學(xué)案19 橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)

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1、1.1.理解橢圓、拋物線(xiàn)的定義，幾何圖形理解橢圓、拋物線(xiàn)的定義，幾何圖形, ,標(biāo)準(zhǔn)方程及標(biāo)準(zhǔn)方程及 簡(jiǎn)單性質(zhì)簡(jiǎn)單性質(zhì). .2.2.了解雙曲線(xiàn)的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、知道它了解雙曲線(xiàn)的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、知道它 的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì). .3.3.理解數(shù)形結(jié)合思想理解數(shù)形結(jié)合思想. .4.4.掌握直線(xiàn)與橢圓、直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的掌握直線(xiàn)與橢圓、直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的 位置關(guān)系的判定及它們的解法位置關(guān)系的判定及它們的解法. .5.5.了解圓錐曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單應(yīng)用了解圓錐曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單應(yīng)用. .6.6.會(huì)解有關(guān)圓錐曲線(xiàn)的最值問(wèn)題會(huì)解有關(guān)圓錐曲線(xiàn)的最值問(wèn)題. .7.7.能根據(jù)條件求

2、解有關(guān)軌跡問(wèn)題及軌跡方程能根據(jù)條件求解有關(guān)軌跡問(wèn)題及軌跡方程. . 學(xué)案學(xué)案19 19 橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn) 1.(20091.(2009湖南湖南) )拋物線(xiàn)拋物線(xiàn)y y2 2=-8=-8x x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ( )( ) A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0) D.(-4,0) A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0) D.(-4,0) 解析解析 y y2 2=-8=-8x x,p p=4,=4,焦點(diǎn)坐標(biāo)為焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0).(-2,0).2.(20092.(2009江西江西) )過(guò)橢圓過(guò)橢圓 ( (a ab b0)0)的左焦點(diǎn)的左焦點(diǎn) F

3、 F1 1作作x x軸的垂線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)軸的垂線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)P P, ,F F2 2為右焦點(diǎn)為右焦點(diǎn), ,若若F F1 1PFPF2 2 =60=60, ,則橢圓的離心率為則橢圓的離心率為 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 12222byax22332131B B解析解析 由題意知點(diǎn)由題意知點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 F F1 1PFPF2 2=60=60, ,答案答案 B B).(332, 322222cabacabc即),(),(22abcabc或).(333, 03232舍去或eeee3.(20093.(2009山東山東) )設(shè)雙曲線(xiàn)設(shè)雙曲線(xiàn) 的一條漸近線(xiàn)與的一條漸

4、近線(xiàn)與 拋物線(xiàn)拋物線(xiàn)y y= =x x2 2+1+1只有一個(gè)公共點(diǎn)只有一個(gè)公共點(diǎn), ,則雙曲線(xiàn)的離心率為則雙曲線(xiàn)的離心率為 ( )( ) A. B.5 C. D. A. B.5 C. D. 解析解析 不妨設(shè)雙曲線(xiàn)不妨設(shè)雙曲線(xiàn) 的一條漸近線(xiàn)為的一條漸近線(xiàn)為y y= = 由方程組由方程組 消去消去y y, ,得得x x2 2- +1=0- +1=0有有 唯一解唯一解, ,所以所以=12222byax12222byax, xab1,2xyxabyxab, 04)(2ab45255. 5)(1, 2222ababaaceab所以D D題型一題型一 圓錐曲線(xiàn)的方程與性質(zhì)圓錐曲線(xiàn)的方程與性質(zhì)【例【例1 1

5、】已知橢圓】已知橢圓G G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的中心在坐標(biāo)原點(diǎn), ,長(zhǎng)軸在長(zhǎng)軸在x x軸上軸上, , 離心率為離心率為 兩個(gè)焦點(diǎn)分別為兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F F1 1和和F F2 2, ,橢圓橢圓G G上一點(diǎn)到上一點(diǎn)到 F F1 1和和F F2 2的距離之和為的距離之和為12,12,圓圓C Ck k: :x x2 2+ +y y2 2+2+2kxkx-4-4y y-21=0(-21=0(k k R) R)的圓心為點(diǎn)的圓心為點(diǎn)A Ak k. . (1) (1)求橢圓求橢圓G G的方程的方程; ; (2) (2)求求A Ak kF F1 1F F2 2面積面積; ; (3) (3)問(wèn)是否存在圓問(wèn)是否存在圓C

6、 Ck k包圍橢圓包圍橢圓G G？請(qǐng)說(shuō)明理由？請(qǐng)說(shuō)明理由. . ,23解解 (1)(1)設(shè)橢圓設(shè)橢圓G G的方程為的方程為 ( (a ab b0),0),半焦半焦距為距為c c, ,則則所以所以b b2 2= =a a2 2- -c c2 2=36-27=9.=36-27=9.所求橢圓所求橢圓G G的方程為的方程為(2)(2)點(diǎn)點(diǎn)A Ak k的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(-(-k k,2).,2).12222byax, 33, 623,122caaca解得. 193622yx. 36236212|212121FFSFFAk(3)(3)若若k k0,0,由由6 62 2+0+02 2+12+12k k-0-

7、21=15+12-0-21=15+12k k0,0,可知右端點(diǎn)可知右端點(diǎn)(6,0)(6,0)在圓在圓C Ck k外外; ;若若k k0,0,由由(-6)(-6)2 2+0+02 2-12-12k k-0-21=15-12-0-21=15-12k k0,0,可知左端點(diǎn)可知左端點(diǎn)(-6,0)(-6,0)在圓在圓C Ck k外外. .所以不論所以不論k k為何值為何值, ,圓圓C Ck k都不能包圍橢圓都不能包圍橢圓G G. .【探究拓展探究拓展】本小題考查了橢圓的定義、方程、性質(zhì)】本小題考查了橢圓的定義、方程、性質(zhì) 及曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系及曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系, ,在解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)在解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)

8、, ,應(yīng)充應(yīng)充 分利用定義與性質(zhì)進(jìn)行解答分利用定義與性質(zhì)進(jìn)行解答, ,才能使問(wèn)題得以快速解才能使問(wèn)題得以快速解 決決. . 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1 1 設(shè)設(shè)b b0,0,橢圓方程為橢圓方程為 拋物線(xiàn)方程為拋物線(xiàn)方程為x x2 2=8(=8(y y - -b b).).如圖所示如圖所示, ,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)F F(0,(0,b b+2)+2)作作 x x軸的平行線(xiàn)軸的平行線(xiàn), ,與拋物線(xiàn)在第一象與拋物線(xiàn)在第一象 限的交點(diǎn)為限的交點(diǎn)為G G, ,已知拋物線(xiàn)在點(diǎn)已知拋物線(xiàn)在點(diǎn)G G的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的 右焦點(diǎn)右焦點(diǎn)F F1 1. . (1) (1)求滿(mǎn)足條件的橢圓方程和拋物線(xiàn)方程求滿(mǎn)足條件的橢圓方程

