2018-2019學年高中數(shù)學 章末綜合測評3 空間向量與立體幾何 蘇教版必修4.doc

《2018-2019學年高中數(shù)學 章末綜合測評3 空間向量與立體幾何 蘇教版必修4.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018-2019學年高中數(shù)學 章末綜合測評3 空間向量與立體幾何 蘇教版必修4.doc（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

章末綜合測評(三)　空間向量與立體幾何 (時間：120分鐘，滿分：160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填在題中的橫線上) 1．已知空間直角坐標系中有點A(－2,1,3)，B(3,1,0)，則||＝________. [解析]　∵＝(5,0，－3)， ∴||＝＝. [答案]　 2．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a與b為共線向量，則x＝________，y＝________. [解析]　由題意得＝＝，∴x＝，y＝－. [答案]　?。? 3．下列有關空間向量的四個命題中，錯誤命題為________. 【導學號：71392218】 ①空間中有無數(shù)多組不共面的向量可作為向量的基底；②向量與平面平行，則向量所在的直線與平面平行；③平面α的法向量垂直于α內的每個向量；④空間中的任一非零向量都可惟一地表示成空間中不共面向量的線性組合的形式． [解析]　若向量與平面平行，則向量所在的直線與平面平行或在平面內，故②錯誤． [答案]?、? 4．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a與b的夾角的余弦值為，則λ＝________. [解析]　由已知得，＝＝， ∴8＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝. [答案]?。?或 5．△ABC的三個頂點坐標分別為A(0,0，)，B，C(－1,0，)，則角A的大小為________． [解析]?。?，＝(－1,0,0)，則cos A＝＝＝，故角A的大小為30. [答案]　30 6．已知正方體ABCDA1B1C1D1的中心為O，則下列各命題中，真命題是________． ①＋與＋是一對相反向量； ②－與－是一對相反向量； ③＋＋＋與＋＋＋是一對相反向量； ④－與－是一對相反向量． [解析]　①∵四邊形ADC1B1為平行四邊形，O為對角線交點， ∴＋與＋是一對相反向量，∴①真； ②∵－＝，－＝，＝， ∴－＝－， ∴②假； ③如圖，設正方形ABCD的中心為O1，正方形A1B1C1D1的中心為O2，則＋＋＋＝4，＋＋＋＝4， ∵與是相反向量，∴③真； ④－＝，－＝， ∵與是相反向量，∴④真． [答案]?、佗邰? 7．在空間直角坐標系Oxyz中，已知A(1，－2,3)，B(2,1，－1)，若直線AB交平面xOz于點C，則點C的坐標為________. 【導學號：71392219】 [解析]　設點C的坐標為(x,0，z)，則＝(x－1,2，z－3)，＝(1,3，－4)，因為與共線，所以＝＝，解得所以點C的坐標為. [答案]　 8．二面角αlβ等于120，A，B是棱l上兩點，AC，BD分別在半平面α，β內，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，則CD的長等于________． [解析]　設＝a，＝b，＝c，由已知條件，|a|＝1，|b|＝1，|c|＝1，〈a，b〉＝90，〈b，c〉＝90，〈a，c〉＝120. ||2＝|＋＋|2＝|－c＋b＋a|2＝a2＋b2＋c2＋2ab－2ac－2bc＝4， 則||＝2. [答案]　2 9．已知點A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，點Q在直線OP上運動，則當取最小值時，點Q的坐標為________． [解析]　由題意可知＝λ，故可設Q(λ，λ，2λ)，則＝6λ2－16λ＋10＝6－，∴當λ＝時，取得最小值，此時點Q的坐標為. [答案]　 10．在空間中，已知平面α過點A(3,0,0)和B(0,4,0)及z軸上一點C(0,0，a)(a>0)，如果平面α與平面xOy的夾角為45，則a＝________. [解析]　平面xOy的法向量為n＝(0,0,1)，＝(－3，4,0)，＝(－3,0，a)，設平面α的法向量為u＝(x，y，z)，則 則3x＝4y＝az，取z＝1，則u＝，故cos〈n，u〉＝＝. 又∵a>0，∴a＝. [答案]　 11．空間四邊形ABCD中，連接AC，BD，若△BCD是正三角形，且E為其中心，則＋－－的化簡結果是________. 