專(zhuān)題102用樣本估計(jì)總體講原卷版

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1、專(zhuān)題10.210.2用樣本估計(jì)總體講考綱1 .了解分布的意義和作用，能根據(jù)頻率分布表畫(huà)頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會(huì)它們各自的特點(diǎn)；2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差；3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并作出合理的解釋?zhuān)?.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想；5.會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題講基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)一頻率分布直方圖(1)頻率分布表的畫(huà)法：，,，、，,極差第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距=%;第二步：分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉

2、右開(kāi)區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間;第三步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖)頻率折，每個(gè)小矩形的面積表小樣本落在該組內(nèi)的頻率知識(shí)點(diǎn)二莖葉圖統(tǒng)計(jì)中一種被用來(lái)表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù)知識(shí)點(diǎn)三樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)(2)中位數(shù)：把 n 個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).aa2+土an 稱(chēng)為 a1,a2,，an這 n 個(gè)數(shù)的平均數(shù).(3)平均數(shù)：把橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示（4）標(biāo)準(zhǔn)差與方差：

3、設(shè)一組數(shù)據(jù) X1,X2,X3,，Xn 的平均數(shù)為 x,則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是s=yn（X1-X）2+（X2X）2+（XnX）2,S2=%（X1-X）2+（X2-X）2+（Xn-X）2.【知識(shí)必備】1 .頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系（1）最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.2 .平均數(shù)、方差的公式推廣一一（1）若數(shù)據(jù) X1,X2,，Xn 的平均數(shù)為 X,那么 mX1+a,mX2+a,mX3+a,，mXn+a 的平均

4、數(shù)是 mX+a.（2）數(shù)據(jù) X1,X2,，Xn的方差為 S2.數(shù)據(jù) X1+a,X2+a,，Xn+a 的方差也為 s2;數(shù)據(jù) aX1,aX2,，aXn的方差為 a2s2.講考點(diǎn)考點(diǎn)一莖葉圖及其應(yīng)用【典例 1】（河北衡水二中 2019 屆調(diào)研）（1）中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)的播出引發(fā)了全民的讀書(shū)熱，某小學(xué)語(yǔ)文老師在班里開(kāi)展了一次詩(shī)詞默寫(xiě)比賽，班里40 名學(xué)生得分?jǐn)?shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.若規(guī)定得分不小于 85 分的學(xué)生得到詩(shī)詞達(dá)人”的稱(chēng)號(hào)，小于 85 分且不小于 70 分的學(xué)生得到詩(shī)詞能手”的稱(chēng)號(hào)，其他學(xué)生得到詩(shī)詞愛(ài)好者”的稱(chēng)號(hào)，根據(jù)該次比賽的成就按照稱(chēng)號(hào)的不同進(jìn)行分層抽樣抽選 10 名學(xué)生，則抽選的學(xué)生中獲得詩(shī)

5、詞達(dá)人”稱(chēng)號(hào)的人數(shù)為（）（2）為比較甲乙兩地某月 11 時(shí)的氣溫情況，隨機(jī)選取該月 5 天 11 時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)（單位：C）制成如圖所示91258001702260225668682457333434449A.2B.4C.5D.6的莖葉圖，已知甲地該月 11 時(shí)的平均氣溫比乙地該月 11 時(shí)的平均氣溫高 1C,則甲地該月 11 時(shí)的平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差為()A.2B.2C.10D.10【方法技巧】3 .莖葉圖的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字，而莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一.(2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏.(3)給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，估計(jì)數(shù)字特征，莖上的數(shù)字由小到大排列，一般重

6、心”下移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較小.4 .利用莖葉圖解題的關(guān)鍵是抓住葉”的分布特征，準(zhǔn)確從中提煉信息.【變式 1】(黑龍江哈爾濱三中 2019 屆模擬)空氣質(zhì)量指數(shù)(AirQualityIndex,簡(jiǎn)稱(chēng) AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照 AQI 大小分為六級(jí)，050 為優(yōu)；51100 為良；101150 為輕度污染；151200 為中度污染；201300 為重度污染；大于 300 為嚴(yán)重污染從某地一環(huán)保人士某年的 AQI 記錄數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取 10 個(gè)，用莖葉圖記錄如下.根據(jù)該統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)此地該年 AQI 大于 100 的天數(shù)約為(該年為 365 天).考點(diǎn)二頻率分布

7、直方圖【典例 2】(山西太原五中 2019 屆模擬)一帶一路”是絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“2 世紀(jì)海上絲綢之路”的簡(jiǎn)稱(chēng).某市為了了解人們對(duì)帶一路”的認(rèn)知程度，對(duì)不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，滿分為 100 分(90 分及以上為認(rèn)知程度高).現(xiàn)從參賽者中抽取了 x 人，按年齡分成 5 組，第一組：20,25),第二組：25,30),第三組：30,35),第四組：35,40),第五組：40,45,得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組乙8q8q有 6 人.求 X；(2)求抽取的 x 人的年齡的中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))；(3)從該市大學(xué)生、軍人、醫(yī)務(wù)人員、工人、個(gè)體戶五種人中用分層抽樣

