高中數(shù)學(xué) 第三章 三角函數(shù) 3.1 弧度制與任意角 3.1.1 角的概念的推廣課件 湘教版必修2

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1、第3章3.1弧度制與任意角3.1.1角的概念的推廣 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握正角、負(fù)角和零角的概念,理解任意角的意義.2.熟練掌握象限角、終邊相同的角的概念,會(huì)用集合符號(hào)表示這些角1 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)2 課堂講義 重點(diǎn)難點(diǎn)，個(gè)個(gè)擊破3 當(dāng)堂檢測(cè) 當(dāng)堂訓(xùn)練，體驗(yàn)成功1手表慢了5分鐘,如何校準(zhǔn)？手表快了半小時(shí),又如何校準(zhǔn)？答可將分針順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30；可將時(shí)針逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180.2在初中角是如何定義的？答定義1：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的幾何圖形叫做角定義2：平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形叫做角3初中所學(xué)角的范圍是什么？答角的范圍是0,360 知識(shí)鏈接 1角的

2、概念(1)角的定義：角可以看成平面內(nèi) 繞著 從一個(gè)位置 到另一個(gè)位置所成的圖形(2)角的表示方法：常用大寫字母 等表示；也可以用希臘字母 , , 等表示；特別是當(dāng)角作為變量時(shí),常用字母 表示 預(yù)習(xí)導(dǎo)引 一條射線端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)A,B,C x(3)角的分類：一條射線繞著端點(diǎn)以 的旋轉(zhuǎn)為正向,所成的角稱為 ,用 來表示； 旋轉(zhuǎn)所成的角稱為 ,用負(fù)的角度來表示；不旋轉(zhuǎn)所成的角稱為 ,用 表示逆時(shí)針方向正角正的角度順時(shí)針方向負(fù)角零角02象限角角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,那么,角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限,就說這個(gè)角是 .如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限3終邊相

3、同的角設(shè)AOB,則所有以O(shè)A為始邊,OB為終邊的角都是與_的和,組成集合 ,即任一與角終邊相同的角,都可以表示成角與 的和.第幾象限角整數(shù)個(gè)周角整數(shù)個(gè)周角S|k360,kZ例1在下列說法中：090的角是第一象限角；第二象限角大于第一象限角；鈍角都是第二象限角；小于90的角都是銳角.其中錯(cuò)誤說法的序號(hào)為_要點(diǎn)一任意角概念的辨析解析090的角是指090,0角不屬于任何象限,所以不正確.120是第二象限角,390是第一象限角,顯然390120,所以不正確.鈍角的范圍是90180,顯然是第二象限角,所以正確.銳角的范圍是090,小于90的角也可以是零角或負(fù)角,所以不正確.答案規(guī)律方法判斷說法錯(cuò)誤,只需

4、舉一個(gè)反例即可.解決本題關(guān)鍵在于正確理解各類角的定義.隨著角的概念的推廣,對(duì)角的認(rèn)識(shí)不能再停留在初中階段,否則判斷容易錯(cuò)誤.跟蹤演練1設(shè)A小于90的角,B銳角,C第一象限角,D小于90而不小于0的角,那么有()A.B C A B.B A CC.D (AC) D.CDB解析銳角、090的角、小于90的角及第一象限角的范圍,如下表所示.角集合表示銳角B|090090的角D|090小于90的角A|90第一象限角C|k360k36090,kZ答案D要點(diǎn)二象限角的判定例2在0360范圍內(nèi),找出與下列各角終邊相同的角,并判定它們是第幾象限角.(1)150；(2)650；(3)95015.解(1)因?yàn)?50

5、360210,所以在0360范圍內(nèi),與150角終邊相同的角是210角,它是第三象限角.(2)因?yàn)?50360290,所以在0360范圍內(nèi),與650角終邊相同的角是290角,它是第四象限角.(3)因?yàn)?5015336012945,所以在0360范圍內(nèi),與95015角終邊相同的角是12945角,它是第二象限角.規(guī)律方法本題要求在0360范圍內(nèi),找出與已知角終邊相同的角,并判斷其為第幾象限角,這是為以后證明恒等式、化簡(jiǎn)及利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)的值打基礎(chǔ).跟蹤演練2給出下列四個(gè)說法：75角是第四象限角；225角是第三象限角；475角是第二象限角；315是第一象限角,其中正確的有()A.1個(gè) B.2個(gè)

