高等數(shù)學(xué)（2014級版）：2_3 高階導(dǎo)數(shù)

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1、2.3.2 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則2.3.1 高階導(dǎo)數(shù)的概念高階導(dǎo)數(shù)的概念機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.3 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 第二章 2.3.1 高階導(dǎo)數(shù)的概念高階導(dǎo)數(shù)的概念)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例引例：變速直線運(yùn)動機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義.若函數(shù))(xfy 的導(dǎo)數(shù))(xfy可導(dǎo),或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy類似地 , 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù) ,1n階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 n 階導(dǎo)數(shù) ,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(x

2、f的二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) , 記作y )(xf 的導(dǎo)數(shù)為依次類推 ,分別記作則稱機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè),2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232) 1(nnxann依次類推 ,nnany!)(233xa例例1.思考思考: 設(shè), )(為任意常數(shù)xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(問可得機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nx)1 ( ,3xaeay 例例2. 設(shè)求解解:特別有:解解:! ) 1( n規(guī)定 0 ! = 1思考思考:,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)(

3、)(例例3. 設(shè), )1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1 (! ) 1(2)1 (1x,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 設(shè),sin xy 求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(類似可證:xxncos()(cos)()2n)2n機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.3.2 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則都有 n 階導(dǎo)數(shù) , 則)

4、()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C為常數(shù))()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu萊布尼茲萊布尼茲(Leibniz) 公式公式)(xuu 及)(xvv 設(shè)函數(shù)vunn) 1(推導(dǎo) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 vu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 用數(shù)學(xué)歸納法可證萊布尼茲公式萊布尼茲公式成立 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.,xyxe求( )ny方法一：解解:1,x 0,x ( ),0(2)nxn( )( )(1)

5、()()nxnxnyx enx e( )()xnxee()xxxxeneexn方法二：(1),xxxyexeex (1)(2),xxxyexeex (2)(3),xxxyexeex ( )()nxye nx內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 逐階求導(dǎo)法(2) 利用歸納法(3) 間接法 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式(4) 利用萊布尼茲公式高階導(dǎo)數(shù)的求法)(1nxa1)(!) 1(nnxan)(1nxa1)(!nxan如,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)xy1211)()1 (!) 1(2nnnxnyxxxy11123,)1 (!1)(nxnynn1. 如何求下列函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)?xxy1

6、1) 1 (xxy1)2(3解解: 解解: 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P78: 13(1)(3)(5) (6); 14(2)(3)(5)第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: 設(shè))(sin2xfxy 求,y 其中 f 二階可導(dǎo). y yxxfxcos)(sin2)(sin2xf備用題備用題x2)(sin xf2x)(sin xf xcos)cos)(sin() )(sin2(2xxfxxfx)sin)(sin2xxfxx2)(sin xf xcosxxfx22cos)(sin )(sin)sincos4()(sin22xfxxxxxf)(sincos22xfxx 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束