2019年高中數學 模塊學習評價 蘇教版選修4-2.doc

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2019年高中數學 模塊學習評價 蘇教版選修4-2 1．已知矩陣M＝，求矩陣M的特征值與特征向量． 【解】　矩陣M的特征多項式為f(λ) ＝＝λ2－3λ＋2，令f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝2， 將λ1＝1代入二元一次方程組 解得x＝0， 所以矩陣M屬于特征值1的一個特征向量為； 同理，矩陣M屬于特征值2的一個特征向量為. 2．已知在二階矩陣M對應變換的作用下，四邊形ABCD變成四邊形A′B′C′D′，其中A(1,1)，B(－1,1)，C(－1，－1)，A′(3，－3)，B′(1,1)，D′(－1，－1)． (1)求出矩陣M； (2)確定點D及點C′的坐標． 【解】　設M＝，則有＝， ＝，所以 解得 所以M＝. (2)由＝，得C′(－3,3)． 由＝，得D(1，－1)． 3．設曲線2x2＋2xy＋y2＝1在矩陣A＝(a>0)對應的變換作用下得到的曲線為x2＋y2＝1. ①求實數a，b的值； ②求A2的逆矩陣． 【解】?、僭O曲線2x2＋2xy＋y2＝1上任意點P(x，y)在矩陣A對應的變換作用下的像是P′(x′，y′)． 由＝ ＝，得 又點P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1， 即a2x2＋(bx＋y)2＝1， 整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1. 依題意得解得或 因為a>1，所以 ②由①知，A＝，A2＝ ＝. 所以|A2|＝1，(A2)－1＝. 4．已知矩陣A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β. 【解】　∵A＝， ∴A2＝＝ 設α＝，則A2α＝β? ＝ ?＝ ∴，∴ ∴a＝. 5．曲線x2＋4xy＋2y2＝1在二階矩陣M＝的作用下變換為曲線x2－2y2＝1. (1)求實數a，b的值；(2)求M的逆矩陣M－1. 【解】　(1)設P(x，y)為曲線x2－2y2＝1上任意一點，P′(x′，y′)為曲線x2＋4xy＋2y2＝1上與P對應的點，則＝，即 代入得(x′＋ay′)2－2(bx′＋y′)2＝1， 即得(1－2b2)x′2＋(2a－4b)x′y′＋(a2－2)y′2＝1， 及方程x2＋4xy＋2y2＝1，從而 解得a＝2，b＝0. (2)因為M的行列式為 ＝1≠0，M－1＝＝. 6．已知矩陣M＝，向量α＝，求M3α的值． 【解】　矩陣M的特征多項式 f(λ)＝＝(λ＋1)(λ－3)－(－2)＝λ2－2λ－8＝(λ＋2)(λ－4)．令f(λ)＝0，解得λ1＝4，λ2＝－2.從而求得屬于特征值λ1＝4的一個特征向量為， 屬于λ2＝－2的一個特征向量為. 令α＝＝m＋n，則m＝，n＝，即＝＋，所以M3α＝43＋(－2)3＝. 7．利用矩陣解二元一次方程組 【解】　方程組可寫為＝， 系數行列式為32－41＝2，方程組有唯一解． 利用矩陣求逆公式得 －1＝ 因此原方程組的解為＝＝ 即 8．密碼學是關于信息編碼和解碼的理論，其中經常用到矩陣知識，首先建立如下對應關系： A　B　C　…　Y　 Z ?　?　 ?　　 ?　 ? 1　2　 3　…　25　26 取矩陣A＝. (1)將Good進行編碼； (2)將93,36,60,21恢復成原來的信息． 【解】　(1)Good的編碼為7,15,15,4. (2)∵det(A)＝51－32＝－1， ∴A－1＝，把接收到的密碼按順序分成兩組并寫成列向量，可得 A－1＝ ＝，A－1＝＝. ∴密碼恢復成編碼15,6,3,15， 即得到原來的信息OFCO. 9．已知矩陣M＝，β＝. (1)求M的特征值和特征向量； (2)計算M4β，M10β，M100β； (3)從第(2)小題的計算中，你發(fā)現了什么？ 【解】　(1)矩陣M的特征多項式 f(λ)＝＝(λ－1)(λ－2)． 令f(λ)＝0，得λ1＝1，λ2＝2. ∴屬于λ1＝1的一個特征向量α1＝，屬于λ2＝2的一個特征向量α2＝. (2)令β＝mα1＋nα2，則有m＋n＝，∴m＝2，n＝1，即β＝2α1＋α2.∴M4β＝M4(2α1＋α2)＝2M4α1＋M4α2＝2λα1＋λα2＝214＋24＝， 同理可得M10β＝， M100β＝. (3)當n→＋∞時，可近似認為 Mnβ＝Mn(2α1＋α2)≈Mnα2＝2n＝. 10．自然界生物種群的成長受到多種因素的影響，如出生率、死亡率、資源的可利用性與競爭、捕食者的獵殺乃至自然災害等．因此，它們和周邊環(huán)境是一種既相生，又相克的生存關系．但是如果沒有任何限制，種群也會泛濫成災．現假設兩個互相影響的種群X，Y隨時間段變化的數量分別為{an}，{bn}，并有關系式其中a1＝1，b1＝7，試分析10個時段后，這兩個種群的數量變化趨勢． 【解】　由題意知＝， 令M＝， 則f(λ)＝ ＝(λ－1)(λ－4)． 令f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝4，對應的一個特征向量分別為，. 設α＝＝， 則α＝3＋(－2)， 則M10α＝3410＋(－2)110＝ ≈. 照此發(fā)展下去，兩個種群的數量趨于均衡．