2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 選修2-1 3-2-3空間向量與空間角 3-2-4空間向量與空間距離 教案.doc

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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 選修2-1 3-2-3空間向量與空間角 3-2-4空間向量與空間距離 教案 （一）教學(xué)目標(biāo) 1.知識(shí)與技能：掌握空間立體幾何中用向量方法求角度問(wèn)題 2.過(guò)程與方法：通過(guò)分析、推導(dǎo)讓學(xué)生掌握空間立體幾何中用向量方法求角度問(wèn)題。 3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的探究思考，廣泛參與，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，會(huì)用空間想像思維解決生活中實(shí)際問(wèn)題。 （二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：掌握空間立體幾何中用向量方法求角度問(wèn)題 難點(diǎn)：掌握空間立體幾何中用向量方法求角度問(wèn)題 （三）教學(xué)過(guò)程 活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情景、引入課題 問(wèn)題1：在空間中，用空間向量解決立體幾何的步驟？　　 問(wèn)題2：空間中的距離有多少種？用空間向量如何解決？ 今天我們將在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間向量來(lái)表示并進(jìn)行解決一些角度的應(yīng)用． 點(diǎn)題：今天我們學(xué)習(xí)“用空間向量方法求角度問(wèn)題” 活動(dòng)二：師生交流、進(jìn)入新知 問(wèn)題3：回憶立體幾何中有那些空間角？求空間角有那些步驟？ 1 異面直線所成的角 范圍 0＜θ≤90方法 ①平移法；②補(bǔ)形法 2 直線與平面所成的角 范圍 0≤θ≤90方法 關(guān)鍵是作垂線，找射影 3 二面角方法 ①定義法；②三垂線定理及其逆定理；③垂面法 4、空間角的計(jì)算步驟 一作、二證、三算 問(wèn)題4：想一想平面向量中兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義呢？ ab＝|a||b|cos＜a,b＞或cos＜a,b＞＝，可求兩個(gè)向量的數(shù)量積或夾角問(wèn)題； 新課：三種空間角的向量法計(jì)算公式： ⑴線線角：異面直線所成的角：； ⑵線面角：直線與平面(法向量)所成的角：； ⑶二面角：銳二面角：，其中為兩個(gè)面的法向量。 活動(dòng)三：合作學(xué)習(xí)、探究新知 利用向量知識(shí)求線線角，線面角，二面角的大小。 （1）異面直線、所成的角：在空間中任取一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O分別引∥，∥，則，所成的銳角（或直角）叫做兩條異面直線所成的角。兩條異面直線所成角的范圍：。 求法：①把兩條異面直線中的一條放入一個(gè)平面，另一條與這個(gè)平面有交點(diǎn)，過(guò)這個(gè)交點(diǎn)在平面內(nèi)作第一條的平行線，則這兩條直線所成的角為兩條異面直線所成的角。然后解三角形得到。 ②運(yùn)用向量：在直線上取兩點(diǎn)A、B，在直線上取兩點(diǎn)C、D，若直線與的夾角為，則。 例1、如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC與BD相交于點(diǎn)O，且頂點(diǎn)P在底面上的射影恰為O點(diǎn)，又BO=2,PO=,PB⊥PD.求異面直接PD與BC所成角的余弦值； 解法一：平面， ，又， 由平面幾何知識(shí)得： （Ⅰ）過(guò)做交于于，連結(jié)，則或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角， 四邊形是等腰梯形，，，，又，四邊形是平行四邊形。 ，是的中點(diǎn)，且，又，為直角三角形， 在中，由余弦定理得 故異面直線PD與所成的角的余弦值為 解法二： 平面， ，又，，由平面幾何知識(shí)得： 以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，， （1）， ， 。若與所成的角為，則。故直線與所成的角的余弦值為 （2）直線與平面角：斜線與平面所成的角就是斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角。 直線與平面所成角的范圍為：。 求法：①求斜線與平面所成的角關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，即確定過(guò)斜線上一點(diǎn)向平面所作垂線的垂足，這時(shí)經(jīng)常要用面面垂直來(lái)確定垂足的位置。若垂足的位置難以確定，可考慮用三棱錐體積等量來(lái)求出斜線上一點(diǎn)到平面的距離。 ②運(yùn)用向量：設(shè)是平面的法向量，A、B是直線上的點(diǎn)，如果直線與平面所成的角為，則。 例2：如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點(diǎn)，且AC=BC=，∠VDC=。當(dāng)角θ變化時(shí)，求直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍； A D B C V x y z 解：（Ⅰ）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， 設(shè)直線與平面所成的角為，平面的一個(gè)法向量為，則由． 得 可取，又，于是， ，，．又，．即直線與平面所成角的取值范圍為． （3）二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的幾何圖形，叫二面角。二面角的范圍為。 求二面角大?。?①找出二面角的平面角，然后利用解三角形來(lái)求出。②利用面積射影定理。 ③運(yùn)用向量：從相交棱上一點(diǎn)（或兩點(diǎn)）出發(fā)，找與相交棱方向向量垂直的兩個(gè)向量、，則、這兩個(gè)向量所成的角的大小等于二面角的大小。 