高考數(shù)學(xué) 備考沖刺之易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛系列 專題 概率與統(tǒng)計(jì)文科學(xué)生

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1、概率與統(tǒng)計(jì) 一、高考預(yù)測(cè) 計(jì)數(shù)原理、概率統(tǒng)計(jì)部分是高中數(shù)學(xué)中使用課時(shí)最多的一個(gè)知識(shí)板塊，高考對(duì)該部分的考查分值也較多．從近幾年的情況看，該部分考查的主要問(wèn)題是排列組合應(yīng)用問(wèn)題，二項(xiàng)式定理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，隨機(jī)抽樣，樣本估計(jì)總體，線性回歸分析，獨(dú)立性檢驗(yàn)，古典概型，幾何概型，事件的獨(dú)立性，隨機(jī)變量的分布、期望和方差，正態(tài)分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用，在試卷中一般是2～3個(gè)選擇題、填空題，一個(gè)解答題，試題難度中等或者稍易．預(yù)計(jì)2012年該部分的基本考查方向還是這樣，雖然可能出現(xiàn)一些適度創(chuàng)新，但考查的基本點(diǎn)不會(huì)發(fā)生大的變化．計(jì)數(shù)原理、概率統(tǒng)計(jì)部分的復(fù)習(xí)要從整體上，從知識(shí)的相互關(guān)系上進(jìn)行．概率試題的核心是概率計(jì)算，

2、其中事件之間的互斥、對(duì)立和獨(dú)立性是概率計(jì)算的核心，排列組合是進(jìn)行概率計(jì)算的工具，在復(fù)習(xí)概率時(shí)要抓住概率計(jì)算的核心和這個(gè)工具；統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的核心是樣本數(shù)據(jù)的分布，反映樣本數(shù)據(jù)的方法：樣本頻數(shù)表、樣本頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，得到樣本數(shù)據(jù)的方法是隨機(jī)抽樣，在復(fù)習(xí)統(tǒng)計(jì)部分時(shí)，要緊緊抓住這些圖表和方法，把圖表的含義弄清楚，這樣剩下的問(wèn)題就是有關(guān)的計(jì)算和對(duì)統(tǒng)計(jì)思想的理解，如樣本均值和方差的計(jì)算，用樣本估計(jì)總體等． 二、知識(shí)導(dǎo)學(xué) 要立足于基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本問(wèn)題的練習(xí)，恰當(dāng)選取典型例題，構(gòu)建思維模式，造就思維依托和思維的合理定勢(shì) 3．對(duì)立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次

3、試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件，集合A的對(duì)立事件記作，從集合的角度來(lái)看，事件所含結(jié)果的集合正是全集U中由事件A所含結(jié)果組成集合的補(bǔ)集，即A∪=U，A∩=.對(duì)立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件。 要點(diǎn)1. 求等可能性事件、互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率解此類題目常應(yīng)用以下知識(shí): (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝＝;等可能事件概率的計(jì)算步驟：計(jì)算一次試驗(yàn)的基本事件總數(shù);設(shè)所求事件A，并計(jì)算事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù);依公式求值;答，即給問(wèn)題一個(gè)明確的答復(fù). (4)解決概率問(wèn)題要注意“四個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)合”：求概率的步驟是：第一步，確定事件性質(zhì)即所給的問(wèn)題歸結(jié)為四

4、類事件中的某一種.第二步，判斷事件的運(yùn)算即是至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件.第三步，運(yùn)用公式求解第四步，答，即給提出的問(wèn)題有一個(gè)明確的答復(fù). 要點(diǎn)3 正態(tài)分布與線性回歸 1.正態(tài)分布的概念及主要性質(zhì) （1）正態(tài)分布的概念如果連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為，x 其中、為常數(shù)，并且＞0，則稱服從正態(tài)分布，記為（，）. （2）期望E =μ，方差. （3）正態(tài)分布的性質(zhì)正態(tài)曲線具有下列性質(zhì):①曲線在x軸上方，并且關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱.②曲線在x=μ時(shí)處于最高點(diǎn)，由這一點(diǎn)向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸降低.③曲線的對(duì)稱軸位置由μ確定；曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”；

