數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文 數(shù)學模型在金融市場中的應用數(shù)學模型在金融市場中的應用

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1、數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文 數(shù)學模型在金融市場中的應用數(shù)學模型在金融市場中的應用 學長論文留存參考 畢 業(yè) 論 文 題目 數(shù)學模型在 金融市場中的應用 系 別 數(shù) 理 系 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 姓 名 楊 永 光 學 號 171408156 指導教師 胡 素 敏 2012年 5月 15日 河南城建學院 畢業(yè)論文 任 　務 　書 題 目 數(shù)學模型在金融市場中的應用 系 別 數(shù)理系 專　業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 班　　級 1714

2、081 學　號 171408156 學生姓名 楊永光 指導教師 胡素敏 發(fā)放日期 2012年月2日2對金融數(shù)學模型進行系統(tǒng)學習研究幾種重要數(shù)學模型在金融市場中的應用方式 3分析幾個重要數(shù)學模型在金融市場中應用的典型案例應用數(shù)學模型進行實際操作 4 探討數(shù)學模型在金融市場中應用的發(fā)展前景 主要內(nèi)容與基本要求 主要內(nèi)容金融市場應用中的幾個重要數(shù)學模型證券投資組合模型 三計劃進度 2011年11月至12月論文選題2012年3月第6周填寫任務書和開題報告在4月份 第7-11周 收集論文資料并初步完成畢業(yè)論文的初稿到5月份 第12周 認真的對論文進行進一步的修改使論文達到

3、指導老師的要求對論文不完善的部分進行補充5月份第13周按照互審意見進行更進一步修改對論文進行認真細致的學習了解論文的意義為答辯做好準備5月份第14周開始準備答辯 四主要參考文獻 [1] 美斯塔夫里 美古德曼蔡明超金融數(shù)學[M] 機械工業(yè)出版社2004 3 [2] 鄭振龍金融工程[M]高等教育出版社2003 4 [3] 趙勝民金融工程[M]廈門大學出版社2011 7 [4] 蔡明超金融數(shù)學[M]機械工業(yè)出版社2008 8 [5] 宋逢明金融工程原理[M]清華大學出版社2007 11 [6] 李海蓉淺談數(shù)學模型在金融市場中的應用科技經(jīng)濟市場2007 9

4、[7] 宋威金融數(shù)學模型[M]華南理工大學出版社1999 8 [8] 孫福金融數(shù)學概述[]呼倫貝爾學院報2005 8 [9] 夏玉森金融數(shù)學模型[]中國管理科學1998 3 [10] 王樂毅期權價格及定價模型分析[]貴州工業(yè)大學學報2006 4 [11] 郭尊光仉志余二叉樹模型在股票及股票期權定價中的應用[]太原師范學院學報2011 3 [12] 黃少明對沖基金透視[M]中國金融出版社2001 5 畢業(yè)論文成績評定 答辯小組評定意見 一評語根據(jù)學生答辯情況及其論文質(zhì)量綜合評定 二評分按下表要求評定 評分項目 答 辯 小 組 評 分 評 閱 教 師 評 分 合計

5、 40分 完成任務 情 況 5分 畢業(yè)設計 論文質(zhì)量 5分 表達情況 5分 回答問題 情 況 5分 質(zhì) 量 正確性條理性創(chuàng)造性實用性 10分 成果的技術水平科學性系統(tǒng)性 10分 答辯小組成員簽字 年 月 日 畢業(yè)答辯說明 1答辯前答辯小組成員應詳細審閱每個答辯學生的畢業(yè)設計論文為答辯做好準備并根據(jù)畢業(yè)設計論文質(zhì)量標準給出實際得分 2嚴肅認真組織答辯公平公正地給出答辯成績 3指導教師應參加所指

6、導學生的答辯但在評定其成績時宜回避 4答辯中要有專人作好答辯記錄 指導教師評定意見 一對畢業(yè)論文的學術評語應具體準確實事求是 簽字 年 月 日 二對畢業(yè)論文評分[按下表要求綜合評定] 1理工科評分表 評分項目 分值 工作態(tài)度 與 紀 律 10分 畢業(yè)設計論文完成任務情況與水平 工作量與質(zhì)量 20分

7、獨 立 工作能力 10分 基礎理論和 基本技能 10分 創(chuàng) 新 能 力 10分 合 計 60分 得分 2文科評分表 評分項目 分值 文獻閱讀與文獻綜述 10分 外文翻譯 10分 論文撰寫質(zhì)量 10分 學習態(tài)度 10分 學術 水平 20 論證能力與創(chuàng)新 40分 合 計 100分 得分 指導教師簽字 年 月 摘 要 數(shù)學模型即數(shù)學公式它能把現(xiàn)實中許多現(xiàn)象和結論濃縮在簡潔的符號之中利用數(shù)學方法解決實際問題首先要把實際事物之間的聯(lián)系抽象為數(shù)學形式這就是建立數(shù)學模型 在

8、現(xiàn)代金融市場中對所研究的對象進行量化建立適當?shù)臄?shù)學模型進而應用現(xiàn)代數(shù)學理論知識研究金融資產(chǎn)及其衍生資產(chǎn)定價復雜投資技術與公司的金融政策已經(jīng)成為現(xiàn)代金融分析的主要發(fā)展趨勢 數(shù)學模型對于金融市場中的交易者有著非常重要的作用 數(shù)學模型應用于金融市場研究的重大突破是證券組合投資模型和金融衍生工具定價模型的出現(xiàn) 資本資產(chǎn)定價模型是由此發(fā)展起來的具有重大應用價值的金融數(shù)學模型這些模型的發(fā)展和應用仍是當今金融領域的研究熱點問題 本文先系統(tǒng)地介紹金融市場的發(fā)展及數(shù)學模型應用于金融市場的歷史背景從基礎性的簡單數(shù)學模型單利和復利模型著手概括性地介紹一些模型和利用它們分析各種金融產(chǎn)品證券期權的價格探討投資最優(yōu)化

