新編高考數(shù)學復習：第二章 ：第九節(jié)　函數(shù)模型及其應用突破熱點題型

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1、新編高考數(shù)學復習資料 第九節(jié)　函數(shù)模型及其應用 高頻考點 考點一 一次函數(shù)、二次函數(shù)模型　　 　 1．以二次函數(shù)為模型的應用題常出現(xiàn)在高考試題中，既有選擇題、填空題，也有解答題，難度適中，屬中檔題． 2．高考對一次函數(shù)、二次函數(shù)模型的考查主要有以下兩個命題角度： (1)單一考查一次函數(shù)或二次函數(shù)模型的建立及最值問題； (2)以分段函數(shù)的形式考查一次函數(shù)和二次函數(shù)． [例1]　(1)(2013·陜西高考)在如圖所示的銳角三角形空地中， 欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分), 則其邊長x為________m. (2)(2011·湖北高考)提高過江大橋

2、的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/時．研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)． ①當0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達式；[來源:] ②當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/時) [自主解答]　(1)設內接矩形另一邊長為y，則由相似三角形性質可得

3、＝，解得y＝40－x，所以面積S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0

4、200]上取得最大值. 綜上，當x＝100時，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3 333，[來源:] 即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3 333輛/時． [答案]　(1)20 一次函數(shù)、二次函數(shù)模型問題的常見類型及解題策略 (1)直接考查一次函數(shù)、二次函數(shù)模型．解決此類問題應注意三點：①二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯；②確定一次函數(shù)模型時，一般是借助兩個點來確定，常用待定系數(shù)法；③解決函數(shù)應用問題時，最后要還原到實際問題． (2)以分段函數(shù)的形式考查．解決此類問題應關注以下三點：

5、①實際問題中有些變量間的關系不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成，如出租車票價與路程之間的關系，應構建分段函數(shù)模型求解；②構造分段函數(shù)時，要力求準確、簡潔，做到分段合理、不重不漏；③分段函數(shù)的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)． 1．(2013·上海高考)甲廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10)，每一小時可獲得的利潤是100元． (1)求證：生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤為100a·元； (2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應該選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤． 解：(1)生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所用的時間是 小時，

6、∵每一小時可獲得的利潤是100 元，[來源:] ∴獲得的利潤為100× 元． 因此生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤為100 a元． (2)生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤為90 000元，1≤x≤10. 設f(x)＝－＋＋5,1≤x≤10. 則f(x)＝－32＋＋5，當且僅當x＝6取得最大值． 故獲得最大利潤為90 000×＝457 500元．[來源:] 因此甲廠應以6千克/小時的速度生產(chǎn)，可獲得最大利潤457 500元． 2．據(jù)氣象中心觀察和預測：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度v(km/h)與時間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點T(t,0)作橫軸的

7、垂線l，梯形OABC在直線l左側部分的面積即為t(h)內沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km)． (1)當t＝4時，求s的值； (2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學關系式表示出來； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷 這場沙塵暴是否會侵襲到N城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時間它將侵襲到N城？如果不會，請說明理由． 解：(1)由圖象可知： 當t＝4時，v＝3×4＝12， ∴s＝×4×12＝24. (2)當0≤t≤10時，s＝·t·3t＝t2； 當10

8、t－20)×30－×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550. 綜上，可知s＝ (3)沙塵暴會侵襲到N城． ∵t∈[0,10]時，smax＝×102＝150<650， t∈(10,20]時，smax＝30×20－150＝450<650， ∴當t∈(20,35]時，令－t2＋70t－550＝650. 解得t1＝30，t2＝40. ∵20

9、每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和． (1)求k的值及f(x)的表達式； (2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值． [自主解答]　(1)由已知條件得C(0)＝8，則k＝40， 因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤x≤10)． (2)f(x)＝6x＋10＋－10 ≥2 －10 ＝70(萬元)， 當且僅當6x＋10＝， 即x＝5時等號成立． 所以

10、當隔熱層厚度為5 cm時，總費用f(x)達到最小值，最小值為70萬元． 【方法規(guī)律】 把實際問題數(shù)學化、建立數(shù)學模型一定要過好的三關 (1)事理關：通過閱讀、理解，明確問題講的是什么，熟悉實際背景，為解題找出突破口； (2)文理關：將實際問題的文字語言轉化為數(shù)學符號語言，用數(shù)學式子表達數(shù)學關系； (3)數(shù)理關：在構建數(shù)學模型的過程中，對已知數(shù)學知識進行檢索，從而認定或構建相應的數(shù)學模型． (2014·杭州模擬)某村計劃建造一個室內面積為800 m2的矩形蔬菜溫室，在溫室內，沿左、右兩側與后側內墻各保留1 m寬的通道，沿前側內墻保留3 m寬的空地，當矩形溫室的邊長各為多少時，

11、蔬菜的種植面積最大？最大面積是多少？[來源:] 解：設溫室的左側邊長為x m， 則后側邊長為 m. ∴蔬菜種植面積 y＝(x－4)＝808－2(40)． (1)如果m＝2，求經(jīng)過

12、多長時間，物體的溫度為5攝氏度； (2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍． [自主解答]　(1)若m＝2， 則θ＝2·2t＋21－t＝2， 當θ＝5時，2t＋＝， 令2t＝x(x≥1)，則x＋＝， 即2x2－5x＋2＝0， 解得x＝2或x＝(舍去)，此時t＝1. 所以經(jīng)過1分鐘，物體的溫度為5攝氏度． (2)物體的溫度總不低于2攝氏度， 即θ≥2恒成立， 亦m·2t＋≥2恒成立． 亦即m≥2恒成立． 令＝y(tǒng)，則0

13、 應用指數(shù)函數(shù)模型應注意的問題 (1)指數(shù)函數(shù)模型，常與增長率相結合進行考查，在實際問題中有人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來解決； (2)應用指數(shù)函數(shù)模型時，關鍵是對模型的判斷，先設定模型，再將已知有關數(shù)據(jù)代入驗證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型； (3)y＝a(1＋x)n通常利用指數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)的性質求解． 一個人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09 mg/mL，那么，此人至少經(jīng)過__

14、______小時才能開車．(精確到1小時) 解析：設經(jīng)過x小時才能開車． 由題意得0.3(1－25%)x≤0.09， ∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈5. 答案：5 —————————————[課堂歸納——通法領悟]———————————————— 1個防范——實際問題的定義域 　要特別關注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域． 1個步驟——解決實際應用問題的一般步驟 　(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型； (2)建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型； (3)求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論； (4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題的意義． 以上過程用框圖表示如下： 答