《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 2.6 曲線與方程 2.6.3 曲線的交點(diǎn)講義(含解析)蘇教版選修2-1.doc》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 2.6 曲線與方程 2.6.3 曲線的交點(diǎn)講義(含解析)蘇教版選修2-1.doc(13頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
2.6.3 曲線的交點(diǎn)
給出下列兩組直線,回答問(wèn)題.
(1)l1:x+2y=0,l2:2x+4y-3=0;
(2)l1:2x-y=0,l2:3x+y-7=0.
問(wèn)題1:兩組直線的位置關(guān)系.
提示:(1)平行;(2)相交.
問(wèn)題2:如何判斷它們的位置關(guān)系?能否用這種方法來(lái)判定兩條曲線的位置關(guān)系?
提示:兩直線位置關(guān)系的判斷可有兩種方法:一是利用斜率;二是兩方程聯(lián)立,利用方程的解來(lái)判定.第二種方法可以用來(lái)判定兩曲線的位置關(guān)系.
問(wèn)題3:如何求兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo).
提示:把表示曲線的方程聯(lián)立,解方程組,其解即為曲線交點(diǎn)的坐標(biāo).
已知曲線C1:f1(x,y)=0和C2:f2(x,y)=0.
(1)P0(x0,y0)是C1和C2的公共點(diǎn)?
(2)求兩曲線的交點(diǎn),就是求方程組的實(shí)數(shù)解.
(3)方程組有幾組不同的實(shí)數(shù)解,兩條曲線就有幾個(gè)公共點(diǎn);方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解,兩條曲線就沒(méi)有公共點(diǎn).
直線與圓錐曲線聯(lián)立,消元得方程ax2+bx+c=0
方程特征
交點(diǎn)個(gè)數(shù)
位置關(guān)系
直線與橢圓
a≠0,Δ>0
2
相交
a≠0,Δ=0
1
相切
a≠0,Δ<0
0
相離
直線與雙曲線
a=0
1
直線與雙曲線的漸近線平行,兩者相交
a≠0,Δ>0
2
相交
a≠0,Δ=0
1
相切
a≠0,Δ<0
0
相離
直線與拋物線
a=0
1
直線與拋物線的對(duì)稱軸平行,兩者相交
a≠0,Δ>0
2
相交
a≠0,Δ=0
1
相切
a≠0,Δ<0
0
相離
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
[例1] 已知直線l:kx-y+2=0,雙曲線C:x2-4y2=4,當(dāng)k為何值時(shí):
(1)l與C無(wú)公共點(diǎn);
(2)l與C有惟一公共點(diǎn);
(3)l與C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).
[思路點(diǎn)撥] 直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是直線與圓錐曲線方程所組成的方程組解的個(gè)數(shù),從而問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為由方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)確定參數(shù)k的取值.
[精解詳析] 將直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y,得
(1-4k2)x2-16kx-20=0.①
當(dāng)1-4k2≠0時(shí),
有Δ=(-16k)2-4(1-4k2)(-20)=16(5-4k2).
(1)當(dāng)1-4k2≠0且Δ<0,即k<-或k>時(shí),l與C無(wú)公共點(diǎn).
(2)當(dāng)1-4k2=0,即k=時(shí),顯然方程①只有一解.
當(dāng)1-4k2≠0,Δ=0,即k=時(shí),方程①只有一解.
故當(dāng)k=或k=時(shí),l與C有惟一公共點(diǎn).
(3)當(dāng)1-4k2≠0,且Δ>0時(shí),即-<k<,且k≠時(shí),方程有兩解,l與C有兩個(gè)公共點(diǎn).
[一點(diǎn)通] 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,可以通過(guò)討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)來(lái)確定,通常消去方程組中變量y(或x)得到關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程,考慮該一元二次方程的判別式Δ,則有:
Δ>0?直線與圓錐曲線相交于兩個(gè)點(diǎn);
Δ=0?直線與圓錐曲線相交于一個(gè)點(diǎn);
Δ<0?直線與圓錐曲線無(wú)交點(diǎn).
1.對(duì)不同的實(shí)數(shù)值m,討論直線y=x+m與橢圓+y2=1的位置關(guān)系.
解:由
消去y得+(x+m)2=1,
整理得5x2+8mx+4m2-4=0.
Δ=(8m)2-45(4m2-4)=16(5-m2).
