2019高中數(shù)學(xué) 第三章 圓錐曲線與方程 3.4 曲線與方程 3.4.1 曲線與方程課件 北師大版選修2-1.ppt

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4曲線與方程 4 1曲線與方程 一 二 思考辨析 一 曲線與方程一般地 在平面直角坐標(biāo)系中 如果某曲線C 看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡 上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系 1 曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解 2 以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上 那么 這條曲線叫作方程的曲線 這個(gè)方程叫作曲線的方程 名師點(diǎn)撥 曲線的方程 和 方程的曲線 的概念中包含了雙重性 即純粹性和完備性 所謂純粹性 即曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解 所以要剔除曲線上不合題意的點(diǎn) 所謂完備性 即以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上 所以對(duì)方程進(jìn)行變形時(shí)要注意等價(jià)變形 防止漏解 一 二 思考辨析 表示的是不在直線x y 1 0的左下方且在圓x2 y2 4上的部分 表示的是直線x y 1 0 因此結(jié)合各選項(xiàng)可知C正確 答案 C 一 二 思考辨析 二 點(diǎn)在曲線上的充要條件如果曲線C的方程是f x y 0 那么點(diǎn)P x0 y0 在曲線C上的充要條件是f x0 y0 0 做一做2 求證 以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心 以5為半徑的圓的方程是x2 y2 25 并判斷點(diǎn)M1 3 4 M2 3 2 是否在這個(gè)圓上 由 1 2 可知 方程x2 y2 25是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心 半徑等于5的圓的方程 分別將M1 3 4 M2 3 2 代入圓的方程檢驗(yàn)可知 點(diǎn)M1在圓上 M2不在圓上 一 二 思考辨析 判斷下列說(shuō)法是否正確 正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打 錯(cuò)誤的打 1 若以方程f x y 0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上 則方程f x y 0即為曲線C的方程 2 若曲線C上的點(diǎn)滿足方程F x y 0 則坐標(biāo)不滿足方程F x y 0的點(diǎn)不在曲線C上 3 方程x y 2 0是以A 2 0 B 0 2 為端點(diǎn)的線段的方程 4 在求曲線方程時(shí) 對(duì)于同一條曲線 坐標(biāo)系的建立不同 所得到的曲線方程也不一樣 5 化簡(jiǎn)方程 x y 為 y x 是恒等變形 6 按照求曲線方程的步驟求解出的曲線方程不用檢驗(yàn) 探究一 探究二 探究三 曲線與方程的概念 例1 1 若命題 曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f x y 0的解 是正確的 則下列命題正確的是 A 方程f x y 0的曲線是CB 方程f x y 0的曲線不一定是CC 方程f x y 0是曲線C的方程D 以方程f x y 0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上 2 設(shè)方程f x y 0的解集非空 如果命題 坐標(biāo)滿足方程f x y 0的點(diǎn)都在曲線C上 是不正確的 那么下列命題正確的是 A 坐標(biāo)滿足方程f x y 0的點(diǎn)都不在曲線C上B 曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程f x y 0C 坐標(biāo)滿足方程f x y 0的點(diǎn)有些在曲線C上 有些不在曲線C上D 一定有不在曲線C上的點(diǎn) 其坐標(biāo)滿足f x y 0 探究一 探究二 探究三 解析 1 本題重在考查曲線和方程的定義 只有正確地理解曲線與方程的定義 才能準(zhǔn)確作答 易知A C D錯(cuò)誤 2 本題考查命題形式的等價(jià)轉(zhuǎn)換 所給語(yǔ)句不正確 即 坐標(biāo)滿足方程f x y 0的點(diǎn)不都在曲線C上 是正確的 不都在 包括 都不在 和 有的在 有的不在 兩種情況 故A C錯(cuò) B顯然錯(cuò) 答案 1 B 2 D反思感悟判斷曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系 必須注意兩點(diǎn) 1 曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解 即直觀地說(shuō) 點(diǎn)不比解多 稱為純粹性 2 以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上 即直觀地說(shuō) 解不比點(diǎn)多 稱為完備性 只有點(diǎn)和解一一對(duì)應(yīng) 才能說(shuō)曲線是方程的曲線 方程是曲線的方程 探究一 探究二 探究三 變式訓(xùn)練1判斷下列命題是否正確 并說(shuō)明理由 1 過(guò)點(diǎn)A 3 0 且垂直于x軸的直線的方程為x 3 2 ABC的頂點(diǎn)A 0 3 B 1 0 C 1 0 D為BC中點(diǎn) 則中線AD的方程為x 0 解 1 正確 滿足曲線方程的定義 故結(jié)論正確 2 錯(cuò)誤 因?yàn)橹芯€AD是一條線段 而不是直線 所以其方程應(yīng)為x 0 3 y 0 故結(jié)論錯(cuò)誤 3 錯(cuò)誤 由方程可得x2 y2 4或x y 1 0 x2 y2 4 所以該方程表示的是一個(gè)圓或兩條射線 探究一 