物理第一章 直線運動 第3講 運動圖像、追及相遇問題

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1、第3講運動圖像、追及相遇問題知識梳理知識梳理一、運動圖像一、運動圖像1.x-t圖像和圖像和v-t圖像的比較圖像的比較 x-t圖像v-t圖像圖像示例 軸橫軸為時間t,縱軸為位移x橫軸為時間t,縱軸為速度v線傾斜直線表示勻速直線運動傾斜直線表示勻變速直線運動斜率表示速度速度表示加速度加速度面積無實際意義圖線和時間軸圍成的面積表示位移位移,時間軸上方面積表示位移為正,下方面積表示位移為負縱截距表示初位置表示初速度特殊點拐點表示從一種運動變?yōu)榱硪环N運動,交點表示相遇拐點表示從一種運動變?yōu)榱硪环N運動,交點表示速度相等2.a-t圖像圖像(1)圖像的意義(a)物理意義:反映加速度隨時間的變化規(guī)律。(b)圖線

2、斜率的意義:加速度隨時間的變化率。(c)圖線與時間軸圍成的“面積”的意義:反映對應時間內的速度速度變化變化。(2)勻變速直線運動的a-t圖像是一條與時間軸平行的直線一條與時間軸平行的直線。1.追及問題的兩種類型追及問題的兩種類型(1)落后者能追上前者兩者速度相等時,相距最遠,追上時,兩者處于同一同一位置,且后者速度一定不小于前者速度。(2)落后者追不上前者,則當兩者速度相等相等時,兩者相距最近。二、追及相遇問題二、追及相遇問題2.相遇問題相遇問題相向運動的物體,當各自發(fā)生的位移大小之和等于等于開始時兩物體間距離時即相遇。 1.某質點做直線運動的位移x和時間t的關系如圖所示,那么該質點在 3 s

3、 內通過的路程是()A.3 mB.2 mC.1 mD.0.5 mC答案答案 C由圖像可知,在01 s內質點靜止在位移為1 m的地方;12 s內質點從位移為1 m的地方勻速運動到位移為2 m的地方;在23 s 內質點靜止在位移為2 m的地方,因而質點在3 s內的位移即在12 s內通過的位移,應為1 m。2.(多選)某物體運動的v-t圖像如圖所示,則下列說法正確的是()A.物體在第1 s末運動方向發(fā)生改變B.物體在第2 s內、第3 s內的加速度是相同的C.物體在第4 s末返回出發(fā)點D.物體在第5 s末離出發(fā)點最遠,且最大位移為0.5 mBC答案答案 BC物體在第1 s內做勻加速運動,第2 s內做勻

4、減速運動,第3 s內做反向的勻加速運動,第4 s內做反向的勻減速運動物體在第 2 s 末、第4 s末速度方向發(fā)生改變,在第2 s 內和第3 s內的加速度相同均為a=-1 m/s2,在第4 s末物體返回出發(fā)點且速度為零。物體在第2 s末、第6 s末離出發(fā)點最遠,且最大位移為1 m。3.一物體由靜止開始沿直線運動,其加速度隨時間的變化規(guī)律如圖所示,取開始運動的方向為正方向,則物體運動的v-t圖像正確的是() C答案答案 C本題考查加速度在v-t圖像中的表示。在01 s內,a=1 m/s2,物體從靜止開始做正向勻加速運動,速度圖線是一條傾斜直線,1 s末速度v1=at=1 m/s,在1 2 s內,a

5、2=-1 m/s2,物體將仍沿正方向運動,但加速度為負要減速,2 s末時速度v2=v1+a2t=0,23 s內重復01 s內運動情況,3 4 s內重復1 2 s 內運動情況,故選C項。4.甲、乙兩車在平直公路上比賽,某一時刻,乙車在甲車前方L1=11 m處,乙車速度v乙=60 m/s,甲車速度 v甲=50 m/s,此時乙車離終點線尚有L2=600 m,如圖所示,若甲車加速運動,加速度a=2 m/s2,乙車速度不變,不計車長。求:(1)經(jīng)過多長時間甲、乙兩車間距離最大,最大距離是多少?(2)到達終點線時甲車能否超過乙車? 答案答案(1)5 s36 m(2)不能解析解析(1)當甲、乙兩車速度相等時

6、,兩車間距離最大,則v甲+at1=v乙得t1= s=5 s甲車位移x甲=v甲t1+a=275 m乙車位移x乙=v乙t1=605 m=300 m此時兩車間距離x=x乙+L1-x甲=36 m(2)甲車追上乙車時,位移關系 x甲=x乙+L1甲車位移x甲=v甲t2+a乙車位移x乙=v乙t2將x甲、x乙代入位移關系式得v甲t2+a=v乙t2+L1,vva乙甲605021221t1222t1222t代入數(shù)值并整理得-10t2-11=0,解得t2=-1 s(舍去)或t2=11 s此時乙車位移x乙=v乙t2=660 m,因x乙L2,故乙車已沖過終點線,即到達終點線時甲車不能追上乙車。22t深化拓展深化拓展考點

