數(shù)學(xué)第五章 平面向量與解三角形 5.1 平面向量的概念及線性運(yùn)算、平面向量基本定理

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1、第五章 平面向量與解三角形5.1 平面向量的概念及線性運(yùn)算、平面向量基本定理高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一平面向量的線性運(yùn)算及幾何意義考點(diǎn)一平面向量的線性運(yùn)算及幾何意義1.既有大小又有方向的量叫做向量.向量可以用有向線段來表示.2.向量的大小,也就是向量的長(zhǎng)度(或稱模),記作|.3.長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量,記作0.長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量.4.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,也叫做共線向量.規(guī)定:0與任一向量平行.5.長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.6.向量的加法法則:三角形法則和平行四邊形法則.7.向量加法的交換律:a+b=b+a.向量加法的結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b

2、+c).ABABAB知識(shí)清單8.與a長(zhǎng)度相等,方向相反的向量叫做a的相反向量,記作-a.規(guī)定:0的相反向量是0.9.實(shí)數(shù)與非零向量a的乘積a是一個(gè)向量,它的長(zhǎng)度是|a|的|倍,即|a|=|a|.它的方向:當(dāng)0時(shí),與a同向;當(dāng)0時(shí),與a反向.顯然,當(dāng)=0時(shí),a=0.10.設(shè)a、b是任意向量,、是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)與向量的積適合以下運(yùn)算律:(1)結(jié)合律:(a)=()a;(2)第一分配律:(+)a=a+a;(3)第二分配律:(a+b)=a+b.11.向量共線的判斷(1)若a與b是兩個(gè)非零向量,則它們共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù),使得b=a;(2)若a與b是兩個(gè)非零向量,則它們共線的充要條件是存在兩個(gè)均

3、不是零的實(shí)數(shù)、,使得a+b=0.考點(diǎn)二平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示考點(diǎn)二平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1.平面向量的基本定理:如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2,使a=1e1+2e2,其中e1、e2是一組基底.2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=(x1x2,y1y2);(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1);(3)若a=(x,y),R,則a=(x,y).3.向量平行的坐標(biāo)表示(1)如果a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b0),則ab的充要條件為x1y2

4、-x2y1=0;(2)三點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共線的充要條件為(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-ABy 1)=0.4.幾個(gè)重要結(jié)論:如圖,(1)若a、b為不共線向量,則a+b、a-b為以a、b為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線向量;(2)|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2);(3)G為ABC的重心+=0G.GAGBGC,33ABCABCxxxyyy 平面向量的線性運(yùn)算的解題策略平面向量的線性運(yùn)算的解題策略平面向量線性運(yùn)算的思路:(1)根據(jù)已知條件,正確選擇基底;(2)把條件和結(jié)論(或問題)中的所有向量用基底表示;(3)進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算.例

5、1(2017浙江臺(tái)州質(zhì)量評(píng)估,16)已知不共線的平面向量a,b滿足|a|=3,|b|=2,若向量c=a+b(,R),且+=1,=,則=.|c bb|c aa方法技巧方法1解題導(dǎo)引設(shè)=a,=b,=c由條件知A,B,C三點(diǎn)共線,且OC為AOB的平分線由平分線性質(zhì)得結(jié)論OAOBOC解析如圖,設(shè)=a,=b,=c.因?yàn)橄蛄縞=a+b(,R),且+=1,所以A,B,C三點(diǎn)共線.由=知,|c|cos=|c|cos,所以O(shè)C為AOB的平分線.因?yàn)閏=a+b=a+(1-)b,所以c-b=(a-b),即=,所以=,OAOBOC|c bb|c aaBCBA|BCBA易知=,所以=.|BCCA|OBOA23|BCBA

6、25答案25 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的解題策略平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的解題策略向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上就是向量的代數(shù)表示,在引入向量的坐標(biāo)表示后,向量的運(yùn)算就完全可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算,這樣就可以將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起.因此,很多幾何問題的證明,特別是共線、共點(diǎn)等較難問題的證明,就可以轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算的論證.例2(2016浙江名校(杭州二中)交流卷三,15)已知ABC中,AB=4,AC=2,若|+(2-2)|的最小值為2,則對(duì)于ABC內(nèi)(包括邊界)一點(diǎn)Q,(+)的取值范圍是.ABACQAQBQC方法2解題導(dǎo)引建立合適的平面直角坐標(biāo)系由最值確定點(diǎn)B坐標(biāo)由向量的坐標(biāo)運(yùn)算把向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)與

7、定點(diǎn)的距離的平方由距離的幾何意義得結(jié)論解析不妨設(shè)=+(2-2)=+2(1-)=+(1-)(其中C為AN的中點(diǎn)),可知B,M,N三點(diǎn)共線,且AB=AN=4,因?yàn)閨的最小值為2,且易知取到最小值時(shí),AMBN,所以MAN=60,所以BAC=120.如圖,建立以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AC所在的直線為x軸的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)B點(diǎn)在x軸上方,可得A(0,0),B(-2,2),C(2,0),則BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,).設(shè)Q(x,y),則(+)=2=2x2+y(y-)=2.x2+的幾何意義為點(diǎn)Q與點(diǎn)P的距離的平方,可知當(dāng)Q與P重合時(shí),距離的平方最小,為0;當(dāng)Q在B點(diǎn)處時(shí),距離的平方最大,為,所以(+)的取值范圍為.AMABACABACABANAM33QAQBQCQAQD3223324xy232y30,2434QAQBQC3,202答案3,202