新編高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第八章第5節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)
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1、 第八章 立體幾何 第五節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 題型97 證明空間中直線、平面的垂直關(guān)系 1. (20xx四川文19)如圖,在三棱柱中,側(cè)棱底面,,,分別是線段的中點(diǎn),是線段上異于端點(diǎn)的點(diǎn). (1)在平面內(nèi),試作出過點(diǎn)與平面平行的直線,說 明理由,并證明直線平面; (2)設(shè)(1)中的直線交于點(diǎn),求三棱錐的體積. (錐體體積公式:,其中為底面面積,為高). 2. (20xx山東文19) 如圖,四棱錐中,,,, ,分別為的中點(diǎn). (1)求證:平面; (2)求證:平面平面 3. (
2、20xx重慶文19)如圖,四棱錐中,底面,,,. (1)求證:平面; (2)若側(cè)棱上的點(diǎn)滿足,求三棱 錐的體積. 1.(20xx遼寧文4)已知,表示兩條不同直線,表示平面,下列說法正確的是( ) A.若則 B.若,,則 C.若,,則 D.若,,則 2.(20xx浙江文6)設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面( ). A.若,,則 B.若,,則 C.若,則 D.若,,,則 3.(20xx廣東文9)若空間中四條兩兩不同的直線,滿足,則下列結(jié)論一定正確的是( ). A. B. C. 既不垂直也不平行
3、 D. 的位置關(guān)系不確定 4.(20xx北京文17)(本小題滿分14分)如圖所示,在三棱柱中,側(cè)棱垂直于底面,,,,,分別為,的中點(diǎn). (1)求證:平面平面; (2)求證:平面; (3)求三棱錐的體積. 5.(20xx新課標(biāo)Ⅰ文19) 如圖所示,三棱柱中,側(cè)面為菱形,的中點(diǎn)為,且平面. (1)求證:; (2)若,,,求三棱柱的高. 6.(20xx遼寧文19) 如圖所示,和所在平面互相垂直,且 ,,,,分別為 ,,的中點(diǎn). (1)求證:平面; (2)求三棱
4、錐的體積. 附:錐體的體積公式,其中為底面面積,為高. 7. (20xx廣東文18)如圖1所示,四邊形為矩形,平面,作如圖2所示的折疊:折痕.其中點(diǎn)分別在線段上,沿折疊后點(diǎn)在線段上的點(diǎn)記為,并且. (1) 求證:平面; (2) 求三棱錐的體積. 8.(20xx江蘇16)如圖所示,在三棱錐中,,,分別為棱,,的中點(diǎn).已知,,,. 求證:(1)直線平面;(2)平面平面. 9.(20xx重慶文20)如圖所示,四棱錐中,底面是以為中心的菱形,底面,,為上一點(diǎn),且. (1)求證:平面; (2)若,求四棱錐的體
5、積. 10.(20xx湖北文20)如圖所示,在正方體中, 分別是棱,,, ,,的中點(diǎn). 求證: (1)直線平面; (2)直線平面. 1.(20xx湖南文18)如圖所示,直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形,,分別是,的中點(diǎn). (1)證明:平面平面; (2)若直線與平面所成的角為, 求三棱錐的體積. 1. 解析 (1)如圖所示,因?yàn)槿庵侵比庵?,所以,又是正三角形的邊的中點(diǎn),所以,因此平面,又平面,所以平面平面. (2)設(shè)的中點(diǎn)為,聯(lián)結(jié). 因?yàn)槭钦切?,所?又三棱柱是直三棱柱,所以,因此平面. 所以為直線與平面所成的角
6、. 由題設(shè),所以, 在中,,所以. 故三棱錐的體積. 2.(20xx天津文17)如圖所示,已知平面, ,, ,, , 點(diǎn),分別是,的中點(diǎn). (1)求證: 平面 ; (2)求證:平面平面. (3)求直線與平面所成角的大小. 2.分析 (1)要證明平面,只需證明且平面; (2)要證明平面平面,可證明,;(3)取 中點(diǎn), 聯(lián)結(jié) ,則就是直線 與平面所成角,中, 由,得直線與平面所成角為. 解析 (1)如圖所示,聯(lián)結(jié),在中,因?yàn)楹头謩e是,的 中點(diǎn),所以,又因?yàn)槠矫妫?所以平面. (2)因?yàn)椋?為中點(diǎn),所以. 因?yàn)槠矫妫?,所以平?/p>
