2019-2020年高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)90天突破 專(zhuān)題3 數(shù)列.doc

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2019 2020 年高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn) 90 天突破 專(zhuān)題 3 數(shù)列 考點(diǎn)定位 xx 考綱解讀和近幾年考點(diǎn)分布 xx 考綱解讀 1 數(shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法 了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法 列表 圖像 通項(xiàng)公式 了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類(lèi)函數(shù) 2 等差數(shù)列 等比數(shù)列 理解等差數(shù)列 等比數(shù)列的概念 掌握等差數(shù)列 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式 能在具體的問(wèn)題情境中 識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系 或等比關(guān)系 并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題 了解等差數(shù)列與一次函數(shù) 等比數(shù)列 與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系 近幾年考點(diǎn)分布數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容之一 由于它既具有函數(shù)特征 又能構(gòu)成 獨(dú)特的遞推關(guān)系 使得它既與中學(xué)數(shù)學(xué)其他部分知識(shí)如 函數(shù) 方程 不等式 解析幾何 二項(xiàng)式定理等有較緊密的聯(lián)系 又有自己鮮明的特征 因此它是歷年高考考查的重點(diǎn) 熱 點(diǎn)和難點(diǎn) 在高考中占有極其重要的地位 試題往往綜合性強(qiáng) 難度大 承載著考查學(xué)生數(shù) 學(xué)思維能力和分析 建模 解決問(wèn)題的能力以及函數(shù)與方程的思想 轉(zhuǎn)化與化歸的思想 分類(lèi)討論的思想 通過(guò)對(duì) xx 年高考試題的研究 本專(zhuān)題在高考試題中占有較大比重 分值 約占總分的 12 大多為一道選擇題或填空題 一道解答題 試題注重基礎(chǔ) 著重考查等差 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 前 n 項(xiàng)和公式 數(shù)學(xué)歸納法及應(yīng)用問(wèn)題 選擇題和填空題 突出 小 巧 活 的特點(diǎn) 而解答題大多為中等以上難度的試題或難度大的壓軸題 考點(diǎn) pk 名師考點(diǎn)透析 考點(diǎn)一 等差 等比數(shù)列的概念與性質(zhì) 例 1 已知為等比數(shù)列 且 1 若 求 2 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 求 解 設(shè) 由題意 解之得 進(jìn)而 1 由 解得 2 名師點(diǎn)睛 關(guān)于等差 等比數(shù)列的問(wèn)題 首先應(yīng)抓住 a1 d q 通過(guò)列方程組來(lái) 解 此方法具有極大的普遍性 需用心掌握 但有時(shí)運(yùn)算繁雜 要注意計(jì)算的正確性 若 能恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用性質(zhì) 可減少運(yùn)算量 例 2 設(shè) a1 d 為實(shí)數(shù) 首項(xiàng)為 a1 公差為 d 的等差數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)和為 Sn 滿(mǎn)足 15 0 若 5 求及 a1 求 d 的取值范圍 名師點(diǎn)睛 在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題時(shí) 基本量法 是常用的方法 但 有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì) 可使運(yùn)算簡(jiǎn)便 而一般數(shù)列的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為等差 等比數(shù)列求解 考點(diǎn)二 求數(shù)列的通項(xiàng)與求和 例 3 已知數(shù)列滿(mǎn)足 1 求 2 設(shè)求證 3 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 解 1 由已知 即 即有 由 有 1 2 1 21 nnSSnn 即 同時(shí) 2 由 1 有 3 由 2 而 是以 2 為首項(xiàng) 2 為公比的等比數(shù)列 即 而 有 名師點(diǎn)睛 一般地 含有的遞推關(guān)系式 一般利用化 和 為 項(xiàng) 例 4 在數(shù)列 中 并且對(duì)任意都有成立 令 求數(shù)列 的通項(xiàng)公式 求數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和 解 1 當(dāng) n 1 時(shí) 當(dāng)時(shí) 由得所以 所以數(shù)列是首項(xiàng)為 3 公差為 1 的等差數(shù)列 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為 2 1 1245nTn 2334 2 n 名師點(diǎn)睛 裂項(xiàng)相消法 主要用于通項(xiàng)為分式的形式 通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和 正負(fù) 項(xiàng)相消剩下首尾若干項(xiàng) 注意一般情況下剩下正負(fù)項(xiàng)個(gè)數(shù)相同 考點(diǎn)三 數(shù)列與不等式 函數(shù)等知識(shí)的聯(lián)系 例 5 已知數(shù)列是等差數(shù)列 1 判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列 并說(shuō)明理由 2 如果 為 常 數(shù)kaaa 134 30642531 試寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公 式 3 在 2 的條件下 若數(shù)列得前 n 項(xiàng)和為 問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù) 使當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取得最大值 若存在 求出的取值范圍 若不存在 說(shuō)明理由 解 1 設(shè)的公差為 則 數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列 2 兩式相減 1 13 nadkn 3 因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)最大 即 2 24 501890613kkk 名師點(diǎn)睛 解綜合題的成敗在于審清題目 弄懂來(lái)龍去脈 透過(guò)給定信息的表象 抓 住問(wèn)題的本質(zhì) 揭示問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件 明確解題方向 形成解題策略 例 6 已知數(shù)列的首項(xiàng) 是常數(shù) 且 數(shù)列的首項(xiàng) 1 證明 從第 2 項(xiàng)起 是以 2 為公比的等比數(shù)列 2 設(shè)為數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 且是等比數(shù)列 求實(shí)數(shù)的值 3 當(dāng)時(shí) 求數(shù)列的最小項(xiàng) 提示 當(dāng)時(shí)總有 解 1 2221 4 1 nanabnn n 2 由得 即從第 2 項(xiàng)起是以 2 為公比的等比數(shù)列 2 1 4 34 2 n nnSaa 當(dāng) n 2 時(shí) 1 11 2 34 nn na 是等比數(shù)列 n 2 是常數(shù) 即 3 由 1 知當(dāng)時(shí) 所以 123 12 21 nnannn 有 顯然最小項(xiàng)是前三項(xiàng)中的一項(xiàng) 當(dāng)時(shí) 最小項(xiàng)為 當(dāng)時(shí) 最小項(xiàng)為或 當(dāng)時(shí) 最小項(xiàng)為 當(dāng)時(shí) 最小項(xiàng)為或 當(dāng)時(shí) 最小項(xiàng)為 名師點(diǎn)睛 對(duì)數(shù)列中的含 n 的式子 注意可以把式子中的 n 換為或得到相關(guān)的式子 再進(jìn)行化簡(jiǎn)變形處理 也可以把 n 取自然數(shù)中的具體的數(shù) 1 2 3 等 得到一些等式歸 納證明 例 7 已知數(shù)列中 1 寫(xiě)出的值 只寫(xiě)結(jié)果 并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式 