5、反之越“高瘦”. （4）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 當(dāng)=0，=1時(shí)服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，記作（0，1） （5）兩個(gè)重要的公式①,②. （6）與二者聯(lián)系.若，則; ②若，則. 三、易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛 一、概念理解不清致錯(cuò) 例1．拋擲一枚均勻的骰子，若事件A：“朝上一面為奇數(shù)”，事件B：“朝上一面的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3”，求P（A+B） 錯(cuò)誤解法2：事件A：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1，3，5；事件B：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，即以A、B事件中重復(fù)的點(diǎn)數(shù)1、3 ∴P（A+B）=P（A）+P（B）－P（A·B）= 錯(cuò)因分析：A、B事件中重復(fù)點(diǎn)數(shù)為1、3，所以P（A·B）=；這種錯(cuò)誤解法在于簡(jiǎn)單地類比應(yīng)用容斥原理致錯(cuò)

6、 正確解答：P（A+B）=P（A）+P（B）－P（A·B）= 例2．某人拋擲一枚均勻骰子，構(gòu)造數(shù)列，使，記 求且的概率。 二、有序與無(wú)序不分致錯(cuò) 例3．甲、乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，共有10個(gè)不同的題目，其中選擇題6個(gè)，判斷題4個(gè)，甲、乙依次各抽一題。求：（1）甲抽到選擇題，乙提到判斷題的概率是多少？（2）甲、乙兩人中至少有1人抽到選擇題的概率是多少？ 錯(cuò)誤解法：（1）甲從選擇題抽到一題的結(jié)果為乙從判斷題中抽到一題的結(jié)果為 而甲、乙依次抽到一題的結(jié)果為∴所求概率為： 錯(cuò)因分析：甲、乙依次從10個(gè)題目各抽一題的結(jié)果，應(yīng)當(dāng)是先選后排，所以應(yīng)為。為避免錯(cuò)誤，對(duì)于基本事件總數(shù)也可這樣做：甲抽

7、取一道題目的結(jié)果應(yīng)為種，乙再抽取余下的9道題中的任一道的結(jié)果應(yīng)為種，所以正確解答： 例4．已知8支球隊(duì)中有3支弱隊(duì)，以抽簽方式將這8支球隊(duì)分為A、B兩組，每組4支，求：A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率。 錯(cuò)解1：將8支球隊(duì)均分為A、B兩組，共有種方法：A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的分法為：先從3支弱隊(duì)取2支弱隊(duì)，又從5支強(qiáng)隊(duì)取2支強(qiáng)隊(duì)，組成這一組共有種方法，其它球隊(duì)分在另一組，只有一種分法?！嗨笫录母怕蕿椋骸? 錯(cuò)因分析：從基本事件的結(jié)果數(shù)來(lái)看，分組是講求順序的，那么指定事件：“A、B組中有一組有2支弱隊(duì)”應(yīng)分為兩種情形。即“A組有”或“B組有”，所以正確解答為： 正解：或

8、說(shuō)明：這道題也可從對(duì)立事件求解：3支弱隊(duì)分法同一組共有：種結(jié)果。 ∴所求事件概率為 三、分步與分類不清致錯(cuò) 例5．某種射擊比賽的規(guī)則是：開(kāi)始時(shí)在距目標(biāo)100m處射擊，若命中記3分，同時(shí)停止射擊。若第一次未命中，進(jìn)行第二次射擊，但目標(biāo)已在150m遠(yuǎn)處，這時(shí)命中記2分，同時(shí)停止射擊；若第2次仍未命中，還可以進(jìn)行第3次射擊，此時(shí)目標(biāo)已在200m遠(yuǎn)處。若第3次命中則記1分，同時(shí)停止射擊，若前3次都未命中，則記0分。已知身手甲在100m處擊中目標(biāo)的概率為，他命中目標(biāo)的概率與目標(biāo)的距離的平方成反比，且各次射擊都是獨(dú)立的。求：射手甲得k分的概率為Pk，求P3，P2，P1，P0的值。 ：設(shè)射手射擊命中

