泄洪方案數(shù)學模型 數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文

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1、泄洪方案數(shù)學模型 數(shù)學系20021111班 張瑞華 指導(dǎo)教師 黃麗云 摘 要：文通過對具體數(shù)學問題的分析，抓住主要矛盾，在不影響結(jié)果的前提下，忽略了一些次要矛盾，建立優(yōu)化模型。從兩個不同的方向來考慮該問題，根據(jù)合理的假設(shè)，分別建立了兩個互不相同的網(wǎng)絡(luò)圖，并把網(wǎng)絡(luò)圖作為該模型的約束條件。這樣，可以比較容易地解決問題，達到了通用的目的。最后通過分枝定界解法對兩個模型分別進行求解并比較所得結(jié)果，從而得出最優(yōu)解。 關(guān)鍵詞：優(yōu)化模型；網(wǎng)絡(luò)圖；分枝定界法 The Mathematical Model of the Scheme for Flood Discharge Abstra

2、ct: Through analyzing a concrete mathematical problem, some main contradictions were accepted, and some secondary ones were ignored on the premise of not influencing the result. Thus an optimization model was established. The problem was considered from two different aspects. Based a reasonable assu

3、mption, two different network charts were set up, which were regarded as restraint terms of this model. As a result, the problem was solved easily and the aim of general application was attained. At last, the two models were solved through branch bound method and the optimal solution was obtained af

4、ter their results were compared. Key words: optimization model; network chart; branch and bound method 1 引言 洪水通常指由暴雨、急劇融化冰雪、風暴湖等自然因素或水庫調(diào)度不當、水利工程潰決失事等人為因素引起的江河、湖泊洪水流量激增、水位急劇上漲的一種水文現(xiàn)象．若洪水超過江河、湖泊、水庫等水體的承受能力而造成災(zāi)害的，則稱之為災(zāi)害性洪水．洪水是自然和環(huán)境系統(tǒng)變化的產(chǎn)物，其發(fā)生和發(fā)展均要受自然和環(huán)境系統(tǒng)的作用和制約. 洪災(zāi)是洪水作用于人類社會的產(chǎn)物，是自然和人的關(guān)系的表現(xiàn)．災(zāi)害

5、性洪水往往會對自然生態(tài)系統(tǒng)和社會經(jīng)濟系統(tǒng)產(chǎn)生嚴重的沖擊，破壞人類賴以生存的這兩個系統(tǒng)的完整性和穩(wěn)定性．洪水災(zāi)害是當今世界范圍內(nèi)發(fā)生最頻繁和最具毀滅性的自然災(zāi)害之一．幾千年來，洪澇災(zāi)害始終是威脅中華民族生存發(fā)展的心腹大患．近50多年來，盡管我國在水利建設(shè)方面取得了很大成就，防洪減災(zāi)效果顯著，但是由于氣候條件的異常變化，大規(guī)模人類活動和環(huán)境的影響，我國的防洪形勢仍十分嚴峻，洪水災(zāi)害仍時有發(fā)生．在這樣的背景下，防洪減災(zāi)已成為我國21世紀可持續(xù)發(fā)展的重大課題. 近年來我國提出了新的治水思路，要求我們的防洪策略逐步從洪水控制（flood control）向洪水管理（flood management）

6、轉(zhuǎn)變．洪水管理是人類按可持續(xù)發(fā)展的原則，以協(xié)調(diào)人與洪水的關(guān)系為目的，理性規(guī)范洪水調(diào)控行為與增強人類自適應(yīng)能力等一系列活動的總稱．對數(shù)學建模的一些具體方法與措施在文獻[2—6]中均進行了比較詳細的描述．本文就文獻[7]中的一個關(guān)于洪水的具體問題建立了數(shù)學模型，這里所研究的泄洪方案，是用分枝定界解法建立了一種以減少洪水所造成的人員和財產(chǎn)的總的損失為目標的破堤泄洪的方法．這對我國的防洪減災(zāi)工作有一定的意義. 2 問題的提出 下面就文獻[7]中提到的問題重述如下： 有一條河流由于河床泥沙淤結(jié)，每當上游發(fā)生洪水時，就會破堤淹沒兩岸，造成人員和財產(chǎn)的損失．為減少總的損失，人們采取破堤泄洪的方

7、法．圖1是該河一岸區(qū)域的信息示意圖．在該區(qū)域周圍有很高的山，使該區(qū)域成為封閉的區(qū)域．區(qū)域內(nèi)又分成15個小區(qū)．每個小區(qū)內(nèi)標有4個數(shù)字，分別表示該小區(qū)的編號、小區(qū)的海拔高度、面積和被完全淹沒時土地、房屋和財產(chǎn)等損失總數(shù)(百萬元)．求：（1）整個區(qū)域全部受損失的最小洪水量.（2）當洪水量為/6時制定泄洪方案，使總損失最小，并計算出該方案的損失數(shù). 河 流