2 設(shè) 若對(duì) 任意的正整數(shù) 當(dāng)時(shí) 不等式恒成立 求實(shí)數(shù)的取值范圍 解 1 2 分 當(dāng)時(shí) 1123221 1 nnaanaa 23n 當(dāng)時(shí) 也滿(mǎn)足上式 數(shù)列的通項(xiàng)公式為 2 122111232nnnbaann 31 211 nnn 令 則 當(dāng)恒成立 在上是增函數(shù) 故當(dāng)時(shí) 即當(dāng)時(shí) 要使對(duì)任意的正整數(shù) 當(dāng)時(shí) 不等式恒成立 則須使 即 實(shí)數(shù)的取值范圍為 另解 1111123223nbnnnn 數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列 名師點(diǎn)睛 數(shù)列是一種特殊的函數(shù) 要注意其特殊性 1 若用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列的單 調(diào)性 最值等 要構(gòu)造輔助函數(shù) 因?yàn)閷?dǎo)數(shù)是對(duì)連續(xù)函數(shù)而定義的 2 輔助函數(shù)的單調(diào)性 與數(shù)列的單調(diào)性的聯(lián)系與區(qū)別 例 8 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為 對(duì)一切正整數(shù) 點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上 且過(guò)點(diǎn)的切線的斜率 為 1 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 2 若 求數(shù)列的前項(xiàng)和 3 設(shè) NnaxRNnkxQ 等差數(shù)列的任一項(xiàng) 其中是中的最小 數(shù) 求的通項(xiàng)公式 解 1 點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上 當(dāng)時(shí) 當(dāng) 1 時(shí) 滿(mǎn)足上式 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為 2 由求導(dǎo)可得過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為 1234354721 4n nT 由 4 得 41 n n 得 233n 21143 4nn 3 2 QxNRxN 又 其中是中的最小數(shù) 是公差是 4 的倍數(shù) 又 解得 27 所以 設(shè)等差數(shù)列的公差為 則 所以的通項(xiàng)公式為 名師點(diǎn)睛 一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和 主要用錯(cuò)位 相減法求數(shù)列的和 例9 甲 乙兩容器中分別盛有濃度為 的某種溶液500ml 同時(shí)從甲 乙兩個(gè)容器中 各取出100ml溶液 將其倒入對(duì)方的容器攪勻 這稱(chēng)為一次調(diào)和 記 經(jīng)次調(diào) 和后甲 乙兩個(gè)容器的溶液濃度為 I 試用 表示 II 求證 數(shù)列 是等比數(shù) 列 數(shù)列 是常數(shù)列 III 求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式 解 1 2 兩式相減 所以等比 兩式相加 所以常數(shù)列 3 11335 5 nnnnab 名師點(diǎn)睛 數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中廣為應(yīng)用 如增長(zhǎng)率問(wèn)題 銀行存款利率問(wèn)題 貸 款問(wèn)題等 都是與等比數(shù)列有關(guān) 另外 有些實(shí)際問(wèn)題 可轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題 注意是求項(xiàng) 還是求和 是解方程還是不等式問(wèn)題 金題熱身 11 年高考試題及解析 一 選擇題 1 重慶理 11 在等差數(shù)列中 則 解析 74 故 2 北京理 11 在等比數(shù)列中 若 則公比 解析 由是等比數(shù)列得 又 所以 是以為首項(xiàng) 以 2 為公比的等比數(shù)列 3 天津理 4 已知為等差數(shù)列 其公差為 2 且是與的等比中項(xiàng) 為的前 n 項(xiàng)和 則 的值為 A 110 B 90 C 90 D 110 答案 D 解析 由題意知 即 解得 所以 10 110 4 江蘇 13 設(shè) 其中成公比為 q 的等比數(shù)列 成公差為 1 的等差數(shù)列 則 q 的最小值 是 解析 考察綜合運(yùn)用等差 等比的概念及通項(xiàng)公式 不等式的性質(zhì)解決問(wèn)題的能力 難題 由題意 23121211aqaaq 而的最小值分別為 1 2 3 5 四川理 8 數(shù)列的首項(xiàng)為 為等差數(shù)列且 若則 則 A 0 B 3 C 8 D 11 解析 由已知知由疊加法 213287 81 64204603aaaa 6 廣東理 11 等差數(shù)列前 9 項(xiàng)的和等于前 4 項(xiàng)的和 若 則 解析 10 由題得 106031 2 kddk 7 全國(guó)理 4 設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和 若 公差 則 A 8 B 7 C 6 D 5 解析 2211 2 kkSakdakd 1 4 故選 D 8 江西理 5 已知數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和滿(mǎn)足 且 1 那么 A 1 B 9 C 10 D 55 解析 因?yàn)?所以令 可得 令 可得 同理可得 故選 A 二 填空題 1 湖南理 12 設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和 且 則 解析 因?yàn)?所以 則 故填 25 評(píng)析 本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算問(wèn)題 2 陜西理 13 觀察下列等式 照此規(guī)律 第個(gè)等式為 答案 2 1 2 3 1 nn 解析 第個(gè)等式是首項(xiàng)為 公差 1 項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列 即 2 2 3 湖北理 13 九章算術(shù) 竹九節(jié) 問(wèn)題 現(xiàn)有一根 9 節(jié)的竹子 自下而下各節(jié)的容 積成等差數(shù)列 上面 4 節(jié)的容積共 3 升 下面 3 節(jié)的容積共 4 升 則第 5 節(jié)的容積為 升 答案 解析 設(shè)從上往下的 9 節(jié)竹子的容積依次為 a1 a2 a9 公差為 d 則有 a1 a2 a3 a4 3 a7 a8 a9 4 即 4a5 10d 3 3a5 9d 4 聯(lián)立解得 即第 5 節(jié)竹子的容積 4 陜西理 14 植樹(shù)節(jié)某班 20 名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹(shù) 每人植一棵 相鄰兩棵 樹(shù)相距 10 米 開(kāi)始時(shí)需將樹(shù)苗集中放置在某一樹(shù)坑旁邊 使每位同學(xué)從各自樹(shù)坑出發(fā)前來(lái) 領(lǐng)取樹(shù)苗往返所走的路程總和最小 這個(gè)最小值為 米 答案 2000 解析 設(shè)樹(shù)苗集中放置在第號(hào)坑旁邊 則 20 名同學(xué)返所走的路程總和為 即時(shí) 三 解答題 1 全國(guó)理 20 設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足且 求的通項(xiàng)公式 設(shè) 11 1 nnn knabbS 記 S證 明 解析 由得 前項(xiàng)為 11 ndnaa 于 是 1 1 23nkSbn 2 浙江理 19 本題滿(mǎn)分 14 分 已知公差不為 0 的等差數(shù)列的首項(xiàng) 設(shè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 且 成等比數(shù)列 求數(shù)列的通項(xiàng)公式及 記 當(dāng)時(shí) 試比較與的大 小 解析 221411214 3 adada 則 111nnan 1 22n nSda 1 34 1 na 因?yàn)?