2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1 周期現(xiàn)象 2 角的概念的推廣學案 北師大版必修4.doc
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1 周期現(xiàn)象 2 角的概念的推廣 學習目標 1.了解現(xiàn)實生活中的周期現(xiàn)象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握終邊相同的角的含義及其表示. 知識點一 周期現(xiàn)象 思考 “鐘表上的時針每經(jīng)過12小時運行一周，分針每經(jīng)過1小時運行一周，秒針每經(jīng)過1分鐘運行一周.”這樣的現(xiàn)象，具有怎樣的屬性？ 答案 周而復始，重復出現(xiàn). 梳理 (1)以相同間隔重復出現(xiàn)的現(xiàn)象叫作周期現(xiàn)象. (2)要判斷一種現(xiàn)象是否為周期現(xiàn)象，關(guān)鍵是看每隔一段時間這種現(xiàn)象是否會重復出現(xiàn)，若出現(xiàn)，則為周期現(xiàn)象；否則，不是周期現(xiàn)象. 知識點二 角的相關(guān)概念 思考1 將射線OA繞著點O旋轉(zhuǎn)到OB位置，有幾種旋轉(zhuǎn)方向？ 答案 有順時針和逆時針兩種旋轉(zhuǎn)方向. 思考2 如果一個角的始邊與終邊重合，那么這個角一定是零角嗎？ 答案 不一定，若角的終邊未作旋轉(zhuǎn)，則這個角是零角.若角的終邊作了旋轉(zhuǎn)，則這個角就不是零角. 梳理 (1)角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形. (2)角的分類：按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類： 類型 定義 圖示 正角 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 負角 按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 零角 一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個零角 知識點三 象限角 思考 把角的頂點放在平面直角坐標系的原點，角的始邊與x軸的非負半軸重合，旋轉(zhuǎn)該角，則其終邊(除端點外)可能落在什么位置？ 答案 終邊可能落在坐標軸上或四個象限內(nèi). 梳理 在直角坐標系內(nèi)，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合. 象限角：終邊在第幾象限就是第幾象限角； 軸線角：終邊落在坐標軸上的角. 知識點四 終邊相同的角 思考1 假設(shè)60的終邊是OB，那么－660，420的終邊與60的終邊有什么關(guān)系，它們與60分別相差多少？ 答案 它們的終邊相同.－660＝60－2360，420＝60＋360，故它們與60分別相隔了2個周角和1個周角. 思考2 如何表示與60終邊相同的角？ 答案 60＋k360(k∈Z). 梳理 終邊相同角的表示 一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k360，k∈Z}， 即任何一個與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與周角的整數(shù)倍的和. 1.終邊與始邊重合的角是零角.( ) 提示 終邊與始邊重合的角是k360(k∈Z). 2.小于90的角是銳角.( ) 提示 銳角是指大于0且小于90的角. 3.鈍角是第二象限角.( √ ) 4.第二象限角是鈍角.( ) 提示 第二象限角不一定是鈍角. 類型一 周期現(xiàn)象的應用 例1 水車上裝有16個盛水槽，每個盛水槽最多盛水10升，假設(shè)水車5分鐘轉(zhuǎn)一圈，計算1小時內(nèi)最多盛水多少升？ 考點 周期現(xiàn)象 題點 周期現(xiàn)象的應用 解 因為1小時＝60分鐘＝125分鐘，且水車5分鐘轉(zhuǎn)一圈， 所以1小時內(nèi)水車轉(zhuǎn)12圈. 又因為水車上裝有16個盛水槽，每個盛水槽最多盛水10升， 所以每轉(zhuǎn)一圈，最多盛水1610＝160(升)， 所以水車1小時內(nèi)最多盛水16012＝1 920(升). 反思與感悟 (1)應用周期現(xiàn)象中“周而復始”的規(guī)律性可以達到“化繁為簡”、“化無限為有限”的目的. (2)只要確定好周期現(xiàn)象中重復出現(xiàn)的“基本單位”就可以把問題轉(zhuǎn)化到一個周期內(nèi)來解決. 跟蹤訓練1 利用例1中的水車盛800升的水，至少需要多少時間？ 