9、和拋物線(xiàn)方程; ; (2) (2)設(shè)設(shè)A A, ,B B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在 拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P P, ,使得使得ABPABP為直角三角形為直角三角形? ?若若 存在存在, ,請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)? ?并說(shuō)明理由并說(shuō)明理由( (不必具不必具 體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)). ). , 122222bybx解解 (1)(1)由由x x2 2=8(=8(y y- -b b),),得得當(dāng)當(dāng)y y= =b b+2,+2,得得x x= =4.4.G G點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,(4,b b+2),+2

10、),y y= = x x, ,y y|x x=4=4=1,=1,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)G G的切線(xiàn)方程為的切線(xiàn)方程為y y-(-(b b+2)=+2)=x x-4,-4,即即y y= =x x+ +b b-2,-2,令令y y=0,=0,得得x x=2-=2-b b,F F1 1點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為(2-(2-b b,0),0),由橢圓方程得由橢圓方程得F F1 1點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為( (b b,0),0),2-2-b b= =b b, ,即即b b=1,=1,即橢圓和拋物線(xiàn)的方程分別為即橢圓和拋物線(xiàn)的方程分別為 和和x x2 2=8(=8(y y-1). -1). ,812bxy411222 yx(2)

11、(2)過(guò)過(guò)A A作作x x軸的垂線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)軸的垂線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)P P, ,以以PABPAB為直角的為直角的RtRtABPABP只有一個(gè)只有一個(gè), ,同理同理, ,以以PBAPBA為直角的為直角的RtRtABPABP只有一個(gè)只有一個(gè). .若以若以APBAPB為直角為直角, ,設(shè)設(shè)P P點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為A A、B B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為( ,0)( ,0)和和( ,0),( ,0),關(guān)于關(guān)于x x2 2的二次方程有一大于零的解的二次方程有一大于零的解,x x有兩解有兩解, ,即以即以APBAPB為直角的為直角的RtRtABPABP有兩個(gè)有兩個(gè), ,因此拋物線(xiàn)上存因此

12、拋物線(xiàn)上存在四個(gè)點(diǎn)使得在四個(gè)點(diǎn)使得ABPABP為直角三角形為直角三角形. . ),181,(2xx22. 0145641) 181(224222xxxxPBPA題型二題型二 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)之間的關(guān)系直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)之間的關(guān)系【例【例2 2】(2009(2009全國(guó)全國(guó))已知橢圓已知橢圓C C: : ( (a ab b0)0)的離心率為過(guò)右焦點(diǎn)的離心率為過(guò)右焦點(diǎn)F F的直線(xiàn)的直線(xiàn)l l與與C C相相 交于交于A(yíng) A、B B兩點(diǎn)兩點(diǎn), ,當(dāng)當(dāng)l l的斜率為的斜率為1 1時(shí)時(shí), ,坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)O O到到l l的距的距 離為離為 (1)(1)求求a a、b b的值的值; ; (2) (2)C C上是

13、否存在點(diǎn)上是否存在點(diǎn)P P, ,使得當(dāng)使得當(dāng)l l繞繞F F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)轉(zhuǎn)到某一位置時(shí), ,有有 成立成立? ?若存在若存在, ,求出所有的求出所有的P P的坐標(biāo)與的坐標(biāo)與l l 的方程的方程; ;若不存在若不存在, ,說(shuō)明理由說(shuō)明理由. . 12222byax,33.22OBOAOP解解 (1)(1)設(shè)設(shè)F F( (c c,0),0),當(dāng)當(dāng)l l的斜率為的斜率為1 1時(shí)時(shí), ,其方程為其方程為x x- -y y- -c c=0,=0,坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)O O到到l l的距離為的距離為(2)(2)C C上存在點(diǎn)上存在點(diǎn)P P, ,使得當(dāng)使得當(dāng)l l繞繞F F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有有

14、 成立成立. .由由(1)(1)知橢圓知橢圓C C的方程為的方程為2 2x x2 2+3+3y y2 2=6,=6,設(shè)設(shè)A A( (x x1 1, ,y y1 1),),B B( (x x2 2, ,y y2 2).). 2, 3,33. 1,222,22|00|22cabaacecccc得由故OBOAOP當(dāng)當(dāng)l l不垂直于不垂直于x x軸時(shí)軸時(shí), ,設(shè)設(shè)l l的方程為的方程為y y= =k k( (x x-1).-1).C C上的點(diǎn)上的點(diǎn)P P使使 成立的充要條件是成立的充要條件是P P點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為( (x x1 1+ +x x2 2, ,y y1 1+ +y y2 2),),且且2

15、(2(x x1 1+ +x x2 2) )2 2+3(+3(y y1 1+ +y y2 2) )2 2=6, =6, 整理得整理得 又又A A、B B在在C C上上, ,即即 故故2 2x x1 1x x2 2+3+3y y1 1y y2 2+3=0 +3=0 將將y y= =k k( (x x-1)-1)代入代入2 2x x2 2+3+3y y2 2=6,=6,并化簡(jiǎn)得并化簡(jiǎn)得(2+3(2+3k k2 2) )x x2 2-6-6k k2 2x x+3+3k k2 2-6=0,-6=0,于是于是x x1 1+ +x x2 2= = x x1 1x x2 2= = OBOAOP. 664323

16、2212122222121yyxxyxyx. 632 , 63222222121yxyx,3222kk.326322kky y1 1y y2 2= =k k2 2( (x x1 1-1)(-1)(x x2 2-1)=-1)=代入代入解得解得, ,k k= = , ,此時(shí)此時(shí), ,x x1 1+ +x x2 2= =于是于是y y1 1+ +y y2 2= =k k( (x x1 1+ +x x2 2-2)=-2)=因此因此, ,當(dāng)當(dāng)k k= = 時(shí)時(shí), , l l的方程為的方程為當(dāng)當(dāng)k k= = 時(shí)時(shí), , l l的方程為的方程為 .32422kk).2,23(,2kPk即,2322),22,

17、23(P. 022 yx2),22,23(P. 022 yx當(dāng)當(dāng)l l垂直于垂直于x x軸時(shí)軸時(shí), ,由由 = =（2,0)2,0)知知C C上不存在上不存在點(diǎn)點(diǎn)P P使使 成立成立. .綜上綜上, ,C C上存在點(diǎn)上存在點(diǎn) 使使 成立成立, ,此此時(shí)時(shí)l l的方程為的方程為【探究拓展探究拓展】本題以橢圓為背景考查了圓錐曲線(xiàn)與直】本題以橢圓為背景考查了圓錐曲線(xiàn)與直 線(xiàn)、與向量相結(jié)合的知識(shí)線(xiàn)、與向量相結(jié)合的知識(shí), ,解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將 向量坐標(biāo)化向量坐標(biāo)化, ,然后將題目中的條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的然后將題目中的條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的 關(guān)系關(guān)系, ,使問(wèn)題得以解決使問(wèn)題得以解

18、決. . OBOAOBOAOP),22,23(POBOAOP. 022 yx變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2 2 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)C C的一個(gè)焦點(diǎn)是的一個(gè)焦點(diǎn)是 F F1 1(-3,0),(-3,0),一條漸近線(xiàn)的方程是一條漸近線(xiàn)的方程是5 5x x-2-2y y=0.=0. (1) (1)求雙曲線(xiàn)求雙曲線(xiàn)C C的方程的方程; ; (2) (2)若以若以k k( (k k0)0)為斜率的直線(xiàn)為斜率的直線(xiàn)l l與雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C C相交于兩相交于兩 個(gè)不同的點(diǎn)個(gè)不同的點(diǎn)MM, ,N N, ,且線(xiàn)段且線(xiàn)段MNMN的垂直平分線(xiàn)與兩坐標(biāo)的垂直平分線(xiàn)與兩坐標(biāo) 軸圍成的三角形的面積為軸圍成的

