2019-2020年人教A版高中數(shù)學 選修2-1 3-2-1空間向量與平行關系 3-2-2空間向量與垂直關系 教案.doc
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2019-2020年人教A版高中數(shù)學 選修2-1 3-2-1空間向量與平行關系 3-2-2空間向量與垂直關系 教案 (一)教學目標 1.知識與技能:能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系,能用向量方法判斷有關直線和平面平行關系的立體幾何問題. 2.過程與方法:通過用向量方法解決立體幾何中的平行問題的過程,體會向量運算的幾何意義. 3.情感、態(tài)度與價值觀:引導學生用聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的觀點看問題,體驗在探索問題的過程中的受挫感和成功感,培養(yǎng)合作意識和創(chuàng)新精神,同時感受數(shù)學的形式美與簡潔美,從而激發(fā)學習興趣. (二)教學重點與難點 重點:用向量方法判斷有關直線和平面平行關系問題. 難點:空間直角坐標系的正確建立,空間向量的運算及其坐標表示;用向量語言證明立體幾何中有關平行關系的問題. (三)教學過程 活動一:創(chuàng)設情景、引入課題 (5分鐘) 問題1:在空間中,用空間向量解決立體幾何的步驟? 問題2:空間中的角度有多少種?用空間向量如何解決? 今天我們將在前面學習的基礎上,進一步學習空間向量來表示并進行解決一些平行的應用. 點題:今天我們學習“用空間向量方法求平行問題” 活動二:師生交流、進入新知 問題3:回憶立體幾何中有那些平行關系?如何用直線的方向向量與平面的法向量來判斷? ∥a∥b?(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) l∥α?au=0?a1a3+b1b3+c1c3=0 α∥β?u∥v?(a3,b3,c3)=k(a4,b4,c4) 例1:如圖3-2-5,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中點,求證:AB1∥平面DBC1. 【思路探究】 →→ 【自主解答】 以A為坐標原點建立空間直角坐標系. 設正三棱柱的底面邊長為a(a>0),側(cè)棱長為b(b>0), 則A(0,0,0),B(a,,0),B1(a,,b),C1(0,a,b),D(0,,0), ∴=(a,,b),=(-a,0,0),=(0,,b). 設平面DBC1的一個法向量為n=(x,y,z), 則∴ 不妨令y=2b,則n=(0,2b,-a).由于n=ab-ab=0,因此⊥n. 又AB1?平面DBC1,∴AB1∥平面DBC1. 例2:(12分)如圖3-2-6,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是正方形,EF∥AB,EF⊥FB,AB=2EF,∠BFC=90,BF=FC,H為BC的中點. 求證:FH∥平面EDB. 圖3-2-6 【思路點撥】 先通過推理證明FH⊥平面ABCD,建立空間直角坐標系,再設證明、、共面. 【規(guī)范解答】 ∵四邊形ABCD是正方形, ∴AB⊥BC,又EF∥AB,∴EF⊥BC. 又EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH,∴AB⊥FH.2分 又BF=FC,H為BC的中點,∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABC. 以H為坐標原點,為x軸正方向,為z軸正方向. 建立如圖所示的空間直角坐標系. 設BH=1,則B(1,0,0),D(-1,-2,0),E(0,-1,1),F(xiàn)(0,0,1).6分 ∴=(0,0,1),=(-1,-1,1),=(-2,-2,0), 設=λ+μ=λ(-1,-1,1)+μ(-2,-2,0)=(-λ-2μ,-λ-2μ,λ)8分 ∴(0,0,1)=(-λ-2μ,-λ-2μ,λ), ∴,解得 ∴=-∴向量,,共面. 又HF不在平面EDB內(nèi),∴HF∥平面EDB. 活動三:歸納整理、提高認識 1.在空間中,平行有幾種情況? 2.如何用空間向量求各種平行關系? 3.2.2空間向量與垂直關系 (一)教學目標 1.知識與技能:能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系,能用向量方法判斷有關直線和平面垂直關系的立體幾何問題. 2.過程與方法:通過用向量方法解決立體幾何中的垂直問題的過程,體會向量運算的幾何意義.通過本節(jié)教學使學生理解體會用向量方法解決立體幾何問題的思想及過程. 3.