新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第5章 數(shù)列 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和學(xué)案 文 北師大版

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1、 第二節(jié)　等差數(shù)列及其前n項和 [考綱傳真]　1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系． (對應(yīng)學(xué)生用書第69頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．等差數(shù)列的概念 (1)如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的差是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就為等差數(shù)列，這個常數(shù)為等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示． 數(shù)學(xué)語言表達式：an＋1－an＝d(n∈N＋，d為常數(shù))，或an－an－1＝d(n≥2，d為常數(shù))． (2)如果在a與b中

2、間插入一個數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫作a與b的等差中項，即A＝. 2．等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式 (1)若等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，則其通項公式為an＝a1＋(n－1)D． 通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)， (2)等差數(shù)列的前n項和公式 Sn＝＝na1＋d(其中n∈N＋，a1為首項，d為公差，an為第n項)． 3．等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì) 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是{an}的前n項和． (1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，則有am＋an＝ap＋aq. (2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0

3、時，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時，{an}是常數(shù)列． (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差為md的等差數(shù)列． (4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列． 4．等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系 Sn＝n2＋n. 數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))． [知識拓展] 1．等差數(shù)列前n項和的最值 在等差數(shù)列{an}中，若a1＞0，d＜0，則Sn有最大值，即所有正項之和最大，若a1＜0，d＞0，則Sn有最小值，即所有負項之和最?。? 2．兩個等

4、差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，則有＝. 3．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則數(shù)列也是等差數(shù)列． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列．(　　) (2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2. (　　) (3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．(　　) (4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù)．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)

5、√　(4)× 2．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3＝6，a3＝0，則公差d等于(　　) A．－1 B．1　　　　　 C．2　　　　　 D．－2 D　[依題意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2，故選D．] 3．(20xx·全國卷Ⅱ)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 A　[a1＋a3＋a5＝3a3＝3?a3＝1，S5＝＝5a3＝5.] 4．(20xx·全國卷Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27，a10＝8，則a100＝(　　) A．100 B．99

6、 C．98 D．97 C　[法一：∵{an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d， ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 又∵a10＝8，∴∴ ∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故選C． 法二：∵{an}是等差數(shù)列， ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 在等差數(shù)列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差數(shù)列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5. 故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故選C．] 5．(教材改編)在100以內(nèi)的正整數(shù)中有__________個能被6整除的數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號：00090161】

7、 16　[由題意知，能被6整除的數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列{an}， 則a1＝6，d＝6，得an＝6＋(n－1)6＝6n. 由an＝6n≤100，即n≤16＝16， 則在100以內(nèi)有16個能被6整除的數(shù)．] (對應(yīng)學(xué)生用書第70頁) 等差數(shù)列的基本運算 　(1)(20xx·鄭州模擬)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項和，若S8＝4S4，則a10＝(　　) A．　　　　 B．　　　　 C．10　　　　 D．12 (2)(20xx·昆明模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，則m＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)

8、號：00090162】 A．9 B．10 C．11 D．15 (1)B　(2)B　[(1)∵公差為1， ∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. ∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝， ∴a10＝a1＋9d＝＋9＝. (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意 解得 ∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.] [規(guī)律方法]　1.等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知三求二，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用． 2．?dāng)?shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而

9、a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法，稱為基本量法． [變式訓(xùn)練1]　(1)(20xx·婁底模擬)已知數(shù)列{an}是首項為1，公差為d(d∈N*)的等差數(shù)列，若81是該數(shù)列中的一項，則公差不可能是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (2)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a12＝－8，S9＝－9，則S16＝__________. (1)B　(2)－72　[(1)∵數(shù)列{an}是首項為1，公差為d(d∈N*)的等差數(shù)列，∴an＝1＋(n－1)d， ∵81是該數(shù)列中的一項，∴81＝1＋(n－1)d， ∴n＝＋1， ∵d，n∈N*，

10、∴d是80的因數(shù)，故d不可能是3.故選B． (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d， 由已知，得 解得 ∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.] 等差數(shù)列的判定與證明 　已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列． (2)求數(shù)列{an}中的通項公式an. [解]　(1)證明：因為an＝2－(n≥2，n∈N*)， bn＝. 所以n≥2時，bn－bn－1＝－ ＝－＝－＝1. 5分 又b1＝＝－， 所以數(shù)列{bn}是以－為首項，1為公差的等差數(shù)列

11、. 7分 (2)由(1)知，bn＝n－， 9分 則an＝1＋＝1＋. 12分 [規(guī)律方法]　1.等差數(shù)列的四種判斷方法： (1)定義法：an＋1－an＝d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．(解答題) (2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列．(解答題) (3)通項公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．(小題) (4)前n項和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．(小題) 2．用定義證明等差數(shù)列時，常采用兩個式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它們的意義不同，后者必須加上

12、“n≥2”，否則n＝1時，a0無定義． [變式訓(xùn)練2]　(1)若{an}是公差為1的等差數(shù)列，則{a2n－1＋2a2n}是(　　) A．公差為3的等差數(shù)列 B．公差為4的等差數(shù)列 C．公差為6的等差數(shù)列 D．公差為9的等差數(shù)列 (2)在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，則該數(shù)列的通項為(　　) A．a(chǎn)n＝ B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝ (1)B　(2)A　[(1)an＝n＋a1－1 ∴a2n－1＝2n＋a1－2，a2n＝2n＋a1－1 ∴a2n－1＋2a2n＝4n＋2a1－3 因此數(shù)列{a2n－1＋2an}是公差為4的等差