所以 當(dāng)時(shí) 即 所以當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 3 江蘇 20 本小題滿(mǎn)分 16 分 設(shè) M 為部分正整數(shù)組成的集合 數(shù)列的首項(xiàng) 前 n 項(xiàng) 和為 已知對(duì)任意整數(shù) k 屬于 M 當(dāng) n k 時(shí) 都成立 1 設(shè) M 1 求的值 2 設(shè) M 3 4 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 解析 考察等差數(shù)列概念 和與通項(xiàng)關(guān)系 集合概念 轉(zhuǎn)化與化歸 分析問(wèn)題與解決問(wèn)題 的能力 其中 1 是容易題 2 是難題 1 1121 nnnnkSSS 即 所以 n 1 時(shí) 成等差 而 23135 7 4 8 a 2 由題意 3 4 2 nnnnS 4215314 nSSS 當(dāng)時(shí) 由 1 2 得 由 3 4 得 由 1 3 得 由 2 4 得 由 7 8 知 成等差 成等差 設(shè)公差分別為 由 5 6 得 3242421541 9 2 0 nnnnadadadad 由 9 10 得 5113 成等差 設(shè)公 差為 d 在 1 2 中分別取 n 4 n 5 得 122 6a 45 dada 即1287931 即 4 四川理 20 本小題共 12 分 設(shè) d 為非零實(shí)數(shù) a n C1n d 2Cn2d2 n 1 Cnn 1d n 1 nCnndn n N 寫(xiě)出 a1 a2 a3并判斷 a n 是否為等比數(shù)列 若是 給出證明 若不是 說(shuō) 明理由 II 設(shè) bn ndan n N 求數(shù)列 b n 的前 n 項(xiàng)和 Sn 解析 1 0123111 nnnnn aaCdCdadd 因?yàn)?d 為常數(shù) 所以是以 d 為首項(xiàng) d 1 為公比的等比數(shù)列 2 2021221 3 nnS 01 1 1 nd 223 1 nndd 2221 1 nnnnSddd 5 遼寧理 17 本小題滿(mǎn)分 12 分 已知等差數(shù)列 a n 滿(mǎn)足 a2 0 a 6 a8 10 I 求數(shù) 列 a n 的通項(xiàng)公式 II 求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 解析 I 設(shè)等差數(shù)列 a n 的公差為 d 由已知條件可得 解得故等差數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式為 an 2 n II 設(shè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 即故 所以 當(dāng) n 1 時(shí) 11122 24nnnn 所以 綜上 數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 6 廣東理 20 本小題滿(mǎn)分 14 分 設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 證明 對(duì)于一切正 整數(shù) n 解析 法一 1111222 21 n 2nnnnn nn nbBBaaabbaa AAA令當(dāng) 時(shí) 數(shù) 列 是 一 個(gè) 等 差 數(shù) 列 1n n 1n 11 n n22 122 2 2 2nnbBBbbbbbbb 當(dāng) 時(shí) 數(shù) 列 是 一 個(gè) 等 比 數(shù) 列 n1 2 nnnaaba 11 1121121121 2 1 23b b 2 2nnn nnn nnnnn nba ab AAA當(dāng) 時(shí) 不 等 式 左 邊 右 邊 當(dāng) 時(shí) 即 證 即 證 即 證 即 證 1 nba 用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 證 明 綜 合 得 對(duì) 于 一 切 正 整 數(shù) 法二 11 2nnnnbab 由 可 得 112 2 2 nnn nb aa 當(dāng) 時(shí) 則 數(shù) 列 是 以 為 首 項(xiàng) 為 公 差 的 等 差 數(shù) 列 從 而12 nnabab 當(dāng) 時(shí) 122 n b 則 數(shù) 列 是 以 為 首 項(xiàng) 為 公 比 的 等 比 數(shù) 列12 0 2 2nnnn n aabbb 綜 上 1111 11232211 2 nnnnnnnnnnbbaabbb 當(dāng) 時(shí) 從 而 原 不 等 式 成 立 當(dāng) 時(shí) 要 證 只 需 證 即 證即 證即 證 2132122 113 2 1 nnnnbbbn 而 上 式 左 邊 當(dāng) b時(shí) 原 不 等 式 也 成 立 從 而 原 不 等 式 成 立 7 山東理 20 本小題滿(mǎn)分 12 分 等比數(shù)列中 分別是下表第一 二 三行中的某一 個(gè)數(shù) 且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 若數(shù)列滿(mǎn)足 求數(shù)列的前項(xiàng)和 解析 由題意知 因?yàn)槭堑缺葦?shù)列 所以公比為 3 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式 因?yàn)?1132ln32ln1 nnab 當(dāng)為偶數(shù)時(shí) 設(shè) kkaaa 2121 ll kkn a264212531lnl 1253140 32ln3l3 kn knkkkn ll2ln32l1 112 當(dāng)為奇數(shù)時(shí) 設(shè) 12232121 llnll kkn aaaa 264212531lnl kk 3253140 2ln32ln3 k 11211 lnlln3l1 kkkk 所以 2 2l3NknkSkn 8 陜西理 19 本小題滿(mǎn)分 12 分 如圖 從點(diǎn)做 x 軸的垂線交曲線于點(diǎn)曲線在點(diǎn)處 的切線與 x 軸交于點(diǎn) 再?gòu)淖?x 軸的垂線交曲線于點(diǎn) 依次重復(fù)上 述過(guò)程得到一系列點(diǎn) 記點(diǎn)的坐標(biāo)為 試求與的關(guān)系 求 解 設(shè) 由得點(diǎn)處切線方程為 由得 得 112 1 1 nnnee 9 湖北理 19 本小題滿(mǎn)分 13 分 已知數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 且滿(mǎn)足 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 若存在 使得成等差數(shù)列 試判斷 對(duì)于任意的 且 是否 成等差數(shù)列 并證明你的結(jié)論 本小題主要考查等差數(shù)列 等比數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí) 同時(shí)考查推理論證能力 以及特殊與一 般的思想 解析 由已知 可得 兩式相減可得 即又 所以當(dāng)時(shí) 數(shù)列為 當(dāng)時(shí) 由已知 所以于是由 可得 成等比數(shù)列 當(dāng)時(shí) 綜上 數(shù)列的通項(xiàng)公式為 對(duì)于任意的 且成等差數(shù)列 證明如下 當(dāng) r 0 時(shí) 由 知 對(duì)于任意的 且成等差數(shù)列 當(dāng)時(shí) 若存在 使得成等差數(shù)列 則 即 由 知 的公比 r 1 2 于是對(duì)于任意的 且 從而 即成等差數(shù)列 綜上 對(duì)于任意的 且成等差數(shù)列 10 北京理 20 若數(shù)列 滿(mǎn)足 2 則稱(chēng)為 E 數(shù)列 記 1 寫(xiě)出一個(gè) 滿(mǎn)足 且的 E 數(shù)列 2 若 證明 E 數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是 3 對(duì)任意給定 的整數(shù) 是否存在首項(xiàng)為 0 的 E 數(shù)列 使得 如果存在 寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的 E 數(shù)列 如 果不存在 說(shuō)明理由 解析 0 1 2 1 0 是一具滿(mǎn)足條件的 E 數(shù)列 A5 答案不唯一 0 1 0 1 0 也是一個(gè)滿(mǎn)足條件的 E 的數(shù)列 A5 必要性 因?yàn)?E 數(shù)列 A5是遞增數(shù)列 所以 所以 A5是首項(xiàng)為 12 公差為 1 的 等差數(shù)列 所以 a2000 12 2000 1 1 xx 充分性 由于 a2000 a10001 a 2000 a10001 a2 a11 所以 a2000 a19999 即 a2000a1 1999 又因?yàn)?a1 12 a 2000 xx 所以 a2000 a1 1999 故是遞增數(shù)列 綜上 結(jié)論得證 令 2 01 Akk cnc 則 因?yàn)?