7、,從而. 又 ,所以平面 . 又因?yàn)槠矫?,所以平面平? (3)取中點(diǎn)和中點(diǎn),聯(lián)結(jié),, 因?yàn)楹头謩e為,中點(diǎn),所以, ,故,,所以. 又因?yàn)槠矫?,所以平面,從而就是直線與平面所成角. 在中,可得,所以. 因?yàn)?,所以,又由,有,在中,可得?在中,,因此. 所以直線與平面所成角為. 3.(20xx全國1文18)如圖所示,四邊形為菱形,G為與的交點(diǎn),平面. (1)求證:平面平面; (2)若,,三棱錐的體積為,求該三棱錐的側(cè)面積. 3. 解析 (1)因?yàn)槠矫?,所? 又為菱形,所以. 又因?yàn)椋?,平面? 所以平面.又平面,所以平面平
8、面. (2)在菱形中,取, 又,所以,. 在中,,所以, 所以在中,, 所以,解得. 在中, 可得. 所以. 4.(20xx山東文18)如圖所示,在三棱臺(tái)中,,分別為的中點(diǎn). (1)求證:∥平面; (2)若,,求證:平面平面. 4. 解析 (1)證法一:聯(lián)結(jié).設(shè),聯(lián)結(jié),如圖所示. 在三棱臺(tái)中,,為的中點(diǎn),可得,所以四邊形是平行四邊形,則為的中點(diǎn). 又是的中點(diǎn),所以. 又平面,平面,所以平面. 證法二:在三棱臺(tái)中,由,為的中點(diǎn),可得,所以為平行四邊形,可得. 在中,分別為,的中點(diǎn),所以.又, 所以平面平面,因?yàn)槠矫?,所?/p>
9、平面. (2)證明:聯(lián)結(jié),如圖所示. 因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn),所以. 由,得. 又為的中點(diǎn),,所以,因此四邊形是平行四邊形,所以. 又,所以. 又平面,,所以平面. 又平面,所以平面平面. 5. (20xx浙江文18) 如圖所示,在三棱柱中,, ,在底面的射影為的中點(diǎn),為的中點(diǎn). (1)證明:平面; (2)求直線和平面所成的角的正弦值. 此題無答案 26.(20xx重慶文20) 如題(20)圖,三棱錐中,平面平面,,點(diǎn),在線段上,且,,點(diǎn)在線段上,且. (1)證明:平面. (2)若四棱錐的體積
10、為7,求線段的長. 26. 解析 (1)由,知點(diǎn)為等腰中底邊的中點(diǎn), 故. 又平面平面,平面平面,平面,所以 平面,從而. 因?yàn)?,,? 從而與平面內(nèi)兩條相交直線,都垂直,所以平面. (2)設(shè),則在中,, 從而. 由,知,得,故,即. 由,, 從而四邊形的面積為 . 由(1)知,平面,所以為四棱錐的高. 在中,, 體積,故得,解得或. 由于,可得或,所以或. 1.(20xx浙江文2)已知互相垂直的平面,交于直線.若直線,滿足,,則( ). A. B. C. D. 1.C 解析 對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)椋?/p>
11、所以.又因?yàn)?,所以與平行或異面.故選項(xiàng)A不正確;對(duì)于選項(xiàng)B和D,因?yàn)?,,所以?又因?yàn)?,所以與的關(guān)系平行、相交或異面都有可能.故選項(xiàng)B和D不正確;對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)樗砸驗(yàn)樗?,故選項(xiàng)C正確,故選C. 2.(20xx全國甲文19)如圖所示,菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn),點(diǎn),分別在,上, ,交于點(diǎn).將沿折到的位置. (1)證明:; (2)若 ,求五棱錐的體積. 2.解析 (1)因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?,所以,所以,所? 又因?yàn)?,所以,所?所以. (2)由得, 由得 所以 于是故 由(1)知,又,所以平面,于是 又由,所以平面. 又由得, 五邊形的面積 . 3