探究二 探究三 判斷 或證明 方程是曲線的方程 例2 證明 圓心為P a b 半徑等于r的圓的方程是 x a 2 y b 2 r2 綜上可知 x a 2 y b 2 r2是圓心為P a b 半徑等于r的圓的方程 反思感悟證明方程的曲線或曲線的方程須證明兩點(diǎn) 1 曲線上的坐標(biāo)都是方程的解 2 以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上 探究一 探究二 探究三 變式訓(xùn)練2證明以點(diǎn)C 0 3 為圓心 以2為半徑的圓的方程為x2 y 3 2 4 并判斷點(diǎn)M 4 N 1 3 P 0 1 Q 1 0 是否在圓上 證明 設(shè)M x0 y0 是圓上的任一點(diǎn) 則 M C 2 故點(diǎn)M x0 y0 到C點(diǎn)的距離等于2 即點(diǎn)M 在以C為圓心 2為半徑的圓上 綜上可知 以點(diǎn)C 0 3 為圓心 2為半徑的圓的方程為x2 y 3 2 4 探究一 探究二 探究三 把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入方程x2 y 3 2 4 左右兩邊相等 即 4 是方程的解 所以點(diǎn)M在這個(gè)圓上 同理可判斷點(diǎn)N 點(diǎn)P在圓上 而點(diǎn)Q 1 0 不在這個(gè)圓上 探究一 探究二 探究三 求曲線的方程 例3 設(shè)圓C x 1 2 y2 1 過(guò)原點(diǎn)O作圓的任意弦 求所作弦的中點(diǎn)的軌跡方程 解法一 直接法 設(shè)OQ為過(guò)O的一條弦 P x y 為其中點(diǎn) 由圓的范圍知0 x 1 探究一 探究二 探究三 解法二 定義法 OPC 90 解法三 代入法 2x 1 2 2y 2 1 0 x 1 探究一 探究二 探究三 解法四 參數(shù)法 設(shè)動(dòng)弦OQ的方程為y kx 代入圓方程得 x 1 2 k2x2 1 即 1 k2 x2 2x 0 探究一 探究二 探究三 反思感悟求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程主要方法有直接法 定義法 代入法 待定系數(shù)法 參數(shù)法等 1 直接法 建立平面直角坐標(biāo)系 把動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件轉(zhuǎn)化為x y間的關(guān)系 即得軌跡方程 2 定義法 當(dāng)已知條件適合圓錐曲線的定義時(shí) 可直接寫出方程 3 代入法 若動(dòng)點(diǎn)P x y 依賴于已知曲線上另一個(gè)點(diǎn)Q x y 而運(yùn)動(dòng)時(shí) 可用x y來(lái)表示x y 再代入已知曲線方程 即可求出軌跡方程 4 待定系數(shù)法 若由題設(shè)條件易于確定方程的類型 可先設(shè)出方程 再由條件確定方程中的參數(shù) 即 先定型 再定量 5 參數(shù)法 當(dāng)直接建立x y間的關(guān)系較困難時(shí) 可通過(guò)選適當(dāng)?shù)膮?shù) 找出x y間的間接關(guān)系 即參數(shù)方程 然后消去參數(shù)化為普通方程 探究一 探究二 探究三 變式訓(xùn)練3已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)A 2 0 的距離是它到點(diǎn)B 8 0 的距離的一半 求 1 動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程 2 若N為線段AM的中點(diǎn) 試求點(diǎn)N的軌跡 解 1 設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 x y 則由兩點(diǎn)間距離公式及題意易得 整理 得x2 y2 16 即為動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程 探究一 探究二 探究三 2 設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為 x y M的坐標(biāo)是 x1 y1 由A 2 0 且N為線段AM的中點(diǎn) 所以有x1 2x 2 y1 2y 由 1 知M是圓x2 y2 16上的點(diǎn) 將 代入 并整理 得 x 1 2 y2 4 所以N的軌跡是以 1 0 為圓心 2為半徑的圓 12345 1 已知定點(diǎn)A 1 0 B 1 0 動(dòng)點(diǎn)P滿足直線PA PB的斜率之積為 1 則動(dòng)點(diǎn)P滿足的方程是 答案 B 12345 2 一條線段長(zhǎng)為10 兩端點(diǎn)A B分別在x軸和y軸上滑動(dòng) M點(diǎn)在線 A x2 16y2 64B 16x2 y2 64C x2 16y2 8D 16x2 y2 8 整理得16x2 y2 64 答案 B 12345 3 由動(dòng)點(diǎn)P向圓x2 y2 1引兩條切線PA PB 切點(diǎn)分別為A B APB 60 則動(dòng)點(diǎn)P滿足的方程為 解析 設(shè)P x y 圓x2 y2 1的圓心為O APB 60 圓O的半徑為1 OP 2 x2 y2 4 答案 x2 y2 4 12345 4 設(shè)P為雙曲線 y2 1上一動(dòng)點(diǎn) O為坐標(biāo)原點(diǎn) M為線段OP的中點(diǎn) 則點(diǎn)M的軌跡方程是 答案 x2 4y2 1 12345 5 設(shè)兩定點(diǎn)A B的距離為8 求到A B兩點(diǎn)距離的平方和是50的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 解 以A B兩點(diǎn)連線為x軸 A為坐標(biāo)原點(diǎn) 建立直角坐標(biāo)系 如圖所示 則A 0 0 B 8 0 設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)為P x y 依據(jù)題意可得 PA 2 PB 2 50 化簡(jiǎn)可得x2 y2 8x 7 0 故所求軌跡方程為x2 y2 8x 7 0