所以 13211 nn caAS 2 cnc 因?yàn)?1 kckk 為 偶 數(shù)所 以 所以 12 nncc 為偶數(shù) 所以要使 為偶數(shù) 即 4 整除 4 Nmn 或亦 即 當(dāng) 1 0 2414 kkkaaAENm的 項(xiàng) 滿(mǎn) 足數(shù) 列時(shí) 時(shí) 有 當(dāng)?shù)捻?xiàng)滿(mǎn)足 當(dāng) 1 342 mnNnm時(shí)或 不能被 4 整除 此時(shí)不存在 E 數(shù)列 An 使得 11 天津理 20 本小題滿(mǎn)分 14 分 已知數(shù)列與滿(mǎn)足 且 求的值 設(shè) 證明 是等比數(shù)列 設(shè)證明 解析 本小題主要考查等比數(shù)列的定義 數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí) 考查運(yùn)算能力 推理論 證能力 綜合分析能力和解決問(wèn)題的能力及分類(lèi)討論的思想方法 本小題主要考查等比數(shù)列的定義 數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí) 考查運(yùn)算能力 推理論證能力 綜合分析和解決問(wèn)題的能力及分類(lèi)討論的思想方法 滿(mǎn)分 14 分 解 I 由 可得又 12312323443454 5 當(dāng) n 時(shí) a 0 由 a 可 得 a當(dāng) n 時(shí) a 0 可 得 a當(dāng) 時(shí) 可 得 II 證明 對(duì)任意 得 將 代入 可得 即又因此是等比數(shù)列 III 證明 由 II 可得 于是 對(duì)任意 有133557231 1 1 kkaaaa 將以上各式相加 得即 此式當(dāng) k 1 時(shí)也成立 由 式得 從而 246842 k kkS 所以對(duì)任意 4314112 nnkmmSSaaa 12 2nm 2533 1 2nn 2153 1 2 nmn 1 3 7 n 537 3621 2 6n 對(duì)于 n 1 不等式顯然成立 12 安徽理 18 本小題滿(mǎn)分 13 分 在數(shù) 1 和 100 之間插入個(gè)實(shí)數(shù) 使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增 的等比數(shù)列 將這個(gè)數(shù)的乘積記作 再令 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 設(shè) 求數(shù)列的 前項(xiàng)和 命題意圖 本題考察等比和等差數(shù)列 指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算 兩角差的正切公式等基本 知識(shí) 考察靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力 綜合運(yùn)算能力和創(chuàng)新思維能力 解析 構(gòu)成遞增的等比數(shù)列 其中 則 并利用等比數(shù)列性質(zhì)得 2 2 121 0nnnnTttt 由 知 atat 3 b 又 t 3 2tan 3 t 2 tan11nt n tat2tt 所以數(shù)列的前項(xiàng)和為an 1 3 2 a 3 tan 2 t 3 S tttnt2a1t1a 2 tn1 n 解題指導(dǎo) 做數(shù)列題時(shí)應(yīng)優(yōu)先運(yùn)用數(shù)列的相關(guān)性質(zhì) 本題考察的是等比數(shù)列前 n 項(xiàng) 積 自然想到等比數(shù)列性質(zhì) 倒序相乘法是借鑒倒序相加法得到的 這樣處理就避免了 對(duì) n 奇偶性的討論 第二問(wèn)的數(shù)列求和應(yīng)聯(lián)想常規(guī)的方法 倒序相加法 錯(cuò)位相減法 裂項(xiàng)相消法 而出現(xiàn) 時(shí)自然應(yīng)該聯(lián)想正切的和角或差角公式 本題只要將這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)有機(jī)結(jié)合起來(lái)就可以創(chuàng) 造性的把問(wèn)題解決 13 江西理 18 本小題滿(mǎn)分 12 分 已知兩個(gè)等比數(shù)列 滿(mǎn)足 1 若 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 2 若數(shù)列唯一 求的值 解析 1 設(shè)的公比為 q 則 22123 3babaqbaq 由成等比數(shù)列得即 21240 q 解 得 所以的通項(xiàng)公式為 2 設(shè)的公比為 q 則由 得由 故方程 有兩個(gè)不同的實(shí)根 由唯一 知方程 必有一根為 0 代入 得 14 重慶理 21 本小題滿(mǎn)分 12 分 小問(wèn) 5 分 小問(wèn) 7 分 設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和滿(mǎn)足 若成等比數(shù)列 求和 求證 對(duì)有 解析 I 由題意 由 S2是等比中項(xiàng)知 由解得 II 證法一 由題設(shè)條件有故 111 nnnnSaSa 且 從而對(duì)有 112112 11 kkkk kk kaSaaSa 因 2 221113 04kkkaa 且 由 得 要證 由 只要證即證 21 0 kka 即 此式明顯成立 因此最后證若不然 又因矛盾 因此 證法二 由題設(shè)知 故方程 可能相同 因此判別式又由 2212121 nnnnnaSaSaS 得 且 因此 2 22240 340 1 nnna 即 解得因此由 得 111 22 211 0 3 4kkkk kkkSSSaaaSS 因此 15 上海理 22 18 分 已知數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為 將集合中的元素從小到大 依次排列 構(gòu)成數(shù)列 求 求證 在數(shù)列中 但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 解 任意 設(shè) 213 6327n kanb 則 即 假設(shè) 矛盾 在數(shù)列中 但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為 當(dāng)時(shí) 依次有 63 4 52 17 nknkcN 16 湖南理 22 本小題滿(mǎn)分 13 分 已知函數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 并說(shuō)明理由 設(shè)數(shù) 列滿(mǎn)足證明 存在常數(shù)使得對(duì)于任意的都有 解 由知 而且 則為的一個(gè)零點(diǎn) 且在內(nèi)由零點(diǎn) 因此至少有兩個(gè)零點(diǎn) 解法 1 記則 當(dāng)時(shí) 因此在上單調(diào)遞增 則在上至多有一個(gè)零點(diǎn) 又因?yàn)?則在內(nèi)有零點(diǎn) 所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn) 記此零點(diǎn)為 則當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 所以 當(dāng)時(shí) 單調(diào)遞減 而則在內(nèi)無(wú)零點(diǎn) 當(dāng)時(shí) 單調(diào)遞增 則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn) 從而在上至多有一個(gè)零點(diǎn) 綜上所述 有且只有兩個(gè)零點(diǎn) 解法 2 由 記則 當(dāng)時(shí) 因此在上單調(diào)遞增 則在上至多有一個(gè)零點(diǎn) 從而在上至多有一個(gè)零點(diǎn) 綜上所述 有且只有兩個(gè)零點(diǎn) 記的正零點(diǎn)為 即 1 當(dāng)時(shí) 由得 而 因此 由此猜測(cè) 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)時(shí) 顯然成立 假設(shè)當(dāng)時(shí) 成立 則當(dāng)時(shí) 由 知因此 當(dāng)時(shí) 成立故對(duì)任意的成立 2 當(dāng)時(shí) 由知在上單調(diào)遞增 則 即 從而 即 由此猜測(cè) 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)時(shí) 顯然成立 假設(shè)當(dāng)時(shí) 成立 則當(dāng)時(shí) 由知因此 當(dāng)時(shí) 成立故對(duì)任意的成立 綜上所述 存在常數(shù)使得對(duì)于任意的都有 評(píng)析 本大題綜合考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 數(shù)列 不等式等數(shù)學(xué)知識(shí)和方法以及數(shù)學(xué)歸納法 放 縮法等證明方法的靈活運(yùn)用 突出考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析問(wèn)題 解決問(wèn)題的能力 核心突破 xx 年模擬試題 1 xx 鎮(zhèn)江高三期末 在等比數(shù)列中 若 則的值是 4 2 xx 泰安高三期末 等差數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)和 Sn 若 a3 a7 a10 8 a11 a4 4 則 S13 等于 A A 152 B 154 C 156 D 158 3 xx 北京朝陽(yáng)區(qū)期末 已知數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 且 則等于 A A 4 B 2 C 1 D 2 4 xx 東莞期末 等比數(shù)列中 且依次成等差數(shù)列 則的前項(xiàng)和等于 63 5 xx 佛山一檢 在等差數(shù)列中 首項(xiàng)公差 若 則 A A B C D 6 xx廣州調(diào)研 等比數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為 Sn 若 則 126 7 xx 湖北重點(diǎn)中學(xué)二聯(lián) 已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列 成等比數(shù)列 則 8 xx 巢湖一檢 在等比數(shù)列中 公比為 q 前 n 項(xiàng)和為 若數(shù)列也是等比數(shù)列 則 q 等 于 C A 2 B C 3 D 9 xx 廣東廣雅中學(xué)期末 已知等差數(shù)列首項(xiàng)為 公差為 等比數(shù)列首項(xiàng)為 公比為 其中都是大于 1 的正整數(shù) 且 對(duì)于任意的 總存在 使得成立 則 C A B C D 10 xx 湖北八校一聯(lián) 