12、.(20xx北京文18)如圖所示,在四棱錐中,平面,. (1)求證:平面; (2)求證:平面平面; (3)設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn),在棱上是否存在點(diǎn),使得平面?說明理由. 3.解析 (1)因?yàn)槠矫?,所? 又因?yàn)椋?所以平面. (2)由(1)知,平面,又,所以平面. 又平面,所以平面平面 (3)棱上存在點(diǎn),使得平面.證明如下. 取中點(diǎn),聯(lián)結(jié). 又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以.又因?yàn)槠矫?,所以平? 4.(20xx山東文18)在如圖所示的幾何體中,是的中點(diǎn),. (1)已知,. 求證:; (2)已知分別是和的中點(diǎn).求證:平面. 4.解析 (1)證明:因?yàn)?,所以與確定一個(gè)平面,連接,如圖1
13、所示. 因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以;同理可得. 又因?yàn)?,所以平面,因?yàn)槠矫?,所? (2)設(shè)的中點(diǎn)為,連接,如圖2所示. 在中,是的中點(diǎn),所以.又,所以;在中,是的中點(diǎn), 所以.又,,所以平面平面. 因?yàn)槠矫妫云矫? 5(20xx江蘇16)如圖所示,在直三棱柱中,分別為的中點(diǎn),點(diǎn)在側(cè)棱上,且,. 求證:(1)直線平面; (2)平面平面. 5.解析 (1)因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn),所以為的中位線,所以. 又因?yàn)槿庵鶠橹崩庵?,故,所? 又因?yàn)槠矫妫?,故平? (2)三棱柱為直棱柱,所以平面. 又平面,故.又,且,平面,所以平面. 又
14、因?yàn)槠矫?,所? 又因?yàn)?,,且平面,所以平?又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫? 6.(20xx全國乙文18)如圖所示,已知正三棱錐的側(cè)面是直角三角形,,頂點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn),在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn).聯(lián)結(jié)并延長交于點(diǎn). (1)求證:是的中點(diǎn); (2)在題圖中作出點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影(說明作法及理由),并求四面體的體積. 6.解析 (1)由題意可得為正三角形,故. 因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為點(diǎn),故平面. 又平面,所以. 因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為點(diǎn),故平面. 又平面,所以. 因?yàn)?,,,平面,所以平?又平面,所以. 因?yàn)?,所以是的中點(diǎn). (2)如圖所示,過作交于
15、,則即為所要尋找的正投影. 理由如下,因?yàn)?,,?同理, 又,平面,所以平面, 故即為點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影. 所以. 在中,,,,故由等面積法知.由勾股定理知,由為等腰直角三角形知,故. 7.(20xx四川文17)如圖所示,在四棱錐中,,,,. (1)在平面內(nèi)找一點(diǎn),使得直線平面,并說明理由; (2)證明:平面平面 7.解析(1)取棱的中點(diǎn)平面,點(diǎn)即為所求的一個(gè)點(diǎn).證明如下: 因?yàn)?,所以,且所以四邊形是平行四邊形,從? 又平面,平面,所以平面 (說明:取棱的中點(diǎn),則所找的點(diǎn)可以是直線上任意一點(diǎn)). (2)由已知,,因?yàn)?,所以直線與
16、相交,所以平面從而 因?yàn)?,所以,?所以四邊形是平行四邊形. 所以,所以又,所以平面 又平面,所以平面平面 1.(20xx全國3文10)在正方體中,為棱的中點(diǎn),則( ). A. B. C. D. 解析 因?yàn)?,,且,所以平面? 又因?yàn)槠矫?所以.故選C. 評(píng)注 本題屬于線面關(guān)系定理的實(shí)際應(yīng)用問題,有一定難度,需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和公式定理的實(shí)際應(yīng)用能力,問題的重點(diǎn)與難點(diǎn)在于找到與包含的平面垂直的直線! 2.(20xx全國1文18)如圖所示,在四棱錐中,,且. (1)證明:平面平面; (2)若,,且四棱錐的體
