2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題23 基本不等式及不等式應(yīng)用 理.doc

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專題23 基本不等式及不等式應(yīng)用 一、 考綱要求： 1.了解基本不等式的證明過(guò)程. 2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題． 二、概念掌握及解題上的注意點(diǎn)： 1.利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式解決條件最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或積為定值，主要有兩種思路： (1))對(duì)條件使用基本不等式，建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解.常用的方法有：拆項(xiàng)法、變系數(shù)法、湊因子法、換元法、整體代換法等. (2))條件變形，進(jìn)行“1”的代換求目標(biāo)函數(shù)最值. 2.求解含參數(shù)不等式的求解策略 (1))觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍. (2))在處理含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，往往將已知不等式看作關(guān)于參數(shù)的不等式，體現(xiàn)了主元與次元的轉(zhuǎn)化. 三、高考考題題例分析： 例1.（2018天津卷） 已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，則2a+的最小值為　?。? 【答案】 例2.（2018江蘇卷）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠ABC=120，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為　?。? 【答案】9 【解析】：由題意得acsin120=asin60+csin60， 即ac=a+c， 得+=1， 得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9， 當(dāng)且僅當(dāng)=，即c=2a時(shí)，取等號(hào)， 故答案為：9． 例3.(2017山東卷)若，且，則下列不等式成立的是 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 例4.(2017天津卷)若，，則的最小值為_(kāi)__________. 【答案】4 【解析】: ，（前一個(gè)等號(hào)成立條件是，后一個(gè)等號(hào)成立的條件是，兩個(gè)等號(hào)可以同時(shí)取得，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）. 例5.( 2017江蘇卷)某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸，每次購(gòu)買噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬(wàn)元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)之和最小,則的值是 . 【答案】30 【解析】:總費(fèi)用，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立. 例6.(2015高考陜西卷)設(shè)，若，，，則下列關(guān)系式中正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 例7.( 2015高考四川卷)如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則mn的最大值為（ ） （A）16 （B）18 （C）25 （D） 【答案】B 【解析】:時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為.據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，即..由且得.當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，據(jù)題意得，即..由且得，故應(yīng)舍去.要使得取得最大值，應(yīng)有.所以，所以最大值為18.選B.. 基本不等式練習(xí) 一、選擇題 1．“x≥1”是“x＋≥2”的 (　　) A．充分不必要條件　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A　 【解析】:x＋≥2?x＞0，所以“x≥1”是“x＋≥2”的充分不必要條件，故選A． 2．設(shè)x＞0，y＞0，且x＋y＝18，則xy的最大值為 (　　) A．80　　　　　　 B．77 C．81 D．82 【答案】C 【解析】:∵x＞0，y＞0，∴≥，即xy≤＝81，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝9時(shí)，(xy)max＝81. 3．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，則f(x)有 (　　) A．最大值0 B．最小值0 C．最大值－4 D．最小值－4 【答案】C　 4．若函數(shù)f(x)＝x＋(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于 (　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 【答案】C 【解析】:當(dāng)x>2時(shí)，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝(x>2)，即x＝3時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)f(x)取得最小值時(shí)，x＝3，即a＝3，選C． 5．已知x，y＞0且x＋4y＝1，則＋的最小值為 (　　) A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】:∵x＋4y＝1(x，y＞0)，∴＋＝＋＝5＋≥5＋2＝5＋4＝9. 6．已知a＞0，b＞0，則的最小值為 (　　) A．　　　　　 B．1 C．2 D．4 【答案】D　 7．已知x＞1，y＞1，且lg x,2，lg y成等差數(shù)列，則x＋y有 (　　) A．最小值20 B．最小值200 C．最大值20 D．最大值200 【答案】B 【解析】:由題意得22＝lg x＋lg y＝lg(xy)，所以xy＝10 000，則x＋y≥2＝200，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝100時(shí)，等號(hào)成立，所以x＋y的有最小值200，故選B. 8．