19、三角形的面積為 求求k k的取值范圍的取值范圍. . 解解 (1)(1)設(shè)雙曲線(xiàn)設(shè)雙曲線(xiàn)C C的方程為的方程為 ( (a a0,0,b b0).0). 由題設(shè)得由題設(shè)得 所以雙曲線(xiàn)所以雙曲線(xiàn)C C的方程為的方程為 ,28112222byax. 5, 4,25, 92222baabba解得. 15422yx(2)(2)設(shè)直線(xiàn)設(shè)直線(xiàn)l l的方程為的方程為y y= =kxkx+ +m m ( (k k0). 0). 點(diǎn)點(diǎn)MM( (x x1 1, ,y y1 1),),N N( (x x2 2, ,y y2 2) )的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組 將將式代入式代入式式, ,得得 整理得整理得(5-4

20、(5-4k k2 2) )x x2 2-8-8kmxkmx-4-4m m2 2-20=0.-20=0.此方程有兩個(gè)不等實(shí)根此方程有兩個(gè)不等實(shí)根, ,于是于是5-45-4k k2 20,0,且且=(-8=(-8kmkm) )2 2+4(5-4+4(5-4k k2 2)(4)(4m m2 2+20)+20)0,0,整理得整理得m m2 2+5-4+5-4k k2 20. 0. 由根與系數(shù)的關(guān)系可知線(xiàn)段由根與系數(shù)的關(guān)系可知線(xiàn)段MNMN的中點(diǎn)坐標(biāo)的中點(diǎn)坐標(biāo)( (x x0 0, ,y y0 0) )滿(mǎn)滿(mǎn)足足. 154,22yxmkxy, 15)(422mkxx.455,45422002210kmmkxy

21、kkmxxx從而線(xiàn)段從而線(xiàn)段MNMN的垂直平分線(xiàn)的方程為的垂直平分線(xiàn)的方程為此直線(xiàn)與此直線(xiàn)與x x軸、軸、y y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為由題設(shè)可得由題設(shè)可得整理得整理得將上式代入將上式代入式得式得整理得整理得(4(4k k2 2-5)(4-5)(4k k2 2-|-|k k|-5)|-5)0,0,k k0.0.解得解得所以所以k k的取值范圍是的取值范圍是).454(145522kkmxkkmy).459, 0(),0 ,459(22kmkkm.281|459|459|2122kmkkm. 0,|)45(222kkkm, 045|)45(222kkk.45|25|0kk或).,45

22、()25, 0()0 ,25()45,(題型三題型三 軌跡與最值軌跡與最值【例【例3 3】(2009(2009湖南湖南) )在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系xOyxOy中中, ,點(diǎn)點(diǎn)P P到到 點(diǎn)點(diǎn)F F(3,0)(3,0)的距離的的距離的4 4倍與它到直線(xiàn)倍與它到直線(xiàn)x x=2=2的距離的的距離的3 3倍之倍之 和記為和記為d d. .當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P P運(yùn)動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí), ,d d恒等于點(diǎn)恒等于點(diǎn)P P的橫坐標(biāo)與的橫坐標(biāo)與1818之之 和和. . (1) (1)求點(diǎn)求點(diǎn)P P的軌跡的軌跡C C； (2)(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)設(shè)過(guò)點(diǎn)F F的直線(xiàn)的直線(xiàn)l l與軌跡與軌跡C C相交于相交于MM、N N兩點(diǎn)兩點(diǎn), ,

23、求線(xiàn)求線(xiàn) 段段MNMN長(zhǎng)度的最大值長(zhǎng)度的最大值. . 解解 (1)(1)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (x x, ,y y),), . |2|3)3(422xyxd則由題設(shè)由題設(shè), ,d d=18+=18+x x, , 當(dāng)當(dāng)x x2 2時(shí)時(shí), ,由由得得 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得 當(dāng)當(dāng)x x22時(shí)時(shí), ,由由得得 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得y y2 2=12=12x x. .故點(diǎn)故點(diǎn)P P的軌跡的軌跡C C是由橢圓是由橢圓C C1 1 在直線(xiàn)在直線(xiàn)x x=2=2的右的右側(cè)部分與拋物線(xiàn)側(cè)部分與拋物線(xiàn)C C2 2y y2 2=12=12x x在直線(xiàn)在直線(xiàn)x x=2=2的左側(cè)部分的左側(cè)部分( (包括包括它與直線(xiàn)它與直線(xiàn)x

24、 x=2=2的交點(diǎn)的交點(diǎn)) )所組成的曲線(xiàn)所組成的曲線(xiàn), ,如圖如圖(1)(1)所示所示. .18|2|3)3(422xxyx即.216)3(22xyx. 1273622yxxyx3)3(22. 1273622yx(2)(2)如圖如圖(2)(2)所示所示, ,易知直線(xiàn)易知直線(xiàn)x x=2=2與與C C1 1、C C2 2的交點(diǎn)都是的交點(diǎn)都是A A(2, ),(2, ),B B(2, ),(2, ),直線(xiàn)直線(xiàn)AFAF, ,BFBF的斜率分別為的斜率分別為k kAFAF= ,= ,k kBFBF= = 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P P在在C C1 1上時(shí)上時(shí), ,由由知知| |PFPF|= |= 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P P在在C

25、 C2 2上時(shí)，上時(shí)，由由知知| |PFPF|=3+|=3+x x. . 若直線(xiàn)若直線(xiàn)l l的斜率的斜率k k存在存在, ,則直線(xiàn)則直線(xiàn)l l的方程的方程y y= =k k( (x x-3).-3).當(dāng)當(dāng)k kk kAFAF, ,或或k kk kBFBF, ,即即k k 或或k k 時(shí)時(shí), ,直線(xiàn)直線(xiàn)l l與軌跡與軌跡C C的兩個(gè)交點(diǎn)的兩個(gè)交點(diǎn)MM( (x x1 1, ,y y1 1),),N N( (x x2 2, ,y y2 2) )都在都在C C1 1上上, ,此時(shí)此時(shí)由由知知| |MFMF|= |= |NFNF|=|=626262. 62.216x6262,2161x,2162x由由

26、得得(3+4(3+4k k2 2) )x x2 2-24-24k k2 2x x+36+36k k2 2-108=0.-108=0.則則x x1 1, ,x x2 2是這個(gè)方程的兩根是這個(gè)方程的兩根, ,所以所以因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)k k 或或k k 時(shí)時(shí), ,k k2 224,24,所以所以當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)k k= = 時(shí)時(shí), ,等號(hào)成立等號(hào)成立. .).(2112)216()216(|2121xxxxMN, 12736),3(22yxxky.1110042431212431212431212|222kkkMN6262.431212)(2112| ,432422212221kkxxMNkkxx62當(dāng)