9、理論從理論上引導市場化解防范金融風險最后對一些最新金融理論做簡單介紹展望金融數(shù)學模型的發(fā)展前景 關鍵詞金融數(shù)學模型證券組合資產(chǎn)定價金融衍生工具定價金融風險 Abstract Mathematical model also called mathematical formulacan turn many phenomena and conclusions concentrated on concise symbols Using mathematical methods to solve the actual problem first of all you need to abstrac

10、t the actual connections between things into a mathematical form which is the establishment of mathematical model In the modern financial markets the research object is quantified the establishment of an appropriate mathematical model and then the application of modern mathematics theory on financ

11、ial assets and derivative pricing complex investment technology and the companys financial policies has become the main development trend of modern financial analysis Mathematical model for financial market traders have a very important function the major breakthrough of Mathematics model applicat

12、ion in the financial market research is the appear of securities portfolio investment model and financial derivatives pricing model the emergence of the capital asset pricing model is developed which has important application value of financial mathematics model Development and application of these

13、models is a hot issue in the field of modern financial This paper firstly introduces the development of financial market and the historical background of the application of mathematical model in the financial market From the foundation of simple mathematical models of simple interest and compo

14、und interest model to proceed briefly introduce some models and use them to analyze various financial products securities options price discusses investment optimization theory from the theory to guide the market to resolve to guard against financial risks At the end do a brief introduction of som

15、e the latest financial theory prospect the development foreground of financial mathematic model Key words financial mathematics model portfolio asset pricing financial derivatives pricing financial risk 意  目錄 摘 要 I Abstract II 1數(shù)學模型與金融市場 1 2金融市場中應用的幾個重要數(shù)學模型 2 21金融領域中最基礎的模型 2 211單利與復利 2 212

16、名義利率與實際利率 3 213現(xiàn)值理論 3 214證券價格的評估模型 4 215債券價格的評估模型 6 22證券投資組合模型 7 221期望方差模型 7 222一些其它證券組合選擇模型 9 23資產(chǎn)定價模型 11 231資本資產(chǎn)定價模型 CAPM 11 232套利定價模型 APT 12 24期權定價模型 13 241BlackScholes模型 13 242期權價值的二叉樹模型 15 25對沖 17 3金融數(shù)學研究的最新進展 19 3 1隨機最優(yōu)控制理論 19 3 2鞍理論 19 3 3微分對策理論 19 3 4最優(yōu)停時理論 20 3 5智能優(yōu)化 20

17、 4金融數(shù)學研究面臨的問題與前景 21 4 1美式期權問題 21 4 2利率的期限結構問題 21 4 3市場價格波動問題 21 4 4突發(fā)事件問題 21 5結束語 23 參考文獻 24 致 謝 25 1數(shù)學模型與金融市場 數(shù)學模型在金融市場中具有重要作用金融數(shù)學作為一門邊緣學科應用大量的數(shù)學理論和方法研究解決金融中一些重大理論問題實際應用問題和一些金融創(chuàng)新的定價問題等由于金融問題的復雜性所用到的數(shù)學知識除基礎知識外大量的運用現(xiàn)代數(shù)學理論和方法 有的運用現(xiàn)有的數(shù)學方法也解決不了 金融數(shù)學模型的最初出現(xiàn)可以追溯到1900年Louis Bachelier路易·巴舍利耶Maca

18、ulay麥考利 開始了現(xiàn)代金融理論研究的新紀元Markowitz馬柯維茨ci于1959年提出的期望方差模型是這一時期最有代表性及影響力的工作因而理論界稱之為二十世紀發(fā)生在華爾街的第一次金融革命這一模型的提出吸引了一大批的數(shù)學家和經(jīng)濟學家開展這一領域的研究從而使得這一模型得到了不斷的完善伴隨地出現(xiàn)了一些新的證券組合選擇模型 金融理論的另一次革命性的成果是Black和Scholes1973年提出了基于無紅利支付股票的任何衍生證券的價格必須滿足一組微分方程之后金融衍生工具的定價理論不斷出現(xiàn)新的成果并在九十年代形成了一門嶄新的金融學科金融工程 隨著國際金融業(yè)的不斷發(fā)展數(shù)學在金融市場中的應用也越來越

19、廣泛人們越來越深刻地認識到數(shù)學模型的研究已經(jīng)成為金融學研究中的關鍵技術數(shù)學模型正在不斷推動著金融實踐的發(fā)展因此數(shù)學模型在金融市場中具有廣泛的應用前景 2金融市場中應用的幾個重要數(shù)學模型 21金融領域中最基礎的模型 211單利與復利 商業(yè)銀行的利率分存款利率與貸款利率存款利率高對投資者有利但是銀行因為負債成本高為了獲利它必須以更高的貸款利率貸出而企業(yè)可能因為利息太高借不起錢銀行獲利機會相應減少因此過高的銀行利率不利于經(jīng)濟的發(fā)展利率是宏觀控制信貸的重要手段中央銀行的放款利率若增加或減少一個百分點都會對社會發(fā)展產(chǎn)生重大影響 計算利息的方式有兩種單利與復利 1單利僅按本金計算利息利息本身不再

20、支付利息的計算方式一般地設本金為p年利率為rn年后的本利和為即單利模型 單利計算方便但不能反應資金周轉(zhuǎn)的規(guī)律與擴大再生產(chǎn)的現(xiàn)實在國外很少使用一般僅用來與復利進行對比 2復利即本金要逐年計息利息也要逐年生息它具有重復計利的效應因此俗稱利滾利復利是現(xiàn)值理論中一個非常重要的概念假定本金為p利率為r計算n年后的本利和F 即復利公式 連續(xù)復利公式假定本金為p年利率為r每滿1m年計息一次按復利計算求n年后的本利和 分析一年計m次利息n年共計息mn次年息為r則每次計息為rm按基本復利公式n年后的本利和為 又假定m無限增大即在也越來越短的時間內(nèi)將利息計入本金其極限情況意味著隨時將利息計入本金里