【導學號：71392220】 [解析]　如圖，延長DE交BC于F，易知F是BC中點，則＋－－＝－＋－＝＋－＝＋＋＝＋＝0. [答案]　0 12．已知動點P是棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的體對角線BD1上一點，記＝λ.當∠APC為鈍角時，則λ的取值范圍為________． [解析]　建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則有A(1，0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，所以＝(1,1，－1)，由題意，可設＝λ＝(λ，λ，－λ)，連接D1A，D1C，則＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，所以＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，顯然∠APC不是平角，當∠APC為鈍角時，cos∠APC＝cos，＝<0. 由此得出λ∈. [答案]　 13．在△ABC中，若∠ACB＝90，∠BAC＝60，AB＝8，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一點，則PM的最小值為________． [解析]　建立如圖所示的坐標系，則C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0，4，0)，P(0,0,4)，設M(x，y,0)，則＝(x－4，y,0)，＝(－4,4，0)，易知＝λ，即(－4,4，0)＝λ(x－4，y,0)， ∴得x＋y－4＝0，所以y＝4－x，＝(x，y，－4)＝(x,4－x，－4)，||2＝x2＋(4－x)2＋16＝4(x－3)2＋28，∵0≤x≤4， ∴當x＝3時，||min＝2. [答案]　2 14．如圖1所示，在空間直角坐標系中，有一棱長為a的正方體ABCOA′B′C′D′，A′C的中點E與AB的中點F的距離為________. 【導學號：71392221】 圖1 [解析]　由題圖易知A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A′(a,0，a)． ∴F，E. ∴EF＝＝＝a. [答案]　a 二、解答題(本大題共6小題，共90分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分14分)如圖2，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90，∠BAA1＝∠DAA1＝60，求AC1的長． 圖2 [解]　∵＝＋＋， ∴||＝ ＝. ∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90，∠BAA1＝∠DAA1＝60， ∴〈，〉＝90，〈，〉＝〈，〉＝60， ∴|| ＝ ＝. 16．(本小題滿分14分)如圖3，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC與BD的交點，G為CC1的中點．求證：A1O⊥平面GBD. 圖3 [證明]　設＝a，＝b，＝c. 則ab＝0，ac＝0，bc＝0. 而＝＋＝＋(＋)＝c＋(a＋b)， ＝－＝b－a， ＝＋＝(＋)＋＝(a＋b)－c， ∴＝(b－a) ＝c(b－a)＋(a＋b)(b－a) ＝cb－ca＋(b2－a2) ＝(|b|2－|a|2)＝0. ∴⊥， ∴A1O⊥BD. 同理可證⊥. ∴A1O⊥OG. 又OG∩BD＝O且A1O?平面BDG， ∴A1O⊥平面GBD. 17．(本小題滿分14分)如圖4，正方形ABCD和四邊形ACEF所在平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1. 圖4 (1)求證：AF∥平面BDE； (2)求證：CF⊥平面BDE. 【導學號：71392222】 [證明]　(1)設AC與BD交于點G. ∵EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1， ∴四邊形AGEF為平行四邊形，∴AF∥EG. ∵EG?平面BDE，AF?平面BDE， ∴AF∥平面BDE. (2)連接FG，∵正方形ABCD和四邊形ACEF所在平面互相垂直，且CE⊥AC， ∴CE⊥平面ABCD. 如圖，以C為原點，CD，CB，CE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系， 則C(0,0,0)，A(，，0)，B(0，，0)， D(，0,0)，E(0,0,1)，F(xiàn)， ∴＝，＝(0，－，1)，＝(－，0,1)， ∴＝0－1＋1＝0，＝－1＋0＋1＝0， ∴⊥，⊥， ∴CF⊥BE，CF⊥DE. 