8、 大 堤 1 3.6 6.1 1.4 2 4.0 8.4 7.0 3 4.7 7.0 5.8 4 4.4 9.3 3.3 5 3.8 4.8 2.0 6 3.3 3.6 9.9 7 3.2 0.9 0.9 8 2.5 8.5 6.0 9 5.0 1.8 7.2 10 4.4 0.1

9、 1.6 11 3.0 4.6 3.0 12 3.5 1.5 4.1 13 2.4 2.3 4.1 14 3.8 8.8 5.3 15 3.8 1.3 4.4 圖 1 上面簡單地提出了所要研究的問題，下面就在解決問題的過程當中要用到的一些假設(shè)及符號說明如下： （1）各小區(qū)間有相對高度為1.2m的小堤互相隔離．例如第一塊和第二塊小區(qū)間事實上有海拔5.2m的小堤. （2）當洪水淹沒一個小區(qū)且水位高于該小區(qū)高度m時， 該小區(qū)的損失為該小區(qū)的和的函數(shù)，損失： ,

10、 0 = , （3）假設(shè)決堤口可選在大堤或小堤的任何地方，決堤口數(shù)目不受任何限制．但一經(jīng)決口，就不能再補和．從河流經(jīng)大堤決口流入小區(qū)的洪水量按決口數(shù)成比例分配．如果在小區(qū)之間小堤一開決口，則假設(shè)該兩小區(qū)之間的這段小堤不復(fù)存在．若水位高過小堤，則將自動向鄰近最低的一個小區(qū)泄洪．若這樣的小區(qū)有幾塊時，則平均泄洪. （4） ：對于模型一，由于選擇第j種排列方式而超過基本洪水量的洪水量. （5） ：對于模型二，由于選擇第j種排列方式而超過基本洪水量的洪水量. （6） ：每個小區(qū)剛好被完全淹沒的基本洪水量之和．

11、 （7） ：整個區(qū)域全部受損失的最小洪水量. （8） ：當洪水量為Q/6時，第個小區(qū)的洪水量. （9） ：對于模型一，整個區(qū)域全部受損失的洪水量. （10） ：對于模型二，整個區(qū)域全部受損失的洪水量. （11） ：當洪水量為/6時，區(qū)域所受的總損失. （12） ：第個小區(qū)被完全淹沒時土地、房屋和財產(chǎn)等損失總數(shù). 此外，還把下面要用到的每個小區(qū)剛好被完全淹沒的基本洪水量（）先計算出來，如小區(qū)基本洪水量統(tǒng)計表. 小區(qū) 1 2 3 4 5 6 7 8 基本洪水量 21.96 33.6 32.9 40.92 18.24 11.88 2

12、.88 21.25 小區(qū) 9 10 11 12 13 14 15 基本洪水量 9 0.44 13.8 5.25 5.52 33.44 4.94 小區(qū)基本洪水量統(tǒng)計表 做了這些準備工作之后，就可以建立具體的數(shù)學模型來解決這個問題，首先解決問題（1）. 3問題（1）的模型建立及求解 根據(jù)假設(shè)3得知決堤口可選在大堤或小堤的任何地方，決堤口數(shù)目不受限制．這樣，當上游發(fā)生洪水時，就可以采取破堤泄洪的方法，但在破堤時可以選擇在區(qū)域的左側(cè)或右側(cè)的大堤．不同的破堤地點對應(yīng)的泄洪方案也不同，根據(jù)這個特點，本文建立了兩個數(shù)學模型．并對這兩個數(shù)學模型分別

13、進行求解，并比較結(jié)果，最后得到最小洪水量．并把這兩個數(shù)學模型分別叫做模型一和模型二．具體的建立步驟如下： 3.1模型一的建立 為了建立此模型，首先考慮它的約束條件，這里用網(wǎng)絡(luò)圖來表示它的約束條件．用圓圈表示洪水經(jīng)過一個小區(qū)，用箭頭表示水流方向；即箭頭指向的圓圈內(nèi)的小區(qū)必須在箭尾圓圈內(nèi)的小區(qū)被完全淹沒后才能被淹沒．根據(jù)圖1和假設(shè)3可畫出網(wǎng)絡(luò)圖，如圖2所示. 　 （6） (11) （12） （13 ） （14） （15） （1）