17、積為,求該四棱錐的側(cè)面積. 解析 (1)因?yàn)?,所? 因?yàn)椋?,因?yàn)椋裕? 又,所以平面. 因?yàn)槠矫?,所以平面平面? (2)由(1)知平面,因?yàn)槠矫?,所以平面平面? 如圖所示,取中點(diǎn).因?yàn)?,,所? 又因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面,平面? 所以平面. 由,得四邊形為平行四邊形.又因?yàn)槠矫妫?,即四邊形是矩? 不妨設(shè),則,所以,且. 因此四棱錐的體積為,解得. 所以. 3.(20xx全國3文19)如圖所示,四面體中,是正三角形,. (1)證明:; (2)已知是直角三角形,.若為棱上與不重合的點(diǎn), 且,求四面體與四面體的體積比. 解析 (1)設(shè)中點(diǎn)為,
18、聯(lián)結(jié),. 由,得,由,得. 又因?yàn)椋云矫?又因?yàn)槠矫?,所? (2)設(shè),則. 由,得,故. 又因?yàn)?,所?所以,所以,可得. 即點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的一半,所以,所以體積比為. 評(píng)注 本題第一問考查線線垂直的證明,屬于常規(guī)題型;第二問用相似或解三角形的方法求解直線長度,特別是用相似在高中階段比較少見,但16年全國卷選擇題的壓軸題也有類似考法.這說明,雖然幾何證明在高中階段已經(jīng)不再作為一個(gè)固定的選作題出現(xiàn),但其主要知識(shí)點(diǎn)仍然可以作為考點(diǎn),在高考中進(jìn)行考查,筆者提醒各位老師在今后的教學(xué)中要特別注意到這一點(diǎn). 4.(20xx北京文18)如圖所示,在三棱錐中
19、,,,,,為線段的中點(diǎn),為線段上一點(diǎn). (1)求證:; (2)求證:平面平面; (3)當(dāng)平面時(shí),求三棱錐的體積. 解析 (1)因?yàn)椋?,,所以平面.又因?yàn)槠矫?,所?. (2)因?yàn)椋?,為線段的中點(diǎn),所以在等腰中,.又 由(1)可知,,所以平面.由為線段上一點(diǎn),則平面,所以又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫? (3)當(dāng)平面時(shí),平面,且平面平面,可得.由是邊的中點(diǎn)知,為邊的中點(diǎn).故而,,因?yàn)槠矫?,所以平? 由,,為邊中點(diǎn)知,又,有,即因此,. 5.(20xx山東文18)由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示,四邊形為正方形,為與的交點(diǎn),為的中點(diǎn),平面. (1)證明:平面; (2)
20、設(shè)是的中點(diǎn),證明:平面平面. 解析(1)如圖所示,取中點(diǎn),聯(lián)結(jié),由于為四棱柱, 所以,,因此四邊形為平行四邊形,所以. 又平面,平面,所以平面. (2)因?yàn)樗倪呅问钦叫危?,,分別為和的中點(diǎn),所以. 又 面,平面,所以. 因?yàn)?,所以. 又平面,,所以平面,又平面,所以平面平面. 解析(1)如圖所示,取中點(diǎn),聯(lián)結(jié),由于為四棱柱, 所以,,因此四邊形為平行四邊形,所以. 又平面,平面,所以平面. (2)因?yàn)樗倪呅问钦叫危?,,分別為和的中點(diǎn),所以. 又 面,平面,所以. 因?yàn)?,所以. 又平面,,所以平面,又平面,所以平面平面. 6.(2
21、0xx浙江19)如圖所示,已知四棱錐,是以為斜邊的等腰直角三角形,,,,為的中點(diǎn). (1)證明:平面; (2)求直線與平面所成角的正弦值. 解析 (1)如圖所示,設(shè)DE的中點(diǎn)為,聯(lián)結(jié),. 因?yàn)椋謩e為,的中點(diǎn),所以,且. 又因?yàn)?,,所以,且,所以四邊形為平行四邊形,所以,又平面,所以平? (2)分別取,的中點(diǎn)為,.聯(lián)結(jié)交于點(diǎn),聯(lián)結(jié). 因?yàn)椋?,分別是,,的中點(diǎn),所以為的中點(diǎn),在平行四邊形中,. 由為等腰直角三角形,得. 由,是的中點(diǎn),所以,且,所以四邊形是平行四邊形,所以,所以.又,所以平面, 由,得平面,又平面,所以平面平面. 過點(diǎn)作的垂線,垂足為,聯(lián)結(jié). 是