9、目標(biāo)的概率P與目標(biāo)距離之間的關(guān)系 為，由已知 錯(cuò)誤解法：， 正解：， ， 四、考慮不周致錯(cuò) 例6．某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下： 7 8 9 10 P 0.2 0.2 0.2 0.2 現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高的環(huán)數(shù)作為他的成績(jī)記為，求：的分布列。 例7．將n個(gè)球等可能地放入到N（n×n）個(gè)有編號(hào)的盒子中（盒子中容納球的個(gè)數(shù)不限）。求A：某指定的n個(gè)盒子中恰有一球的概率。 錯(cuò)誤解法：將n個(gè)球等可能地放入到N個(gè)盒子中，共有Nn種方法。 而指定的n個(gè)盆中各有一球的放法有：n!種，則所求概率： 錯(cuò)因分析：這種解法不全面，如果球

10、是有編號(hào)的，則答案是對(duì)的。若球是不可辨認(rèn)的，則答案錯(cuò)了，若球是不可辨認(rèn)的，則若考慮盒子中球的個(gè)數(shù)而不考慮放的是哪幾個(gè)球，為此，我們用“□”表示一個(gè)盒子；用“○”表示一個(gè)球，先將盒子按編號(hào) 1 2 3 4 5 n 把n個(gè)球放入N中盒子中，形如：1010011……10001，正好看作N+1個(gè)“1”和n個(gè)“0”的全排列。由于兩邊必為“1”所以排法只有種；而指定的n個(gè)盒子中恰有一球的放法只有1種，故 六.混淆有放回與不放回致錯(cuò) 例9．某產(chǎn)品有3只次品，7只正品，每次取1只測(cè)試，取后不放回，求：（1）恰好到第5次3只次品全部被測(cè)出的概率；（2）恰好到第k

11、次3只次品全部被測(cè)出的概率的最大值和最小值。 錯(cuò)解：（1）P（A）=（2）。 錯(cuò)因分析：錯(cuò)解（1）的錯(cuò)誤的原因在于忽視了“不放回摸球”問(wèn)題的每一次摸球是不獨(dú)立的；而錯(cuò)解（2）的錯(cuò)誤的原因則在于忽視了“不放回摸球”問(wèn)題的每一次摸球袋內(nèi)球的總數(shù)是變的（比前一次少一個(gè)）。 正解：（1） （2） 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。 四、典型習(xí)題導(dǎo)練 （II）若第一次抽張卡片，放回后再抽取1張卡片，求兩次抽取中至少一次抽到數(shù)字3的概率 3、某籃球隊(duì)甲、乙兩名隊(duì)員在本賽季已結(jié)束的8場(chǎng)比賽中得分統(tǒng)計(jì)的莖葉圖如下： （I）比較這兩名隊(duì)員在比賽中得分的均值和方差的大?。海↖I）從乙比賽得分在20分以下的

12、6場(chǎng)比賽中隨機(jī)抽取2場(chǎng)進(jìn)行失誤分析，求抽到恰好有1場(chǎng)得分不足10分的概率． 4、對(duì)某校高三年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取名學(xué)生作為樣本，得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下： 分組 頻數(shù) 頻率 10 0.25 24 2 0.05 合計(jì) 1 頻率/組距 15 25 20 10 0 30 次數(shù) a （Ⅰ）求出表中及圖中的值；（Ⅱ）若該校高三學(xué)生有240人，試估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；（Ⅲ）在所取樣本中，

13、從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率． 。 6、某工廠有甲、乙兩個(gè)車間，每個(gè)車間各有編號(hào)為1、2、3、4、5的5名技工．在某天內(nèi)每名技工加工的合格零件的個(gè)數(shù)如下表： 1號(hào) 2號(hào) 3號(hào) 4號(hào) 5號(hào) 甲車間 4 5 7 9 10 乙車間 5 6 7 8 9 （Ⅰ）分別求出甲、乙兩個(gè)車間技工在該天內(nèi)所加工的合格零件的平均數(shù)及方差，并由此比較兩個(gè)車間技工的技術(shù)水平；（Ⅱ）質(zhì)檢部門從甲、乙兩個(gè)車間中各隨機(jī)抽取名技工，對(duì)其加工的零件進(jìn)行檢測(cè)，若兩人完成合格零件個(gè)數(shù)之和不小于12個(gè)，則稱