已知等比數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù) 且當(dāng)則數(shù)列 23114lg lg l 2lg nnaaaS 的 前 項(xiàng) 和 等于 11 xx 北京西城區(qū)期末 設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為 若 則下列式子中數(shù)值不能確定的是 D A B C D 12 xx 哈爾濱期末 若兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別是和 已知 則 D A B C D 13 xx 北京朝陽(yáng)區(qū)期末 已知數(shù)列滿(mǎn)足 定義使為整數(shù)的數(shù)叫做企盼數(shù) 則區(qū)間內(nèi)所 有的企盼數(shù)的和為 2026 14 xx 承德期末 下表給出一個(gè) 直角三角形數(shù)陣 滿(mǎn)足每一列成等差數(shù)列 從第 三行起 每一行的數(shù)成等比數(shù)列 且每一行的公比相等 記第 i 行第 j 列的數(shù)為 則等于 C A B C D 1 15 xx 承德期末 數(shù)列的前 100 項(xiàng)的和等于 16 xx 東莞期末 設(shè)等差數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為 該數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列 若 則 的取值范圍是 A A B C D 17 xx 鎮(zhèn)江高三期末 已知等差數(shù)列首項(xiàng)為 公差為 等比數(shù)列首項(xiàng)為 公比為 其中 都是大于 1 的正整數(shù) 且 對(duì)于任意的 總存在 使得成立 則 18 xx 溫州八校聯(lián)考 數(shù)列滿(mǎn)足 記數(shù)列前 n 項(xiàng)的和為 Sn 若對(duì)任意的 恒成立 則 正整數(shù)的最小值為 A A 10 B 9 C 8 D 7 19 xx 溫州八校聯(lián)考 將一個(gè)三位數(shù)的三個(gè)數(shù)字順序顛倒 將所得到的數(shù)與原數(shù)相加 若和中沒(méi)有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù) 則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為 奇和數(shù) 那么 所有的三位數(shù)中 奇和 163 842 O 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 數(shù)有 100 個(gè) 20 xx 溫州十校高三期末 數(shù)列是等差數(shù)列 若 且 它的前項(xiàng)和有最大值 那么當(dāng)取 得最小正值時(shí) C A B C D 21 xx 溫州十校高三期末 設(shè)是等差數(shù)列 從中取 3 個(gè)不同的數(shù) 使這 3 個(gè)數(shù)仍成等差 數(shù)列 則這樣不同的等差數(shù)列有 180 個(gè) 22 xx 福州期末 已知實(shí)數(shù)成等比數(shù)列 且函數(shù)時(shí)取到極大值 則等于 A A 1 B 0 C 1 D 2 23 xx 哈爾濱期末 設(shè)是公比為的等比數(shù)列 其前項(xiàng)積為 并滿(mǎn)足條件 給出下列結(jié)論 1 2 3 4 使成立的最小自然數(shù)等于 其中正確的編號(hào)為 1 3 4 24 xx 杭州質(zhì)檢 已知函數(shù) 若數(shù)列滿(mǎn)足 且是遞減數(shù)列 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 C A B C D 25 xx 杭州質(zhì)檢 等比數(shù)列 的第 8 項(xiàng)是 26 xx 杭州質(zhì)檢 設(shè) n 為正整數(shù) 計(jì)算得 觀察上述結(jié)果 可推測(cè)一般的結(jié)論為 n N 27 xx 湖北八校一聯(lián) 有下列數(shù)組排成一排 1231421432 5 如果把上述數(shù)組中的括號(hào)都去掉會(huì)形 成一個(gè)數(shù)列 1 5 則此數(shù)列中的第 xx 項(xiàng)是 B A B C D 28 xx 黃岡期末 已知數(shù)列中 是其前 n 項(xiàng)和 若 1 2 且則 6 4021 29 xx 錦州期末 設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足 1212 logl1 nnaaN 它的前項(xiàng)和 為 則的最小為下列何值時(shí) S 1025 C A 9 B 10 C 11 D 12 30 xx 惠州三調(diào) 已知整數(shù)以按如下規(guī)律排成一列 則第個(gè)數(shù)對(duì)是 A B C D 解析 C 根據(jù)題中規(guī)律 有為第項(xiàng) 為第 2 項(xiàng) 為第 4 項(xiàng) 為第項(xiàng) 因此第項(xiàng)為 31 xx 溫州十校高三期末 我國(guó)的刺繡有著悠久的 4 3 2 1 歷史 下圖 1 2 3 4 為刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案 這些圖案都是由小正方形 構(gòu)成 小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮 現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡 小正方形的擺放規(guī)律相同 設(shè)第個(gè)圖形包含個(gè)小正方形 則的表達(dá)式為 32 xx 上海長(zhǎng)寧區(qū)高三期末 如圖 連結(jié)的各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的 又 的各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的 如此無(wú)限繼續(xù)下去 得到一系列三角形 這 一系列三角形趨向于一個(gè)點(diǎn) 已知 則點(diǎn)的坐標(biāo)是 A 33 xx 上海長(zhǎng)寧區(qū)高三期末 無(wú)窮等比數(shù)列中 公比為 且所有項(xiàng)的和 為 則的范圍是 34 xx 日照一調(diào) 本小題滿(mǎn)分 12 分 等比數(shù)列中 已知 求 數(shù)列的通項(xiàng)公式 若分別為等差數(shù)列的第 4 項(xiàng)和第 16 項(xiàng) 試求數(shù)列 的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和 解 設(shè)的公比為 由已知得 解得 所以 5 分 由 得 則 設(shè)的公差為 則有 解得 8 分 10 分 且數(shù)列的前項(xiàng)和 12 分 35 xx 煙臺(tái)一調(diào) 本小題滿(mǎn)分 12 分 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 且 bn 2 2Sn 數(shù)列 a n 為等差 數(shù)列 且 a5 14 a 7 20 1 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 2 若 1 2 3 為數(shù)列的前項(xiàng)和 求 解 1 由 令 則 又 所以 當(dāng)時(shí) 由 可得即 所以是以為首項(xiàng) 為公比的 等比數(shù)列 于是 2 數(shù)列為等差數(shù)列 公差 可得 從而231158 33n nT 23 11 4 n nn 23 111 3 3n nnT 36 xx 福州期末 數(shù)列是首項(xiàng)為 2 公差為 1 的等差數(shù)列 其前項(xiàng)的和為 求數(shù)列 的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和 設(shè) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和 解 依題意 2 分 4 分 由 知 5 分 y xoA 2 B2 C2 C1 B1 A1 A B C 122nanbb 是 首 項(xiàng) 為 4 公 比 為 2的 等 比 數(shù) 列 7 分 9 分 12 分 37 xx 佛山一檢 設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為 公差為的等差數(shù)列 其前項(xiàng)和為 且成等差數(shù)列 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 記的前項(xiàng)和為 求 解 由成等差數(shù)列得 即 解得 故 法 1 12311 3 5 2 nnT 得 4 13 2 2 n 得 23 1 2nnn 111 2 nn 法 2 設(shè) 記 則 111 nnnnkkxxfx 故 1 2324 2 nn nnnTF 38 xx 杭州質(zhì)檢 設(shè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 且 其中 p 是不為零的常數(shù) 1 證明 數(shù)列 是等比數(shù)列 2 當(dāng) p 3 時(shí) 若數(shù)列滿(mǎn)足 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 1 證 因?yàn)?Sn 4an p nN 則 Sn 1 4an 1 p nN n2 所以當(dāng) n2 時(shí) 整理得 5 分 由 Sn 4an p 令 得 解得 所以是首項(xiàng)為 公比為的等比數(shù)列 7 分 2 因?yàn)?a1 1 則 由 得 9 分 當(dāng) n2 時(shí) 由累加得 1231 21 nn bbb 當(dāng) n 1 時(shí) 上式也成立 39 xx 南昌期末 本小題滿(mǎn)分 14 分 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足 且 其中 1 求 數(shù)列的通項(xiàng)公式 2 設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足 是否存在正整數(shù) 使得成等比數(shù)列 若存在 求出所有的 的值 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 3 令 記數(shù)列的前項(xiàng)積為 其中 試比較與 9 的大小 并加以 證明 解 1 因?yàn)?