22、在平面上的射影,所以是直線與平面所成的角. 設(shè).在中,由,,,由余弦定理得, 又平面,平面,所以.在中,由,,,為的中點(diǎn),得. 在中,,,所以, 所以直線與平面所成角的正弦值是. 7.(20xx江蘇15)如圖所示,在三棱錐中,,, 平面平面, 點(diǎn)(與不重合)分別在棱上,且. 求證:(1)平面; (2). 解析 (1)在平面內(nèi),因?yàn)椋?,且點(diǎn)與點(diǎn)不重合,所以. 又因?yàn)槠矫?,平面,所以平? (2)因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面? 平面,,所以平面. 因?yàn)槠矫?,所? 又,,平面,平面, 所以平面.又因?yàn)槠矫妫? 題型98 與垂直有關(guān)的開放性、探究性問題
23、 1.(20xx安徽文19) 如圖所示,在三棱錐中,平面,. (1)求三棱錐的體積; (2)求證:在線段上存在點(diǎn),使得,并求的值. 1.分析 (1)在中,由三角形的面積公式,求出三角形面積.又因?yàn)槊?,所以是三棱錐的高,根據(jù)錐體的體積公式即可求出結(jié)果; (2)過點(diǎn)作于點(diǎn),過作交于點(diǎn),根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,可知此點(diǎn)即為所求,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出結(jié)果. 解析 (1)在中,,,, 所以. 又因?yàn)槊?,所以是三棱錐的高, 所以. (2)過點(diǎn)作交于點(diǎn),過點(diǎn)作交于點(diǎn),聯(lián)結(jié),如圖所示.因?yàn)槊妫悦? 又面,得. 又,所以面. 又面,所以. 此時(shí)點(diǎn)即為所找點(diǎn),
24、在中,由題意可得,所以. 由,可得,所以,所以. 2.(20xx北京文18) 如圖所示,在三棱錐中,平面平面,三角形 為等邊三角形,,且,,分別為,的中點(diǎn). (1) 求證:平面. (2) 求證:平面平面 . (3) 求三棱錐的體積. 2.解析 (1)依題意,,分別為,的中點(diǎn),則是的中位線, 所以,平面,平面,故平面. (2)因?yàn)樵谥?,,且為的中點(diǎn),所以, 又平面平面,平面平面,平面, 所以平面,又平面,故平面平面. (3)由(2)知,平面, 所以 3.(20xx福建文20)如圖所示,是圓的直徑,點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn), 垂直于圓
25、所在的平面,且. (1)若為線段的中點(diǎn),求證:平面; (2)求三棱錐體積的最大值; (3)若,點(diǎn)在線段上,求的最小值. 3.分析 (1)要證明平面,只需證明垂直于面內(nèi)的兩條相交直線.首先由垂直于圓所在的平面,可證明.又,為的中點(diǎn),可證明,進(jìn)而證明結(jié)論;(2)三棱錐中,高,要使得體積最大,則底面面積最大,又是定值,故當(dāng)邊上的高最大,此時(shí)高為半徑,進(jìn)而求三棱錐體積的最大值;(3)將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面,使 之與平面共面,此時(shí)線段的長度即為的最小值. 解析 (1)在中,因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn),所以. 又垂直于圓所在的平面,所以.因?yàn)?,所以平面? (2)因?yàn)辄c(diǎn)在圓上,所以當(dāng)時(shí),到的距離最大
26、,且最大值為1. 又,所以面積的最大值為. 又因?yàn)槿忮F的高,故三棱錐體積的最大值為. (3)解法一:在中,,,所以.同理,所以. 在三棱錐中,將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面,使之與平面共面, 如圖所示. 當(dāng)共線時(shí),取得最小值. 又因?yàn)椋?,所以垂直平分,即為中點(diǎn). 從而,即的最小值為. 解法二:由解法一可知,, , 所以當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí),與同時(shí)取得最小值. 故. 所以的最小值為. 4.(20xx湖北文20)《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的陽馬中,側(cè)棱底面,且,點(diǎn)是的中點(diǎn)