情感、態(tài)度與價值觀:引導學生用聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的觀點看問題,體驗在探索問題的過程中的受挫感和成功感,培養(yǎng)合作意識和創(chuàng)新精神,同時感受數(shù)學的形式美與簡潔美,從而激發(fā)學習興趣. (二)教學重點與難點 重點:用向量方法判斷有關直線和平面垂直關系問題. 難點:空間直角坐標系的正確建立,空間向量的運算及其坐標表示;用向量語言證明立體幾何中有關垂直關系的問題. (三)教學過程 活動一:創(chuàng)設情景、引入課題 問題1:回憶立體幾何中有那些平行關系?如何用直線的方向向量與平面的法向量來判斷? 問題2:上一節(jié)課中我們討論了幾種平行關系?用空間向量如何解決? 今天我們將在前面學習的基礎上,進一步學習空間向量來表示并進行解決一些垂直的應用. 點題:今天我們學習“用空間向量方法求垂直問題” 活動二:師生交流、進入新知 問題3:回憶立體幾何中有那些垂直關系?如何用直線的方向向量與平面的法向量來判斷? l⊥m?ab=0?a1b1+a2b2+a3b3=0. l⊥α?a∥u?a=ku?(a1,b1,c1)=k(a3,b3,c3)(k∈R). α⊥β?u⊥v?uv=0?a3a4+b3b4+c3c4=0. 圖3-2-10 例1:已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都為1,M是底面上BC邊的中點,N是側(cè)棱CC1上的點,且CN=CC1. 求證:AB1⊥MN. 解答:法一 設=a,=b,=c,則由已知條件和正三棱柱的性質(zhì),得 |a|=|b|=|c|=1,ac=bc=0,=a+c,=(a+b), =b+c,=-=-a+b+c, ∴=(a+c)(-a+b+c)=-+cos 60+0-0+0+=0. ∴⊥,∴AB1⊥MN. 法二 設AB中點為O,作OO1∥AA1. 以O為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.由已知得 A(-,0,0),B(,0,0),C(0,,0),N(0,,),B1(,0,1), ∵M為BC中點,∴M(,,0).∴=(-,,),=(1,0,1), ∴=-+0+=0.∴⊥,∴AB1⊥MN. 例2:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是BB1、D1B1的中點,求證:EF⊥平面B1AC. 【解答】 法一 設=a,=c,=b,則=+=(+) =(+)=(-a+b+c)∵=+=a+b, ∴=(-a+b+c)(a+b)=(b2-a2+ca+cb)=(|b|2-|a|2+0+0)=0, ∴⊥,即EF⊥AB1,同理,EF⊥B1C. 又AB1∩B1C=B1,∴EF⊥平面B1AC. 法二 設正方體的棱長為2,建系如圖 則A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(2,2,1),F(xiàn)(1,1,2). ∴=(1,1,2)-(2,2,1)=(-1,-1,1), =(2,2,2)-(2,0,0)=(0,2,2),=(0,2,0)-(2,0,0)=(-2,2,0). 而=(-1,-1,1)(0,2,2)=(-1)0+(-1)2+12=0, =(-1,-1,1)(-2,2,0)=2-2+0=0, ∴EF⊥AB1,EF⊥AC.又AB1∩AC=A,∴EF⊥平面B1AC. 例3:如圖3-2-12,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E為BB1的中點,求證:平面AEC1⊥平面AA1C1C. 【解答】 由題意得AB,BC,B1B兩兩垂直,以B為原點,分別以BA,BC,BB1所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E(0,0,),則=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,2,1),=(-2,0,).設平面AA1C1C的一個法向量為n1=(x,y,z), 則? 令x=1,得y=1,∴n1=(1,1,0).設平面AEC1的一個法向量為n2=(x,y,z), 則? 令z=4,得x=1,y=-1. ∴n2=(1,-1,4).∵n1n2=11+1(-1)+04=0, ∴n1⊥n2.∴平面AEC1⊥平面AA1C1C. 用空間向量求各種垂直關系的步驟: 1.用空間向量解決立體幾何中的垂直問題,主要運用直線的方向向量與平面的法向量,同時也需要借助空間中已有的位置關系及關于垂直的定理. 2.應用向量證明垂直問題的基本步驟: (1)建立空間圖形與空間向量的關系(可以建立空間直角坐標系,也可以不建系,選取適當?shù)幕?,用空間向量表示問題中涉及的點、直線和平面; (2)通過向量運算研究垂直問題; (3)根據(jù)運算結(jié)果解釋相關問題. 活動三:歸納整理、提高認識 1.在空間中,垂直有幾種情況? 2.如何用空間向量求各種垂直關系?- 配套講稿:
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