高考數(shù)學(xué) 3.6 簡單的三角恒等變換課件.ppt

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第六節(jié)簡單的三角恒等變換 知識梳理 1 必會知識教材回扣填一填 2sin2 2cos2 2 2 必備結(jié)論教材提煉記一記 1 輔助角公式asinx bcosx sin x 其中sin cos 2 tan 3 必用技法核心總結(jié)看一看 1 常用方法 整體代入法 數(shù)形結(jié)合法 2 數(shù)學(xué)思想 轉(zhuǎn)化化歸 函數(shù)與方程 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 當(dāng) 是第一象限角時(shí) 2 對任意角 都成立 3 半角的正余弦公式實(shí)質(zhì)就是將倍角的余弦公式逆求而得來的 4 公式中 的取值與a b的值有關(guān) 解析 1 錯(cuò)誤 在第一象限時(shí) 在第一或第三象限 當(dāng)在第一象限時(shí) 當(dāng)在第三象限時(shí) 2 錯(cuò)誤 此式子必須使tan有意義且1 cos 0 即 k 且 2k 即 2k 1 k Z 3 正確 由半角公式推導(dǎo)過程可知正確 4 正確 由可知 的取值與a b的值有關(guān) 答案 1 2 3 4 2 教材改編鏈接教材練一練 1 必修4P142T4 2 改編 函數(shù)y 2cos2 1的最小正周期為 解析 因?yàn)閥 2 1 cosx 2 所以函數(shù)的最小正周期T 4 答案 4 2 必修4P143B組T2改編 若sin80 m 則用含m的式子表示cos5 解析 由題意 得sin80 cos10 m 又cos10 2cos25 1 所以2cos25 1 m cos25 所以cos5 答案 3 真題小試感悟考題試一試 1 2015 合肥模擬 已知cos 2 則cos等于 解析 選B 因?yàn)閏os 2 所以 所以 2 2014 山東高考 函數(shù)y sin2x cos2x的最小正周期為 解析 因?yàn)閥 sin2x cos2x sin2x cos2x sin 2x 所以T 答案 考點(diǎn)1利用三角恒等變換化簡與證明 典例1 1 2015 棗莊模擬 化簡 sin2 sin2 cos2 cos2 cos2 cos2 2 證明 cos cos 解題提示 1 可以從統(tǒng)一角入手進(jìn)行化簡 2 聯(lián)想兩角和與差的余弦公式 進(jìn)行整體變換證明 規(guī)范解答 1 方法一 從 角 入手 倍角 單角 原式 sin2 sin2 cos2 cos2 2cos2 1 2cos2 1 sin2 sin2 cos2 cos2 4cos2 cos2 2cos2 2cos2 1 sin2 sin2 cos2 cos2 cos2 cos2 sin2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 1 方法二 從 角 入手 單角 倍角 原式 cos2 cos2 1 cos2 cos2 cos2 cos2 1 cos2 cos2 cos2 cos2 cos2 cos2 答案 2 因?yàn)閏os cos cos sin sin cos cos cos sin sin 所以兩式相減 得cos cos 2sin sin 令 則所以cos cos 一題多解 解答本例 1 2 還有其他方法嗎 解答本題 1 還可以從統(tǒng)一名稱和式子的形式的變化入手進(jìn)行化簡 方法一 從 名 入手 異名化同名 原式 sin2 sin2 1 sin2 cos2 cos2 cos2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 cos2 cos2 sin2 cos2 cos2 cos2 cos2 cos2 sin2 cos2 方法二 從 形 入手 利用配方法 先對二次項(xiàng)配方 原式 sin sin cos cos 2 2sin sin cos cos cos2 cos2 cos2 sin2 sin2 cos2 cos2 cos2 cos 2 2 cos2 2cos2 1 答案 解答本例 2 還可從式子的變形入手進(jìn)行證明 證明 因?yàn)樵接?1 cos cos cos cos 1 cos cos cos cos 2cos 2cos cos cos 左 所以原等式成立 即cos cos 規(guī)律方法 1 三角函數(shù)式的化簡遵循的三個(gè)原則 1 一看 角 這是最重要的一環(huán) 通過看角之間的差別與聯(lián)系 把角進(jìn)行合理的拆分 從而正確使用公式 2 二看 函數(shù)名稱 