27、當(dāng)k kAEAEk kk kANAN, ,即或即或 時(shí)時(shí), ,直線(xiàn)直線(xiàn)l l與軌跡與軌跡C C的兩個(gè)交點(diǎn)的兩個(gè)交點(diǎn)MM( (x x1 1, ,y y1 1),),N N( (x x2 2, ,y y2 2) )分別在分別在C C1 1, ,C C2 2上上, ,不妨不妨設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)MM在在C C1 1上上, ,點(diǎn)點(diǎn)N N在在C C2 2上上. .則由則由知知,|,|MFMF|= |= |NFNF|=3+|=3+x x2 2, ,設(shè)直線(xiàn)設(shè)直線(xiàn)AFAF與橢圓與橢圓C C1 1的另一交點(diǎn)為的另一交點(diǎn)為E E( (x x0 0, ,y y0 0),),則則x x0 0 x x1 1, ,x x2 22.2

28、.| |NFNF|=3+|=3+x x2 23+2=|3+2=|AFAF|,|,所以所以| |MNMN|=|=|MFMF|+|+|NFNF| | |EFEF|+|+|AFAF|=|=|AEAE|,|,而點(diǎn)而點(diǎn)A A、E E都在都在C C1 1上上, ,且且k kAEAE= = 6262k,2161x|,|216216|01EFxxMF. 62由由知知| |AEAE|= |= 所以所以| |MNMN| | 若直線(xiàn)若直線(xiàn)l l的斜率不存在的斜率不存在, ,則則x x1 1= =x x2 2=3.=3.此時(shí)此時(shí)| |MNMN|=12- (|=12- (x x1 1+ +x x2 2)=9)=9綜上所

29、述，線(xiàn)段綜上所述，線(xiàn)段MNMN長(zhǎng)度的最大值為長(zhǎng)度的最大值為【探究拓展探究拓展】本小題考查了圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程】本小題考查了圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程, ,軌軌 跡方程以及求最值跡方程以及求最值, ,解析幾何中的最值問(wèn)題、定值問(wèn)解析幾何中的最值問(wèn)題、定值問(wèn) 題是近幾年高考命題的一大熱點(diǎn)，應(yīng)引起高度重視題是近幾年高考命題的一大熱點(diǎn)，應(yīng)引起高度重視. .,11100.11100.1110021.11100變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3 3 在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系xOyxOy 中中, ,過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)C C(0,(0,p p) )作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)作直線(xiàn)與拋物線(xiàn) x x2 2=2=2pypy ( (p p0)0)相交

30、于相交于A(yíng) A, ,B B兩點(diǎn)兩點(diǎn). . (1) (1)若點(diǎn)若點(diǎn)N N是點(diǎn)是點(diǎn)C C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O O的的 對(duì)稱(chēng)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn), ,求求ANBANB面積的最小值；面積的最小值； (2)(2)是否存在垂直于是否存在垂直于y y軸的直線(xiàn)軸的直線(xiàn)l l, ,使得使得l l被以被以ACAC為直徑為直徑 的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值? ?若存在若存在, ,求出求出l l的方程的方程; ;若不若不 存在存在, ,說(shuō)明理由說(shuō)明理由. . 解解 (1)(1)依題意依題意, ,點(diǎn)點(diǎn)N N的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為N N(0,-(0,-p p),), 可設(shè)可設(shè)A A( (x x1 1, ,y y1 1

31、),),B B( (x x2 2, ,y y2 2),), 直線(xiàn)直線(xiàn)ABAB的方程為的方程為y y= =kxkx+ +p p, ,與與x x2 2=2=2pypy, ,聯(lián)立得聯(lián)立得, ,消去消去y y得得x x2 2-2-2pkxpkx-2-2p p2 2=0.=0.由韋達(dá)定理得由韋達(dá)定理得x x1 1+ +x x2 2=2=2pkpk, ,x x1 1x x2 2=-2=-2p p2 2. .于是于是S SABNABN= =S SBCNBCN+ +S SACNACN= =22p p| |x x1 1- -x x2 2| |當(dāng)當(dāng)k k=0=0時(shí)時(shí),(,(S SABNABN) )minmin=

32、=(2)(2)假設(shè)滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)假設(shè)滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l l存在存在, ,其方程為其方程為y y= =a a, ,ACAC的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為O O,l l與與ACAC為直徑的圓相交于點(diǎn)為直徑的圓相交于點(diǎn)P P, ,Q Q, ,PQPQ的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為H H, ,則則O OH HPQPQ, ,O O點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為 .,22pkxypyx21,22844)(|222222122121kppkppxxxxpxxp.222p).2,2(11pyx|PHPH| |2 2=|=|O OP P| |2 2-|-|O OH H| |2 2令令 得得 此時(shí)此時(shí)| |PQPQ|=|=p p為定值，為定值，故存在滿(mǎn)

33、足條件的直線(xiàn)故存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l l, ,其方程為其方程為y y= = 即拋物線(xiàn)的通即拋物線(xiàn)的通徑所在的直線(xiàn)徑所在的直線(xiàn). . ).()2(4|)|2(|),()2()2(41)(41122121221apaypaPHPQapaypapyapy|,2|21|2|,21)(21|21|112212121pyapyaHOpypyxACPO, 02pa,2pa ,2p題型四題型四 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題【例【例4 4】(2009(2009山東山東) )設(shè)橢圓設(shè)橢圓E E: (: (a a, ,b b0)0) 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)MM(2, ),(2, ),N N( ,1)( ,1)兩

34、點(diǎn)兩點(diǎn), ,O O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn). . (1) (1)求橢圓求橢圓E E的方程的方程; ; (2) (2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓是否存在圓心在原點(diǎn)的圓, ,使得該圓的任意一條使得該圓的任意一條 切線(xiàn)與橢圓切線(xiàn)與橢圓E E恒有兩個(gè)交點(diǎn)恒有兩個(gè)交點(diǎn)A A, ,B B, ,且且 ? ?若存在若存在, , 寫(xiě)出該圓的方程寫(xiě)出該圓的方程, ,并求并求| |ABAB| |的取值范圍的取值范圍; ;若不存在若不存在, ,說(shuō)說(shuō) 明理由明理由. . 12222byaxOBOA 26解解 (1)(1)將將MM、N N的坐標(biāo)代入橢圓的坐標(biāo)代入橢圓E E的方程得的方程得所以橢圓所以橢圓E E的方程為的方程為(2

35、)(2)假設(shè)滿(mǎn)足題意的圓存在假設(shè)滿(mǎn)足題意的圓存在, ,其方程為其方程為x x2 2+ +y y2 2= =R R2 2, ,其中其中0 0R R2.2.設(shè)該圓的任意一條切線(xiàn)設(shè)該圓的任意一條切線(xiàn)ABAB和橢圓和橢圓E E交于交于A(yíng) A( (x x1 1, ,y y1 1),),B B( (x x2 2, ,y y2 2）兩點(diǎn)）兩點(diǎn), ,當(dāng)直線(xiàn)當(dāng)直線(xiàn)ABAB的斜率存在時(shí)的斜率存在時(shí), ,令直線(xiàn)令直線(xiàn)ABAB的的方程為方程為y y= =kxkx+ +m m, , 將其代入橢圓將其代入橢圓E E的方程并整理得的方程并整理得(2(2k k2 2+1)+1)x x2 2+4+4kmxkmx+2+2m m2