14、 （10） （7） （8） （2） （3） （4） (9) (5) 圖 2 其中括號內(nèi)的數(shù)字表示小區(qū)的編號，這張圖十分明顯地表示了由假設(shè)3得到水流方向的約束. 其次考慮優(yōu)化目標： 設(shè)s,s,…,s是1,2,…,15的一個排列，滿足由圖2中的網(wǎng)絡(luò)描述的水流方向的約束，稱為可行的水流方

15、向，那么整個區(qū)域全部受損失的洪水量為： =+ 因為為每個小區(qū)剛好被完全淹沒時的基本洪水量之和，是一個固定的常量．從而問題歸結(jié)為：求可行的水流方向（,,…,），使達到最小. 3.2模型一的求解 從圖2，可以很明顯地看出，小區(qū)1，6，7和5，9，15的順序已經(jīng)確定，所以實際上只需確定小區(qū)2，3，4，8，10，11，12，13，14的水流方向．為此，采用分枝定界解法來求這個極小化問題．這里采用的分支是這15個小區(qū)的“部分次序”，相應(yīng)的洪水量便是這一分支的下界. 首先，從圖2不難看出，當洪水從大堤出發(fā)流經(jīng)小區(qū)1，再由小區(qū)1平均泄洪到小區(qū)6和7后，這時小區(qū)11的洪水來源有兩

16、條途徑：一種途徑是小區(qū)11的洪水全部來自小區(qū)6；另一種途徑是小區(qū)11的洪水來自小區(qū)6和小區(qū)7．如果小區(qū)11的洪水來源是第二種途徑的話，那么根據(jù)假設(shè)3，小區(qū)7又應(yīng)該平均泄洪給小區(qū)8和11，這樣小區(qū)7所需的洪水量就比較多，因此總洪水量也比較多．故這一分支不會達到最優(yōu)，可以剪去．依次類推，最后便可求解，得到最優(yōu)水流方向為： （6） (11) （12） （13） （14） （15） （1） （10）

17、 （7） （8） （2） （3） （4） （9） （5） 圖 3 此外根據(jù)圖3和表一中的數(shù)據(jù)還可以得到最小洪水量，在這里采用遞推的方法來求解，具體求解步驟為：首先求出從小區(qū)14到小區(qū)3的洪水量為 其次計算出小區(qū)7，8，2，3的洪水量之和 最后就可以計算最小洪水量為 上面討論了洪水從整個區(qū)域的左側(cè)流入小區(qū)，并建立了相應(yīng)的數(shù)學模型（即模型一）.下面考慮洪水

18、從整個區(qū)域的右側(cè)流入小區(qū)，并建立與之對應(yīng)的模型二. 3.3模型二的建立 和模型一的建立步驟一樣，首先建立與之對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)圖：圖4. (2) (1) （6） (4) (3) (9) (8) (7) (5) (14) (13) (12) (11) (10) (15)

19、 圖 4 圖4中的數(shù)字，符號所代表的意義和圖2中所代表的是一樣的. 優(yōu)化目標： = + 和模型一一樣，問題歸結(jié)為：求可行的水流方向，使 達到最小. 3.4模型二的求解 從圖4可以看出小區(qū)3、4、5、6、10、11、14、15的順序已經(jīng)確定，所以實際上只需確定小區(qū)1、2、7、8、9、12、13的水流方向．為此仍采用分枝定界解法來求解這個極小化問題．這里所采用的分支是這個小區(qū)的“部分次序”，相應(yīng)的洪水量便是這一分支的下界. 首先，從圖4還可以看出，當洪水從大堤出發(fā)流經(jīng)小區(qū)5，再由小區(qū)5平均泄洪到小區(qū)4和10，依次類推，當洪水經(jīng)過小區(qū)9后，有三條途徑可供選擇：一、洪水流

20、到小區(qū)8；二、洪水流到小區(qū)13；三、洪水流到小區(qū)8和13．若洪水流到小區(qū)8和13，則小區(qū)9應(yīng)該平均泄洪，這樣小區(qū)9的洪水量就應(yīng)該有較多的洪水量，那么便可推得小區(qū)3的洪水量比較多，最后可推得總洪水量比較多．因此，這一分支不會達到最優(yōu)，可以剪去．依次類推，便可以得到最優(yōu)水流方向為： （2） （1） （6） （4） （3） （9） （8） （7） （5） (14) (13) (12) (11) (10)

21、 (15) 圖 5 和模型一的求解方法一樣，還可以得到最小洪水量為666.0410m．即 min Q= 666.0410m 比較上述兩個模型所得結(jié)果邊可以得到 Q= 666.0410m 且水流方向為： （2） （1） （6） （4） （3） （9） （8） （7） （5） (14) (13) (12) (11) (10) (15) 圖 6 4問題（２）的模型建