看函數(shù)名稱之間的差異 從而確定使用的公式 常見的有 切化弦 3 三看 結(jié)構(gòu)特征 分析結(jié)構(gòu)特征 可以幫助我們找到變形的方向 常見的有 遇到分式要通分 整式因式分解 二次式配方 等 2 三角函數(shù)式化簡的方法弦切互化 異名化同名 異角化同角 降冪或升冪 在三角函數(shù)式的化簡中 次降角升 和 次升角降 是基本的規(guī)律 根號中含有三角函數(shù)式時(shí) 一般需要升次 變式訓(xùn)練 化簡 0 解析 原式 因?yàn)?0 所以原式 cos 答案 cos 加固訓(xùn)練 1 化簡 A sin B cos C tan D 解析 選C 原式 2 化簡 解析 原式 答案 cos2x 考點(diǎn)2三角恒等變換在實(shí)際問題中的應(yīng)用 典例2 2015 西安模擬 如圖 現(xiàn)要在一塊半徑為1m 圓心角為的扇形白鐵片AOB上剪出一個(gè)平行四邊形MNPQ 使點(diǎn)P在弧AB上 點(diǎn)Q在OA上 點(diǎn)M N在OB上 設(shè) BOP 平行四邊形MNPQ的面積為S 1 求S關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式 2 求S的最大值及相應(yīng)的 角 解題提示 1 雖然P點(diǎn)變化但OP不變 通過構(gòu)造與角 所在的直角三角形 將平行四邊形的底和高用角 表示 從而求出S關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式 2 利用三角恒等變換先化簡 再求S的最大值及相應(yīng)的 角 規(guī)范解答 1 分別過P Q作PD OB于D QE OB于E 則四邊形QEDP為矩形 由扇形半徑為1m 得PD sin OD cos 在Rt OEQ中 OE QE PD MN QP DE OD OE cos sin S MN PD cos sin sin sin cos sin2 0 互動探究 在本例中若點(diǎn)M與O重合 圖形變?yōu)槿鐖D 記平行四邊形ONPQ的面積為S 求S的最大值 解析 如圖 過P作PD OB于D 則由扇形半徑為1m 得PD sin OD cos 在Rt PND中 因?yàn)?PND AOB 所以ND PD sin ON OD ND cos sin S ON PD cos sin sin 易錯(cuò)警示 解答本題有三點(diǎn)容易出錯(cuò) 1 不知平行四邊形的面積公式 無從下手 導(dǎo)致不會解答 2 不會化簡所求關(guān)系式致誤 3 忽視 的取值范圍致誤 規(guī)律方法 三角函數(shù)應(yīng)用題的處理方法 1 結(jié)合具體圖形引進(jìn)角為參數(shù) 利用三角函數(shù)的有關(guān)公式進(jìn)行化簡 解決最優(yōu)化問題 2 解決三角函數(shù)應(yīng)用問題和解決一般應(yīng)用性問題一樣 先建模 再討論變量的范圍 最后作出結(jié)論并回答問題 加固訓(xùn)練 1 2015 吉林模擬 已知直線l1 l2 A是l1 l2之間的一定點(diǎn) 并且A點(diǎn)到l1 l2的距離分別為h1 h2 B是直線l2上一動點(diǎn) 作AC AB 且使AC與直線l1交于點(diǎn)C 則 ABC面積的最小值為 解析 如圖 設(shè) ABD 則 CAE AB AC 所以S ABC AB AC 當(dāng)2 即 時(shí) S ABC的最小值為h1h2 答案 h1h2 2 2015 海口模擬 如圖所示 已知OPQ是半徑為1 圓心角為的扇形 ABCD是扇形的內(nèi)接矩形 B C兩點(diǎn)在圓弧上 OE是 POQ的平分線 連接OC 記 COE 問 角 為何值時(shí)矩形ABCD面積最大 并求最大面積 解析 設(shè)OE交AD于M 交BC于N 顯然矩形ABCD關(guān)于OE對稱 而M N均為AD BC的中點(diǎn) 在Rt ONC中 CN sin ON cos sin 所以MN ON OM cos sin 即AB cos sin 又BC 2CN 2sin 故S矩形 AB BC cos sin 2sin 2sin cos 2sin2 sin2 1 cos2 sin2 cos2 因?yàn)? 