7、一考點一運動圖像的分析與運用運動圖像的分析與運用考點二考點二追及相遇問題追及相遇問題深化拓展深化拓展考點一運動圖像的分析與運用考點一運動圖像的分析與運用1.運動圖像主要有x-t圖像和v-t圖像,運用運動圖像解題可總結為六看:一看“軸”,二看“線”,三看“斜率”,四看“面積”,五看“截距”,六看“特殊點”。2.圖像既反映出運動規(guī)律和運動特征,也是提供信息和解決問題的重要手段。在許多問題中若能運用圖像進行分析,對解決問題會起到事半功倍的效果。 軸先要看清兩軸所代表的物理量,即圖像是描述哪兩個物理量之間的關系線表示研究對象的變化過程和規(guī)律,如v-t圖像中圖線若為傾斜直線,則表示物體做勻變速直線運動斜

8、率表示縱、橫坐標兩物理量的比值,常有一個重要的物理量與之對應,用于定量計算對應物理量的大小和定性分析變化的快慢。如x-t圖像的斜率表示速度,v-t圖像的斜率表示加速度面積圖線與坐標軸所圍的面積常與某一表示過程的物理量相對應。如v-t圖線與t軸所圍的面積表示位移截距表示橫、縱坐標兩物理量在“邊界”條件下的大小。由此往往能得到一個很有意義的物理量特殊點如交點、拐點(轉折點)等,如x-t圖像的交點表示兩質點相遇,v-t圖像的交點只表示速度相等1-1(多選)如圖,直線a和曲線b分別是在平直公路上行駛的汽車a和b的位置-時間(x-t)圖線。由圖可知()A.在時刻t1,a車追上b車B.在時刻t2,a、b兩

9、車運動方向相反C.在t1到t2這段時間內,b車的速率先減少后增加D.在t1到t2這段時間內,b車的速率一直比a車的大BC答案答案 BC在位置-時間圖像中,圖線斜率的絕對值表示速度大小,斜率的正負表示速度的方向,兩圖線的交點表示同一時刻處于同一位置即追及或相遇。由圖可知,t1時刻前b的斜率大于a的斜率,b車速度大于a車的速度,b車處于a車的后方,故t1時刻應是b車追上a車,A錯誤;t2時刻,b圖線斜率小于零,即b沿負向運動,而a圖線斜率始終大于零,即a車一直沿正向運動,因此兩車速度方向相反,故B正確;由t1t2時間內b圖線斜率的絕對值可知C正確;在b圖線的頂點處切線水平、斜率為零,即此時b車瞬時

10、速度為零,可見D錯誤。1-2 (2018北京朝陽期中)如圖為一個物體做直線運動的v-t圖像。關于物體的運動,下列說法中錯誤的是()A.01 s內和23 s內的運動方向相同B.23 s內和34 s內的加速度相同C.02 s內和04 s內的位移相同D.01 s內和23 s內的速度變化量相同D答案答案 D v-t圖線上各點縱坐標的正、負代表物體運動方向,故A項正確;v-t圖線的斜率代表加速度,故B項正確;v-t圖線跟橫軸所圍的面積表示物體的位移,02 s內的位移為(1+2)1 m=1.5 m,04 s內的位移為(1+3)1 m-11 m=1.5 m,故C項正確;01 s內和23 s內速度變化量分別為

11、v1=1 m/s-0=1 m/s和v2=0-1 m/s=-1 m/s,它們的方向相反,故D項錯誤,故D符合題意。1212121-3甲、乙、丙三輛汽車以相同的速度同時經(jīng)過某一路標,以后甲車一直做勻速直線運動,乙車先加速后減速,丙車先減速后加速,它們經(jīng)過下一路標時的速度又相同,則()A.甲車先通過下一個路標B.乙車先通過下一個路標C.丙車先通過下一個路標D.三車同時到達下一個路標答案答案 B 根據(jù)題意,甲、乙、丙三車的初、末速度均相同,通過的位移也相同,這在速度-時間圖像上表現(xiàn)為v-t圖線與時間軸包圍的面積相等,它們的v-t圖像大致如圖所示,由圖像易知B選項正確。B考點二追及相遇問題考點二追及相遇

12、問題一、追及相遇問題的分析要點一、追及相遇問題的分析要點1.分析追及問題的方法技巧可概括為分析追及問題的方法技巧可概括為“一個臨界條件一個臨界條件”、“兩個等兩個等量關系量關系”。(1)一個臨界條件速度相等。它往往是物體間能否追上或(兩者)距離最大、最小的臨界條件,也是分析判斷問題的切入點(2)兩個等量關系:時間關系和位移關系,通過畫草圖找出兩物體的位移關系是解題的突破口。2.能否追上的判斷方法能否追上的判斷方法物體B追趕物體A:開始時,兩個物體相距x0,若vA=vB時,xA+x0 xB,則不能追上。3.若被追趕的物體做勻減速直線運動,一定要注意判斷追上前該物體是否已經(jīng)停止運動。 2-1汽車A