14、該工廠“質(zhì)量合格”，求該工廠“質(zhì)量合格”的概率． 8、某學(xué)校共有教職工900人，分成三個(gè)批次進(jìn)行繼續(xù)教育培訓(xùn)，在三個(gè)批次中男、女教職工人數(shù)如左表所示。已知在全體教職工中隨機(jī)抽取1名，抽到第二批次中女教職工的概率是0.16. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）現(xiàn)用分層抽樣的方法在全體教職工中抽取54名做培訓(xùn)效果的調(diào)查，問(wèn)應(yīng)在第三批次中抽取教職工多少名？(Ⅲ)已知，求第三批次中女教職工比男教職工多的概率. 第一批次 第二批次 第三批次 女教職工 196 男教職工 204 156 9、某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)X依次為1，2，3，4，5.現(xiàn)從

15、一批日用品中隨機(jī)抽取20件，對(duì)其等級(jí)系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率分布表如下表所示： 等級(jí) 頻數(shù) 頻率 1 c a 2 4 b 3 9 0.45 4 2 0.1 5 3 0.15 合計(jì) 20 1 (Ⅰ)若所抽取的20件日用品中，等級(jí)系數(shù)為2的恰有4件，求a,b,c的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，從等級(jí)為4的2件日用品和等級(jí)為5的3件日用品中任取兩件（假定每件日用品被取出的可能性相同），寫出所有可能的結(jié)果，并求這兩件日用品的等級(jí)系數(shù)恰好相等的概率. 10、某大學(xué)對(duì)該校參加某項(xiàng)活動(dòng)的志愿者實(shí)施“社會(huì)教育實(shí)施”學(xué)分考核，該大學(xué)考核只有合格和優(yōu)秀兩個(gè)等

16、次.若某志愿者考核為合格，授予個(gè)學(xué)分；考核為優(yōu)秀，授予個(gè)學(xué)分.假設(shè)該校志愿者甲、乙考核為優(yōu)秀的概率分別為、，乙考核合格且丙考核優(yōu)秀的概率為.甲、乙、丙三人考核所得等次相互獨(dú)立. (Ⅰ)求在這次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率；(Ⅱ)求在這次考核中，甲、乙、丙三名志愿者所得學(xué)分之和為的概率. 12、某校高二年級(jí)研究性學(xué)習(xí)小組，為了分析2011年我國(guó)宏觀經(jīng)濟(jì)形勢(shì)，上網(wǎng)查閱了2010年和2011年2—6月我國(guó)CPI同比（即當(dāng)年某月與前一年同月相比）的增長(zhǎng)數(shù)據(jù)（見(jiàn)下表），但2011年4，5，6三個(gè)月的數(shù)據(jù)（分別記為x，y，z）沒(méi)有查到. 有的同學(xué)清楚記得2011年2，

17、3，4，5，6五個(gè)月的CPI數(shù)據(jù)成等差數(shù)列. （Ⅰ）求x，y，z的值；（Ⅱ）求2011年2—6月我國(guó)CPI的數(shù)據(jù)的方差；（Ⅲ）一般認(rèn)為，某月CPI達(dá)到或超過(guò)3個(gè)百分點(diǎn)就已經(jīng)通貨膨脹，而達(dá)到或超過(guò)5個(gè)百分點(diǎn)則嚴(yán)重通貨膨脹. 現(xiàn)隨機(jī)地從上表2010年的五個(gè)月和2011年的五個(gè)月的數(shù)據(jù)中各抽取一個(gè)數(shù)據(jù)，求相同月份2010年通貨膨脹，并且2011年嚴(yán)13、某校為了解學(xué)生的視力情況，隨機(jī)抽查了一部分學(xué)生的視力，將調(diào)查結(jié)果分組，分組區(qū)間為（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理，得到如下頻率分布表： 分組 頻數(shù) 頻率 （3.9，4.2] 3 0.06 （4