所以0 2 2 故當(dāng)2 即 時(shí) S矩形取得最大值 此時(shí)S矩形 2 考點(diǎn)3三角恒等變換在研究三角函數(shù)圖象與性質(zhì)中的應(yīng)用知 考情利用三角恒等變換將三角函數(shù)式化簡后研究其圖象及性質(zhì)是高考的熱點(diǎn) 在高考中常以解答題的形式出現(xiàn) 重點(diǎn)考查三角函數(shù)的值域 最值 單調(diào)性 周期 奇偶性 對稱性等問題 明 角度命題角度1 利用三角恒等變換研究函數(shù)的圖象變換 典例3 2014 浙江高考 為了得到函數(shù)y sin3x cos3x的圖象 可以將函數(shù)y sin3x的圖象 A 向右平移個(gè)單位B 向左平移個(gè)單位C 向右平移個(gè)單位D 向左平移個(gè)單位 解題提示 由函數(shù)y Asin x 的圖象平移與變換解決 規(guī)范解答 選D 因?yàn)閥 sin3x cos3x故只需將y sin3x的圖象向左平移個(gè)單位即可 命題角度2 利用三角恒等變換研究三角函數(shù)的性質(zhì) 典例4 2014 福建高考 已知函數(shù)f x cosx sinx cosx 1 若0 且sin 求f 的值 2 求函數(shù)f x 的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間 解題提示 1 先由平方關(guān)系式求出cos 再代入求f x 的值 2 運(yùn)用降冪公式 輔助角公式進(jìn)行化簡 再利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求解 規(guī)范解答 方法一 1 因?yàn)? sin 所以cos 所以f 2 因?yàn)閒 x sinxcosx cos2x 方法二 f x sinxcosx cos2x 悟 技法求函數(shù)周期 最值 單調(diào)區(qū)間的方法步驟 1 利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成y Asin x t或y Acos x t的形式 2 利用公式T 0 求周期 3 根據(jù)自變量的范圍確定 x 的范圍 根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值 另外求最值時(shí) 根據(jù)所給關(guān)系式的特點(diǎn) 也可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值 4 根據(jù)正 余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)y Asin x t或y Acos x t的單調(diào)區(qū)間 通 一類1 2013 湖北高考 將函數(shù)y cosx sinx x R 的圖象向左平移m m 0 個(gè)單位長度后 所得到的圖象關(guān)于y軸對稱 則m的最小值是 解析 選B 由已知當(dāng)m 時(shí) 平移后函數(shù)為y 2sin x 2cosx 其圖象關(guān)于y軸對稱 且此時(shí)m最小 2 2013 江西高考 函數(shù)y sin2x 2sin2x的最小正周期T為 解析 因?yàn)閥 sin2x 1 cos2x sin2x cos2x 2sin 2x 所以最小正周期T 答案 3 2014 天津高考 已知函數(shù)f x cosx sin x cos2x x R 1 求f x 的最小正周期 2 求f x 在閉區(qū)間上的最大值和最小值 解題提示 1 利用三角恒等變換把函數(shù)f x 的解析式化為Asin x t的形式 從而求最小正周期 2 根據(jù)x的取值范圍求最值 解析 1 由已知 有f x cosx 規(guī)范解答3三角恒等變換在研究函數(shù)中的應(yīng)用 典例 12分 2013 陜西高考 已知向量a cosx b sinx cos2x x R 設(shè)函數(shù)f x a b 1 求f x 的最小正周期 2 求f x 在 0 上的最大值和最小值 解題導(dǎo)思研讀信息快速破題 規(guī)范解答閱卷標(biāo)準(zhǔn)體會規(guī)范 1 f x a b cosx sinx cos2x 2分 4分最小正周期T 所以f x 的最小正周期為 6分 8分由正弦曲線y sinx在上的圖象知 當(dāng)2x 即x 時(shí) f x 取得最大值1 當(dāng)2x 即x 0時(shí) f x 取得最小值 10分所以 f x 在上的最大值和最小值分別為1 12分 高考狀元滿分心得把握規(guī)則爭取滿分1 化簡函數(shù)關(guān)系式由已知條件列出函數(shù)關(guān)系式后 或?qū)σ阎暮瘮?shù)關(guān)系式 常先由三角恒等變換化簡函數(shù)關(guān)系式 2 注意解題步驟的規(guī)范性 1 求最值 單調(diào)區(qū)間或由值求角時(shí)一定要注意限定角的取值范圍 2 涉及k 或2k 時(shí)要注意k的范圍 規(guī)范步驟 減少出錯(cuò) 3 注意題目最后的總結(jié) 保證步驟的完整性