當(dāng)-
0,
直線與橢圓相交;
當(dāng)m=-或m=時(shí),Δ=0,
直線與橢圓相切;
當(dāng)m<-或m>時(shí),Δ<0,
直線與橢圓相離.
2.已知拋物線的方程為y2=4x,直線l過(guò)定點(diǎn)P(-2,1),斜率為k,k為何值時(shí),直線l與拋物線y2=4x只有一個(gè)公共點(diǎn);有兩個(gè)公共點(diǎn);沒(méi)有公共點(diǎn)?
解:(1)當(dāng)k=0時(shí),直線l與x軸平行,易知與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn).
(2)當(dāng)k≠0時(shí),聯(lián)立
消去x,得ky2-4y+4(2k+1)=0,
Δ=16-4k4(2k+1).
①當(dāng)Δ=0,即k=-1或時(shí),直線l與拋物線相切,只有一個(gè)公共點(diǎn);
②當(dāng)Δ>0,即-1時(shí),直線l與拋物線相離,沒(méi)有公共點(diǎn).
綜上:當(dāng)k=-1或或0時(shí),
直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)-1時(shí),直線l與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn).
直線被圓錐曲線截得的弦長(zhǎng)問(wèn)題
[例2] 已知斜率為2的直線經(jīng)過(guò)橢圓+=1的右焦點(diǎn)F1,與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),求弦AB的長(zhǎng).
[思路點(diǎn)撥] 先求出直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn),再利用兩點(diǎn)間的距離公式,也可以從公式上考查A、B坐標(biāo)間的聯(lián)系,進(jìn)行整體運(yùn)算.
[精解詳析] 法一:∵直線l過(guò)橢圓+=1的右焦點(diǎn)F1(1,0),又直線的斜率為2.
∴直線l的方程為y=2(x-1),即2x-y-2=0.
由方程組
得交點(diǎn)A(0,-2),B.
則AB=
= = =.
法二:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則A、B的坐標(biāo)為方程組的公共解.
對(duì)方程組消去y,得3x2-5x=0.
則x1+x2=,x1x2=0.
∴AB=
=
=
= =.
法三:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立
消去y,得3x2-5x=0,
則x1,x2是方程3x2-5x=0的兩根.
∴x1+x2=.
由圓錐曲線的統(tǒng)一定義,得AF1=(5-x1),
F1B=(5-x2),
則AB=AF1+F1B=[10-(x1+x2)]==.
[一點(diǎn)通]
弦長(zhǎng)的求法:
(1)求出端點(diǎn)坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.
(2)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,利用變形公式
l=或
l=求解.
(3)利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解.
3.過(guò)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)作傾斜角為45的直線,則被拋物線截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_______.
解析:由拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為(2,0),
得直線的方程為y=x-2,代入y2=8x得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0.
∴x1+x2=12,弦長(zhǎng)=x1+x2+p=12+4=16.
答案:16
4.直線y=2x-3與雙曲線-y2=1相交于兩點(diǎn)A、B,則AB=________.
解析:設(shè)直線y=2x-3與雙曲線-y2=1兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2).
由得7x2-24x+20=0,
∴x1+x2=,x1x2=,
∴|AB|=|x1-x2|===.
答案:
5.如圖,橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,一條直線l經(jīng)過(guò)F1與橢圓交于A,B兩點(diǎn),若直線l的傾斜角為45,求△ABF2的面積.
解:由橢圓的方程+=1知,a=4,b=3,
∴c==.
由c=知F1(-,0),F(xiàn)2(,0),
又直線l的斜率k=tan 45=1,
∴直線l的方程為x-y+=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則由消去x,整理得25y2-18 y-81=0,
∴y1+y2=,y1y2=-.
∴|y1-y2|= = =,
∴S△ABF2=|F1F2||y1-y2|=2 =.
兩曲線相交的綜合問(wèn)題
[例3] 已知橢圓+=1,過(guò)點(diǎn)P(2,1)作一弦,使弦在這點(diǎn)被平分,求此弦所在直線方程.
[思路點(diǎn)撥] 設(shè)出直線的斜率,聯(lián)立直線與橢圓方程,消去y,得關(guān)于x的方程,用根與系數(shù)的關(guān)系和弦中點(diǎn)坐標(biāo),得斜率的方程,求解即可,也可用“點(diǎn)差法”求解.
[精解詳析] 法一:設(shè)所求直線的方程為
y-1=k(x-2),
代入橢圓方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.