6、C.3個(gè) D.4個(gè)解析對(duì)于：如圖1所示,75角是第四象限角；對(duì)于：如圖2所示,225角是第三象限角；對(duì)于：如圖3所示,475角是第二象限角；對(duì)于：如圖4所示,315角是第一象限角.答案D要點(diǎn)三終邊相同的角的應(yīng)用例3在與角10 030終邊相同的角中,求滿足下列條件的角.(1)最大的負(fù)角；(2)最小的正角；(3)360720的角.解(1)與10 030終邊相同的角的一般形式為k36010 030(kZ),由360k36010 0300,得10 390k36010 030,解得k28,故所求的最大負(fù)角為50.(2)由0k36010 030360,得10 030k3609 670,解得k27,故所求的

7、最小正角為310.(3)由360k36010 030720,得9 670k3609 310,解得k26,故所求的角為670.規(guī)律方法求適合某種條件且與已知角終邊相同的角,其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式,再依條件構(gòu)建不等式求出k的值.跟蹤演練3寫出與1 910終邊相同的角的集合,并把集合中適合不等式720360的元素寫出來.解由終邊相同的角的表示知與角1 910終邊相同的角的集合為：|k3601 910,kZ.720360,即720k3601 910360(kZ),k4時(shí),43601 910470；k5時(shí),53601 910110；k6時(shí),63601 910250.要點(diǎn)四區(qū)域角的表

8、示例4 寫出終邊落在陰影部分的角的集合.解設(shè)終邊落在陰影部分的角為,角的集合由兩部分組成.|k36030k360105,kZ.|k360210k360285,kZ.角的集合應(yīng)當(dāng)是集合與的并集：|k36030k360105,kZ|k360210k360285,kZ|2k180302k180105,kZ|(2k1)18030(2k1)180105,kZ|2k180302k180105,或(2k1)18030 (2k1)180105,kZ|n18030n180105,nZ.規(guī)律方法解答此類題目應(yīng)先在0360上寫出角的集合,再利用終邊相同的角寫出符合條件的所有角的集合,如果集合能化簡(jiǎn)的還要化成最簡(jiǎn).本

9、題還要注意實(shí)線邊界與虛線邊界的差異.跟蹤演練4已知集合A|k18030k18090,kZ,集合B|k36045k36045,kZ.求：(1)AB；(2)AB.解 在直角坐標(biāo)系中,分別畫出集合A,B所包含的區(qū)域,結(jié)合圖形可知,AB|30k36045k360,kZ,AB|k36045k36090或k360210k360270,kZ.1.361的終邊落在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限D(zhuǎn)2.集合A|k9036,kZ,B|180180,則AB等于()A.36,54 B.126,144C.126,36,54,144 D.126,54解析令180k9036180,則144k9021

10、6,當(dāng)k1,0,1,2時(shí),不等式均成立,所對(duì)應(yīng)的角分別為126,36,54,144,故選C.C3.若角滿足180360,角5與有相同的始邊,且又有相同的終邊,那么角_.解析由于5與的始邊和終邊相同,所以這兩角的差應(yīng)是360的整數(shù)倍,即54k360.又180360,令k3,得270.2704.寫出終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合S.解終邊落在x軸上的角的集合：S1|k180,kZ；終邊落在y軸上的角的集合：S2|k18090,kZ；終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合：SS1S2|k180,kZ|k18090,kZ|2k90,kZ|(2k1)90,kZ|n90,nZ.1.對(duì)角的理解,初中階段是以“靜止”的眼光看,高中階段應(yīng)用“運(yùn)動(dòng)”的觀點(diǎn)下定義,理解這一概念時(shí),要注意“旋轉(zhuǎn)方向”決定角的“正負(fù)”,“旋轉(zhuǎn)量”決定角的“絕對(duì)值大小”.2.關(guān)于終邊相同角的認(rèn)識(shí)一般地,若角始邊與x軸非負(fù)半軸重合,則所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S|k360,kZ,即任一與角終邊相同的角,都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和.課堂小結(jié)注意：(1)為任意角；(2)k360與之間是“”號(hào),k360可理解為k360()；(3)相等的角終邊一定相同；終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無數(shù)多個(gè),它們相差360的整數(shù)倍；(4)kZ這一條件不能少.