即 1 分 又 所以有 所以 所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列 2 分 由得 解得 故數(shù)列的通項(xiàng)公式為 4 分 2 所以 若成等比數(shù)列 則 即 5 分 由 可得 所以 7 分 從而 又 且 所以 此時(shí) 故當(dāng)且僅當(dāng) 使得成等比數(shù)列 8 分 3 構(gòu)造函數(shù)則 9 分 當(dāng)時(shí) 即在上單調(diào)遞減 所以 10 分 所以 所以 11 分 記 則 12 分 所以 2311 112n nnA 13 分 即 所以 所以 14 分 40 xx 北京朝陽(yáng)區(qū)期末 已知函數(shù) 為常數(shù) 若時(shí) 數(shù)列滿(mǎn)足條件 點(diǎn)在函 數(shù)的圖象上 求的前項(xiàng)和 在 的條件下 若 證明 若時(shí) 是奇函數(shù) 數(shù)列滿(mǎn)足 求證 222311 56nxx 解 依條件有 因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上 所以 因?yàn)?所以是首項(xiàng)是 公差為的等差數(shù)列 1 分 所以 即數(shù)列的前項(xiàng)和 2 分 證明 依條件有 即解得 所以 所以 3 分 因?yàn)?222 4 4 pqpq 又 所以 即 5 分 依條件 因?yàn)闉槠婧瘮?shù) 所以 即 解得 所以 又 所以 故 6 分 因?yàn)?所以 所以時(shí) 有 又 若 則 從而 這與矛盾 所以 8 分 所以 所以 2111 1 2 8kkkkxxxx 10 分 所以 12311 8nxxx 12 分因?yàn)?所以 所以 所以 14 分 41 xx 北京豐臺(tái)區(qū)期末 已知函數(shù) 數(shù)列中 當(dāng)取不同的值時(shí) 得到不同的數(shù)列 如 當(dāng)時(shí) 得到無(wú)窮數(shù)列 1 3 當(dāng)時(shí) 得到常數(shù)列 2 2 2 當(dāng)時(shí) 得到有窮數(shù)列 0 若 求的值 設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足 求證 不論取中的任何數(shù) 都可以得到一個(gè)有 窮數(shù)列 如果當(dāng)時(shí) 都有 求的取值范圍 解 因?yàn)?且 所以 同理可得 即 3 分 證明 假設(shè)為數(shù)列中的第項(xiàng) 即 則 即 故不論取中的任何數(shù) 都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列 因?yàn)?且 所以 又因?yàn)楫?dāng)時(shí) 即 所以 當(dāng)時(shí) 有 42 xx 北京西城區(qū)期末 已知數(shù)列 滿(mǎn)足 其中 若 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 若 且 記 求證 數(shù)列為等差數(shù)列 若數(shù)列中任意一項(xiàng)的值均未在該數(shù)列中 重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次 求首項(xiàng)應(yīng)滿(mǎn)足的條件 解 當(dāng)時(shí) 有 121321 n naaa 2 分 3 分又因?yàn)橐矟M(mǎn) 足上式 所以數(shù)列的通項(xiàng)為 4 分 因?yàn)閷?duì)任意的有 5 分 所以 16516612634nnnnncbbb 所以數(shù)列為等差數(shù)列 7 分 設(shè) 其中為常數(shù)且 所以16661626364657 0 nniniinininininia 所以數(shù)列均為以 7 為公差的等差數(shù)列 9 分 設(shè) 6 7 i ikiiikaf k 其中 為中的一個(gè)常 數(shù) 當(dāng)時(shí) 對(duì)任意的有 10 分 當(dāng)時(shí) 1 7716 1 6 6iik iaf akkiki 11 分 若 則對(duì)任意的有 所以數(shù)列為單調(diào)減數(shù)列 若 則對(duì)任意的有 所以數(shù)列為單調(diào)增數(shù)列 12 分 綜上 設(shè)集合 741 632362B 當(dāng)時(shí) 數(shù)列中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次 當(dāng)時(shí) 均為單調(diào)數(shù)列 任意一個(gè)數(shù)在這 6 個(gè)數(shù)列中最多出現(xiàn)一次 所以數(shù)列中任意一項(xiàng)的 值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次 14 分 43 xx 東莞期末 已知數(shù)列 的各項(xiàng)滿(mǎn)足 1 判斷數(shù)列是否成等比數(shù)列 2 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 3 若數(shù)列為遞增數(shù)列 求的取值范圍 解 1 nn nnn aaa 473437411 當(dāng)時(shí) 則數(shù)列不是等比數(shù)列 當(dāng)時(shí) 則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列 2 由 1 可知當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 也符合上式 所以 數(shù)列的通項(xiàng)公式為 3 1 11434377nnnnakk 為遞增數(shù)列 恒成立 當(dāng)為奇數(shù)時(shí) 有 即恒成立 由得 當(dāng)為偶數(shù)時(shí) 有 即恒成立 由 得 故的取值范圍是 44 xx 湖北八校一聯(lián) 已知數(shù)列 1 11 7 328 nnnaaN 滿(mǎn) 足 I 李四同學(xué)欲求的通項(xiàng)公式 他想 如能找到一個(gè)函數(shù) A B C 是常數(shù) 把遞推關(guān) 系變成后 就容易求出 的通項(xiàng)了 請(qǐng)問(wèn) 他設(shè)想的的通項(xiàng)公式是什么 II 記2 123 nnnnSaSp 若 不 等 式 對(duì) 任 意 都成立 求實(shí)數(shù) p 的取值范圍 解 所以只需 1 1 3 2 2 nfnfABC 故李四設(shè)想的存在 111 3 3 7523nnnaaf 5 分 211 13 2 nnnS 2 4 7 分 由 得 設(shè) 則 114 233nnnb 當(dāng)時(shí) 221232 n nnCC 1 481 用數(shù)學(xué)歸納法證也行 時(shí) 容易驗(yàn)證 時(shí) 的取值范圍為 13 分 45 xx 湖北重點(diǎn)中學(xué)二聯(lián) 本小題滿(mǎn)分 13 分 在數(shù)列 I 若是公比為 的等比 數(shù)列 求 和 的值 II 若 基于事實(shí) 如果 d 是 a 和 b 的公約數(shù) 那么 d 一定 是 a b 的約數(shù) 研討是否存在正整數(shù) k 和 n 使得有大于 1 的公約數(shù) 如果存在求出 k 和 n 如果不存在請(qǐng)說(shuō)明理由 解 I 是公比的的等比數(shù)列 2 分 即又 4 分 是方程的兩根或 6 分 II 假設(shè)存在正整數(shù) 使得與有大于 1 的公約數(shù) 則也是即的約數(shù) 依題設(shè) 是的約數(shù) 8 分 從而是與的公約數(shù)同理可得是的約數(shù)依次類(lèi)推 是與的約數(shù) 10 分 故 于是 12 分又 是的約數(shù)和的約數(shù)是即的約數(shù) 從而是即 1 的約數(shù) 這與矛盾故不存在使與有大于 1 的公約數(shù) 46 xx 惠州三調(diào) 本題滿(mǎn)分 14 分 是方程的兩根 數(shù)列是公差為正的等差數(shù)列 數(shù) 列的前項(xiàng)和為 且 1 求數(shù)列 的通項(xiàng)公式 2 記 求數(shù)列的前項(xiàng)和 解 1 由 且得 2 分 4 分 在中 令得當(dāng)時(shí) T 兩式相減得 6 分 8 分 2 9 分 10 分 13232132nnS 2 13 分 14 分 47 xx 九江七校二月聯(lián)考 本小題滿(mǎn)分 12 分 已知數(shù)列中 其前項(xiàng)和滿(mǎn)足 1 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 2 設(shè)為非零整數(shù) 試確定的值 使得對(duì)任意 都有成立 解 