21、則滿n年后的本利和為 以上計算利用了極限基本公式 212名義利率與實際利率 貸款不僅可以具有固定的年利率也可以在一年中具有月利率按月進行復利計算這樣一年就要進行幾次復利計算這種投資過程稱為具有復利頻率的投資 特別指出對于具有復利頻率的貸款活動或投資活動有兩種年利率即名義利率和實際年利率一般來說若求復利的頻率m以及名義年利率r為已知則實際年利率i由下式?jīng)Q定 故 上式說明名義利率與實際利率之間的關系一般實際年利率大于名義年利率 213現(xiàn)值理論 現(xiàn)值理論討論的是資金的現(xiàn)在價值終值及折現(xiàn)它是價格理論的基礎設p表示本金現(xiàn)值利率為rnF有復利公式可得本公式即為現(xiàn)值公式其中F表示終值稱為折現(xiàn)系數(shù)

22、記為現(xiàn)值公式可記為 市場經(jīng)濟時代銀行為了搞活業(yè)務企業(yè)為了促進產(chǎn)品推銷紛紛推出各種各樣的銀行按揭如商品房銀行按揭購車銀行按揭等他們的共同特點是以客戶的信譽作擔?；蛞砸欢ǖ馁Y產(chǎn)作抵押先在銀行貸款然后在分期等額償還銀行為了方便客戶查詢一般制成一張按揭表客戶可以查表計算選擇按揭期限與方式 銀行按揭可歸結為數(shù)學問題貸款P元年利率為r分n期等額償還每期應償還多少 考慮資金的時間價值不能簡單地平均處理應該考慮償還數(shù)值的折現(xiàn)一般以一個月為一期月末償還年息為r月息為i r12設每期償還A元則n期還款折現(xiàn)為現(xiàn)在價值的總和應等于貸款總額不考慮手續(xù)費及中間交易稅等項 有現(xiàn)值公式可知 第一期還款A的折現(xiàn)值為

23、 第二期還款A的折現(xiàn)值為 第n期還款A的折現(xiàn)值為 所以 故 上述公式即銀行按揭的數(shù)學模型又稱資金還原公式已知P求A稱為資金還原系數(shù)常用表示可查復利表計算 214證券價格的評估模型 投資可以獲利人們之所以愿意購買證券是因為它能夠帶來預期收入差價與利息證券一般常指股票債券等有價證券證券價格受多種因素的影響如政治經(jīng)濟心理等但決定因素是股息債息及銀行利率而證券價格也有多種形式大體可分為理論價格與市場價格理論價格又稱內(nèi)在價值在理性市場中市場價格總是圍繞內(nèi)在價值上下波動 人們持有股票是為了從中獲取收益從理論上說股票

24、的價格可以看作是股票投資者對未來各期每股預期收益的現(xiàn)值之和是一種適當利率的貼現(xiàn) 設第t期每股預期股息收入為貼現(xiàn)率為r或股東要求的實際收益率n期后股票的理論價格記為W則 設時刻t-1的股利為t時刻的股利為從t-1到t股利增長率為 1零增長模型 假定未來各期預期股息不增長及各期固定為或 則前n項的和為 當投資者持有期很長時即有 上述公式即零增長模型 當貼現(xiàn)率r為銀行利率時上述公式變?yōu)? 上述公式具有非常重要的意義它表明股價與股息成正比與銀行利息成反比它反應降息促使股價上揚這種現(xiàn)象 2固定增長模型 假設股利以恒定的增長率g增長設第一年股利為D則第二年股利為D 1g 第三年股

25、利為 股票的價格W則為各期股利的折現(xiàn)之和即 若g r當這不大可能在永久持有股票且g r時上式可簡化為 將上式與零增長模型比較 這就是前景看好增長潛力較大的公司股票市價較高的理論依據(jù)被被稱為增長機會現(xiàn)值Present Valule of Growth OportunitiesPVGO根據(jù)PVGO的值可將股票分為三種 可見股利恒定增長評估模型也適用股利恒定減少的情況此時g 0 零增長模型實際上是固定增長模型的一個特例當固定增長率為零時固定增長模型變?yōu)榱阍鲩L模型 3三階段模型 增長持續(xù)k年 第二階段從k1到n年經(jīng)歷一個轉(zhuǎn)換時期在這一時期股利增長率以直線形狀變化 第三階段進入持續(xù)穩(wěn)

26、定狀態(tài)股利以新的比率恒定增長 如下圖11 圖11 第二階段中的增長率有直線方程決定當t n時正是過渡時期的末尾由直線方程可知給定kn和最近一年的股利就可以計算出任何將來時間的股利然后在給定一個合適的折現(xiàn)率可以計算出預期股利的現(xiàn)在價值 其股票價格可由下式估計得到 其中為最近一年的股利為第n1年的股利三階段折扣模型的最后一部分實際上是固定增長模型即前兩階段退化n 0時三階段模型變?yōu)楣潭ㄔ鲩L模型 三階段模型計算比較麻煩且無法利用模型直接求折現(xiàn)率為此有人已提出了改進模型如H模型PE模型等限于篇幅其他情況略 215債券價格的評估模型 債券價格的評估與股票相似也以其收益作為該種債券的

27、評估價債券價格的評估根據(jù)付息方式不同有兩種情況 1每年支付利息到期還本的債券 記PV為債券價格CD為債券面值n為債券尚存的償還期為各年的貼現(xiàn)率則 若將各年的貼現(xiàn)率近似地用一個平均的貼現(xiàn)率r代替則上式可簡化為 2到期一次還本付息的債券 這類債券的評估模型比較簡單如下式所示 由于債券的面值期限發(fā)行利率在發(fā)行時已經(jīng)確定債券價格的高低完全由貼現(xiàn)率決定如果銀行利率上調(diào)貼現(xiàn)率增大債券的價格就會下跌甚至跌破面值相反貼現(xiàn)率下降債券價格上升 22證券投資組合模型 證券組合理論是研究怎樣在未來不確定的競爭中如何選擇分配資源 如股票債券 的理論證券組合問題在許多的決策領域都存在金融市場上的投資者當然要決