27、,連接、、. (1)證明:平面.試判斷四面體是否為鱉臑. 若是,寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,請(qǐng)說明 理由; (2)記陽馬的體積為,四面體的體積為, 求的值. 4.解析 (1)因?yàn)榈酌妫? 由底面為長方形,有,而,所以平面. 平面,所以. 又因?yàn)?,點(diǎn)是的中點(diǎn),所以. 而,所以平面.由平面,平面. 可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形,即四面體是一個(gè)鱉臑,其四個(gè)面的直角分別是 (2)由已知,是陽馬的高,所以. 由(1)知,是鱉臑的高,,所以. 在中,因?yàn)?,點(diǎn)是的中點(diǎn), 所以,于是 5.(20xx江蘇文22)如圖所示,在四棱錐中,已知平面,且四
28、邊形為直角梯形,,,. (1)求平面與平面所成二面角的余弦值; (2)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線與所成的角最小時(shí),求線段的長. 5.解析 由平面,,故,,兩兩垂直,所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,. (1)易知平面,故平面的一個(gè)法向量為. 又,. 設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,. 所以,取,則,,故, 因此. 易知平面與平面所成二面角為銳二面角,故其余弦值為. (2)因,設(shè),. 所以, 因此, 設(shè), 所以 , 令,則, 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減, 所以當(dāng)時(shí),有最大值, 即有最大值,此時(shí)直線與所
29、成的角最小,故. 評(píng)注 也可以假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)解決. 在求解的最大值時(shí),也可以處理成: ,設(shè),則, 所以, 所以當(dāng),取最小值, 此時(shí)取最大值, 此時(shí)直線與所成的角最小,即,解得,故. 6.(20xx四川文18)一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示. (1)請(qǐng)按字母F,G,H標(biāo)記在正方體相應(yīng)地頂點(diǎn)處(不需要說明理由); (2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系.并說明你的結(jié)論; (3)求證:直線平面. 6.解析 (1)點(diǎn)F,G,H的位置如圖所示. (2)平面平面.證明如下: 因?yàn)闉檎襟w,所以,. 又,,所以,.所以為平行四邊形
30、,所以. 又平面,平面,所以平面.同理平面. 又,所以平面平面. (3)聯(lián)結(jié),因?yàn)闉檎襟w,所以平面.因?yàn)槠矫?,所? 又,,所以平面. 又平面,所以. 同理,.又,所以平面. 題型99 空間角與空間距離 1.(20xx江西文19)如圖,直四棱柱中,,,,,, 為上一點(diǎn),,. (1)證明:⊥平面; (2)求點(diǎn)到平面的距離 2. (20xx天津文17) 如圖, 三棱柱中, 側(cè)棱⊥底面,且各棱長均相等.分別為棱的中點(diǎn). (1)證明:平面; (2)證明:平面⊥平面; (3)求直線與平面所成角的正弦值. 3. (20xx湖南文
31、17) 如圖2.在直棱柱中,,,,是的中點(diǎn),點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng). (1)證明:; (2)當(dāng)異面直線, 所成的角為時(shí),求三棱錐的體積. 4.(20xx浙江文20)如圖,在在四棱錐中,⊥面,,, ,,為線段上的點(diǎn). (1)證明:⊥平面; (2)若是的中點(diǎn),求與所成的角的正切值; (3)若滿足⊥ 面,求的值. 1.(20xx大綱文4)已知正四面體ABCD中,E是AB的中點(diǎn),則異面直線CE與BD所成角的余弦值為( ). A. B. C. D. 2.(20xx天津文17)如圖所示,四棱錐的底面是平行四邊形,,,