又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),
則x1,x2是上面的方程的兩個(gè)根,
所以x1+x2=,
因?yàn)镻為弦AB的中點(diǎn),
所以2==,
解得k=-,所以所求直線的方程為x+2y-4=0.
法二:設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),
因?yàn)镻為弦AB的中點(diǎn),所以x1+x2=4,y1+y2=2,
又因?yàn)锳,B在橢圓上,
所以x+4y=16,x+4y=16,
兩式相減,得(x-x)+4(y-y)=0,
即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,
所以==-,即kAB=-.
所以所求直線的方程為y-1=-(x-2),
即x+2y-4=0.
[一點(diǎn)通] 解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí),一般采用“設(shè)而不求”的思想,將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)成方程組,轉(zhuǎn)化為一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,把已知條件轉(zhuǎn)化為弦的端點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系求解,在涉及“中點(diǎn)弦”問(wèn)題時(shí),“點(diǎn)差法”是最常用的方法.
6.已知過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn).
求證:(1)x1x2為定值;(2)+為定值.
證明:(1)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)為F,
當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為
y=k(x-)(k≠0).
由消去y,
得k2x2-p(k2+2)x+=0.
由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1x2=(定值).
當(dāng)AB⊥x軸時(shí),x1=x2=,x1x2=也成立.
(2)由拋物線的定義知,F(xiàn)A=x1+,F(xiàn)B=x2+.
+=+
=
=
==(定值).
7.設(shè)雙曲線C:-y2=1(a>0)與直線l:x+y=1相交于兩個(gè)不同點(diǎn)A,B.
(1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍;
(2)設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P,若=,求a的值.
解:(1)將y=-x+1代入雙曲線-y2=1(a>0)中得(1-a2).x2+2a2x-2a2=0.
所以
解得0<a<,且a≠1.
又雙曲線的離心率e==,
所以e>,且e≠.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1),因?yàn)椋剑?
所以(x1,y1-1)=(x2,y2-1).
由此得x1=x2.
由于x1,x2是方程(1-a2)x2+2a2x-2a2=0的兩根,且1-a2≠0,所以x2=-,x=-.
消去x2,得-=.由a>0,解得a=.
8.(陜西高考)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得弦MN的長(zhǎng)為8.
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程;
(2)已知點(diǎn)B(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若x軸是∠PBQ的角平分線,證明:直線l過(guò)定點(diǎn).
解: (1)如圖,設(shè)動(dòng)圓圓心O1(x,y),由題意得,O1A=O1M.
當(dāng)O1不在y軸上時(shí),過(guò)O1作O1H⊥MN交MN于H,則H是MN的中點(diǎn),
∴O1M= ,
又O1A= ,
∴= ,
化簡(jiǎn)得y2=8x(x≠0).
當(dāng)O1在y軸上時(shí),O1與O重合,點(diǎn)O1的坐標(biāo)(0,0)也滿足方程y2=8x,
∴動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為y2=8x.
(2)證明:如圖,由題意,設(shè)直線l的方程為y=kx+b(k≠0),
P(x1,y1),Q(x2,y2),
將y=kx+b代入y2=8x中,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0,
其中Δ=-32kb+64>0.
由根與系數(shù)的關(guān)系得,x1+x2=,①
x1x2=,②
因?yàn)閤軸是∠PBQ的角平分線,所以=-,
即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,
(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,
2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③
將①②代入③,得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,
∴k=-b,此時(shí)Δ>0,
∴直線l的方程為y=k(x-1),
∴直線l過(guò)定點(diǎn)(1,0).
討論直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí),先聯(lián)立方程,消去x或y,得出一個(gè)一元二次方程,通過(guò)研究判別式Δ的情況,研究位置關(guān)系,值得注意的是,若是直線與圓或橢圓時(shí),無(wú)需討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為零(一定不為零),直接考察Δ的情況即可.若是直線與雙曲線或拋物線時(shí),則需討論二次項(xiàng)系數(shù)等于零和不等于零兩種情況.這是特別要注意的問(wèn)題.同時(shí)還要注意直線斜率不存在時(shí)的情形.
[對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(十七)]
1.曲線x2-xy-y2-3x+4y-4=0與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是________.
解析:當(dāng)y=0時(shí),得x2-3x-4=0,
解得x1=4或x2=-1.
所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)和(-1,0).
答案:(4,0),(-1,0)
2.曲線x2+y2=4與曲線x2+=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.
解析:由數(shù)形結(jié)合可知兩曲線有4個(gè)交點(diǎn).