36、 2-8=0.-8=0. . 4, 8. 116, 124222222bababa解得. 14822yx由韋達(dá)定理得由韋達(dá)定理得 因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以x x1 1x x2 2+ +y y1 1y y2 2=0. =0. 由由代入代入并整理得并整理得(1+(1+k k2 2) )x x1 1x x2 2+ +kmkm( (x x1 1+ +x x2 2)+)+m m2 2=0.=0.聯(lián)立聯(lián)立得得 因?yàn)橹本€(xiàn)因?yàn)橹本€(xiàn)ABAB和圓相切和圓相切, ,因此因此 由由得得 所以存在圓所以存在圓 滿(mǎn)足題意滿(mǎn)足題意. .當(dāng)切線(xiàn)當(dāng)切線(xiàn)ABAB的斜率不存在時(shí)的斜率不存在時(shí), ,易得易得.1282,1242221221

37、kmxxkkmxx,OBOA ).1 (3822km,362R3822 yx,382221 xx,1|2kmR由橢圓由橢圓E E的方程得的方程得顯然顯然 綜上所述綜上所述, ,存在圓存在圓 滿(mǎn)足題意，滿(mǎn)足題意，方法一方法一 當(dāng)切線(xiàn)當(dāng)切線(xiàn)ABAB的斜率存在時(shí)的斜率存在時(shí), ,由由得得 ,382221 yy3822 yx1213211212412824)124(14)(1)(1)()(|2222222222122122212221221kkkkkmkkmkxxxxkxxkyyxxAB當(dāng)切線(xiàn)當(dāng)切線(xiàn)ABAB的斜率不存在時(shí)的斜率不存在時(shí), ,易得易得| |ABAB|= |= 所以所以 綜上所述綜上所述,

38、 ,存在圓心在原點(diǎn)的圓存在圓心在原點(diǎn)的圓 滿(mǎn)足題意滿(mǎn)足題意, ,且且 . 32|364,12|332.12)43(364)321 (32|, 121,12122222ABABtttABtkkt即所以因此則令. 32|364 AB,364. 32|364 AB3822 yx方法二方法二 過(guò)原點(diǎn)過(guò)原點(diǎn)O O作作ODODABAB, ,垂足為垂足為D D, ,則則D D為切點(diǎn)為切點(diǎn). . 設(shè)設(shè)OABOAB= ,= ,則則 為銳角為銳角, , . 32|364,)1(362| ,2, 1 ;)1(362| , 1 ,22:,tan. 2tan22,22|2),tan1(tan362|,tan362| ,

39、tan362|ABxxABxxxABxxOAABBDAD所以單調(diào)遞增時(shí)當(dāng)單調(diào)遞減時(shí)當(dāng)易證令所以因?yàn)樗郧易兪接?xùn)練變式訓(xùn)練4 4 如圖所示如圖所示, ,橢圓橢圓C C的方程的方程 為為 ( (a ab b0),0),A A是橢圓是橢圓 C C的短軸左頂點(diǎn)的短軸左頂點(diǎn), ,過(guò)過(guò)A A點(diǎn)作斜率為點(diǎn)作斜率為-1-1 的直線(xiàn)交橢圓于的直線(xiàn)交橢圓于B B點(diǎn)點(diǎn), ,點(diǎn)點(diǎn)P P(1,0),(1,0),且且 BPBPy y軸軸, ,APBAPB的面積為的面積為 (1)(1)求橢圓求橢圓C C的方程的方程; ; (2) (2)在直線(xiàn)在直線(xiàn)ABAB上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)MM, ,使得以橢圓使得以橢圓C C的焦點(diǎn)為焦的焦點(diǎn)

40、為焦 點(diǎn)點(diǎn), ,且過(guò)且過(guò)MM的雙曲線(xiàn)的雙曲線(xiàn)E E的實(shí)軸最長(zhǎng)的實(shí)軸最長(zhǎng), ,并求此雙曲線(xiàn)并求此雙曲線(xiàn)E E的的 方程方程. . 12222bxay.29解解 (1)(1)S SAPBAPB= = APAPPBPB= = 又又PABPAB=45=45, ,APAP= =PBPB, ,故故APAP= =BPBP=3.=3.P P(1,0),(1,0),A A(-2,0),(-2,0),B B(1,-3).(1,-3).b b=2,=2,將將B B(1,-3)(1,-3)代入橢圓方程代入橢圓方程, ,得得 解得解得a a2 2=12,=12,所求橢圓的方程為所求橢圓的方程為 (2)(2)設(shè)橢圓設(shè)橢圓

41、C C的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為F F1 1, ,F F2 2, ,則易知?jiǎng)t易知F F1 1(0, ),(0, ),F F2 2(0, ),(0, ),直線(xiàn)直線(xiàn)ABAB的方程為的方程為x x+ +y y+2=0,+2=0,因?yàn)橐驗(yàn)镸M在雙曲線(xiàn)在雙曲線(xiàn)E E上上, ,要使雙要使雙曲線(xiàn)曲線(xiàn)E E的實(shí)軸最長(zhǎng)的實(shí)軸最長(zhǎng), ,只需只需|MFMF1 1|-|-|MFMF2 2|最大最大, ,21,29, 191, 222abb. 141222xy2222F F1 1(0, )(0, )關(guān)于直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)ABAB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F F1 1( ,( ,-2),-2),直線(xiàn)直線(xiàn)F F2 2F F1 1與直線(xiàn)與直線(xiàn)l

42、l的交點(diǎn)為所求的交點(diǎn)為所求MMF F2 2F F1 1的方程為的方程為 聯(lián)立聯(lián)立又又2 2a a=|=|MFMF1 1|-|-|MFMF2 2|=|=|MFMF1 1|-|-|MFMF2 2|F F2 2F F1 1|故故a amaxmax= ,= ,b b= ,= ,故所求雙曲線(xiàn)的方程為故所求雙曲線(xiàn)的方程為22222, 022)223(xy),3, 1 (, 02, 022)223(Myxxy得,62)222()0222(2226. 12622xy【考題再現(xiàn)】【考題再現(xiàn)】(2009(2009遼寧遼寧) )已知已知, ,橢圓橢圓C C經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(A(1, ),1, ),兩個(gè)焦點(diǎn)為兩個(gè)焦點(diǎn)為

43、 (-1,0),(1,0).(-1,0),(1,0). (1) (1)求橢圓求橢圓C C的方程的方程; ; (2) (2)E E、F F是橢圓是橢圓C C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn), ,如果直線(xiàn)如果直線(xiàn)AEAE的斜率的斜率 與與AFAF的斜率互為相反數(shù)的斜率互為相反數(shù), ,證明證明: :直線(xiàn)直線(xiàn)EFEF的斜率為定值的斜率為定值, , 并求出這個(gè)定值并求出這個(gè)定值. .23【解題示范解題示范】解解 (1)(1)由題意由題意, ,知知c c=1,=1,可設(shè)橢圓方程為可設(shè)橢圓方程為 因?yàn)橐驗(yàn)锳 A在橢圓上在橢圓上, ,所以所以 解得解得b b2 2=3,=3,b b2 2= (= (舍去舍去).).所