1 由已知 2 分 數(shù)列是以為首項(xiàng) 公差為 1 的等差數(shù)列 4 分 2 要使恒成立 11214 0nnnnb 恒成立 恒成立 恒成立 6 分 當(dāng)為奇數(shù)時(shí) 即恒成立 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) 有最小值為 1 8 分 當(dāng)為偶數(shù)時(shí) 即恒成立 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) 有最大值 10 分即 又為非零整數(shù) 則 綜上所述 存在 使得對(duì)任意 都有 48 xx 南昌期末 已知下面數(shù)列和遞推關(guān)系 數(shù)列 an an n 有遞推關(guān)系 a n 2 2an 1 an 數(shù)列有遞推關(guān)系 數(shù)列有遞推關(guān)系 請(qǐng)猜測(cè)出數(shù)列的一個(gè)類(lèi)似的遞推關(guān)系 nnnnnnn dCdCdCd 615624636426516 49 xx 三明三校二月聯(lián)考 本題滿(mǎn)分 13 分 已知等差數(shù)列的首 項(xiàng) 公差 且分別是等比數(shù)列的 1 求數(shù)列與的通項(xiàng)公式 2 設(shè)數(shù)列對(duì)任意自然數(shù) 均有 成立 求的值 解 1 a2 1 d a5 1 4d a14 1 13d 且 a2 a5 a14成等比數(shù)列 又 2 即 又 1220112320133CC 099 201 50 xx 上海長(zhǎng)寧區(qū)高三期末 本題滿(mǎn)分 18 分 第 1 小題 4 分 第 2 小題 6 分 第 3 小題 8 分 已知點(diǎn) 為正整數(shù) 都在函數(shù)的圖像上 其中是以 1 為首項(xiàng) 2 為公差 的等差數(shù)列 1 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 并證明數(shù)列是等比數(shù)列 2 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和 求 3 設(shè) 當(dāng)時(shí) 問(wèn)的面積是否存在最大值 若存在 求出最大值 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 解 1 2 分 是等比數(shù)列 4 分 2 因?yàn)槭堑缺葦?shù)列 且公比 6 分 當(dāng)時(shí) 7 分 當(dāng)時(shí) 2221 1limlilimaaSnnnn 9 分 因此 10 分 3 12 分 設(shè) 當(dāng)最大時(shí) 則 14 分 解得 16 分 所以時(shí)取得最大值 因此的面積存在最大值 18 分 51 xx 泰安高三期末 本小題滿(mǎn)分 12 分 已知數(shù)列 a n 和 b n 滿(mǎn)足 a1 a n 1 an n 4 b n 1 n a n 3n 21 其中為實(shí)數(shù) n 為正整數(shù) 證明 對(duì)任意實(shí)數(shù) 數(shù)列 a n 不 是等比數(shù)列 證明 當(dāng) 18 時(shí) 數(shù)列 b n 是等比數(shù)列 解 證明 假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù) 使 a n 是等比數(shù)列 則有 a22 a1a3 2 分 即 222443990 9 矛盾 所以 對(duì)于任意 a n 不是等比數(shù)列 6 分 證明 因?yàn)?bn 1 1 n 1 a n 1 3 n 1 21 1 n 1 10 分 又 18 所以 b1 18 0 11 分 由上式知 bn 0 所以故當(dāng) 18 時(shí) 數(shù)列 bn 是以 18 為首項(xiàng) 為公比的等比數(shù)列 12 分 52 xx 蘇北四市二調(diào) 本小題滿(mǎn)分 16 分 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為 且滿(mǎn)足 其中常 數(shù) 1 證明 數(shù)列為等比數(shù)列 2 若 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 3 對(duì)于 2 中數(shù)列 若數(shù)列滿(mǎn)足 在與 之間插入 個(gè) 2 得到一個(gè)新的數(shù)列 試問(wèn) 是否存在正整數(shù) m 使得數(shù)列 的前 m 項(xiàng)的和 如果存在 求出 m 的值 如果不存在 說(shuō)明理由 解 1 4 分 數(shù)列為等比數(shù)列 2 由 1 知 8 分 又 10 分 3 由 2 得 即 數(shù)列中 含項(xiàng) 前的所有項(xiàng)的和是 0122 1 2k kk 12 分 當(dāng) k 10 時(shí) 其和是當(dāng) k 11 時(shí) 其和是 又因?yàn)?xx 1077 934 4672 是 2 的倍數(shù) 14 分所以當(dāng)時(shí) 所以存在 m 988 使得 16 分 53 xx 鎮(zhèn)江高三期末 已知公差大于零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和 且滿(mǎn)足 1 求數(shù)列的 通項(xiàng)公式 2 若 是某等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng) 求值 3 是否存在常數(shù) 使得數(shù)列為等 差數(shù)列 若存在 求出常數(shù) 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 解 1 為等差數(shù)列 又 是方程的兩個(gè)根又公差 5 分 2 由 是某等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng) 即 解得 3 由 1 知 假設(shè)存在常數(shù) 使數(shù)列為等差數(shù)列 法一 由 得 解得 易知數(shù)列為等差數(shù)列 法二 假設(shè)存在常數(shù) 使數(shù)列為等差數(shù)列 由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可知 得恒成立 可得 易知數(shù)列為等差數(shù)列 說(shuō)明 本題考查等差 等比數(shù)列的性質(zhì) 等差數(shù)列的判定 方程思想 特殊與一般思想 待定系數(shù)法 xx 年模擬試題 xx 年名校模擬題及其答案 一 選擇題 1 廣東省惠州市 xx 屆高三第三次調(diào)研理科 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為 那么值的是 A 130 B 65 C 70 D 以上都不對(duì) 答案 A 2 xx年3月廣東省廣州市高三一模數(shù)學(xué)理科試題 如圖2所示的三角形數(shù)陣叫 萊布尼茲 調(diào)和三角形 它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的 第行有個(gè)數(shù)且兩端 的數(shù)均為 每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù) 的和 如 則第10行第4個(gè)數(shù) 從左往右數(shù) 為 A B C D 答案 B 圖 2 3 xx年3月廣東省廣州市高三一模數(shù)學(xué)文科試題 如圖3所示的三角形數(shù)陣叫 萊布尼茲 調(diào)和三角形 它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的 第行有個(gè)數(shù)且兩端 的數(shù)均為 每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù) 的和 如 則第7行第4個(gè)數(shù) 從左往右數(shù) 為 A B C D 答案 A 4 廣東省深圳高級(jí)中學(xué) xx 屆高三一模理科 數(shù)列前項(xiàng)和為 已知 且對(duì)任意正整數(shù) 都 有 若恒成立則實(shí)數(shù)的最小值為 A B C D 2 答案 A 5 xx 年 3 月廣東省深圳市高三年級(jí)第一次調(diào)研考試文科 已知點(diǎn) N 都在函數(shù) 的圖象上 則與的大小關(guān)系是 A B C D 與的大小與有關(guān) 答案 A 6 山東省濟(jì)南市 xx 年 3 月高三一模試題理科 已知各項(xiàng)不為 0 的等差數(shù)列 數(shù)列是等比數(shù)列 且 A 2 B 4 C 8 D 16 答案 D 7 山東省濟(jì)南市 xx 年 3 月高三一模試題文科 設(shè)是等差數(shù)列 A 31 B 32 C 33 D 34 答案 B 8 山東省青島市 xx 屆高三一模理科 在數(shù)列中 為常數(shù) 若平面上的三個(gè)不共線的非 零向量滿(mǎn)足 三點(diǎn)共線且該直線不過(guò)點(diǎn) 則等于 A B C D 答案 A 9 山東省青島市 xx 屆高三一模文科 已知為等差數(shù)列 若 則的值為 A B C D 答案 A 10 山東省青島市 xx 屆高三一模文科 在中 三邊長(zhǎng)成等差數(shù)列 且 則的值是 A B C D 答案 D 11 山東省濟(jì)寧市 xx 年 3 月高三一模試題文科 在等差數(shù)列中 若 則 圖 2 A B C 1 D 答案 D 12 山東省棗莊市 xx 年 3 月高三第一次模擬文科試題 正項(xiàng)等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 