2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.2 點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系 1.2.1 平面的基本性質(zhì)與推論課件 新人教B版必修2.ppt

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1 2點(diǎn) 線 面之間的位置關(guān)系1 2 1平面的基本性質(zhì)與推論 目標(biāo)導(dǎo)航 新知探求 課堂探究 新知探求 素養(yǎng)養(yǎng)成 點(diǎn)擊進(jìn)入情境導(dǎo)學(xué) 知識(shí)探究 1 平面的基本性質(zhì) 1 基本性質(zhì)1如果一條直線上的在一個(gè)平面內(nèi) 那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi) 這時(shí)我們說(shuō) 直線在平面內(nèi)或平面經(jīng)過(guò)直線 2 基本性質(zhì)2經(jīng)過(guò)的三點(diǎn) 有且只有一個(gè)平面 也可簡(jiǎn)單地說(shuō)成 的三點(diǎn)確定一個(gè)平面 兩點(diǎn) 不在同一條直線上 不共線 3 基本性質(zhì)3如果不重合的兩個(gè)平面有公共點(diǎn) 那么它們有且只有一條過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線 2 平面基本性質(zhì)的推論 1 推論1經(jīng)過(guò)一條直線和的一點(diǎn) 有且只有一個(gè)平面 2 推論2經(jīng)過(guò)兩條直線 有且只有一個(gè)平面 3 推論3經(jīng)過(guò)兩條直線 有且只有一個(gè)平面 拓展延伸 1 基本性質(zhì)1的作用是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù) 2 基本性質(zhì)2及它的三個(gè)推論的作用是確定平面的依據(jù) 3 基本性質(zhì)3的作用是判定兩平面相交的依據(jù) 也是證明點(diǎn)共線或線共點(diǎn)的依據(jù) 一個(gè) 直線外 相交 平行 3 共面與異面直線 1 兩條直線共面 那么它們或者 2 既不又不的兩條直線叫做異面直線 3 判定兩條直線為異面直線的一種方法 與一平面相交于一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面內(nèi)的直線是異面直線 拓展延伸 三種語(yǔ)言我們可以把空間看作點(diǎn)的集合 這就是說(shuō) 點(diǎn)是空間的基本元素 直線和平面都是空間的子集 直線是它所在平面的子集 于是 我們可以用集合語(yǔ)言來(lái)描述點(diǎn) 直線和平面之間的關(guān)系以及圖形的性質(zhì) 例如 點(diǎn)A在平面 內(nèi) 記作A 點(diǎn)A不在 內(nèi) 記作A A 也稱(chēng)作平面 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A 直線l在平面 內(nèi) 記作l 直線l不在平面 內(nèi) 記作l l 也稱(chēng)作平面 經(jīng)過(guò)直線l 平面 與平面 相交于直線a 記作 a 直線l和m相交于點(diǎn)A 記作l m A 簡(jiǎn)記為l m A 平行 相交 相交 平行 不經(jīng)過(guò)交點(diǎn) 自我檢測(cè) 1 下列命題 公理1可用集合符號(hào)敘述為 若A l B l 且A B 則必有l(wèi) 四邊形的兩條對(duì)角線必相交于一點(diǎn) 用平行四邊形表示的平面 以平行四邊形的四條邊作為平面邊界線 梯形是平面圖形 其中 正確的命題個(gè)數(shù)為 A 1 B 2 C 3 D 4 A 解析 對(duì)于 因?yàn)橹本€可視為點(diǎn)集 平面也是點(diǎn)集 應(yīng)表示為l 所以 錯(cuò)誤 對(duì)于 當(dāng)四邊形是平面圖形時(shí) 