答案:4
3.設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q,若過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍是________.
解析:由y2=8x,得準(zhǔn)線方程為x=-2.
則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0).
設(shè)直線y=k(x+2).
由得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.
若直線l與y2=8x有公共點(diǎn),
則Δ=(4k2-8)2-16k4≥0.
解得-1≤k≤1.
答案:[-1,1]
4.曲線y=x2-x+2和y=x+m有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的范圍是________.
解析:由
消去y,得x2-2x+2-m=0.
若有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),則Δ=4-4(2-m)>0,
∴m>1.
答案:(1,+∞)
5.如果橢圓+=1的一條弦被點(diǎn)(4,2)平分,那么這條弦所在直線的方程是
________.
解析:設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2).
∵P(4,2)為AB中點(diǎn),∴x1+x2=8,y1+y2=4.
又∵A,B在橢圓上,∴x+4y=36,x+4y=36.
兩式相減得(x-x)+4(y-y)=0,
即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,
∴==-.
即直線l的斜率為-.
∴所求直線方程為x+2y-8=0.
答案:x+2y-8=0
6.已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線l與該橢圓交于M、N兩點(diǎn),MN的中點(diǎn)為A(2,-1),求直線l的方程.
解:(1)由題意2a=4,
∴a=2,又e===,
∴c=.
∴b2=a2-c2=8-3=5.
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
(2)∵點(diǎn)A在橢圓內(nèi)部,
∴過(guò)A點(diǎn)的直線必與橢圓有兩交點(diǎn).
當(dāng)直線斜率不存在時(shí),A點(diǎn)不可能為弦的中點(diǎn),故可設(shè)直線方程為y+1=k(x-2),它與橢圓的交點(diǎn)分別為M(x1,y1),N(x2,y2),
則消去y得
(8k2+5)x2-16k(2k+1)x+8[(2k+1)2-5]=0,
∴x1+x2=,
又∵A(2,-1)為弦MN的中點(diǎn),
∴x1+x2=4,即=4,
∴k=,從而直線方程為5x-4y-14=0.
7.已知橢圓C1與拋物線C2的焦點(diǎn)均在x軸上,C1的中心和C2的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O,從每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄于下表中:
x
3
-2
4
y
-2
0
-4
(1)求C1,C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)請(qǐng)問(wèn)是否存在直線l滿足條件:①過(guò)C2的焦點(diǎn)F;②與C1交于不同兩點(diǎn)M,N且滿足⊥?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
解:(1)設(shè)拋物線C2:y2=2px(p≠0),則有=2p(x≠0),據(jù)此驗(yàn)證4個(gè)點(diǎn)知(3,-2),(4,-4)在拋物線上,易求C2:y2=4x.
設(shè)C1:+=1(a>b>0),把點(diǎn)(-2,0),代入得解得
∴C1的方程為+y2=1.
(2)容易驗(yàn)證直線l的斜率不存在時(shí),不滿足題意;
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),假設(shè)存在直線l過(guò)拋物線焦點(diǎn)F(1,0),設(shè)其方程為y=k(x-1),與C1的交點(diǎn)坐標(biāo)為M(x1,y1),N(x2,y2).
由消去y得,
(1+4k2)x2-8k2x+4(k2-1)=0,
于是x1+x2=,x1x2=. ?、?
所以y1y2=k(x1-1)k(x2-1)
=k2[x1x2-(x1+x2)+1]
=k2=-. ②
由⊥,即=0,得x1x2+y1y2=0. ③
將①②代入③式得,-==0,解得k=2.
所以存在直線l滿足條件,且l的方程為:y=2x-2或y=-2x+2.
8.已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為3,最小值為1.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn).求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
解:(1)由題意設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0).
由題意得a+c=3,a-c=1,
∴a=2,c=1,b2=3.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
(2)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由得,
(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,
∴Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,
即3+4k2-m2>0.
∴x1+x2=-,x1x2=.
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=.
∵以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D(2,0),
kADkBD=-1,
∴=-1,化簡(jiǎn)得
y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,
即+++4=0,
化簡(jiǎn)得7m2+16mk+4k2=0,
解得m1=-2k,m2=-,且滿足3+4k2-m2>0.
當(dāng)m=-2k時(shí),l:y=k(x-2),直線過(guò)定點(diǎn)(2,0),與已知矛盾;
當(dāng)m=-時(shí),l:y=k,直線過(guò)定點(diǎn).
綜上可知,直線l過(guò)定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為.
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