最小的是f（10），f（11）．
2．2設(shè){an}的公比為q，則a4＝a2q2，a3＝a2q.
a4－a3＝a2q2－a2q＝4，又a2＝2，
得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1.
又{an}為遞增數(shù)列，則q＝2.
3．A解析：因?yàn)閍1＋a9＝2a5，所以a5＝5.
核心攻略
【例1】證明：∵a1＝S1，an＋Sn＝n，①
∴a1＋S1＝1，得a1＝.
又an＋1＋Sn＋1＝n＋1，②
①
12、②兩式相減，得2（an＋1－1）＝an－1，即＝，故數(shù)列{an－1}是以－為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
拓展延伸解：假設(shè)an＋1－（n＋1）＋λ＝－（an－n＋λ）成立，整理得an＋1＋an＝2n＋1－2λ，與an＋1＋an＝2n－44比較得λ＝.
∴數(shù)列{an－n＋}是以－為首項(xiàng)，－1為公比的等比數(shù)列．
故an－n＋＝－（－1）n－1，
即an＝n－－（－1）n－1.
【例2】解：由an＋1－an＝＝－，得n≥2時(shí)，an－an－1＝－，
an－1－an－2＝－，…，a3－a2＝－，a2－a1＝1－，a1＝1.累加得an＝－＋－＋…＋－＋1－＋1＝2－＝（n≥2），當(dāng)n＝1時(shí)，a1也
13、適合上式，∴an＝.
拓展延伸解：∵Sn＝5an＋1，∴an＋1＝Sn.∴an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an（n≥2）．∴an＋1＝an（n≥2）．
又∵a1＝1，∴S1＝1.
∴a2＝S1＝×1＝.
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝
【例3】解：（1）由條件得∴∴an＝2n－1，bn＝3n.
（2）由（1）得cn＝ban＝b2n－1＝32n－1.
∵＝＝9，c1＝3，
∴{cn}是首項(xiàng)為3，公比為9的等比數(shù)列．
∴Tn＝＝（9n－1）．
拓展延伸解：由（1）得cn＝abn＝a3n＝2·3n－1.
∴Qn＝c1＋c2＋…＋cn＝2（3＋32＋…＋3n）－n
＝2×－n＝3n＋1－n－3.
內(nèi)容總結(jié)
（1）②等比數(shù)列中連續(xù)n項(xiàng)之積構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列
高考第二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)案專題四 數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列