22、立及求解 4.１ 模型建立 當洪水量為Q/6 時，根據(jù)假設(shè)2，我們可得到優(yōu)化目標： , 0 T = , 約束條件為：= Q/6 此外，還要受水流方向的約束．從而問題歸結(jié)為：求滿足條件的水流方向使T達到最小. 4.２模型的求解 從問題1可以看出，洪水可以從區(qū)域的兩側(cè)流入小區(qū)，于是，對于此問題的求解也可以從兩個方向來考慮．若洪水從區(qū)域的左側(cè)流入小區(qū)，則圖3便是水流方向的約束條件．當洪水從區(qū)域的右側(cè)流入小區(qū)，圖5就是水流方向的約束條件．這里可以采用窮舉法進行求解，即一一驗證可行的情況，對可行的方案

23、分別計算總損失，進行比較，選出最優(yōu)泄洪方案．這樣做計算量較大，計算起來比較繁．為了方便起見，采用分枝定界解法進行求解．首先計算出每個小區(qū)的單位損失，得到下面的小區(qū)損失統(tǒng)計表；然后，優(yōu)先選擇單位損失最小的小區(qū)—小區(qū)1，以此類推便可得到一組最優(yōu)解，水流方向為 ： (1) (7) (8) (2) (3) （9） 此時得到T=28.3（百萬元），但從剛才的分析知，洪水還可以從區(qū)域的右側(cè)進入小區(qū)，仔細觀察表二，不難發(fā)現(xiàn)，除了小區(qū)1以外，小區(qū)4便是損失最少的小區(qū)．于是考慮水從右側(cè)進入小區(qū)的情況，和剛才一樣，優(yōu)先考慮單位損失較少的小區(qū)，得到一組最

24、優(yōu)解，水流方向為： (5) (4) (3) （2） 損失： T = 18.1（百萬元） 比較這兩個方案，不難發(fā)現(xiàn)，當洪水量為Q/6時，min T = 18.1（百萬元），泄洪方案為： (5) (4) (3) （2） 小區(qū) 1 2 3 4 5 6 7 8 損失總數(shù)（百萬元） 1.4 7.0 5.8 3.3 2.0 9.4 0.9 6.0 容量（10） 21.96 33.6 32.9 40.92 18.24 11.88 2.88 6.0 單位損失（10） 0.064

25、0.2083 0.1763 0.0806 0.1096 0.7192 0.3125 0.2824 小區(qū) 9 10 11 12 13 14 15 損失總數(shù)（百萬元） 7.2 1.6 3.0 4.1 4.1 5.3 4.4 容量（10） 9 0.44 13.8 5.25 5.52 33.44 4.94 單位損失（10） 0.8 3.6364 0.2174 0.7816 0.7428 0.1585 0.8907 小區(qū)損失統(tǒng)計表 5總結(jié) 該模型根據(jù)研究對象的特性，建立了兩個模型，并對結(jié)果進行比較，得到了最

26、優(yōu)解．此外是在一定的合理假設(shè)條件下考慮問題的，具有一定的實際推廣意義，可以用來制定一些泄洪方案，減少損失．最后應(yīng)該指出的是，該模型采用了分枝定界解法進行求解，使所求的問題簡單化，避免了使用窮舉法的繁瑣和復(fù)雜． 參考文獻 1 姜樹海，范子武，吳時強.洪災(zāi)風險評估和防洪安全決策[M].北京：中國水利水電出版社，2005: 1～20. 2齊歡.數(shù)學模型方法[M].武昌：華中科技大學出版社，2002：1～21. 3楊啟帆，方道元.數(shù)學建模[M].浙江：浙江大學出版社，2003：1～6. 4謝北鴻，范正森，正艮遠.數(shù)學建模技術(shù)[M].北京：中國水利水電出版社，2003：1～9. 5壽紀麟

27、，宗保軍.數(shù)學建模方法與范例[M].西安：西安交通大學出版社，1995：27～43. 6姜啟源.數(shù)學模型[M].北京：高等教育出版社，1988. 7譚永基，俞文眥.數(shù)學模型[M].上海：復(fù)旦大學出版社，2001：43～69. 8《運籌學》教材編寫組. 運籌學[M].北京：清華大學出版社，2002：117～120. 指導(dǎo)教師評語： 張瑞華同學的論文《泄洪方案數(shù)學模型》，就一個具體的洪水問題建立了數(shù)學模型，利用分枝定界解法進行求解，進而提出了最優(yōu)泄洪方案。該選題符合專業(yè)培養(yǎng)目標，研究工具恰當，模型求解正確，所作的研究對防洪減災(zāi)工作有一定的現(xiàn)實指導(dǎo)意義和推廣價值。寫作符合學位論文的基本規(guī)范，條理清晰，語言流暢，達到本科學位論文的要求。