44、以橢圓的方程為所以橢圓的方程為 4 4分分(2)(2)設(shè)直線(xiàn)設(shè)直線(xiàn)AEAE的方程為的方程為y y= =k k( (x x-1)+ -1)+ 代入代入得得(3+4(3+4k k2 2) )x x2 2+4+4k k(3-2(3-2k k) )x x+4( -+4( -k k) )2 2-12=0.-12=0.設(shè)設(shè)E E( (x xE E, ,y yE E),),F F( (x xF F, ,y yF F),),因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)A A(1, )(1, )在橢圓上在橢圓上, ,所以所以 8 8分分. 112222bybx, 1491122bb43. 13422yx,23. 13422yx2323.23,

45、4312)23(422kkxykkxEEE又直線(xiàn)又直線(xiàn)AFAF的斜率與的斜率與AEAE的斜率互為相反數(shù)的斜率互為相反數(shù), ,在上式中以在上式中以- -k k代代k k, ,可得可得所以直線(xiàn)所以直線(xiàn)EFEF的斜率的斜率即直線(xiàn)即直線(xiàn)EFEF的斜率為定值的斜率為定值, ,其值為其值為 1212分分,23,4312)23(422kkxykkxFFF.212)(EFFEEFEFEFxxkxxkxxyyk.211.1.理解橢圓的定義至關(guān)重要理解橢圓的定義至關(guān)重要, ,涉及到橢圓上的點(diǎn)到焦涉及到橢圓上的點(diǎn)到焦 點(diǎn)的距離時(shí)點(diǎn)的距離時(shí), ,應(yīng)首先聯(lián)想到定義應(yīng)首先聯(lián)想到定義, ,橢圓的問(wèn)題都是由橢圓的問(wèn)題都是由

46、a a, ,b b, ,c c, ,e e四個(gè)參數(shù)決定的四個(gè)參數(shù)決定的, ,其關(guān)系鏈為其關(guān)系鏈為 a a2 2= =b b2 2+ +c c2 2, , 幾何性質(zhì)幾何性質(zhì), ,在橢圓上一點(diǎn)在橢圓上一點(diǎn)P P與兩焦點(diǎn)與兩焦點(diǎn) F F1 1、F F2 2, ,連結(jié)連結(jié)PFPF1 1、PFPF2 2, ,若若F F1 1PFPF2 2= ,= ,則則PFPF1 1F F2 2的的 面積為面積為 若若A A1 1、A A2 2是橢圓的左、右頂是橢圓的左、右頂 點(diǎn)點(diǎn), ,則則221abace.2tan221bSFPF.2221abkkPAPA2.2.求軌跡的基本方法求軌跡的基本方法: :求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

47、是一個(gè)綜合求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是一個(gè)綜合 性的課題性的課題, ,滲透性強(qiáng)、牽涉的知識(shí)面寬滲透性強(qiáng)、牽涉的知識(shí)面寬, ,其實(shí)質(zhì)是將其實(shí)質(zhì)是將 “ “形形”轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“數(shù)數(shù)”, ,將將“曲線(xiàn)曲線(xiàn)”轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“方程方程”, , 數(shù)、形結(jié)合體現(xiàn)數(shù)、形結(jié)合體現(xiàn)“轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)思想. .根據(jù)動(dòng)點(diǎn)不同根據(jù)動(dòng)點(diǎn)不同 的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)和規(guī)律的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)和規(guī)律, ,常用的解題方法有以下幾種常用的解題方法有以下幾種: : 直譯法直譯法定義法定義法( (基本軌跡法基本軌跡法) )代點(diǎn)法代點(diǎn)法( (動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移 法法, ,相關(guān)點(diǎn)代入法相關(guān)點(diǎn)代入法) )參數(shù)法參數(shù)法. .3.3.求解最值常用的幾種方法求解最值常用

48、的幾種方法: :利用圓錐曲線(xiàn)的定義利用圓錐曲線(xiàn)的定義 求最大求最大( (小小) )值值; ;利用二次函數(shù)求最值利用二次函數(shù)求最值; ;利用基本利用基本 不等式求最值不等式求最值; ;構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性求最構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性求最 值值; ;構(gòu)造圖形利用數(shù)形結(jié)合的方法求最值構(gòu)造圖形利用數(shù)形結(jié)合的方法求最值; ;三角三角 換元利用三角函數(shù)的有界性求最值換元利用三角函數(shù)的有界性求最值. .4.4.若方程組消元后若方程組消元后, ,得到一個(gè)一元二次方程得到一個(gè)一元二次方程, ,則根據(jù)判則根據(jù)判 別式別式“”的符號(hào)來(lái)討論的符號(hào)來(lái)討論, ,若若0,0,則直線(xiàn)與圓錐則直線(xiàn)與圓錐 曲線(xiàn)相交曲線(xiàn)相交,

49、 ,有兩個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)交點(diǎn); ;若若=0,=0,則直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)則直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn) 相切相切, ,有一個(gè)公共點(diǎn)有一個(gè)公共點(diǎn); ;若若0,0,則直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)則直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn) 相離，沒(méi)有公共點(diǎn)相離，沒(méi)有公共點(diǎn). .5.5.若方程組消元后若方程組消元后, ,得到一個(gè)一元一次方程得到一個(gè)一元一次方程, ,則直線(xiàn)與則直線(xiàn)與 圓錐曲線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)圓錐曲線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn). .特別提醒直線(xiàn)與二次曲線(xiàn)僅有特別提醒直線(xiàn)與二次曲線(xiàn)僅有 一個(gè)交點(diǎn)時(shí)一個(gè)交點(diǎn)時(shí), ,未必相切未必相切, ,如與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸平行的直如與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸平行的直 線(xiàn)線(xiàn), ,與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的直線(xiàn), ,它們都只有一個(gè)交點(diǎn)它們都只有一個(gè)

50、交點(diǎn), , 但是不相切但是不相切, ,而是相交而是相交. . 6.6.涉及圓錐曲線(xiàn)的弦長(zhǎng)涉及圓錐曲線(xiàn)的弦長(zhǎng), ,一般是用弦長(zhǎng)公式結(jié)合韋達(dá)一般是用弦長(zhǎng)公式結(jié)合韋達(dá) 定理解決定理解決, ,若是過(guò)焦點(diǎn)的弦利用圓錐曲線(xiàn)的定義解題若是過(guò)焦點(diǎn)的弦利用圓錐曲線(xiàn)的定義解題 較為方便較為方便, ,弦長(zhǎng)公式弦長(zhǎng)公式7.7.解決弦中點(diǎn)問(wèn)題常用兩種方法解決弦中點(diǎn)問(wèn)題常用兩種方法: :利用韋達(dá)定理利用韋達(dá)定理, ,及及 中點(diǎn)坐標(biāo)公式構(gòu)造中點(diǎn)坐標(biāo)公式構(gòu)造; ;利用端點(diǎn)在曲線(xiàn)上利用端點(diǎn)在曲線(xiàn)上, ,坐標(biāo)滿(mǎn)足坐標(biāo)滿(mǎn)足 方程方程, ,作差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率關(guān)系即作差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率關(guān)系即“點(diǎn)差法點(diǎn)差法”. .8.“8.“