32、分別是棱的中點(diǎn). (1) 求證:平面; (2) 若二面角為, ① 求證:平面平面; ② 求直線與平面所成角的正弦值. 3.(20xx浙江文20)如圖所示,在四棱錐中,平面平面;,,,. (1)求證:平面; (2)求直線與平面所成的角的正切值. 4.(20xx大綱文19)如圖所示,三棱柱中,點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上,,. (1)求證:; (2)設(shè)直線與平面的距離為,求二面角的大小. 5. (20xx新課標(biāo)Ⅱ文18)如圖所示,四棱錐中,底面為矩形,平面,為的中點(diǎn). (1)求證:平面; (2)設(shè),,三棱錐的體
33、積,求到平面的距離. 5.(20xx湖南文18)如圖所示,已知二面角的大小為,菱形在面內(nèi),兩點(diǎn)在棱上,,是的中點(diǎn),面,垂足為. (1)求證:平面; (2)求異面直線與所成角的余弦值. 1.(20xx江蘇文22)如圖所示,在四棱錐中,已知平面,且四邊形為直角梯形,,,. (1)求平面與平面所成二面角的余弦值; (2)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線與所成的角最小時(shí),求線段的長. 1.解析 由平面,, 故,,兩兩垂直,所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
34、則,,,. (1)易知平面, 故平面的一個(gè)法向量為. 又,, 設(shè)平面的一個(gè)法向量為, 則,, 所以,取, 則,,故, 因此, 易知平面與平面所成二面角為銳二面角,故其余弦值為. (2)因,設(shè),. 所以, 因此, 設(shè), 所以 , 令,則, 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減, 所以當(dāng)時(shí),有最大值, 即有最大值,此時(shí)直線與所成的角最小,故. 評(píng)注 也可以假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)解決. 在求解的最大值時(shí),也可以處理成: ,設(shè),則, 所以, 所以當(dāng),取最小值, 此時(shí)取最大值, 此時(shí)直線與所成的角最小,即,解得,故. 1.(20xx全國乙文11)平面過正
35、方體的頂點(diǎn),平面,平面,平面,則所成角的正弦值為( ). A. B. C. D. 1.A 解析 解法一:將圖形延伸出去,構(gòu)造一個(gè)正方體,如圖所示.通過尋找線線平行構(gòu)造出平面,即平面,即研究與所成角的正弦值,易知,所以其正弦值為.故選A. 解法二(原理同解法一):過平面外一點(diǎn)作平面,并使平面,不妨將點(diǎn)變換成,作使之滿足同等條件,在這樣的情況下容易得到,即為平面,如圖所示,即研究與所成角的正弦值,易知,所以其正弦值為.故選A. 2.(20xx浙江文14)如圖所示,已知平面四邊形,,,,.沿直線將翻折成,直線與所成角的余弦的最大值是_
36、_____. 2. 解析 設(shè)直線與所成角為.設(shè)是中點(diǎn)由已知得,如圖所示,以為軸,為軸,過與平面垂直的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,有,,. 作于,翻折的過程中,始終與垂直,且的長度始終不變,,則,,因此可設(shè),則,與平行的單位向量為. 所以, 所以時(shí),取最大值. 3.(20xx上海文19)將邊長為的正方形(及其內(nèi)部)繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱,如圖所示,長為,長為,其中與在平面的同側(cè). (1)求圓柱的體積與側(cè)面積; (2)求異面直線與所成的角的大小. 3.解析 (1)由題意可知,圓柱的母線長,底面半徑. 圓柱的體積, 圓柱的側(cè)面積. (2)設(shè)
37、過點(diǎn)的母線與下底面交于點(diǎn),則, 所以或其補(bǔ)角為與所成的角. 由長為,可知, 由長為,可知,, 所以異面直線與所成的角的大小為. 4.(20xx浙江文18)如圖所示,在三棱臺(tái)中,平面平面,,,,. (1)求證:平面; (2)求直線與平面所成角的余弦值. 4.解析 (1)因?yàn)榇藥缀误w三棱臺(tái),延長可相交于一點(diǎn),如圖所示. 因?yàn)槠矫?,平面為,,且,所以,因? 又因?yàn)?,可以求得? 所以為等邊三角形,且為的中點(diǎn),則. 因?yàn)?,,所以平? (2)因?yàn)槠矫?,所以是直線與平面所成的角,因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn),,所以.在中,,,得.所以直線與平面所成的角的余弦值為.