考點 周期現(xiàn)象 題點 周期現(xiàn)象的應用 解 設(shè)x分鐘后盛水y升，由例1知每轉(zhuǎn)一圈，水車最多盛水1610＝160(升)， 所以y＝160＝32x，為使水車盛800升的水， 則有32x≥800，所以x≥25， 即水車盛800升的水至少需要25分鐘. 類型二 象限角的判定 例2 在0～360范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角. (1)－150；(2)650；(3)－95015′. 考點 象限角、軸線角 題點 象限角 解 (1)因為－150＝－360＋210，所以在0～360范圍內(nèi)，與－150角終邊相同的角是210角，它是第三象限角. (2)因為650＝360＋290，所以在0～360范圍內(nèi)，與650角終邊相同的角是290角，它是第四象限角. (3)因為－95015′＝－3360＋12945′，所以在0～360范圍內(nèi)，與－95015′角終邊相同的角是12945′角，它是第二象限角. 反思與感悟 判斷象限角的步驟 (1)當0≤α<360時，直接寫出結(jié)果. (2)當α<0或α≥360時，將α化為k360＋β(k∈Z，0≤β<360)，轉(zhuǎn)化為判斷角β所屬的象限. 跟蹤訓練2 (1)判斷下列角所在的象限，并指出其在0～360范圍內(nèi)終邊相同的角. ①549；②－60；③－50336′. (2)若α是第二象限角，試確定2α，是第幾象限角. 考點 象限角、軸線角 題點 象限角 解 (1)①∵549＝189＋360，∴549角為第三象限的角，與189角終邊相同. ②∵－60＝300－360，∴－60角為第四象限的角，與300角終邊相同. ③∵－50336′＝21624′－2360，∴－50336′角為第三象限的角，與21624′角終邊相同. (2)由題意得90＋k360<α<180＋k360(k∈Z)，① 所以180＋2k360<2α<360＋2k360(k∈Z). 故2α是第三或第四象限角或終邊落在y軸負半軸上的角. 由①得45＋k180<<90＋k180(k∈Z)， 當k為偶數(shù)時，令k＝2n(n∈Z)， 得45＋n360<<90＋n360(n∈Z)， 故是第一象限角. 當k為奇數(shù)時，令k＝2n＋1(n∈Z)，得45＋180＋n360<<90＋180＋n360(n∈Z)， 即225＋n360<<270＋n360(n∈Z)， 故為第三象限角. 綜上可知，為第一或第三象限角. 類型三 終邊相同的角 例3 在與角10 030終邊相同的角中，求滿足下列條件的角. (1)最大的負角；(2)最小的正角；(3)[360，720)的角. 考點 終邊相同的角 題點 終邊相同的角 解 與10 030終邊相同的角的一般形式為β＝k360＋10 030(k∈Z). (1)由－360＜k360＋10 030＜0，得－10 390＜k360＜－10 030，解得k＝－28，故所求的最大負角為β＝－50. (2)由0＜k360＋10 030＜360，得－10 030＜k360＜－9 670，解得k＝－27，故所求的最小正角為β＝310. (3)由360≤k360＋10 030＜720，得－9 670≤k360＜－9 310，解得k＝－26，故所求的角為β＝670. 反思與感悟 求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值. 跟蹤訓練3 寫出與α＝－1 910終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720≤β＜360的元素β寫出來. 考點 終邊相同的角 題點 終邊相同的角 解 由終邊相同的角的表示知， 與角α＝－1 910終邊相同的角的集合為{β|β＝k360－1 910，k∈Z}. ∵－720≤β＜360，即－720≤k360－1 910＜360(k∈Z)， ∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4，5，6. 當k＝4時，β＝4360－1 910＝－470； 當k＝5時，β＝5360－1 910＝－110； 當k＝6時，β＝6360－1 910＝250. 例4 寫出終邊在直線y＝－x上的角的集合. 考點 終邊相同的角 題點 終邊相同的角 解 終邊在y＝－x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120＋k360，k∈Z}； 終邊在y＝－x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300＋k360，k∈Z}. 因此，終邊在直線y＝－x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120＋k360，k∈Z}∪{α|α＝300＋k360，k∈Z}， 即S＝{α|α＝120＋2k180，k∈Z}∪{α|α＝120＋(2k＋1)180，k∈Z}＝{α|α＝120＋n180，n∈Z}. 