兩對(duì)角線必相交于一點(diǎn) 當(dāng)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)不共面時(shí) 兩條對(duì)角線不能相交 所以 錯(cuò)誤 對(duì)于 平面是無(wú)限延展的 表示平面的平行四邊形也是無(wú)限延展的 需要時(shí)可向四周延展 故 錯(cuò)誤 對(duì)于 梯形有兩條邊互相平行 由推論3知其為平面圖形 故 正確 選A 2 若點(diǎn)M在直線a上 直線a在平面 內(nèi) 用數(shù)學(xué)符號(hào)記為 A M a a B M a a C M a a D M a a B 解析 由于點(diǎn)看作元素 線面看作集合 故選B 3 分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關(guān)系是 A 一定平行 B 一定相交 C 一定異面 D 相交或異面 解析 由異面直線的定義可知 選D D 4 在空間中 下列條件能夠確定一個(gè)平面的是 兩條直線 一個(gè)點(diǎn)和一條直線 三個(gè)點(diǎn) 兩條相交直線 圓上不同的三個(gè)點(diǎn) 兩條平行直線 解析 由平面的基本性質(zhì)和推論可知只有 可以確定一個(gè)平面 答案 類(lèi)型一 用圖形符號(hào)語(yǔ)言表示點(diǎn) 線 面之間的位置關(guān)系 課堂探究 素養(yǎng)提升 例1 據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn) 直線 平面之間的關(guān)系 1 點(diǎn)P與直線AB 2 點(diǎn)C與直線AB 3 點(diǎn)M與平面AC 4 點(diǎn)A1與平面AC 5 直線AB與直線BC 6 直線AB與平面AC 7 平面A1B與平面AC 解 1 點(diǎn)P 直線AB 2 點(diǎn)C 直線AB 3 點(diǎn)M 平面AC 4 點(diǎn)A1 平面AC 5 直線AB 直線BC于點(diǎn)B 6 直線AB 平面AC 7 平面A1B 平面AC于直線AB 方法技巧 1 正確理解點(diǎn) 線 面表示的含義 點(diǎn)表示元素 線 面都是點(diǎn)的集合 2 注意區(qū)別代數(shù)與幾何表示法 類(lèi)型二 線共面問(wèn)題的證明 例2 已知 AB AC A AB BC B AC BC C 如圖所示 求證 直線AB BC AC共面 證明 法一因?yàn)锳B AC A 所以直線AB AC確定一個(gè)平面 推論2 因?yàn)锽 AB C AC 所以B C 故BC 公理1 因此直線AB BC CA共面 法二因?yàn)锳 直線BC 所以過(guò)點(diǎn)A和直線BC確定平面 推論1 因?yàn)锳 B 故AB 同理AC 所以AB AC BC共面 法三因?yàn)锳 B C三點(diǎn)不在同一條直線上 所以過(guò)A B C三點(diǎn)可以確定平面 公理3 因?yàn)锳 B 所以AB 公理1 同理BC AC 所以AB BC CA三直線共面 方法技巧解決共面問(wèn)題的基本方法是 1 由條件確定一個(gè)平面 然后再由公理1證明其余的線也在該平面內(nèi) 2 由一部分線確定一個(gè)平面 由另一部分線確定另一個(gè)平面 然后證明兩個(gè)平面重合 變式訓(xùn)練2 1 如圖所示 a b c l a A l b B l c C 求證 a b c l共面 證明 法一先由a b確定一個(gè)平面 然后證l c都在這個(gè)平面內(nèi) 因?yàn)閍 b 所以a b確定平面 又因?yàn)閘 a A l b B 所以l上有兩點(diǎn)A B在 內(nèi) 即直線l 于是a b l共面 換句話說(shuō) 若a l確定平面 過(guò)l上一點(diǎn)B 作b a 則b 同理 過(guò)l上一點(diǎn)C作c a 則c也在a l確定的平面內(nèi) 故a b c l共面 法二因?yàn)閍 b 所以a b確定平面 又A a B b 所以AB 即l 又因?yàn)閎 c 所以b c確定平面 而B(niǎo) b C c 