（通用版）2019版高考數學二輪復習 第一部分 第三層級 難點自選 專題四“函數與導數”壓軸大題的搶分策略講義 理（普通生含解析）.doc

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難點自選專題四　“函數與導數”壓軸大題的搶分策略 [全國卷3年考情分析] 年份 全國卷Ⅰ 全國卷Ⅱ 全國卷Ⅲ 2018 利用導數研究函數的單調性、函數極值與不等式證明T21 函數的單調性、不等式的證明、函數的零點問題T21 導數在研究不等式及極值問題的應用T21 2017 利用導數研究函數的單調性、函數的零點問題T21 利用導數研究函數的單調性及極值、函數的零點、不等式的證明T21 導數在研究函數單調性中的應用、不等式的放縮T21 2016 利用導數解決函數的零點問題、不等式的證明T21 利用導數判斷函數的單調性、不等式證明及值域問題T21 三角函數的導數運算、最值問題及不等式證明T21 導數日益成為解決問題必不可少的工具，利用導數研究函數的單調性與極值(最值)是高考的常見題型，而導數與函數、不等式、方程等的交匯命題，是高考的熱點和難點． 解答題的熱點題型有： (1)利用導數研究函數的單調性、極值、最值；(2)利用導數證明不等式或探討方程根；(3)利用導數求解參數的范圍或值． 考法策略(一)　利用分類討論思想探究函數的性質 [典例]　設f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R. (1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的單調區(qū)間； (2)已知f(x)在x＝1處取得極大值，求實數a的取值范圍． [解]　(1)由f′(x)＝ln x－2ax＋2a， 可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)． 所以g′(x)＝－2a＝. 當a≤0，x∈(0，＋∞)時，g′(x)＞0，函數g(x)單調遞增； 當a＞0，x∈時，g′(x)＞0，函數g(x)單調遞增，x∈時，g′(x)＜0，函數g(x)單調遞減． 所以當a≤0時，g(x)的單調增區(qū)間為(0，＋∞)； 當a＞0時，g(x)的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為. (2)由(1)知，f′(1)＝0. ①當a≤0時，f′(x)單調遞增， 所以當x∈(0,1)時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減； 當x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增． 所以f(x)在x＝1處取得極小值，不合題意． ②當0＜a＜時，＞1，由(1)知f′(x)在內單調遞增，可得當x∈(0,1)時，f′(x)＜0，當x∈時，f′(x)＞0. 所以f(x)在(0,1)內單調遞減，在內單調遞增，所以f(x)在x＝1處取得極小值，不合題意． ③當a＝時，＝1，f′(x)在(0,1)內單調遞增，在(1，＋∞)內單調遞減，所以當x∈(0，＋∞)時，f′(x)≤0，f(x)單調遞減，不合題意． ④當a＞時，0＜＜1，當x∈時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增，當x∈(1，＋∞)時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減． 所以f(x)在x＝1處取極大值，符合題意． 綜上可知，實數a的取值范圍為. [題后悟通] 分類討論思想解決有關函數性質問題的策略 (1)何時討論參數？ 在求解中，若參數的取值影響所求結果，就要分類討論．如本例(1)中由g′(x)＝確定單調區(qū)間時，對a的取值要分類討論． (2)如何討論參數？ 解答此類問題的關鍵是如何分類，分類時要結合題目條件，對參數取值范圍進行劃分，進而研究其問題．如本例(2)中分類的依據是與1的大小比較． [應用體驗] 1．(2018全國卷Ⅰ)已知函數f(x)＝－x＋aln x. (1)討論f(x)的單調性； (2)若f(x)存在兩個極值點x1，x2， 證明：2，令f′(x)＝0， 得x＝或x＝. 當x∈∪時， f′(x)<0； 當x∈時，f′(x)>0. 所以f(x)在，上單調遞減，在上單調遞增． (2)證明：由(1)知，當且僅當a>2時，f(x)存在兩個極值點． 由于f(x)的兩個極值點x1，x2滿足x2－ax＋1＝0， 所以x1x2＝1，不妨設x11. 由于＝－－1＋a ＝－2＋a＝－2＋a， 所以0)， f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1， 當a＝－1時，f(x)＝－x＋xln x， 即f′(x)＝ln x， 令f′(x)>0，解得x>1； 令f′(x)<0，解得0－1，即m>－2，① 當00且x→0時，f(x)→0； 當x→＋∞時，顯然f(x)→＋∞. 如圖，由圖象可知，m＋1<0，即m<－1，② 由①②可得－22時，f′(x)>0. 所以f(x)的單調遞減區(qū)間為(0,2)， 單調遞增區(qū)間為(2，＋∞)． (2)證明：當a≥時，f(x)≥－ln x－1. 設g(x)＝－ln x－1，則g′(x)＝－. 可知g′(x)在(0，＋∞)上單調遞增，且g′(1)＝0， 所以當01時，g′(x)>0. 所以x＝1是g(x)的最小值點． 故當x>0時，g(x)≥g(1)＝0. 因此，當a≥時，f(x)≥0.