故終邊在直線y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝120＋n180，n∈Z}. 反思與感悟 求終邊在給定直線上的角的集合，常用分類討論的思想，即分x≥0和x<0兩種情況討論，最后再進行合并. 跟蹤訓練4 寫出終邊在直線y＝x上的角的集合. 考點 終邊相同的角 題點 終邊相同的角 解 終邊在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30＋k360，k∈Z}； 終邊在y＝x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210＋k360，k∈Z}. 因此，終邊在直線y＝x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30＋k360，k∈Z}∪{α|α＝210＋k360，k∈Z}， 即S＝{α|α＝30＋2k180，k∈Z}∪{α|α＝30＋(2k＋1)180，k∈Z}＝{α|α＝30＋n180，n∈Z}. 故終邊在直線y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝30＋n180，n∈Z}. 1.下列是周期現(xiàn)象的為( ) ①閏年每四年一次； ②某交通路口的紅綠燈每30秒轉(zhuǎn)換一次； ③某超市每天的營業(yè)額； ④某地每年6月份的平均降雨量. A.①②④ B.③④ C.①② D.①②③ 考點 周期現(xiàn)象 題點 周期現(xiàn)象的判定 答案 C 解析?、佗谑侵芷诂F(xiàn)象；③中每天的營業(yè)額是隨機的，不是周期現(xiàn)象；④中每年6月份的平均降雨量也是隨機的，不是周期現(xiàn)象. 2.與－457角終邊相同的角的集合是( ) A.{α|α＝k360＋457，k∈Z} B.{α|α＝k360＋97，k∈Z} C.{α|α＝k360＋263，k∈Z} D.{α|α＝k360－263，k∈Z} 考點 終邊相同的角 題點 終邊相同的角 答案 C 解析?。?57＝－2360＋263，故選C. 3.2 018是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 考點 象限角、軸線角 題點 象限角 答案 C 解析 2 018＝5360＋218，故2 018是第三象限角. 4.一個質(zhì)點，在平衡位置O點附近振動，如果不考慮阻力，可將此振動看作周期運動，從O點開始計時，質(zhì)點向左運動第一次到達M點用了0.3 s，又經(jīng)過0.2 s第二次通過M點，則質(zhì)點第三次通過M點，還要經(jīng)過的時間是 s. 考點 周期現(xiàn)象 題點 周期現(xiàn)象的應用 答案 1.4 解析 如圖，質(zhì)點從O點向左運動，O→M用了0.3 s，M→A→M用了0.2 s，由于M→O與O→M用時相同，因此質(zhì)點運動半周期＝0.2＋0.32＝0.8(s)，從而當質(zhì)點第三次經(jīng)過M時還要經(jīng)過的時間應為M→O→B→O→M所用時間，為0.32＋0.8＝1.4(s). 5.已知，如圖所示. (1)寫出終邊落在射線OA，OB上的角的集合； (2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合. 考點 終邊相同的角 題點 區(qū)域角的表示 解 (1)終邊落在射線OA上的角的集合是{α|α＝k360＋210，k∈Z}. 終邊落在射線OB上的角的集合是{α|α＝k360＋300，k∈Z}. (2)終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|k360＋210≤α≤k360＋300，k∈Z}. 1.判斷是否為周期現(xiàn)象，關(guān)鍵是看在相同的間隔內(nèi)，圖像是否重復出現(xiàn). 2.由于角的概念推廣了，那么終邊相同的角有無數(shù)個，這無數(shù)個終邊相同的角構(gòu)成一個集合.與α角終邊相同的角可表示為{β|β＝α＋k360，k∈Z}，要領(lǐng)會好k∈Z的含義. 3.熟記終邊在坐標軸上的各角的度數(shù)，才能正確快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的終邊隨整數(shù)k的改變而改變時，要對k分類討論. 一、選擇題 1.(2017甘肅蘭州一中期末)下列命題正確的是( ) A.終邊在x軸非正半軸上的角是零角 B.第二象限角一定是鈍角 C.第四象限角一定是負角 D.若β＝α＋k360(k∈Z)，則α與β終邊相同 考點 終邊相同的角 題點 任意角的綜合應用 答案 D 解析 終邊在x軸非正半軸上的角為k360＋180，k∈Z，零角為0，所以A錯誤；480角為第二象限角，但不是鈍角，所以B錯誤；285角為第四象限角，但不是負角，所以C錯誤，故選D. 2.