51、設(shè)而不求設(shè)而不求”的方法的方法: :若直線(xiàn)若直線(xiàn)l l與圓錐曲線(xiàn)有兩個(gè)交與圓錐曲線(xiàn)有兩個(gè)交 點(diǎn)點(diǎn)A A, ,B B, ,一般地一般地, ,首先設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)首先設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)A A( (x x1 1, ,y y1 1) ), ,B B( (x x2 2, ,y y2 2),), 其中有四個(gè)參數(shù)其中有四個(gè)參數(shù)x x1 1, ,y y1 1, ,x x2 2, ,y y2 2, ,它們只是過(guò)渡性符號(hào)它們只是過(guò)渡性符號(hào), ,通通 常情況下不需要求出來(lái)常情況下不需要求出來(lái), ,但有利于用韋達(dá)定理解決問(wèn)但有利于用韋達(dá)定理解決問(wèn). |11|1|212212yykxxkAB題題, ,是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系中常

52、用方法是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系中常用方法. .巧取特殊巧取特殊位置法位置法: :動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)弦、動(dòng)直線(xiàn)、動(dòng)角、動(dòng)軌跡常常是動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)弦、動(dòng)直線(xiàn)、動(dòng)角、動(dòng)軌跡常常是圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中出現(xiàn)的動(dòng)態(tài)圖形圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中出現(xiàn)的動(dòng)態(tài)圖形, ,利用這些動(dòng)態(tài)圖形利用這些動(dòng)態(tài)圖形的特殊位置往往能幫助迅速解決選擇題、填空題的特殊位置往往能幫助迅速解決選擇題、填空題. .一、選擇題一、選擇題1.(20091.(2009天津天津) )設(shè)雙曲線(xiàn)設(shè)雙曲線(xiàn) ( (a a0,0,b b0)0)的虛的虛 軸長(zhǎng)為軸長(zhǎng)為2,2,焦距為焦距為 則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為 ( )( ) A. A. B.B.y y= =2 2x

53、x C. C. D. D. 解析解析 由題意知由題意知,2,2b b=2,2=2,2c c= = 則則b b=1,=1,c c= = a a= = 雙雙 曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為12222byax, 32, 32xy22xy21.22xyC Cxy2, 3,22.(20092.(2009山東山東) )設(shè)斜率為設(shè)斜率為2 2的直線(xiàn)的直線(xiàn)l l過(guò)拋物線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)y y2 2= =axax( (a a 0) 0)的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)F F, ,且和且和y y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)A A, ,若若OAFOAF( (O O為坐標(biāo)原為坐標(biāo)原 點(diǎn)點(diǎn)) )的面積為的面積為4,4,則拋物線(xiàn)方程為則拋物線(xiàn)方程為 (

54、)( ) A. A.y y2 2= =4 4x x B.B.y y2 2= =8 8x x C. C.y y2 2=4=4x x D.D.y y2 2=8=8x x 解析解析 y y2 2= =axax的焦點(diǎn)坐標(biāo)為的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 過(guò)焦點(diǎn)且斜率為過(guò)焦點(diǎn)且斜率為2 2的的 直線(xiàn)方程為直線(xiàn)方程為 令令x x=0=0得得: : a a2 2=64,=64,a a= =8.8.),0 ,4(a),4(2axy.2ay, 42|4|21aaB B3.(20093.(2009全國(guó)全國(guó))設(shè)雙曲線(xiàn)設(shè)雙曲線(xiàn) ( (a a0,0,b b0)0)的的 漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)y y= =x x2 2+1+1相切相切

55、, ,則該雙曲線(xiàn)的離心率等則該雙曲線(xiàn)的離心率等 于于 ( )( ) A. B.2 C. D. A. B.2 C. D. 解析解析 雙曲線(xiàn)雙曲線(xiàn) 的漸近線(xiàn)方程為的漸近線(xiàn)方程為 因因 為為y y= =x x2 2+1+1與漸近線(xiàn)相切與漸近線(xiàn)相切, ,故故 只有一個(gè)實(shí)只有一個(gè)實(shí) 根根, ,12222byax12222byax, xaby012xabx. 5, 5, 4, 042222222eacaacabC C3564.(20084.(2008山東山東) )設(shè)橢圓設(shè)橢圓C C1 1的離心率為的離心率為 焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x x軸上軸上 且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26.26.若曲線(xiàn)若曲線(xiàn)C C2 2上的點(diǎn)到橢圓上

56、的點(diǎn)到橢圓C C1 1的兩個(gè)焦點(diǎn)的兩個(gè)焦點(diǎn) 的距離的差的絕對(duì)值等于的距離的差的絕對(duì)值等于8,8,則曲線(xiàn)則曲線(xiàn)C C2 2的標(biāo)準(zhǔn)方程為的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ( )( ) A. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析 由題意知由題意知2 2a a=26,=26,a a=13,=13,e e= = c c=5,=5,C C2 2為雙為雙 曲線(xiàn)曲線(xiàn),2,2a a=8,=8,a a=4,=4,雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn) 相同相同, ,故故c c=5,=5,b b=3.=3.故其方程為故其方程為,135,1351342222yx15132222yx1432222yx1121322

57、22yx. 1342222yxA A5.(20095.(2009全國(guó)全國(guó))已知直線(xiàn)已知直線(xiàn)y y= =k k( (x x+2) (+2) (k k0)0)與拋物線(xiàn)與拋物線(xiàn) C C: :y y2 2=8=8x x相交相交A A, ,B B兩點(diǎn)兩點(diǎn), ,F F為為C C的焦點(diǎn)的焦點(diǎn). .若若| |FAFA|=2|=2|FBFB|,|, 則則k k的值為的值為 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 由由| |FAFA|=2|=2|FBFB| |及定義知及定義知x xA A+2=2(+2=2(x xB B+2)+2)聯(lián)立方聯(lián)立方 程用根與系數(shù)關(guān)系可求程用根與系數(shù)關(guān)系可

58、求 313232322.322kD D6.6.設(shè)設(shè)F F1 1, ,F F2 2是橢圓是橢圓 的左、右焦點(diǎn)的左、右焦點(diǎn), ,過(guò)橢圓中過(guò)橢圓中 心任作一直線(xiàn)與橢圓交于心任作一直線(xiàn)與橢圓交于P P, ,Q Q兩點(diǎn)兩點(diǎn), ,當(dāng)四邊形當(dāng)四邊形PFPF1 1QFQF2 2 面積最大時(shí)面積最大時(shí), , 的值等于的值等于 ( )( ) A.0 B.1 C.2 D.4 A.0 B.1 C.2 D.4 解析解析 由題意可知由題意可知| |F F1 1F F2 2|=2,|=2, 因當(dāng)四邊形因當(dāng)四邊形PFPF1 1QFQF2 2面積最大面積最大 時(shí)時(shí), ,P P, ,Q Q兩點(diǎn)分別位于短軸兩端點(diǎn)兩點(diǎn)分別位于短軸兩