又∵BE∩DE＝E， ∴CF⊥平面BDE. 18．(本小題滿分16分)在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90，現(xiàn)將△ABC沿著與平面ABC垂直的方向平移到△A1B1C1的位置，已知AA1＝2，分別取A1B1，A1A的中點P，Q. (1)求的模； (2)求cos〈，〉，cos〈，〉的值，并比較〈，〉與〈，〉的大??； (3)求證：AB1⊥C1P. [解]　(1)以C為原點，建立空間直角坐標系，如圖，則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，P，Q(1,0,1)，B1(0，1,2)，A1(1,0,2)， ∴＝(1，－1,1)，＝(0,1,2)，＝(1，－1，2)，＝(－1,1,2)，＝， ∴||＝＝. (2)∵＝0－1＋2＝1，||＝， ||＝＝， ∴cos〈，〉＝＝＝. 又∵＝0－1＋4＝3，||＝＝，|CB1|＝＝， ∴cos〈，〉＝＝＝. ∵0<<<1， ∴〈，〉∈，〈，〉∈， 又∵y＝cos x在內單調遞減， ∴〈，〉>〈，〉． (3)證明：∵＝(－1,1，－2)＝0， ∴⊥，即AB1⊥C1P. 19．(本小題滿分16分)如圖5，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一點，PE＝2EC. 圖5 (1)證明：PC⊥平面BED； (2)設二面角APBC為90，求PD與平面PBC所成角的大小. 【導學號：71392223】 [解]　如圖，設AC∩BD＝O，以O為坐標原點，OC，OD所在直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標系，則A(－，0,0)，C(，0,0)，P(－，0,2)． 設BD＝2a，則B(0，－a,0)，D(0，a,0)． (1)證明：＝(2，0，－2)，＝(0,2a,0)． 由PE＝2EC，得E，則＝. 所以＝(2，0，－2)＝0， ＝(2，0，－2)(0,2a,0)＝0， 即⊥，⊥. 又因為BE∩BD＝B，所以PC⊥平面BED. (2)設平面PAB的法向量n＝(x1，y1，z1)． 易得＝(0,0,2)，＝(，－a,0)． 由得 取x1＝1，可得n＝. 設平面PBC的法向量m＝(x2，y2，z2)． 易得＝(，a,0)，＝(－2，0,2)． 由得 取x2＝1，可得m＝. 因為二面角APBC為90， 所以mn＝0，即11＋＋0＝0，解得a＝. 所以＝(，，－2)，平面PBC的一個法向量為m＝(1，－1，)，所以PD與平面PBC所成角的正弦值為＝，所以PD與平面PBC所成角的大小為. 20．(本小題滿分16分)如圖6，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點． 圖6 (1)求證：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由； (3)若二面角AB1EA1的大小為30，求AB的長． [解]　(1)證明：以A為原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖．設AB＝a，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0，1,1)，E，B1(a,0,1)， 故＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝. ∵＝－0＋11＋(－1)1＝0. ∴B1E⊥AD1. (2)假設在棱AA1上存在一點P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此時＝(0，－1，z0)．又設平面B1AE的法向量為n＝(x，y，z)． 由得 取x＝1，得平面B1AE的一個法向量n＝. 要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，即－az0＝0，解得z0＝. 又∵DP?平面B1AE， ∴存在一點P，滿足DP∥平面B1AE，此時AP＝. (3)連接A1D，B1C，由長方體ABCDA1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D. ∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C. 又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1. ∴AD1⊥平面DCB1A1. ∴是平面A1B1E的一個法向量，此時＝(0,1,1)． 設與平面B1AE的法向量n所成的角為θ，則cos θ＝＝. ∵二面角AB1EA1的大小為30. ∴|cos θ|＝cos 30， 即＝，解得a＝2， 即AB的長為2.