新編普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試廣東卷 數(shù)學(xué)理科 及答案

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1、 20xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷） 數(shù)學(xué)（理科）逐題詳解 參考公式:臺(tái)體的體積公式,其中分別是臺(tái)體的上、下底面積,表示臺(tái)體的高. 一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．設(shè)集合,,則( ) A . B． C． D． 2．定義域?yàn)榈乃膫€(gè)函數(shù),,,中,奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是( ) A . B． C． D． 3．若復(fù)數(shù)滿足,則在復(fù)平面內(nèi),對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(

2、 ) A . B． C． D． 4．已知離散型隨機(jī)變量的分布列為 正視圖 俯視圖 側(cè)視圖 第5題圖 則的數(shù)學(xué)期望 ( ) A . B． C． D． 5．某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示,則該四棱臺(tái)的體積是 ( ) A . B． C． D． 6．設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面, 下列命題中正確的是( ) A . 若,,,則

3、 B．若,,,則 C．若,,,則 D．若,,,則 7．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為,離心率等于,在雙曲線的方程是 A . B． C． D． 8．設(shè)整數(shù),集合.令集合 若和都在中,則下列選項(xiàng)正確的是( ) A . , B．, C．, D．, 是 否 輸入 輸出 結(jié)束 開始 第11題圖 n 二、填空題：本題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，共30分 (一)必做題(9～13題) 9．不等式的解集為___________． 10．若曲線在點(diǎn)處的切線平

4、行于軸,則______. 11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的值為,則輸出的值為______. 12. 在等差數(shù)列中,已知,則_____. 13. 給定區(qū)域:,令點(diǎn)集 是在上取得最大值或最小值的點(diǎn),則中的點(diǎn)共確定______ 條不同的直線. （二）選做題（14、15題,考生只能從中選做一題,兩題全答的,只計(jì)前一題的得分） . A E D C B O 第15題圖 14.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講選做題)已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在點(diǎn)處的切線為,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則的極坐標(biāo)方程為_____________. 15. (幾何證明選講選

5、做題)如圖,是圓的直徑,點(diǎn)在圓上, 延長到使,過作圓的切線交于.若 ,,則_________. 三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答須寫出文字說明、 證明過程或演算步驟. 16．（本小題滿分12分） 已知函數(shù),. (Ⅰ) 求的值； (Ⅱ) 若,,求． 第17題圖 17．（本小題滿分12分） 某車間共有名工人,隨機(jī)抽取名,他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖所示, 其中莖為十位數(shù),葉為個(gè)位數(shù). (Ⅰ) 根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本均值； (Ⅱ) 日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人. 根據(jù)莖葉圖推斷該車間名

6、工人中有幾名優(yōu)秀工人； (Ⅲ) 從該車間名工人中,任取人,求恰有名優(yōu)秀 工人的概率. 18．（本小題滿分14分） 如圖1,在等腰直角三角形中,,,分別是上的點(diǎn),, . C O B D E A C D O B E 圖1 圖2 為的中點(diǎn).將沿折起,得到如圖2所示的四棱錐,其中. (Ⅰ) 證明:平面； (Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值. 19．（本小題滿分14分） 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知,,. (Ⅰ) 求的值； (Ⅱ) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (Ⅲ) 證明:對一切正整數(shù),有. 20．（本小題滿分14分）

7、已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)到直線:的距離為.設(shè)為直線上的點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的兩條切線,其中為切點(diǎn). (Ⅰ) 求拋物線的方程； (Ⅱ) 當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí),求直線的方程； (Ⅲ) 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí),求的最小值. 21．（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù)(其中). (Ⅰ) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (Ⅱ) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值. 20xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷） 數(shù)學(xué)（理科）參考答案 一、選擇題

8、:本大題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. DC CA B D BB 二、填空題：本題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，共30分 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 16．（本小題滿分12分） 【解析】(Ⅰ)； (Ⅱ) 因?yàn)?,所以, 所以, 所以. 17．（本小題滿分12分） 【解析】(Ⅰ) 樣本均值為； (Ⅱ) 由(Ⅰ)知樣本中優(yōu)秀工人占的比例

9、為,故推斷該車間名工人中有名優(yōu)秀工人. C D O B E H (Ⅲ) 設(shè)事件:從該車間名工人中,任取人,恰有名優(yōu)秀工人,則. 18．（本小題滿分14分） 【解析】(Ⅰ) 在圖1中,易得 連結(jié),在中,由余弦定理可得 由翻折不變性可知, 所以,所以, 理可證, 又,所以平面. (Ⅱ) 傳統(tǒng)法:過作交的延長線于,連結(jié), 因?yàn)槠矫?所以, 所以為二面角的平面角. 結(jié)合圖1可知,為中點(diǎn),故,從而 C D O x E 向量法圖 y z B 所以,所以二面角的平面角的余弦值為. 向量法:以點(diǎn)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示, 則,

10、, 所以, 設(shè)為平面的法向量,則 ,即,解得,令,得 由(Ⅰ) 知,為平面的一個(gè)法向量, 所以,即二面角的平面角的余弦值為. 19．（本小題滿分14分） 【解析】(Ⅰ) 依題意,,又,所以； (Ⅱ) 當(dāng)時(shí),, 兩式相減得 整理得,即,又 故數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列, 所以,所以. (Ⅲ) 當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),； 當(dāng)時(shí),,此時(shí) 綜上,對一切正整數(shù),有. 20．（本小題滿分14分） 【解析】(Ⅰ) 依題意,設(shè)拋物線的方程為,由結(jié)合, 解得. 所以拋物線的方程為. (Ⅱ) 拋物線的方程為,即,求

11、導(dǎo)得 設(shè),(其中),則切線的斜率分別為,, 所以切線的方程為,即,即 同理可得切線的方程為 因?yàn)榍芯€均過點(diǎn),所以, 所以為方程的兩組解. 所以直線的方程為. (Ⅲ) 由拋物線定義可知,, 所以 聯(lián)立方程,消去整理得 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得, 所以 又點(diǎn)在直線上,所以, 所以 所以當(dāng)時(shí), 取得最小值,且最小值為. 21．（本小題滿分14分） 【解析】(Ⅰ) 當(dāng)時(shí), , 令,得, 當(dāng)變化時(shí),的變化如下表: 極大值 極小值 右表可知,函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,. (Ⅱ), 令,得,, 令,則,所以在上遞增, 所以,從而,所以 所以當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),； 所以 令,則, 令,則 所以在上遞減,而 所以存在使得,且當(dāng)時(shí),, 當(dāng)時(shí),, 所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. 因?yàn)?, 所以在上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得“”. 綜上,函數(shù)在上的最大值.