所以BC 即l 于是a l b l 而b l B 所以故 與 重合 所以a b c l共面 法三因?yàn)閍 b 所以a b確定平面 又因?yàn)锳 a B b 所以AB 即l 設(shè)c 過(guò)C在平面 內(nèi)作c b c c C 又b c 所以c c 與c c C矛盾 所以c 故a b c l共面 類(lèi)型三 點(diǎn)共線問(wèn)題的證明 例3 已知 ABC在平面 外 它的三邊所在的直線分別交平面 于P Q R 如圖 求證 P Q R三點(diǎn)共線 證明 法一因?yàn)锳B P 所以P AB P 平面 又AB 平面ABC 所以P 平面ABC 所以由基本性質(zhì)3可知 點(diǎn)P在平面ABC與平面 的交線上 同理可證Q R也在平面ABC與平面 的交線上 又因?yàn)閮上嘟黄矫娴慕痪€有且只有一條 所以P Q R三點(diǎn)共線 法二因?yàn)锳P AR A 所以直線AP與直線AR確定平面APR 又因?yàn)锳B P AC R 所以平面APR 平面 PR 因?yàn)锽 平面APR C 平面APR 所以BC 平面APR 又因?yàn)镼 直線BC 所以Q 平面APR 又Q 所以Q PR 所以P Q R三點(diǎn)共線 方法技巧證明點(diǎn)共線問(wèn)題常用方法 1 先找出兩個(gè)平面 再證明這三個(gè)點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn) 從而根據(jù)基本性質(zhì)3判定它們都在交線上 2 選擇兩點(diǎn)確定一條直線 再證另一點(diǎn)在這條直線上 變式訓(xùn)練3 1 在正方體ABCD A1B1C1D1中 設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于Q 求證 B Q D1三點(diǎn)共線 證明 因?yàn)锳1C 平面ABC1D1 Q 所以Q 平面ABC1D1 Q A1C 又A1C 平面A1BCD1 所以Q 平面A1BCD1 而平面ABC1D1 平面A1BCD1 BD1 所以Q BD1 即B Q D1三點(diǎn)共線 類(lèi)型四 線共點(diǎn)問(wèn)題的證明 例4 在三棱錐S ABC的邊SA SC AB BC上分別取點(diǎn)E F G H 若EF GH P 求證 EF GH AC三條直線交于點(diǎn)P 證明 因?yàn)镋 SA SA 平面SAC F SC SC 平面SAC 所以EF 平面SAC 同理 GH 平面ABC 因?yàn)镋F GH P 所以P 平面SAC P 平面ABC 因?yàn)槠矫鍿AC 平面ABC AC 所以P AC 即直線EF GH AC交于一點(diǎn)P 變式訓(xùn)練4 1 如圖所示 已知M N P Q分別為正方體中棱AB BC C1D1 C1C的中點(diǎn) 求證 PQ MN DC三線共點(diǎn) 證明 如圖所示 連接MN 并延長(zhǎng)MN交DC的延長(zhǎng)線于O 則 MBN OCN 所以CO MB 連接PQ并延長(zhǎng)PQ交DC的延長(zhǎng)線于O1 則 PC1Q O1CQ 所以CO1 PC1 又因?yàn)镸B PC1 所以CO CO1 所以O(shè)與O1重合 所以PQ MN DC相交于一點(diǎn) 即直線PQ MN DC三線共點(diǎn) 類(lèi)型五 幾何體的截面作法 例5 已知P Q R三點(diǎn)分別在長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1的棱BB1 CC1 DD1上 試畫(huà)出過(guò)P Q R三點(diǎn)的截面 解 如圖 1 連接QP QR并延長(zhǎng) 分別交CB CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E F 2 連接EF 交AB于T 交AD于S 3 連接RS TP 則多邊形PQRST為所求 方法技巧作幾何體的截面 即作幾何體與平面的交線 即找截面與幾何體表面的公共點(diǎn) 只需找到兩個(gè) 連接即可畫(huà)該面上的交線 其依據(jù)為平面的基本性質(zhì) 注意平面的延展性 謝謝觀賞