13、在紅燈前停住,綠燈亮時啟動,以0.4 m/s2的加速度做勻加速運動,經(jīng)過30 s后以該時刻的速度做勻速直線運動。設在綠燈亮的同時,汽車B以8 m/s的速度從A車旁邊駛過,且一直以相同的速度做勻速直線運動,運動方向與A車相同,則從綠燈亮時開始()A.A車在加速過程中與B車相遇B.A、B相遇時速度相同C.相遇時A車做勻速運動D.兩車不可能相遇C答案答案 C作出A、B兩車運動的v-t圖像如圖所示。v-t圖線與時間軸所包圍的“面積”表示位移,經(jīng)過30 s時,B車的v-t圖線與時間軸所圍面積比A車的大,所以在A車加速運動的過程中,兩車并未相遇,所以選項A錯誤;30 s后A車以 12 m/s 的速度做勻速

14、直線運動,隨著圖線與時間軸所圍“面積”越來越大,可以判斷在30 s后某時刻兩車圖線與時間軸所圍面積會相等,即兩車會相遇,此時A車的速度要大于B車的速度,所以兩車不可能再次相遇,選項C正確,選項B、D錯誤。2-2甲車以10 m/s的速度在平直的公路上勻速行駛,乙車以 4 m/s 的速度與甲車平行同向做勻速直線運動,甲車經(jīng)過乙車旁邊開始以0.5 m/s2的加速度剎車,從甲車剎車開始計時,求:(1)乙車在追上甲車前,兩車相距的最大距離;(2)乙車追上甲車所用的時間。答案答案(1)36 m(2)25 s解析解析(1)當甲車速度減至等于乙車速度時兩車的距離最大,設該減速過程經(jīng)過的時間為t,則v乙=v甲-

15、at解得:t=12 s此時甲、乙間距離為x=v甲t-at2-v乙t=1012 m-0.5122 m-412 m=36 m。(2)設甲車減速到零所需時間為t1,則有:t1=20 st1時間內,x甲=t1=20 m=100 mx乙=v乙t1=420 m=80 m1212va甲2v甲102此后乙車運動時間t2= s=5 s故乙車追上甲車所用時間:t=t1+t2=25 s。xxv乙甲乙204二、分析追及相遇問題的常用方法二、分析追及相遇問題的常用方法1.物理分析法物理分析法:抓好“兩物體能否同時到達空間某位置”這一關鍵,認真審題,挖掘題中的隱含條件,在頭腦中建立起一幅物體運動的圖景。2.相對運動法相對

16、運動法:巧妙地選取參考系,然后找出兩物體的運動關系。3.數(shù)學分析法數(shù)學分析法:設相遇時間為t,根據(jù)條件列方程,得到關于t的一元二次方程,用判別式進行討論,若0,即有兩個解,說明可以相遇兩次;若=0,說明剛好追上或相遇;若0,說明追不上或不能相遇。4.圖像分析法圖像分析法:將兩者的速度-時間圖像在同一坐標系中畫出,然后利用圖像分析求解。 2-3在水平軌道上有兩列火車A和B相距s,A車在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運動,而B車同時做初速度為零、加速度大小為a的勻加速直線運動,兩車運動方向相同。要使兩車不相撞,求A車的初速度v0滿足什么條件。答案答案 v0 6as解析解析 方法一

17、方法一:(物理分析法)A、B車的運動過程(如圖甲)甲利用位移公式、速度公式求解對A車有sA=v0t+(-2a)t2vA=v0+(-2a)t對B車有sB=at2,vB=at兩車有s=sA-sB1212追上時,兩車不相撞的臨界條件是vA=vB聯(lián)立以上各式解得v0=故要使兩車不相撞,A車的初速度v0應滿足的條件是 v0。方法二方法二:(數(shù)學分析法)利用判別式求解,由方法一可知sA=s+sB,即v0t+(-2a)t2=s+at2 6as6as1212整理得3at2-2v0t+2s=0這是一個關于時間t的一元二次方程,當根的判別式=(2v0)2-43a2s0時,t無實數(shù)解,即兩車不相撞,所以要使兩車不相

18、撞,A車的初速度v0應滿足的條件是 v0。6as乙方法三方法三:(圖像分析法)利用速度-時間圖像求解,先作A、B兩車的速度-時間圖像,其圖像如圖乙所示,設經(jīng)過t時間兩車剛好不相撞,則對A車有vA=v=v0-2at對B車有vB=v=at以上兩式聯(lián)立解得t=經(jīng)t時間兩車發(fā)生的位移之差,即原來兩車間的距離s,它可用圖中的陰影面積表示,由圖像可知s=v0t=v0=所以要使兩車不相撞,A車的初速度v0應滿足的條件是 v0。方法四方法四:(相對運動法)巧選參考系求解。以B車為參考系,A車的初速度為v0,加速度為a=-2a-a=-3a。A車剛好追上B車的條件是:vt=0,這一過程A車相對于B車的位移為s,由運動學公式-=2as得:02-=2(-3a)s所以v0=。03va121203va206va6as2tv20v20v6as即要使兩車不相撞,A車的初速度v0應滿足的條件是 v0。6as