8、的方法依次抽取 6 人，42 人,36 人，24 人，12 人，分別記為 15 組，從這 5 個(gè)按年齡分的組和 5 個(gè)按職業(yè)分的組中每組各選派 1 人參加知識(shí)競(jìng)賽，分別代表相應(yīng)組的成績(jī)，年齡組中 15 組的成績(jī)分別為 93,96,97,94,90,職業(yè)組中 15 組的成績(jī)分別為 93,98,94,95,90.(i)分別求 5 個(gè)年齡組和 5 個(gè)職業(yè)組成績(jī)的平均數(shù)和方差；(ii)以上述數(shù)據(jù)為依據(jù)，評(píng)價(jià) 5 個(gè)年齡組和 5 個(gè)職業(yè)組對(duì)一帶一路”的認(rèn)知程度，并談?wù)勀愕母邢?【方法技巧】5 .頻率分布直方圖的性質(zhì).一頻率后+(1)小長(zhǎng)方形的面積=組距間而=頻率；(2)各小長(zhǎng)方形的面積之和等于 1;6

9、.要理解并記準(zhǔn)頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的關(guān)系【變式 2】(陜西延安中學(xué) 2019 屆模擬)某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從隨機(jī)調(diào)查了 40 個(gè)用戶，根據(jù)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意評(píng)分，得到 A 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖和 B 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布表A 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖1mHi-411mHi-41距0.035.0.035.Q.Q90Q.Q90。一口2 2肘(L(M)S(L(M)SO405()60708090100405()60708090100滿電度評(píng)分(3)小長(zhǎng)方形的高=組矩所有小長(zhǎng)方形的高的和為1組距.A,B 兩地區(qū)分別圖B 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率

10、分布表滿意度評(píng)分分組50,60)60,70)70,80)80,90)90,100頻數(shù)2814106(1)在圖中作出 B 地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖，并通過(guò)直方圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可);p,RZ中些含由hBZk帖止而玄Zk在古七圖(2)根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶和滿意度分為三個(gè)等級(jí):滿意度評(píng)分低于 70 分70 分至 IJ89 分不低于 90 分滿意度等級(jí)不滿意非常滿意估計(jì)哪個(gè)地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大？說(shuō)明理由考點(diǎn)三樣本的數(shù)字特征【典例 3】【2019 年高考全國(guó)出卷理數(shù)】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試

11、驗(yàn)：將 200 只小鼠隨機(jī)分成 A,B 兩組，每組 100 只，其中 A 組小鼠給服甲離子溶液，B 組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記 C 為事件：乞離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于 5.5”，根據(jù)直方圖得到 P(C)的估計(jì)值為 0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中 a,b 的值；(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).【舉一反三】（2017 全國(guó) I 卷）（1）為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了 n 塊地作 t驗(yàn)田.這 n

12、 塊地的畝產(chǎn)量（單位：kg）分別為 Xi,X2,，xn,下面給出的指標(biāo)中可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是（）s2,則（）A.X=4,s22【方法技巧】1 .平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，而方差、標(biāo)準(zhǔn)差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小，標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定2.用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來(lái)描述總體的數(shù)字特征【變式 3】（浙江學(xué)軍中學(xué) 2019 屆模擬）（1）抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的 5 次訓(xùn)練成績(jī)（單位：環(huán)），結(jié)果如下：運(yùn)動(dòng)員第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次甲8791908993乙8

13、990918892則成績(jī)較為穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏贿\(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為（2）某班男女生各 10 名同學(xué)最近一周平均每天的鍛煉時(shí)間（單位：分鐘）用莖葉圖記錄如下:男生女生456L056688665222628507035假設(shè)每名同學(xué)最近一周平均每天的鍛煉時(shí)間是互相獨(dú)立的男生每天鍛煉的時(shí)間差別小，女生每天鍛煉的時(shí)間差別大；從平均值分析，男生每天鍛煉的時(shí)間比女生多；A.X1,X2,，Xn 的平均數(shù)C.X1,X2,，Xn 的最大值B.X1,X2,，Xn的標(biāo)準(zhǔn)差D.X1,X2,，Xn 的中位數(shù)（2）已知某 7 個(gè)數(shù)的平均數(shù)為 4,方差為2,現(xiàn)加入一個(gè)新數(shù)據(jù)4,此時(shí)這 8 個(gè)數(shù)的平均數(shù)為 X,方差為C.X4,s24,s22男生平均每天鍛煉時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差大于女生平均每天鍛煉時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差;從 10 個(gè)男生中任選一人，平均每天的鍛煉時(shí)間超過(guò) 65 分鐘的概率比同樣條件下女生鍛煉時(shí)間超過(guò)65 分鐘的概率大.其中符合莖葉圖所給數(shù)據(jù)的結(jié)論是（）A.B.C.D.