28、定股票和債券及其衍生工具的組合現(xiàn)代投資組合理論是由美國經(jīng)濟學家馬柯威茨提出的投資組合理論認為投資組合是一個各種資產(chǎn)的集合組合中的每項資產(chǎn)都有和其相聯(lián)系的平均收益和收益方差下面分別介紹資產(chǎn)組合的收益和收益方差的數(shù)學模型 221期望方差模型 為了分散投資風險并取得適當?shù)耐顿Y收益投資者往往采用證券組合投資方式把一筆資金同時投資于若干種不同的證券投資者最關心的問題有兩個一是預期收益率的高低二是預期風險的大小Markowitz建立的這一模型中預期收益率是證券組合的收益率的期望值預期風險指證券投資組合收益率的方差 在多元證券組合投資條件下從理論上講給定了預期收益率能有無窮多種證券組合可以實現(xiàn)該預期收益

29、同樣地給定了預期風險也可能有無窮多種證券組合可以實現(xiàn)該預期風險如果以預期收益率為縱坐標預期風險為橫坐標則任一可行的證券組合唯一地確定平面上的一個點所有可行的證劵組合就組成了可行集 Markowitz假定投資者厭惡風險理性的投資者總是希望在已知風險的條件下獲得最大的期望收益而在已知期望收益的條件下投資風險達到最小具有這種性質(zhì)的證券組合稱為有效證券組合其在平面上確定一要弧線被稱為有效邊界 證券能否賣空和投資者是否可以以無風險利率借貸是證券組合選擇中的兩個重要問題證券的賣空 Short Sale 是指投資者無證券而可以預先賣出相當于發(fā)行證券的情況數(shù)學上表示為0若無風險借貸相對于投資者而言則貸 L

30、ending 相當于投資于無風險的國庫券或進行儲蓄借 Borrowing 是從銀行貸款然后投資于風險證券組合 令n表示證券的數(shù)目表示投資在證券組合P中證券i 1表示第i種證券的實際收益率期望收益率 表示無風險借貸利率∑表示收益率r 的方差協(xié)方差矩陣則證券組合P的期望收益率為證券組合P的方差為∑x 若考慮賣空和無風險借貸則可以得到如下四種不同的證券組合模型 1允許賣空和無風險借貸這種情況下的最優(yōu)證券組合可通過求解如下的規(guī)劃問題來確定 1 這一模型可以轉(zhuǎn)化為一線性規(guī)劃模型 2對應不同的最優(yōu)證券組合把作為未知變量可以得到與上面類似的模型 3 1

31、 4 或 以上四個模型都是在證券的預期收益率和方差協(xié)方差矩陣已知的情況下進行求解的而這些數(shù)據(jù)的獲得共需要個估計量顯然當n 1單指數(shù)模型 假設證券價格的變化唯一是由市場的作用引起d的可得到 其中的獨立于市場因素的收益部分為市場證券組合的收益率為證券i的收益率對于市場作用的敏感系數(shù)為殘差項于是證券組合P的期望收益率為 其中而證券組合P的方差為單指數(shù)模型使輸入數(shù)據(jù)的估計量減少到3n2 2多指數(shù)模型 顯然僅假設證券的價格與市場指數(shù)同升同降是不合適的 因為這明顯不能解釋股票市場上每天都會有的股票價格上升

32、而有的股票價格下降多指數(shù)模型同時描述了別的一些影響證券收益的因素多指數(shù)模型的標準形式為 其中為證券i的不依賴于指數(shù)的收益部分為影響證券收益的第k個指數(shù)各指數(shù)間是相互獨立的為證券i的收益率對指數(shù)的敏感系數(shù)為殘差項 多指數(shù)模型往往使用因子分析等方法處理數(shù)據(jù)這往往會引入一些新的誤差數(shù)據(jù)因此多指數(shù)模型盡管較好地描述了收益率的屬性但其應用效果往往不如單指數(shù)模型的好 3 為了消除在對歷史數(shù)據(jù)的處理中引入新的誤差可以對協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù)進行成對平均顯然這樣做在消除誤差的同時也就丟失了一些真實的信息 222一些其它證券組合選擇模型 不考慮投資者的效用函數(shù)形式及證券收益的概率分布 幾何期望收益準則選擇

33、具有最大的幾何期望收益的證券組合 其中為證券組合j的第i種可能收益 為發(fā)生的概率大小運用這一準則進行證券組合選擇在一段時間后最終財富具有最大的期望值如果證券的預期收益率服從對數(shù)正態(tài)分布則幾何期望收益模型將得到與Markowitz的期望方差模型一致的有效集 2 這類模型能避免決策者取得非常不利的頭寸 Position 情形有三種準則可以得到三種不同的保險首要模型 第一種準則由Roy提出最優(yōu)證券組合的預期收益小于某一給定限定值的概率最小 第二種準則由Kataoka提出給定一個小的概率令證券組合收益的最小限定值達到最大 第三種準則由Teleser提出給定一個小的概率和某一限定值

34、令證券組合的預期收益率達到最大 3 有三種隨機優(yōu)勢準則可以用來選擇證券組合 第一種隨機優(yōu)勢是投資者認為財富多比少好對應著遞增的效用函數(shù)效用函數(shù)的一階導數(shù)大于0運用第一種隨機優(yōu)勢可以排除一部分證券組合 第二種隨機優(yōu)勢是投資者認為財富多比少好投資者是厭惡風險的對應著遞增的凹效用函數(shù)效用函數(shù)的一階導數(shù)大于0二階導數(shù)小于0運用這一種隨機優(yōu)勢進行證券組合選擇時其結果與Markowitz的期望方差模型所得結果一致 第三種隨機優(yōu)勢對應著遞減的厭惡風險的效用函數(shù)效用函數(shù)的三階導數(shù)大于0 4偏斜度 偏斜度是對概率分布不對稱性測定的指標偏斜度可正可負可零投資者大多是喜歡正的偏斜度偏斜度的引