13、數(shù)列，故選B． (2)由已知式＝＋可得－＝－，知是首項為＝1，公差為－＝2－1＝1的等差數(shù)列，所以＝n，即an＝.] 等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 　(1)(20xx·江西紅色七校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若2a7＝5＋a9，則S9的值為(　　) A．27 B．36 C．45 D．54 (2)(20xx·洛陽統(tǒng)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9等于(　　) A．63 B．45 C．36 D．27 (3)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝－2 014，－＝6，則S2 017＝_____

14、___. (1)C　(2)B　(3)4 034　[(1)由2a7＝5＋a9得a5＋a9＝5＋a9，所以a5＝5，所以S9＝＝9a5＝45. (2)由{an}是等差數(shù)列，得S3，S6－S3，S9－S6為等差數(shù)列． 即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，即a7＋a8＋a9＝45，故選B． (3)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得也為等差數(shù)列． 設(shè)其公差為D．則－＝6d＝6，∴d＝1. 故＝＋2 016d＝－2 014＋2 016＝2， ∴S2 017＝2×2 017＝4 034.] [規(guī)律方法]　應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)注意兩點 (

15、1)在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m、n、p、q、k∈N*)，則am＋an＝ap＋aq＝2ak是常用的性質(zhì)． (2)掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，悉心研究每個性質(zhì)的使用條件及應(yīng)用方法，認真分析項數(shù)、序號、項的值的特征，這是解題的突破口． [變式訓(xùn)練3]　(1)在等差數(shù)列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，則S11＝(　　) A．18 B．99 C．198 D．297 (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S5＝10，S10＝30，則S15＝(　　) A．60 B．70 C．90 D．40 (3)(20xx·佛山模

16、擬)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，則a2＋a8＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：00090163】 (1)B　(2)A　(3)10　[(1)由a3＋a9＝27－a6得2a6＝27－a6，所以a6＝9 所以S11＝＝11a6＝99. (2)因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列，所以S5，S10－S5，S15－S10也成等差數(shù)列，設(shè)S15＝x，則10,20，x－30成等差數(shù)列，所以2×20＝10＋(x－30)，所以x＝60，即S15＝60. (3)因為{an}是等差數(shù)列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a

17、7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.] 等差數(shù)列的前n項和及其最值 　(1)設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－10(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________. (2)等差數(shù)列{an}中，設(shè)Sn為其前n項和，且a1>0，S3＝S11，則當(dāng)n為多少時，Sn取得最大值． (1)130　[由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8為首項，2為公差的等差數(shù)列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴n≤5時，an≤0，當(dāng)n＞5時，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝S15－2S5＝130.] (2)法一：由S3＝S11，

18、可得3a1＋d＝11a1＋d， 4分 即d＝－a1. 7分 從而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1， 因為a1>0，所以－<0. 9分 故當(dāng)n＝7時，Sn最大. 12分 法二：由法一可知，d＝－a1. 要使Sn最大，則有 5分 即 9分 解得6.5≤n≤7.5，故當(dāng)n＝7時，Sn最大. 12分 法三：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0， 即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0， 5分 故a7＋a8＝0，又由a1>0，S3＝S11可知d<0， 9分 所以a7>0，a8<0，所以當(dāng)n＝7時，Sn最大. 12分 [規(guī)律方法]　求等差

19、數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法 1．函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式Sn＝an2＋bn，通過配方或借助圖像求二次函數(shù)最值的方法求解． 2．鄰項變號法： (1)當(dāng)a1>0，d<0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm； (2)當(dāng)a1<0，d>0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm. [變式訓(xùn)練4]　(1)(20xx·孝義模擬)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n項和，則使Sn達到最大值的n是(　　) A．21 B．20 C．19 D．18 (2)已知等差數(shù)列{an}的前三項和為－3，前三項

20、的積為8. ①求等差數(shù)列{an}的通項公式； ②若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn. 【導(dǎo)學(xué)號：00090164】 B　[(1)因為a1＋a3＋a5＝3a3＝105，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，所以a3＝35，a4＝33，所以d＝－2，a1＝39.由an＝a1＋(n－1)d＝39－2(n－1)＝41－2n≥0，解得n≤，所以當(dāng)n＝20時Sn達到最大值，故選B．] (2)①設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 則a2＝a1＋d，a3＝a1＋2D． 由題意得 解得或 所以由等差數(shù)列通項公式可得 an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或a

21、n＝－4＋3(n－1)＝3n－7. 故an＝－3n＋5或an＝3n－7. ②當(dāng)an＝－3n＋5時，a2，a3，a1分別為－1，－4,2，不成等比數(shù)列； 當(dāng)an＝3n－7時，a2，a3，a1分別為－1,2，－4，成等比數(shù)列，滿足條件． 故|an|＝|3n－7|＝ 記數(shù)列{3n－7}的前n項和為Sn，則Sn＝＝n2－n 當(dāng)n≤2時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－n2＋n 當(dāng)n≥3時，Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋an)＝Sn－2S2＝n2－n＋10 綜上知：Tn＝