且 則公比 q 等于 A B 2 C D 4 答案 A 13 山東省聊城市 xx 年 高 考 模 擬數(shù)學(xué)試題理 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和1341073 8 SaaSn 則若 等于 A 152 B 154 C 156 D 158 答案 C 14 山東省泰安市 xx 年 3 月高三第一次模擬數(shù)學(xué)理科試題 某鋼廠的年產(chǎn)量由 1990 年的 40 萬(wàn)噸增加到 2000 年的 50 萬(wàn)噸 如果按照這樣的年增長(zhǎng)率計(jì)算 則該鋼廠 xx 年的 年產(chǎn)量約為 A 60 萬(wàn)噸 B 61 萬(wàn)噸 C 63 萬(wàn)噸 D 64 萬(wàn)噸 答案 C 15 山東省濟(jì)南外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 xx 年 3 月高三質(zhì)量檢測(cè)理 設(shè)等比數(shù)列的公比 前項(xiàng)和為 則 答案 C 16 北京市海淀區(qū) xx 年 4 月高三第一次模擬考試?yán)砜圃囶} 已知等差數(shù)列 等比數(shù)列 則該等差數(shù)列的公差為 A 3 或 B 3 或 C 3 D 答案 C 17 北京市海淀區(qū) xx 年 4 月高三第一次模擬考試文科試題 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為 且滿(mǎn)足 則數(shù)列的公差是 A B 1 C 2 D 3 答案 C 18 北京市海淀區(qū) xx 年 4 月高三第一次模擬考試?yán)砜圃囶} 已知數(shù)列具有性質(zhì) 對(duì)任意 與兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng) 現(xiàn)給出以下四個(gè)命題 數(shù)列具有性質(zhì) 數(shù)列具有性質(zhì) 若數(shù)列具有性質(zhì) 則 若數(shù)列具有性質(zhì) 則 其中真命題有 A 4 個(gè) B 3 個(gè) C 2 個(gè) D 1 個(gè) 答案 B 19 北京市豐臺(tái)區(qū) xx 年 4 月高三年級(jí)第二學(xué)期統(tǒng)一考試?yán)砜?已知整數(shù)以按如下規(guī)律排 成一列 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1 1 4 2 3 3 2 4 1 則第 60 個(gè)數(shù)對(duì)是 A 10 1 B 2 10 C 5 7 D 7 5 答案 C 20 北京市崇文區(qū) xx 年 4 月高三年級(jí)第二學(xué)期統(tǒng)一練習(xí)理科 已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列 且 則 A B C D 答案 A 21 xx 年 4 月北京市西城區(qū)高三抽樣測(cè)試?yán)砜?設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為 則等于 A B C D 答案 C 22 北京市宣武區(qū) xx 年 4 月高三第二學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè) 若為等差數(shù)列 是其前 n 項(xiàng) 和 且 則的值為 A B C D 答案 C 23 北京市東城區(qū) xx 屆高三第二學(xué)期綜合練習(xí)理科 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式 設(shè)其前項(xiàng)和 為 則使 成立的最小自然數(shù)等于 A B C D 答案 C 24 湖北省黃岡市 xx 年 3 月份高三年級(jí)質(zhì)量檢測(cè)理科 向量 是直線 y x 的方向向 量 a 5 則數(shù)列的前 10 項(xiàng)的和 A 50 B 100 C 150 D 200 答案 A 25 湖北省赤壁一中 xx 屆高三年級(jí) 3 月質(zhì)量檢測(cè)理科 A 試題 已知等差數(shù)列的前 13 項(xiàng)之 和為 則等于 A 6 B 9 C 12 D 18 答案 B 26 湖北省荊州市 xx 年 3 月高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查 理科 設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為 若且 則 與的大小關(guān)系是 與的取值有關(guān) 答案 A 27 湖北省八校 xx 屆 高 三 第 二 次 聯(lián) 考文科 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為 若的值為 A 10 B 20 C 25 D 30 答案 D 28 湖北省襄樊市 xx 年 3 月高三調(diào)研統(tǒng)一測(cè)試?yán)砜?在平面直角坐標(biāo)系中 定義為點(diǎn)到 點(diǎn)的一個(gè)變換 我們把它稱(chēng)為點(diǎn)變換 已知 P1 0 1 P 2是經(jīng)過(guò)點(diǎn)變換得到的一列 點(diǎn) 設(shè) 數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為的值為 A B C D 答案 D 29 湖北省六校 xx 年 2 月高三第二次聯(lián)考理科 已知等比數(shù)列中 是方程的兩個(gè)根 則 A 1 B 1 C 1 或 1 D 以上都不正確 答案 A 30 湖北省六校 xx 年 2 月高三第二次聯(lián)考理科 數(shù)列為等比數(shù)列 是 數(shù)列為等比數(shù)列 的 D A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件 答案 D 31 江西省南昌市 xx 屆高三第二次模擬考試文科 設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和 則的值為 A B C D 答案 D 32 江西省贛州市十一縣市 xx 屆高三下學(xué)期期中聯(lián)考理科 已知無(wú)窮等比數(shù)列的前項(xiàng)和為 所有項(xiàng)的和為 且 則其首項(xiàng)的取值范圍 A B C D 答案 D 33 江西省贛州市十一縣市 xx 屆高三下學(xué)期期中聯(lián)考文科 已知 是等差數(shù)列 是等 比數(shù)列 則橢圓的準(zhǔn)線方程是 A B C D 答案 B 34 江西省九江市 xx 年高三第二次高考模擬理 在平面直角坐標(biāo)系中 定義到點(diǎn)的一個(gè) 變換為 已知 12 11 0 nnnPxyPxyxy 是經(jīng)過(guò) 得到的 一列點(diǎn) 設(shè) 1 limnnnnSaaa 數(shù) 列 的 前 項(xiàng) 和 為 那 么 的值為 A B 2 C 2 D 1 答案 C 35 江西師大附中 鷹潭一中 宜春中學(xué) 白鷺洲中學(xué) 南昌三中五校 xx 屆高三聯(lián)考理 已知函數(shù)規(guī)定 給出一個(gè)實(shí)數(shù) 賦值若 則繼續(xù)賦值以此類(lèi)推 若則 否則停止賦值 如果得到稱(chēng)為賦值了 n 次 已知賦值 k 次后停止 則的取值范圍是 A B C D 答案 C 二 填空題 1 山東省東營(yíng)市 xx 屆高三一輪教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題理科 設(shè)等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 為 Sn 若 則 S19 答案 19 2 北京市石景山區(qū) xx 年 4 月高三統(tǒng)一測(cè)試文科試題 等差數(shù)列中 此數(shù)列的通項(xiàng)公式 為 設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和 則等于 答案 16 3 北京市朝陽(yáng)區(qū) xx 年 4 月高三年級(jí)第二學(xué)期統(tǒng)一考試?yán)砜?一個(gè)數(shù)字生成器 生成規(guī)則 如下 第 1 次生成一個(gè)數(shù) 以后每次生成的結(jié)果可將上一次生成的每一個(gè)數(shù)生成兩 個(gè)數(shù) 一個(gè)是 x 另一個(gè)是 x 3 設(shè)第次生成的數(shù)的個(gè)數(shù)為 則數(shù)列的前項(xiàng)和 若 前次生成所有數(shù)中不同的數(shù)的個(gè)數(shù)為 答案 12 14 16 18 110 112 114 116 118 120 122 124 4 北京市朝陽(yáng)區(qū) xx 年 4 月高三年級(jí)第二學(xué)期統(tǒng)一考試文科 一個(gè)數(shù)字生成器 生成規(guī)則 如下 第 1 次生成一個(gè)數(shù) 以后每次生成的結(jié)果可將上一次生成的每一個(gè)數(shù)生成兩個(gè) 數(shù) 一個(gè)是 x 另一個(gè)是 設(shè)第次生成的數(shù)的個(gè)數(shù)為 則數(shù)列的前項(xiàng)和 若 前 次生成所有數(shù)中不同的數(shù)的個(gè)數(shù)為 答案 10 5 北京市豐臺(tái)區(qū) xx 年 4 月高三年級(jí)第二學(xué)期統(tǒng)一考試文科 設(shè)等比數(shù)列的公比為前 n 項(xiàng) 和為 答案 15 6 北京市崇文區(qū) xx 年 4 月高三年級(jí)第二學(xué)期統(tǒng)一