35、入使證券組合擇優(yōu)地求解拓展到三維空間中投資者希望證券組合具有最大的期望收益最小的方差以及最大的偏斜度由于偏斜度引入后需要太多的估計值從而限制了這一模型的實際應用 5最優(yōu)后悔比率模型 定義策略S的最優(yōu)后悔比率為 其中x為未來的結果值為在未來結果不確定的情況下策略S的值為信息完全已知下的最優(yōu)值 則最優(yōu)的策略為 把這一決策分析方法應用到證券組合的選擇 可求解如下的線性規(guī)劃問題 其中為證券i的相對投資比例為證券i的價格為證券 23資產(chǎn)定價模型 21資 CAPM 資本資產(chǎn)定價模型主要描述了當市場處于均衡狀態(tài)下如何決定資產(chǎn)的相關風險以及收益和風險的相互關系在均衡的市場中理性的投資者都會持有市場

36、證券組合的比例市場證券組合是包含對所有證券投資的證券組合其中每一種證券的投資比例等于它的相對市場價值一種證券的相對市場價值等于這種證券總的市場價值除以所有證券總的市場價值 諾貝爾經(jīng)濟學獎獲得者Sharpe和Lintner 其中為證券i的預期收益率為無風險利率為市場證券組合的期望收益率 為市場證券組合收益率的標準差為證券i的收益率的標準差 若定義為時間的市場價格定義為風險的市場價格則資本資產(chǎn)定價模型可以直觀地理解為 預期收益 時間的市場價格 風險的市場價格風險的數(shù)量 資本資產(chǎn)定價模型把風險證券在均衡狀態(tài)下的投資收益分成兩部分第一部分是即無風險資產(chǎn)的收益率它是由于資金被占

37、用消費被推遲而獲得的時間報酬第二部分是表示證券的風險溢價證券的系統(tǒng)風險越大這部分收益越高因而這部分收益是承擔系統(tǒng)風險而獲得的風險報酬 資本資產(chǎn)定價模型以投資家回避風險的特征為前提通過設定按期望方差準則選擇證券組合另外亦考慮了市場的均衡是關于均衡價格的模型但這一理論的假設過于嚴格有的太過于理想化不少經(jīng)濟學家從各個方面對此模型加以了完善這方面的主要成果有 1 資本資產(chǎn)定價模型沒有考慮所得稅而實際上資本增值是要交稅的因此任何資產(chǎn)或證券組合的收益率為 其中為市場證券組合M的紅利收益 為證券i的紅利收益 為所得稅率為系統(tǒng)風險系數(shù) 2RH為在市場上不能交易的資產(chǎn)的收益率PH為在市場上不能交易的資產(chǎn)的

38、總價值PM為可以在市場上交易的資產(chǎn)的總價值那么所有資產(chǎn)的預期收益率為 3最優(yōu)組合模型為 利用Langrange函數(shù)及Kuhn-Tucker條件可得證券收益與風險的關系 即在不允許賣空的條件下CAPM模型亦成立 上述結論表明這并不影響CAPM的應用故我們也可以用CAPM來選擇證券和計算留存收益成本 另外還可以考慮通貨膨脹投資者對市場具有不同和多期間投資的情況 232套利定價模型 APT 應用資本資產(chǎn)定價模型 CAPM 投資者是基于預期收益和方差來選擇投資的很顯然對預期收益的定義不同而得到的期望值和方差就會迥然不同 套利定價模型是一種與CAPM不同的資產(chǎn)定價模型其原理基于一個價

39、格準則完全相同的兩件物品不能以不同的價格出售否則就會出現(xiàn)套利機會假設投資者是具有相同預期的可得到如下的模型 其中為證券i的收益獨立于所有指數(shù)風險因素的部分即無風險收益率 為影響證券i收益的第j個指數(shù)證券i的收益對于第j個 為隨機殘差 以上公式的形式與多指數(shù)模型是相同的APT理論的貢獻主要在于其對均衡狀態(tài)的描述但由于APT理論只是闡明了資產(chǎn)定價的結構而沒有說明是哪些具體的經(jīng)濟的或其它的因素影響預期收益所以這一理論的檢驗和實際應用都受到了一定的限制目前不少學者都在試圖對這一理論加以完善 24期權定價模型 241BlackScholes模型 在金融市場上期權可以分為看漲期權和看跌期權看漲期權

40、的持有者有權在某一確定時間以某一確定價格購買標的資產(chǎn)看跌期權的持有者有權在某一確定時間以某一確定價格出售標的資產(chǎn)期權也可以分為美式期權和歐式期權美式期權可在期權有效期內(nèi)任何時候執(zhí)行而歐式期權只能在到期日執(zhí)行 Black和Scholes假設股票的價格服從對數(shù)正態(tài)分布通過運用ITO定理推導出了基于股票不付 設S為標的股票的價格f為期權的價值r為無風 為股票價格的波動率 則可得如下形式的BlackScholes 偏微分方程 對應于所有的可用標的變量s定義的不同衍生證券此方程有許多解解方程時得到的特定的衍生證券取決于使用的邊界條件Black和Scholes成 其中CS為期權商品的現(xiàn)在價格x為執(zhí)行價

41、格e為自然對數(shù)底e 2是 標表示期權價格的波動性即標準差 BlackScholes模型表明期權的價格是期權商品市場價格商品市場價格的變動期權執(zhí)行價格距到期日時間的長短以及安全利息率的函數(shù) 上述模型需要5個參數(shù)其中4個容易取得Sxt為相關商品與期權的參數(shù)有金融媒介公布發(fā)表利率r可以采用與期權到期時的政府債券的利率只有一個參數(shù)需要估計可以2BlackScholes模型只適用于看漲期權而不適用于看跌期權但是通過看跌期權與看漲期權的平價關系我們可用看漲期權的價格推導出相同標的物相同剩余時間和相同執(zhí)行價格的看跌期權的價格 所謂看跌期權與看漲期權的平價關系是指看跌期權的價格與看漲期權的價格必須維持

