《數(shù)學第七章 數(shù)列與數(shù)學歸納法 第6節(jié) 數(shù)學歸納法 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《數(shù)學第七章 數(shù)列與數(shù)學歸納法 第6節(jié) 數(shù)學歸納法 理(34頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第第6節(jié)數(shù)學歸納法節(jié)數(shù)學歸納法最新考綱1.了解數(shù)學歸納法的原理;2.能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題.1.數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)n有關的命題,可按下列步驟進行:(1)(歸納奠基)證明當n取_時命題成立;(2)(歸納遞推)假設nk(kn0,kN*)時命題成立,證明當_時命題也成立.只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.知知 識識 梳梳 理理第一個值n0(n0N*)nk12.數(shù)學歸納法的框圖表示常用結論與微點提醒1.數(shù)學歸納法證題時初始值n0不一定是1.2.推證nk1時一定要用上nk時的假設,否則不是數(shù)學歸納法.診 斷 自 測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”
2、)(1)用數(shù)學歸納法證明等式“12222n22n31”,驗證n1時,左邊式子應為122223.()(2)所有與正整數(shù)有關的數(shù)學命題都必須用數(shù)學歸納法證明.()(3)用數(shù)學歸納法證明問題時,歸納假設可以不用.()(4)不論是等式還是不等式,用數(shù)學歸納法證明時,由nk到nk1時,項數(shù)都增加了一項.()解析對于(2),有些命題也可以直接證明;對于(3),數(shù)學歸納法必須用歸納假設;對于(4),由nk到nk1,有可能增加不止一項.答案(1)(2)(3)(4)解析三角形是邊數(shù)最少的凸多邊形,故第一步應檢驗n3.答案C答案D5.用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時,xnyn能被xy整除”,當?shù)诙郊僭On2k1(
3、kN*)命題為真時,進而需證n_時,命題亦真.解析由于步長為2,所以2k1后一個奇數(shù)應為2k1.答案2k16.(2017寧波調(diào)研)用數(shù)學歸納法證明“當n為正偶數(shù)時,xnyn能被xy整除”第一步應驗證n_時,命題成立;第二步歸納假設成立應寫成_.解析因為n為正偶數(shù),故第一個值n2,第二步假設n取第k個正偶數(shù)成立,即n2k,故應假設成x2ky2k能被xy整除.答案2x2ky2k能被xy整除考點一用數(shù)學歸納法證明等式證明(1)當n1時,左邊右邊,所以等式成立.規(guī)律方法(1)用數(shù)學歸納法證明等式問題,要“先看項”,弄清等式兩邊的構成規(guī)律,等式兩邊各有多少項,初始值n0是多少.(2)由nk時等式成立,推
4、出nk1時等式成立,一要找出等式兩邊的變化(差異),明確變形目標;二要充分利用歸納假設,進行合理變形,正確寫出證明過程,不利用歸納假設的證明,就不是數(shù)學歸納法.【訓練1】 求證:(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).證明(1)當n1時,等式左邊2,右邊2,故等式成立;(2)假設當nk(kN*)時等式成立,即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1),那么當nk1時,左邊(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)(2k1),所以當nk1時等式也成立.由(1)(2)可知,對所有nN*等式成立
5、.考點二用數(shù)學歸納法證明不等式【例2】 (2017浙江五校聯(lián)考)等比數(shù)列an的前n項和為Sn.已知對任意的nN*,點(n,Sn)均在函數(shù)ybxr(b0,且b1,b,r均為常數(shù))的圖象上.(1)求r的值;規(guī)律方法應用數(shù)學歸納法證明不等式應注意的問題(1)當遇到與正整數(shù)n有關的不等式證明時,應用其他辦法不容易證,則可考慮應用數(shù)學歸納法.(2)用數(shù)學歸納法證明不等式的關鍵是由nk成立,推證nk1時也成立,證明時用上歸納假設后,可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法、構造函數(shù)法等證明方法.考點三歸納猜想證明規(guī)律方法(1)利用數(shù)學歸納法可以探索與正整數(shù)n有關的未知問題、存在性問題,其基本模式是“歸納猜想證明”,即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結論,然后經(jīng)邏輯推理論證結論的正確性.(2)“歸納猜想證明”的基本步驟是“試驗歸納猜想證明”.高中階段與數(shù)列結合的問題是最常見的問題.【訓練3】 設函數(shù)f(x)ln(1x),g(x)xf(x),x0,其中f(x)是f(x)的導函數(shù).(1)令g1(x)g(x),gn1(x)g(gn(x),nN*,求gn(x)的表達式;(2)若f(x)ag(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;(3)設nN*,猜想g(1)g(2)g(n)與nf(n)的大小,并加以證明.