設(shè)A＝{θ|θ為銳角}，B＝{θ|θ為小于90的角}，C＝{θ|θ為第一象限的角}，D＝{θ|θ為小于90的正角}，則下列等式中成立的是( ) A.A＝B B.B＝C C.A＝C D.A＝D 考點 任意角的概念 題點 對任意角概念的理解 答案 D 3.探索如圖所呈現(xiàn)的規(guī)律，判斷2 017至2 018箭頭的方向是( ) 考點 周期現(xiàn)象 題點 周期現(xiàn)象的應用 答案 B 4.若α是第四象限角，則180－α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 考點 象限角、軸線角 題點 象限角 答案 C 解析 可以給α賦一特殊值－60， 則180－α＝240，故180－α是第三象限角. 5.四個小動物換座位，開始是猴、兔、貓、鼠分別坐在①，②，③，④號位置上(如圖)，第1次前后排動物互換位置，第2次左右列互換座位，…這樣交替進行下去，那么第2 017次互換座位后，小兔的位置對應的是( ) ①猴 ②兔 ③貓 ④鼠 開始 ①貓 ②鼠 ③猴 ④兔 第1次 ①鼠 ②貓 ③兔 ④猴 第2次 ①兔 ②猴 ③鼠 ④貓 第3次 A.編號① B.編號② C.編號③ D.編號④ 考點 周期現(xiàn)象 題點 周期現(xiàn)象的應用 答案 D 6.角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱，則α與β的關(guān)系為( ) A.α＋β＝k360，k∈Z B.α＋β＝k360＋180，k∈Z C.α－β＝k360＋180，k∈Z D.α－β＝k360，k∈Z 考點 終邊相同的角 題點 終邊相同的角 答案 B 解析 特殊值法：令α＝30，β＝150，則α＋β＝180.直接法：∵角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱，∴β＝180－α＋k360，k∈Z，即α＋β＝k360＋180，k∈Z. 二、填空題 7.如圖所示，變量y與時間t(s)的圖像如圖所示，則時間t至少隔 s時y＝1會重復出現(xiàn)1次. 考點 周期現(xiàn)象 題點 周期現(xiàn)象的應用 答案 2 8.已知角α＝－3 000，則與α終邊相同的最小正角是 . 考點 終邊相同的角 題點 終邊相同的角 答案 240 解析 與α＝－3 000終邊相同的角的集合為{θ|θ＝－3 000＋k360，k∈Z}， 令－3 000＋k360>0，解得k>， 故當k＝9時，θ＝240滿足條件. 9.如圖，終邊落在OA的位置上的角的集合是 ；終邊落在OB的位置上，且在－360～360內(nèi)的角的集合是 ；終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是 . 考點 終邊相同的角 題點 任意角的綜合應用 答案 {α|α＝120＋k360，k∈Z} {315，－45} {α|－45＋k360≤α≤120＋k360，k∈Z} 解析 終邊落在OA的位置上的角的集合是{α|α＝120＋k360，k∈Z}. 終邊落在OB的位置上的角的集合是{α|α＝315＋k360，k∈Z}， 取k＝0，－1得α＝315，－45. 故終邊落在OB的位置上， 且在－360～360內(nèi)的角的集合是{315，－45}. 終邊落在陰影部分的角的集合是{α|－45＋k360≤α≤120＋k360，k∈Z}. 10.若α＝k360＋45，k∈Z，則是第 象限角. 考點 象限角、軸線角 題點 象限角 答案 一或三 解析 ∵α＝k360＋45，k∈Z， ∴＝k180＋22.5，k∈Z. 當k為偶數(shù)，即k＝2n，n∈Z時， ＝n360＋22.5，n∈Z，∴為第一象限角； 當k為奇數(shù)，即k＝2n＋1，n∈Z時， ＝n360＋202.5，n∈Z，∴為第三象限角. 綜上，是第一或第三象限角. 三、解答題 11.已知角β的終邊在直線x－y＝0上. (1)寫出角β的集合S； (2)寫出集合S中適合不等式－360<β<720的元素. 考點 終邊相同的角 題點 終邊相同的角 解 (1)如圖，直線x－y＝0過原點，傾斜角為60，在0～360范圍內(nèi)，終邊落在射線OA上的角是60，終邊落在射線OB上的角是240，所以以射線OA，OB為終邊的角的集合分別為 S1＝{β|β＝60＋k360，k∈Z}， S2＝{β|β＝240＋k360，k∈Z}， 所以角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60＋k360，k∈Z}∪{β|β＝60＋180＋k360，k∈Z} ＝{β|β＝60＋2k180，k∈Z}∪{β|β＝60＋(2k＋1)180，k∈Z}＝{β|β＝60＋n180，n∈Z}. (2)由于－360<β<720，即－360<60＋n180<720，n∈Z. 解得－下載提示(請認真閱讀)
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