42、在無套利機會的均衡水平的價格關系如果這一價格關系被打破則在這兩種價格之間就存在著無風險的套利機會于是套利者必將通過套利行為而把那種不正常的價格關系拉回到正常水平 設看漲期權的價格為C看跌期權的價格為P期權商品的執(zhí)行價格為標的物資產(chǎn)的市場價格為S則看跌期權與看漲期權的平價關系為 或 考慮貨幣的時間價值上式應變?yōu)? 將看漲期權的價格模型代入上式得 既是看跌期權的BlackScholes價值模型 基于無紅利支付股票的歐式期權定價的Black- Scholes公式可以推廣到基于支付連續(xù)已知紅利收益率的歐式期權定價若已知的連續(xù)紅利收益率為q則 其中 實際上股票并不支付連續(xù)紅利然而一些其它的期權標的

43、資產(chǎn)可以認為與支付連續(xù)紅利收益率的股票類似特別是 1指數(shù)與支付連續(xù)紅利的股票類似其紅利收益率是所有組成指數(shù)的股票的紅利收益率的平均值 2外匯與支付連續(xù)紅利的股票相似其紅利收益率等于外國無風險利率 3Black和Scholes定價模型擴展后可以用來為指數(shù)期權貨幣期權和期貨期權定價由于美式期權可以提前執(zhí)行所以很難用精確的解析公式描述美式期權美式期權的定價可以應用下面介紹的數(shù)值算法和解析近似解 從BlackScholes期權定價模型可以知道在用該模型對期權進行定價時所需的5個參數(shù)標的股票的市場價格S期權的執(zhí)行價格K行權限制期T無風險利率r和標的股票價格波動率都可以通過客觀觀察或參數(shù)估計得到具

44、體變量這就大大提高了該模型的適用程度 242期權價值的二叉樹模型和則 看漲期權價值的變動如圖42所示目前的看漲期權價值C尚是一個未知數(shù)二叉樹模型正是要確定C的表達式 圖41 標的物價格變動 圖42 看漲期權價值的變動 假定投資者再賣出一個看漲期權的同時買進h單位標的物組成投資組合其中h為套期保值比率 標的期貨的價格上漲時的投資組合的損益分兩部分投資者所買進標的物的損益為賣出看漲期權收取期權費并將它投資于無風險資產(chǎn)而獲得的收益為總的損益值為 標的期貨價格下跌時的投資組合的損益也分兩部分標的期貨價格變動的損益為期權價格變動的損益為總的損益值為 根據(jù)

45、套期保值組合無論股價上漲還是下跌期損益均為保持相等即 由上式可解出h即 要消除套利機會所以有 即 把h代入上式整理得 令則 該公式表明目前的看漲期權價值是期權到期日的看漲期權價值的加權平均數(shù)的現(xiàn)值其中權數(shù)為預期標的期貨價格漲跌的概率貼現(xiàn)率是此期間的無風險利率r 一期間模型雖然簡單樸素但它已包含著二叉樹定價模型的基本原理和基本方法因此為使二叉樹模型所得結果盡可能符合或接近實際把一期間模型推廣到二期間模型或多期間模型 假定在目前期權的標的物價格為已知每一期間均可能上漲到原來的u倍或下跌到原來的d倍其上漲和下跌的概率也分別為p和1-p這樣在整個有效

46、期間標的物價格的變動情況如圖43而與此相應的看漲期權的價值及其變動情況如圖44所示 由圖43和圖44可見在期權到期日標的物價格將有三種可能與這三種可能的價位相對應看漲期權將有三種可能的價值 43 二期間的標的期貨價格 44 二期間的期權價格變動 根據(jù)一期間模型的分析要求出C首先要求出和而要求出和必須先算出如將現(xiàn)在稱為期間0將第一期間結束時稱為期間1將第二期間結束時稱為期間2則是和的加權平均數(shù)在期間1的現(xiàn)值是和的加權平均數(shù)在期間2的現(xiàn)值因此我們可以得到如下二式 將上述兩式代入一期間二叉樹模型得 此公式的分子恰好是二項式的展開式所以有人稱為二項式模型推而廣之

47、如果我們把期間數(shù)擴大至n并設k為標的物價格上漲的次數(shù)而n-k是標的物價格下跌的次數(shù)則 根據(jù)中心極限定理當n趨向于無窮大時二項式分布將逼近正態(tài)分布于是二叉樹模型的結果也將逼近BlackScholes模型的結果因此只要udP等參數(shù)選擇得當則二叉樹模型可轉(zhuǎn)化為BlackScholes模型 25對沖 每天銀行跨國公司投資機構基金以及投資者都會從事這大量金融交易這些機構或者個人都希望能夠防范風險或者使風險與不確定性降低到能夠承受的水平 對沖就是一種使風險降至最小的方法對沖是保險的一種形式人們可以對股票債券利率商品以及期貨實現(xiàn)對沖本文主要探討在股票投資時如何利用期權進行對沖首先從簡單的德爾塔對沖技術

48、開始 德爾塔對沖假設你賣出了一個看漲期權并預測當股價上漲1美元時期權的價格上漲05美元換句話說21的關系那么你的投資組合賬戶的平衡方法應該是賣出100份看漲期權與買進50股股票或者說賣出40份看漲期權與買進20股股票其中21可用數(shù)學術語表示為期權價格變化與股票價格變化比率即 有看漲期權的定價公式這里和都是關于S的函數(shù)因此的偏導數(shù)是 有導數(shù)的乘法法則 又合并一些項后得到 對公式最后兩項化簡可以得到 但由的公式知 代入得到 最終可以推出 所以對于看漲期權來說運用德爾塔法則計算比較簡便只需用BlackScholes公式算出然后求出即可 3金融數(shù)學研究的最新進展 20世紀80年代末隨著金