59、端點(diǎn), ,由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè) P P(0, ),(0, ),又又F F1 1(-1,0),(-1,0),F F2 2(1,0),(1,0),則則 13422yx21PFPF ,212121FQFFPFQFPFSSS. 231)3, 1 ()3, 1(),3, 1 (),3, 1(2121PFPFPFPF所以C C3二、填空題二、填空題7.(20097.(2009上海上海) )已知已知F F1 1、F F2 2是橢圓是橢圓C C: (: (a ab b 0)0)的兩個(gè)焦點(diǎn)的兩個(gè)焦點(diǎn), ,P P為橢圓為橢圓C C上的一點(diǎn)上的一點(diǎn), ,且且 若若 PFPF1 1F F2 2的面積為的面積為

60、9,9,則則b b=_.=_. 解析解析 由題意由題意,得得 解得解得a a2 2- -c c2 2=9,=9,即即b b2 2=9,=9,所以所以b b=3. =3. 12222byax,2|,)2(|, 9|21212222121aPFPFcPFPFPFPF3 3.21PFPF 8.(20098.(2009海南海南) )已知拋物線(xiàn)已知拋物線(xiàn)C C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn), ,焦點(diǎn)焦點(diǎn) 在在x x軸上軸上, ,直線(xiàn)直線(xiàn)y y= =x x與拋物線(xiàn)與拋物線(xiàn)C C交于交于A(yíng) A, ,B B兩點(diǎn)兩點(diǎn), ,若若P P(2,2)(2,2) 為為ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,則拋物線(xiàn)則拋物線(xiàn)C C的方

61、程為的方程為_(kāi)._. 解析解析 設(shè)拋物線(xiàn)方程為設(shè)拋物線(xiàn)方程為y y2 2= =axax, ,將將y y= =x x代入代入y y2 2= =axax, ,得得x x=0=0 或或x x= =a a, , a a=4.=4.拋物線(xiàn)方程為拋物線(xiàn)方程為y y2 2=4=4x x. .9.9.已知橢圓已知橢圓 則則m m=2=2x x- -y y的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)開(kāi). _. 解析解析 由題意可設(shè)由題意可設(shè), ,x x=2cos ,=2cos ,y y=3sin=3sin 即即(2(2x x- -y y) )maxmax=5,(2=5,(2x x- -y y) )minmin=-5. =-5. y y2

62、2=4=4x x. 22a-5,5-5,5, 19422yx),2 , 0(),43)(tancos(5sin3cos42yx所以10.10.已知已知A A(0,7),(0,7),B B(0,-7),(0,-7),C C(12,2),(12,2),以以C C為一個(gè)焦點(diǎn)作為一個(gè)焦點(diǎn)作 過(guò)過(guò)A A, ,B B的橢圓的橢圓, ,則該橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)則該橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)F F的軌跡方程是的軌跡方程是 _._. 解析解析 由題意知由題意知,|,|ACAC|+|+|AFAF|=|= | |BCBC|+|+|BFBF| |等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng), , 所以所以| |AFAF|-|-|BFBF|=|=|

63、BCBC|-|-|ACAC|=|= 15-13=2 15-13=214=|14=|ABAB|,|,所以點(diǎn)所以點(diǎn)F F的的 軌跡是以軌跡是以A A, ,B B為焦點(diǎn)為焦點(diǎn), ,實(shí)軸長(zhǎng)為實(shí)軸長(zhǎng)為2 2的雙曲線(xiàn)的下支的雙曲線(xiàn)的下支, ,且且 c c=7,=7,a a=1,=1,所以所以b b2 2=48,=48,其方程為其方程為 ).1( 14822yxy) 1( 14822yxy三、解答題三、解答題11.(200911.(2009浙江浙江) )已知拋物線(xiàn)已知拋物線(xiàn)C C: :x x2 2=2=2pypy ( (p p0)0)上一點(diǎn)上一點(diǎn)A A( (m m,4),4)到其焦點(diǎn)的距離到其焦點(diǎn)的距離 為

64、為 (1)(1)求求p p與與m m的值的值; ; (2) (2)拋物線(xiàn)拋物線(xiàn)C C上一點(diǎn)上一點(diǎn)P P的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為t t( (t t0)0)過(guò)過(guò)P P的直線(xiàn)交的直線(xiàn)交 C C于另一點(diǎn)于另一點(diǎn)Q Q, ,交交x x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)MM, ,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)Q Q作作PQPQ的垂線(xiàn)交的垂線(xiàn)交C C于于 另一點(diǎn)另一點(diǎn)N N, ,若若MNMN是是C C的切線(xiàn)的切線(xiàn), ,求求t t的最小值的最小值. . 解解 (1)(1)由拋物線(xiàn)的定義由拋物線(xiàn)的定義, , 又又m m2 2=8=8p p, ,所以所以p p= = m m= =2. 2. .417.417)2(4p得,21(2)(2)由由p p= = 得拋物

65、線(xiàn)的方程為得拋物線(xiàn)的方程為y y= =x x2 2. .由題意可知由題意可知, ,直線(xiàn)直線(xiàn)PQPQ的斜率存在且不為的斜率存在且不為0,0,設(shè)直線(xiàn)設(shè)直線(xiàn)PQPQ的方程為的方程為: :y y- -t t2 2= =k k( (x x- -t t)()(k k0),0),令令y y=0,=0,得得解方程組解方程組由由NQNQPQPQ, ,得直線(xiàn)得直線(xiàn)NQNQ的方程為的方程為y y-(-(k k- -t t) )2 2= (= (x x+ +t t- -k k),),解方程組解方程組,21)0 ,(2kttM).)( ,(,),(222tktkQxytxkty得k1得22),(1)(xyktxktky

66、于是拋物線(xiàn)于是拋物線(xiàn)C C在點(diǎn)在點(diǎn)N N處的切線(xiàn)方程為處的切線(xiàn)方程為 將點(diǎn)將點(diǎn)MM的坐標(biāo)代入式的坐標(biāo)代入式, ,得得 ).1)(1(2)1(2tkkxkktkkty, 021,012121, 0, 01,01. 0)21)(1(22kttkkkktkkkktkkktkktkttkkkkt得由式時(shí)當(dāng)此時(shí)故時(shí)當(dāng))1( ,1(2kktkktN即即k k2 2+ +tk tk+1-2+1-2t t2 2=0,=0,此時(shí)此時(shí),=9,=9t t2 2-40.-40.因?yàn)橐驗(yàn)閠 t0,0,所以所以t t Q Q(-1,1),(-1,1),N N(4,16).(4,16).符合題符合題意意. .綜上綜上, ,t t的最小值為的最小值為 .32),94,32(,31,32Pkt時(shí)當(dāng).3212.(200912.(2009天津天津) )已知橢圓已知橢圓 ( (a ab b0)0)的兩的兩 個(gè)焦點(diǎn)分別為個(gè)焦點(diǎn)分別為F F1 1(-(-c c,0),0)、F F2 2( (c c,0) (,0) (c c0),0),過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) 的直線(xiàn)與橢圓相交于的直線(xiàn)與橢圓相交于A(yíng) A, ,B B兩點(diǎn)兩點(diǎn), ,且且F F1 1A