18、.2，4.5] 6 0.12 （4.5，4.8] 25 x （4.8，5.1] y z （5.1，5.4] 2 0.04 合計(jì) n 1.00 （Ⅰ）求頻率分布表中未知量n，x，y，z的值；（Ⅱ）從樣本中視力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同學(xué)中隨機(jī)抽取兩人，求兩人的視力差的絕對(duì)值低于0.5的概率． 14、口袋中有6個(gè)大小相同的小球,其中1個(gè)小球標(biāo)有數(shù)字“3”,2個(gè)小球標(biāo)有數(shù)字“2”,3個(gè)小球標(biāo)有數(shù)字“1”,每次從中任取一個(gè)小球,取后放回,連續(xù)抽取兩次。(I)求兩次取出的小球所標(biāo)數(shù)字不同的概率;(II)記兩次取出的小球所標(biāo)數(shù)字之和為,求事件“”的

19、概率 17、對(duì)人們的休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了100人，其中女性60人，男性40人．女性中有38人主要的休閑方式是看電視，另外22人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)；男性中有15人主要的休閑方式是看電視，另外25人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表；(2)判斷性別與休閑方式是否有關(guān)． 參考公式：； 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.8

20、3 參考數(shù)據(jù)：60×40×53×47=5978400,620×620=384400, 384400÷59784≈6.4298. 18、時(shí)維壬辰，序?qū)僦俅?，值春耕播種時(shí)機(jī)，某中學(xué)生物研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)春季晝夜溫差大小與水稻發(fā)芽率之間的關(guān)系進(jìn)行研究，記錄了實(shí)驗(yàn)室4月10日至4月14日的每天晝夜溫差與每天每50顆稻籽浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料： 日 期 4月10日 4月11日 4月12日 4月13日 4月14日 溫 差x（oC） 10 12 13 14 11 發(fā)芽數(shù)y（顆） 11 13 14 16 12 （Ⅰ）從4月10日至4月14日中任選2天，

21、記發(fā)芽的種子數(shù)分別為m，n，求事件“m，n均小于14”的概率； 19、在某醫(yī)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，某實(shí)驗(yàn)小組為了分析某種藥物用藥量與血液中某種抗體水平的關(guān)系，選取六只實(shí)驗(yàn)動(dòng)物進(jìn)行血檢，得到如下資料： 動(dòng)物編號(hào) 1 2 3 4 5 6 用藥量x（單位） 1 3 4 5 6 8 抗體指標(biāo)y (單位） 3.4 3.7 3.8 4.0 4.2 4.3 記為抗體指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差，若抗體指標(biāo)落在內(nèi)則稱該動(dòng)物為有效動(dòng)物，否則稱為無(wú)效動(dòng)物.研究方案規(guī)定先從六只動(dòng)物中選取兩只，用剩下的四只動(dòng)物的數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對(duì)被選取的兩只動(dòng)物數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).(Ⅰ)求選取的兩只動(dòng)物都是有效

22、動(dòng)物的概率；（Ⅱ）若選取的是編號(hào)為1和6的兩只動(dòng)物，且利用剩余四只動(dòng)物的數(shù)據(jù)求出關(guān)于的線性回歸方程為試求出的值;(Ⅲ)若根據(jù)回歸方程估計(jì)出的1號(hào)和6號(hào)動(dòng)物的抗體指標(biāo)數(shù)據(jù)與檢驗(yàn)結(jié)果誤差都不超過(guò)抗體指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試判斷（Ⅱ）中所得線性回歸方程是否可靠. 20、衡陽(yáng)市第一次聯(lián)考后，某校對(duì)甲、乙兩個(gè)文科班的數(shù)學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀.統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下的列聯(lián)表,且已知在甲、乙兩個(gè)文科班全部110人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為. 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 合計(jì) 甲班 10 乙班 30 合計(jì) 110 內(nèi)容總結(jié) （1）即“A組有”或“B組有”，所以正確解答為： 正解：或 說(shuō)明：這道題也可從對(duì)立事件求解：3支弱隊(duì)分法同一組共有：種結(jié)果 （2）10001，正好看作N+1個(gè)“1”和n個(gè)“0”的全排列