49、融市場的進一步完善和發(fā)展人們發(fā)現(xiàn)前面研究的所有金融模型都假定投資者可得到市場的完全信息而實際上投資者只可觀測到刻畫系統(tǒng)狀態(tài)的價格過程本身而布朗運動及動態(tài)資產(chǎn)的漂移系數(shù)是不可觀測到的即投資者只可得到市場的部分信息于是許多學者運用各種數(shù)學方法對基于不完全信息的投資消費問題進行了系統(tǒng)研究并取得了一定的進展本文現(xiàn)將研究中所用到的主要數(shù)學工具列舉如下3 1隨機最優(yōu)控制理論 由于金融學理論一個得重要的應用領域是解決連續(xù)時間的隨機性的問題而解決這個問題的重要手段是隨機最優(yōu)控制理論隨機最優(yōu)控制是20世紀60年代末和年代初數(shù)學家們應用貝爾曼最優(yōu)化原理并用測度理論和泛函分析方法發(fā)展起來的新的數(shù)學研究領域1971

50、年默頓 Merton 使用連續(xù)時間方法論述消費和資產(chǎn)組合的問題有布羅克 Brock 和米爾曼 Mirman 在不確定情況下使用離散時間方法解決經(jīng)濟最優(yōu)增長問題從此以后隨機最優(yōu)控制方法應用到大多數(shù)的金融領域在國內(nèi)以彭實戈為代表的中青年學者對此也做出了卓越貢獻 3 2鞍理論 鞍理論引入是現(xiàn)代金融理論最新的研究成果1977年哈里森 Harrison J M 和柯瑞普斯 Kreps SR 提出了期權定價理論的鞅方法他們用鞅論中的鞅測度概念來刻畫無套利市場和不完全市場并用等價鞅測度對期權進行定價和套期保值或?qū)_由KaratzaS和Shreve等人倡導的鞍方法直接把鞍理論引入到現(xiàn)代金融理論中利用

51、等價鞍測度的概念研究衍生證券的定價問題得到的結果不僅能深刻揭示金融市場的運行規(guī)律而且可以提供一套有效的算法求解復雜的衍生金融產(chǎn)品的定價與風險管理問題利用鞍理論研究金融理論的另一個作用是它能夠較好地解決金融市場不完備時的衍生證券定價問題從而使現(xiàn)代金融理論取得了突破性的進展目前基于鞍方法的衍生證券定價理論在現(xiàn)代金融理論中占主導地位但在國內(nèi)還是一個空白 3 3微分對策理論 運用微分對策方法研究期權定價問題和投資決策問題是現(xiàn)代金融理論發(fā)展的另一個重要方向目前取得了一定的成果當金融市場不滿足穩(wěn)態(tài)假定或出現(xiàn)異常波動時證券價格往往不服從幾何布朗運動這時用隨機動態(tài)模型研究證券投資決策問題的方法無論從理論上

52、還是從實際上都存在著較大偏差用微分對策方法研究金融決策問題可以放松這一假設把不確定擾動假想成敵對的一方 針對最差情況加以優(yōu)化可以得到魯棒性很強的投資策略另外求解微分對策的貝爾曼方程是一階偏微分方程比求解隨機控制問題的二階偏微分方程要簡單得多因此運用微分對策方法研究金融問題具有廣闊的應用前景 3 4最優(yōu)停時理論 最優(yōu)停時理論是概率論體系中一個具有很強的實用性領域近年來不少金融學家和金融數(shù)學家將這一理論與現(xiàn)代的投資組合理論相結合取得了不錯的成績但是這一領域的研究文獻仍然不多該領域仍處于起步階段Moton A 和Pliska SR運用最優(yōu)停時理論研究了具有固定交易費用的證券投資決策問題給出了具有

53、二個風險證券的投資決策問題一種簡化算法在國內(nèi)有關這方面的研究尚不多見相信運用最優(yōu)停時理論來研究投資決策問題和風險最小化問題會有更大的進展 3 5智能優(yōu)化 把智能優(yōu)化方法 遺傳算法模擬退火算法人工神經(jīng)網(wǎng)絡小波分析等 和傳統(tǒng)方法結合起來應用于風險控制和投資決策問題中是另一個具有更為廣闊的研究領域給我們提供了廣泛的研究課題國際上有關這方面的研究已經(jīng)有了初步的成果在國內(nèi)也有一大批學者致力于這方面的研究由于這一領域的發(fā)展比較晚還有很多的難題尚未解決但是我們?nèi)韵嘈沤鹑趯W家數(shù)學家以及人工智能專家們的通力合作在這一新興的研究領域一定能夠取得突破性的進展4金融數(shù)學研究面臨的問題與前景 金融數(shù)學除了上述幾個

54、基本理論的繼續(xù)發(fā)展和完善外還有很多工作可以做如美式期權問題亞洲期權問題利率的期限結構問題市場價格的波動與突發(fā)事件問題等 4 1美式期權問題 在市場上交易的期權大部分是美式期權對于美式期權的定價問題要比歐式期權定價困難得多因為美式期權可以在到期前的任何時刻執(zhí)行這就涉及到期權的最佳執(zhí)行時間問題一般情況下期權的最佳執(zhí)行時間是一個十分復雜的問題至今還沒有得到很好的解決如果應用偏微分方程的方法來討論美式期權的定價對應的偏微分方程的問題將變成為自由邊界問題在數(shù)學上較難處理一般情況下美式期權沒有精確的解析定價公式而只能用數(shù)值解法或解析近似解法因此發(fā)展各種計算美式期權價格的數(shù)值方法具有重要的實際意義 4

55、 2利率的期限結構問題 在B- S模型中利率是給定的常數(shù)實際上利率的變化是相當復雜的不同性質(zhì)不同到期日的證券利率的變化規(guī)律互不相同這也就是利率的期限結構它通?？梢杂檬找媛是€的形式來表示利率的期限結構包括三種理論市場預期理論市場分割和投資偏好理論流動性偏好理論這些理論分別從不同的角度對利率的不規(guī)則變化作出了解釋近年來由于利率風險的日益突出利率期權等利率衍生證券得到了迅速發(fā)展利率的期限結構的數(shù)學模型不斷提出 4 3市場價格波動問題 所謂價格的波動性通常是指未來價格偏離其期望值的可能性在金融經(jīng)濟學中波動性用回報的標準差來度量而不用價格的標準差度量例如在B - S模型及其大部分推廣中假設股票價

