剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.ppt

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7 3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 7 3 1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)的角動(dòng)量 7 3 2剛體對(duì)一定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 7 3 3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定理 7 3 4剛體的重心 7 3 5典型例子 7 3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 7 3 1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)的角動(dòng)量 1 轉(zhuǎn)軸為對(duì)稱軸 如圖 對(duì)O點(diǎn) 因m1 m2 m 故總角動(dòng)量 2 轉(zhuǎn)軸為非對(duì)稱軸 如圖 對(duì)O點(diǎn)同樣有 總角動(dòng)量與轉(zhuǎn)軸成 角 剛體繞對(duì)稱軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí) 剛體對(duì)軸上任一點(diǎn)的角動(dòng)量與角速度方向相同 一般情況 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸上一點(diǎn)的角動(dòng)量并不一定沿角速度的方向 而是與之成一定夾角 7 3 2剛體對(duì)一定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量 設(shè)剛體繞Oz軸轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體角動(dòng)量在z軸的投影 剛體對(duì)z軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 剛體對(duì)z軸角動(dòng)量 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度 1 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 二轉(zhuǎn)動(dòng)剛體發(fā)生完全非彈性碰撞角動(dòng)量守恒 動(dòng)畫演示 質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 質(zhì)量元 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算方法 剛體的質(zhì)量 或體積元的密度 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與以下三個(gè)因素有關(guān) 剛體質(zhì)量的分布情況 質(zhì)量分布得離軸越遠(yuǎn)則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大 轉(zhuǎn)軸的位置 例1 求均質(zhì)圓盤 m R 過圓心且與板面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 解 盤由許多環(huán)組成 2 幾種典型形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 圓筒 圓環(huán) I mR2 圓柱 細(xì)圓棒 圓球 球殼 3 回轉(zhuǎn)半徑 任何轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均有 I mk2 k稱為回轉(zhuǎn)半徑 質(zhì)量相同的剛體 I k 1 平行軸定理 對(duì)C A軸平行C軸 質(zhì)心軸 對(duì)A 由圖 故 平行軸定理 4 反映轉(zhuǎn)動(dòng)慣量性質(zhì)的定理 2 垂直軸定理 正交軸定理 3 可疊加原理 若一個(gè)復(fù)雜形狀的物體是由許多簡單形體組成 則這個(gè)復(fù)雜物體的對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各簡單形體對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之疊加 只適應(yīng)于無窮小厚度的薄板 例題 P226例2 例3 解設(shè)棒的線密度為 取一距離轉(zhuǎn)軸OO 為處的質(zhì)量元 例題一質(zhì)量為 長為的均勻細(xì)長棒 求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 如轉(zhuǎn)軸過端點(diǎn)垂直于棒 由平行軸定理 7 3 3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定理 一 剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量 角動(dòng)量定理微分形式 角動(dòng)量定理積分形式 其中 稱為沖量矩 或角沖量 二 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)I 常量 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理 說明 其中是描述物體平動(dòng)慣性的物理量 則就是描述剛體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的物理量 是剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度 驗(yàn)證剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理的演示實(shí)驗(yàn) 動(dòng)畫演示 例如圖所示 質(zhì)量均為m的兩物體A B A放在傾角為的光滑斜面上 通過定滑輪由不可伸長的輕繩與B相連 定滑輪是半徑為R的圓盤 其質(zhì)量也為m 物體運(yùn)動(dòng)時(shí) 繩與滑輪無相對(duì)滑動(dòng) 求繩中張力和及物體的加速度 輪軸光滑 解 作受力分析圖 對(duì)于A B 由牛頓定律得 且 由于繩不可伸長 所以 解得 對(duì)定滑輪 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得 又 角動(dòng)量守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律 內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量 守恒條件 若不變 不變 若變 也變 但不變 三 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律 解 在嚙合過程中 系統(tǒng)受到軸向的正壓力和嚙合器之間的切向摩擦力 前者對(duì)軸的力矩為零 后者對(duì)轉(zhuǎn)軸有力矩 但為系統(tǒng)的內(nèi)力矩 系統(tǒng)所受合外力矩為零 所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒 即 例在工程上 兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動(dòng) 如圖所示 A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上 A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 B輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 開始時(shí)A輪每分鐘的轉(zhuǎn)速為600轉(zhuǎn) B輪靜止 C為摩擦嚙合器 求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速 在嚙合過程中 摩擦力矩作功 機(jī)械能不守恒 損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能 把各量代入上式 得 為兩輪嚙合后的共同角速度 于是 7 3 4剛體的重心 重心 剛體處于不同方位時(shí) 重力作用線都要通過的那一點(diǎn) 如圖 被懸掛剛體處于靜止 C為重心 因C不動(dòng) 可視為轉(zhuǎn)軸 因?yàn)閯傮w靜止 所以諸體元重力對(duì)C軸合力矩為零 則重心坐標(biāo)與質(zhì)心坐標(biāo)同 但概念不同 質(zhì)心是質(zhì)量中心 其運(yùn)動(dòng)服從質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 重心是重力合力作用線通過的那一點(diǎn) 若取 7 3 5典型例子 例題2 如圖 a 表示半徑為R的放水弧形閘門 可繞圖中左方質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) 總質(zhì)量為m 質(zhì)心在距轉(zhuǎn)軸處 閘門及鋼架對(duì)質(zhì)點(diǎn)的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 可用鋼絲繩將弧形閘門提起放水 近似認(rèn)為在開始提升時(shí)鋼架部分處于水平 弧形部分的切向加速度為a 0 1g g為重力加速度 不計(jì)摩擦 不計(jì)水浮力 1 求開始提升時(shí)的瞬時(shí) 鋼絲繩對(duì)弧形閘門的拉力和質(zhì)點(diǎn)對(duì)閘門鋼架的支承力 2 若以同樣加速度提升同樣重量的平板閘門 圖 b 需拉力是多少 解 1 以弧形閘門及鋼架為隔離體 受力如圖 a 所示 建立直角坐標(biāo)系Oxy 向x及y軸投影得 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理 起動(dòng)時(shí) 根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 即起動(dòng)瞬時(shí)繩對(duì)閘板的拉力為 質(zhì)點(diǎn)O對(duì)閘門鋼架的支承力豎直向上 大小等于29mg 90 2 用表示提升平板形閘門所用的拉力 對(duì)閘門應(yīng)用牛頓第二定律 得 比較上面結(jié)果 可見提升弧形閘門所用的拉力較小 例題3 如圖表示一種用實(shí)驗(yàn)方法測量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的裝置 待測剛體裝在轉(zhuǎn)動(dòng)架上 線的一端繞在轉(zhuǎn)動(dòng)架的輪軸上 線與線軸垂直 輪軸的軸體半徑為r 線的另一端通過定滑輪懸掛質(zhì)量為m的重物 已知轉(zhuǎn)動(dòng)架慣量為I0 并測得m自靜止開始下落h高度的時(shí)間為t 求待測物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I 不計(jì)兩軸承處的摩擦 不計(jì)滑輪和線的質(zhì)量 線的長度不變 解 分別以質(zhì)點(diǎn)m和轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)I I0作為研究對(duì)象 受力分析如圖 作業(yè) P2547 3 3 7 3 7