38、 5.(20xx天津文17)如圖所示,四邊形是平行四邊形,平面平面,,,,,,,為的中點(diǎn). (1)求證:平面; (2)求證:平面平面; (3)求直線與平面所成角的正弦值. 5.解析 (1)如圖所示,取的中點(diǎn)為,聯(lián)結(jié),. 在中,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以且. 又因?yàn)?,,所以且,即四邊形是平行四邊形,所?又平面,平面,所以平面 (2)證明:在中,,,. 由余弦定理可得,進(jìn)而可得,即. 又因?yàn)槠矫嫫矫?,平面,平面平面,所以平? 又因?yàn)槠矫?,所以平面平? (3)因?yàn)?,所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角. 過點(diǎn)作于點(diǎn),連接,如圖所示. 又因
39、為平面平面,由(2)知平面,所以直線與平面所成角即為. 在中,. 由余弦定理可得,所以. 因此. 在中,, 所以直線與平面所成角的正弦值為. 1.(20xx天津文17)如圖所示,在四棱錐中,平面,,,,,,. (1)求異面直線與所成角的余弦值; (2)求證:平面; (3)求直線與平面所成角的正弦值. 解析 (1)如圖所示,由已知,故或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角.因?yàn)槠矫?,平面,所? 在中,由勾股定理,得,故. 所以異面直線與所成角的余弦值為. (2)證明:因?yàn)槠矫?,直線平面,所以. 又因?yàn)?,所? 又,且,所以平面.
40、(3)如圖所示,過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn),聯(lián)結(jié),則與平面所成的角等于與平面所成的角. 因?yàn)镻D⊥平面,平面,所以PD⊥,所以為在平面上的射影,所以為直線和平面所成的角. 因?yàn)?,,所以四邊形是平行四邊形,所? 由,得. 因?yàn)槠矫妫矫?,所以,又因?yàn)?,所? 在中,由勾股定理得,所以. 所以直線與平面所成角的正弦值為. 2.(20xx浙江19)如圖所示,已知四棱錐,是以為斜邊的等腰直角三角形,,,,為的中點(diǎn). (1)證明:平面; (2)求直線與平面所成角的正弦值. 解析 (1)如圖所示,設(shè)DE的中點(diǎn)為,聯(lián)結(jié),. 因?yàn)?,分別為,的中點(diǎn),所以,且. 又因?yàn)椋?,所以,?/p>
41、,所以四邊形為平行四邊形,所以,又平面,所以平面. (2)分別取,的中點(diǎn)為,.聯(lián)結(jié)交于點(diǎn),聯(lián)結(jié). 因?yàn)?,,分別是,,的中點(diǎn),所以為的中點(diǎn),在平行四邊形中,. 由為等腰直角三角形,得. 由,是的中點(diǎn),所以,且,所以四邊形是平行四邊形,所以,所以.又,所以平面, 由,得平面,又平面,所以平面平面. 過點(diǎn)作的垂線,垂足為,聯(lián)結(jié). 是在平面上的射影,所以是直線與平面所成的角. 設(shè).在中,由,,,由余弦定理得, 又平面,平面,所以.在中,由,,,為的中點(diǎn),得. 在中,,,所以, 所以直線與平面所成角的正弦值是. 歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org
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