56、格的波動率為常數(shù)這在實際中是不合理的為了更準確地描述股票價格變化的規(guī)律必須考慮以下因素股票價格波動率對股票價格的依賴性波動率與其它隨機變量的依賴性股票價格可能的突然跳動隨機波動率模型能夠體現(xiàn)上述某些因素目前受到高度重視這類模型假設波動率服從某一隨機過程比如幾何布朗運動等 4 4突發(fā)事件問題 突發(fā)事件在金融領域中具有不容忽視的影響如1997年的東南亞金融危機 給一些國家造成巨大損失基于傳統(tǒng)的平穩(wěn)隨機過程的預測理論完全不適用傳統(tǒng)理論或許能解釋市場在95 的時間里發(fā)生的情況然而如果人們承認突發(fā)事件就發(fā)生在剩下5的時間里那么傳統(tǒng)理論所描述的圖景就沒有反映實際情況現(xiàn)在研究應用混沌學與分形理論來解釋股

57、票價格如何暴漲暴跌金融突發(fā)事件的預警由于涉及多因素定量化與報警靈敏度等往往比較困難這也是金融數(shù)學研究的重要領域5結束語 金融理論的中心問題是研究在不確定的環(huán)境下對資源進行分配和利用時間和不確定性是影響金融行為的主要因素它們相互作用與影響其復雜性需要一定的數(shù)學分析工具來研究在西方盡管金融數(shù)學模型出現(xiàn)得比較早但很長時間卻沒有得到有效的應用直到Markowitz證券組合模型和BlackScholes期權定價模型的突破才使得數(shù)學模型大規(guī)模地應用于金融市場的投資分析中布雷頓森林體系下固定匯率制的崩潰和世界石油的危機等一系列因素更使得單純地對歷史數(shù)據(jù)應用經(jīng)驗分析和簡單回歸技術不能適應投資決策和風險管理

58、的需要進入九十年金融工具的不斷創(chuàng)新使得金融數(shù)學模型不僅是金融機構進行風險管理必不可少的工具而且在一些非金融公司的應用也日益普遍我國的金融市場起步較晚金融工具少金融模型的應用相對于西方而言要少一些但是隨著我國金融市場的不斷發(fā)展新的金融工具的不斷出現(xiàn)金融數(shù)學模型必然會得到廣泛的重視和應用參考文獻 [1] 美斯塔夫里 美古德曼蔡明超金融數(shù)學[M] 機械工業(yè)出版社2004 3 [2] 鄭振龍金融工程[M]高等教育出版社2003 4 [3] 趙勝民金融工程[M]廈門大學出版社2011 7 [4] 蔡明超金融數(shù)學[M]機械工業(yè)出版社2008 8 [5] 宋逢明金融工程原理[M]

59、清華大學出版社2007 11 [6] 李海蓉淺談數(shù)學模型在金融市場中的應用科技經(jīng)濟市場2007 9 [7] 宋威金融數(shù)學模型[M]華南理工大學出版社1999 8 [8] 孫福金融數(shù)學概述[]呼倫貝爾學院報2005 8 [9] 夏玉森金融數(shù)學模型[]中國管理科學1998 3 [10] 王樂毅期權價格及定價模型分析[]貴州工業(yè)大學學報2006 4 [11] 郭尊光仉志余二叉樹模型在股票及股票期權定價中的應用[J]太原師范院學報2011 3 [12] 黃少明對沖基金透視[M]中國金融出版社2001 5 致 謝 歷時將近兩個月的時間終于將這篇論文寫

60、完在論文的寫作過程中遇到了無數(shù)的困難和障礙都在同學和老師的幫助下度過了尤其要強烈感謝我的論文指導老師老師她對我進行了無私的指導和幫助不厭其煩的幫助進行論文的修改和改進另外在校圖書館查找資料的時候圖書館的老師也給我提供了很多方面的支持與幫助在此向幫助和指導過我的各位老師表示最中心的感謝 感謝這篇論文所涉及到的各位學者本文引用了數(shù)位學者的研究文獻如果沒有各位學者的研究成果的幫助和啟發(fā)我將很難完成本篇論文的寫作 感謝同學和朋友在我寫論文的過程中給予我了很多素材還在論文的撰寫和排版過程中提供熱情的幫助由于我的學術水平有限所寫論文難免有不足之處懇請各位老師批評和指正 1 河南城建學院本科畢業(yè)論文

61、 摘要 河南城建學院本科畢業(yè)論文 摘要 河南城建學院本科畢業(yè)論文 目錄 河南城建學院本科畢業(yè)論文 1數(shù)學模型與金融市場 1 河南城建學院本科畢業(yè)論文 2金融市場中應用的幾個重要數(shù)學模型 15 河南

62、城建學院本科畢業(yè)論文 3金融數(shù)學研究的最新進展 20 河南城建學院本科畢業(yè)論文 4金融數(shù)學研究面臨的問題與前景 22 河南城建學院本科畢業(yè)論文 5結束語 23 河南城建學院本科畢業(yè)論文 參考文獻 24 河南城建學院本科畢業(yè)論文

63、 致謝 25 成績評定 成績評定說明 一答辯前每個學生都要將自己的畢業(yè)設計論文在指定的時間內(nèi)交給指導 教師由指導教師審閱寫出評語并預評分 二答辯工作結束后答辯小組應舉行專門會議按學校統(tǒng)一的評分標準和評分辦 法在參考指導教師預評結果的基礎上評定每個學生的成績系對專業(yè)答 辯小組提出的優(yōu)秀和不及格的畢業(yè)設計論文要組織系級答辯最終確定 成績并向?qū)W生公布 三各專業(yè)學生的最后成績應符合正態(tài)分布規(guī)律 四具體評分標準和辦法見《平頂山工學院畢業(yè)設計論文工作條例》中附錄2 五答辯小組評分包括兩部分1學生答辯情況的得分和評閱教師評分2指導教師對學生畢業(yè)設計論文的評分 班級 姓名 學號 綜合成績 分折合等級 答辯小組組長簽字 年 月 日 k n t