A B C D E A1 B1 C1 例3：如圖，在直三棱柱中，AB＝BC，D、E分別為BB1、AC1的中點(diǎn)．設(shè)AA1＝AC＝AB，求二面角A1－AD－C1的大小． 解：（Ⅰ）如圖，建立直角坐標(biāo)系O－xyz，其中原點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)． A B C D E A1 B1 C1 O z x y 設(shè)，則，，，，設(shè)分的比為，則，而，，，由，，所以，; 又，，。 由， ，知，即二面角A1－AD－C1的大小為。 活動(dòng)四：歸納整理、提高認(rèn)識(shí) 1．在空間中，角度有幾種情況？　　 2．如何用空間向量求各種角度？ 3.2.4空間向量與空間距離 （一）教學(xué)目標(biāo) 1.知識(shí)與技能：掌握空間立體幾何中用向量方法求距離問(wèn)題。 2.過(guò)程與方法：通過(guò)分析、推導(dǎo)讓學(xué)生掌握空間立體幾何中用向量方法求距離問(wèn)題。 3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的探究思考，廣泛參與，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，會(huì)用空間想像思維解決生活中實(shí)際問(wèn)題。 （二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：掌握空間立體幾何中用向量方法求距離問(wèn)題 難點(diǎn)：掌握空間立體幾何中用向量方法求距離問(wèn)題 （三）教學(xué)過(guò)程 活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情景、引入課題 問(wèn)題1：在空間中，如何表示一個(gè)點(diǎn)？一條直線？一個(gè)平面？　　 問(wèn)題2：如何用直線的方向向量與平面的法向量判斷直線與平面的位置關(guān)系？ 今天我們將在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間向量來(lái)表示并進(jìn)行解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用． 點(diǎn)題：今天我們學(xué)習(xí)“用空間向量方法求線段長(zhǎng)度” 活動(dòng)二：師生交流、進(jìn)入新知 問(wèn)題4：類(lèi)比平面向量解決平面幾何的步驟，說(shuō)說(shuō)用空間向量解決立體幾何的步驟？ 1、用向量解決立體幾何的三步曲： ①建立圖形空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題 ②通過(guò)向量運(yùn)算研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的夾角和距離問(wèn)題 ③把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。 問(wèn)題5：空間中點(diǎn)、線、面有那些位置關(guān)系？ 2.空間中的距離主要指以下七種 (1)兩點(diǎn)之間的距離 (2)點(diǎn)到直線的距離 (3)點(diǎn)到平面的距離 (4)兩條平行線間的距離 (5)兩條異面直線間的距離 (6)平面的平行直線與平面之間的距離 (7)兩個(gè)平行平面之間的距離 七種距離都是指它們所在的兩個(gè)點(diǎn)集之間所含兩點(diǎn)的距離中最小的距離 七種距離之間有密切聯(lián)系，有些可以相互轉(zhuǎn)化，如兩條平行線的距離可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離，平行線面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離 在七種距離中，求點(diǎn)到平面的距離是重點(diǎn)，求兩條異面直線間的距離是難點(diǎn) 求點(diǎn)到平面的距離 (1) 直接法，即直接由點(diǎn)作垂線，求垂線段的長(zhǎng) (2) 轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離 (3) 體積法 (4) 向量法 求異面直線的距離 (1)定義法，即求公垂線段的長(zhǎng) (2)轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離 (3)函數(shù)極值法，依據(jù)是兩條異面直線的距離是分別在兩條異面直線上兩點(diǎn)間距離中最小的 2.用向量法求距離的公式： ⑴異面直線之間的距離：，其中。 ⑵直線與平面之間的距離：，其中。是平面的法向量。 ⑶兩平行平面之間的距離：，其中。是平面的法向量。 ⑷點(diǎn)A到平面的距離：，其中，是平面的法向量。 另法：點(diǎn)平面則 ⑸點(diǎn)A到直線的距離： ，其中，是直線的方向向量。 ⑹兩平行直線之間的距離： ，其中，是的方向向量。 活動(dòng)三：合作學(xué)習(xí)、探究新知 例1：如圖四棱柱ABCD-A＇B＇C＇D＇中以A為頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等,且它們彼此的夾角都是60求對(duì)角線AC＇長(zhǎng)和棱長(zhǎng)的關(guān)系 解：設(shè)AB=AA1=AD=1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60 （化為向量問(wèn)題）根據(jù)向量的加法法則： （進(jìn)行向量運(yùn)算） （回到圖形問(wèn)題） 例2：把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起成直二面角，點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是原正方形的中心，求 (1)EF的長(zhǎng)；(2)折起后∠EOF的大小 解 如圖，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz, 設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為a, 則A(0，－a,0),B(a,0,0),C(0, a,0), D(0,0, a),E(0,－a, a),F(a, a,0) ∴∠EOF=120 活動(dòng)四：歸納整理、提高認(rèn)識(shí) 1．在空間中，距離有幾種情況？　　 2．如何用直線的方向向量與平面的法向量判斷求距離？