設(shè)a＞0，若關(guān)于x的不等式x＋≥5在(1，＋∞)上恒成立，則a的最小值為 (　　) A．16 B．9 C．4 D．2 【答案】C 【解析】:在(1，＋∞)上，x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝2＋1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1＋時(shí)取等號(hào))，由題意知2＋1≥5.所以2≥4，≥2，a≥4. 9.　要制作一個(gè)容積為4 m3，高為1 m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器．已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是 (　　) A．80元 B．120元 C．160元 D．240元 【答案】C 【解析】：設(shè)底面相鄰兩邊的邊長(zhǎng)分別為x m，y m，總造價(jià)為T元，則xy1＝4?xy＝4. T＝420＋(2x＋2y)110＝80＋20(x＋y)≥80＋202＝80＋204＝160(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào))． 故該容器的最低總造價(jià)是160元． 10．某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元．若每批生產(chǎn)x件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元．為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品 (　　) A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 【答案】B　 11.若對(duì)任意x＞0，≤a恒成立，則a的取值范圍是 (　　) A．a(chǎn)≥ B．a(chǎn)＞ C．a(chǎn)＜ D．a(chǎn)≤ 【答案】A 【解析】:∵對(duì)任意x＞0，≤a恒成立， ∴對(duì)x∈(0，＋∞)，a≥max， 而對(duì)x∈(0，＋∞)，＝≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)等號(hào)成立，∴a≥. 12．正數(shù)a，b滿足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (　　) A．[3，＋∞) B．(－∞，3] C．(－∞，6] D．[6，＋∞) 【答案】D 二、填空題 13．正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是________． 【答案】[9，＋∞)　 【解析】:∵a，b是正數(shù)，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3， ∴ab－2－3≥0， ∴(＋1)(－3)≥0，∴≤－1(舍去)或≥3. 即ab≥9. 14.已知正數(shù)x，y滿足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最小值為_(kāi)_______. 【答案】2　 【解析】:依題意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)取等號(hào))，即的最大值為2.又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值為2. 15．某公司購(gòu)買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系為y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，則每臺(tái)機(jī)器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤(rùn)的最大值是________萬(wàn)元. 【答案】8　 【解析】:年平均利潤(rùn)為＝－x－＋18 ＝－＋18， ∵x＋≥2＝10， ∴＝18－≤18－10＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝， 即x＝5時(shí)，取等號(hào)． 16．已知點(diǎn)P(a，b)在函數(shù)y＝上，且a＞1，b＞1，則aln b的最大值為_(kāi)_______． 【答案】e 【解析】:　由點(diǎn)P(a，b)在函數(shù)y＝上，得ab＝e2，則ln a＋ln b＝2，又a＞1，b＞1，則ln a＞0，ln b＞0.令aln b＝t，t＞1，則ln t＝ln aln b≤＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝e時(shí)，取等號(hào)，所以1＜t≤e，所以aln b的最大值為e. 三、解答題 17．(1)當(dāng)x<時(shí)，求函數(shù)y＝x＋的最大值； (2)設(shè)00， ∴y＝＝≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2－x，即x＝1時(shí)取等號(hào)， ∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y＝的最大值為. 18．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 【答案】(1) 64， (2)18 【解析】:　(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 又x>0，y>0， 則1＝＋≥2 ＝，得xy≥64， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝16且y＝4時(shí)，等號(hào)成立． 所以xy的最小值為64. 19．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某旅游城市在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)(以30天計(jì))，第t天(1≤t≤30，t∈N*)的旅游人數(shù)f(t)(萬(wàn)人)近似地滿足f(t)＝4＋，而人均消費(fèi)g(t)(元)近似地滿足g(t)＝120－|t－20|. (1)求該城市的旅游日收益W(t)(萬(wàn)元)與時(shí)間t(1≤t≤30，t∈N*)的函數(shù)關(guān)系式； (2)求該城市旅游日收益的最小值. 【答案】(1) W(t) ＝ (2) W(t)的最小值為441萬(wàn)元． 【解析】:　(1)W(t)＝f(t)g(t)＝(120－|t－20|) ＝ (2)當(dāng)t∈[1,20]時(shí)，401＋4t＋≥401＋2＝441(t＝5時(shí)取最小值)． 當(dāng)t∈(20,30]時(shí)，因?yàn)閃(t)＝559＋－4t遞減， 所以t＝30時(shí)，W(t)有最小值W(30)＝443， 所以t∈[1,30]時(shí)，W(t)的最小值為441萬(wàn)元．