2019-2020年新人教B版高中數(shù)學（必修4）3.1.1《兩角和與差的余弦》word說課稿.doc

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2019-2020年新人教B版高中數(shù)學（必修4）3.1.1《兩角和與差的余弦》word說課稿 一、教材分析： ㈠、地位和作用： 兩角和與差的正弦、余弦、正切是本章的重要內(nèi)容，是正弦線、余弦線和誘導公式等知識的延伸，是后繼內(nèi)容二倍角公式、和差化積、積化和差公式的知識基礎，對于三角變換、三角恒等式的證明和三角函數(shù)式的化簡、求值等三角問題的解決有重要的支撐作用。本課時主要講授平面內(nèi)兩點間距離公式、兩角和與差的余弦公式以及誘導公式。 ㈡、教學目標： 1、知識目標： （1）使學生了解平面內(nèi)兩點間距離公式的推導并熟記公式； （2）使學生理解兩角和與差的余弦公式和誘導公式的推導； （3） 使學生能夠從正反兩個方向運用公式解決簡單應用問題。 2、能力目標： ①、培養(yǎng)學生逆向思維的意識和習慣； ②、培養(yǎng)學生的代數(shù)意識，特殊值法的應用意識； ③、培養(yǎng)學生的觀察能力，邏輯推理能力和合作學習能力。 3、情感目標： ①、通過觀察、對比體會公式的線形美，對稱美； ②、培養(yǎng)學生不怕困難，勇于探索的求知精神。 （設計依據(jù)：建構主義理論認為，學生的能力培養(yǎng)不是單方面的知識教育，而應該是知識、能力、情感三維一體的一個完整體系，因此，我在教學中設計三方面的目標要求。其中知識目標是近期目標，另兩個目標是遠期目標。） ㈢、教學重、難點： 1、平面內(nèi)兩點間的距離公式的推導和應用是本節(jié)的一個重點； 2、兩角和與差的余弦公式的推導和應用是本節(jié)的又一個重點，也是本節(jié)的一個難點。 （設計依據(jù)：平面內(nèi)兩點間的距離公式在本節(jié)課中是‘兩角和余弦公式推導’的主要依據(jù)，在后繼知識中也有廣泛的應用，所以是本節(jié)的一個重點。由于 ‘兩角和與差的余弦公式的推導和應用’對后幾節(jié)內(nèi)容能否掌握具有決定意義，在三角變換、三角恒等式的證明、三角函數(shù)式的化簡求值等方面有著廣泛的應用，因此也是本節(jié)的一個重點。由于其推導方法的特殊性和推導過程的復雜性，所以也是一個難點。） 二、教學方法： 1、創(chuàng)設情境----提出問題----探索嘗試----啟發(fā)引導----解決問題。 （設計意圖：創(chuàng)設情境有利于問題自然、流暢地提出，提出問題是為了引發(fā)思考，思考的表現(xiàn)形式是探索嘗試，探索嘗試是思維活動中最有意義的部分，激發(fā)學生積極主動的思維活動是我們每節(jié)課都應追求的目標。給學生的思維以適當?shù)囊龑Р⒉灰欢〞档蛯W生思維的層次，反而能夠提高思維的有效性。從而體現(xiàn)教師主導作用和學生主體作用的和諧統(tǒng)一。） 2、教具：多媒體投影系統(tǒng)。 本節(jié)課中‘平面內(nèi)兩點間距離公式’雖然以前曾經(jīng)用過，但其證明對學生來說仍然具有一定難度，為了使學生便于理解，采用幾何畫板動畫演示，增加直觀性，減少講授時間；兩角和的余弦公式的推導也通過幾何畫板動畫掩飾來幫助學生認識、理解、加深印象。 （多媒體系統(tǒng)可以有效增加課堂容量，色彩的強烈對比可以突出對比效果；動畫的應用可以將抽象的問題直觀化，體現(xiàn)直觀性原則。） 三、學法指導： 1、要求學生做好正弦線、余弦線、同一坐標軸上兩點間距離公式，特別是用角的余弦和正弦表示終邊上特殊點的坐標這些必要的知識準備。(體現(xiàn)學習過程中循序漸進，溫故知新的認知規(guī)律。) 2、讓學生注意觀察、對比兩角和與差的余弦公式中正弦、余弦的順序；角的順序關系，培養(yǎng)學生的觀察能力，并通過觀察體會公式的對稱美。 四、教學過程： 教學程序 課題引入 引言：同學們，前面我們學習了任意角的三角函數(shù)，我們知道它也是一種運算。在以前的運算中有乘法對加法的分配律：a(b+c)=ab+ac，那么：cos（α+β）=cosα+cosβ是否也成立呢？如果成立為什么？如果不成立，它又等于什么呢？這正是我們今天要研究的內(nèi)容。 揭示課題：兩角和與差的余弦。 通過創(chuàng)設問題情境，自然流暢地提出問題，揭示課題，引發(fā)學生思考。使學生目標明確、迅速進入角色。 （一）入門 揭示課題，展示目標，指出重點，說明難點。 師：下列兩個等式成立嗎？ ⑴cos75=cos(45 30)=cos45 cos30 ⑵cos15=cos(45-30)=cos45-cos30 生：由于cos45 cos30= 1，而cos75＜1，因此，cos(45 30)≠cos45 cos30，由于cos45-cos30= 0，而cos15＞0，因此，cos(45-30)≠cos45-30 師：究竟cos75=? cos15=? 這就是我們這節(jié)課將共同學習與探討的兩角和與差的余弦公式。（板書“兩角和與差的余弦”） 這一章中一共有四十多個公式，這是其中第一個公式，如果我們抓住這第一公式，后面的公式則勢如破竹，迎刃而解，從中說明學習本節(jié)內(nèi)容的必要性。 (二)入境 1、提出問題設置情境，導入新知 通過以上驗證，我們很快知道cos（45-30）=cos45-cos30是錯誤的，請同學們回顧一下我們提出的問題：cos（45 30），cos（45-30）能否用45與30的角的三角函數(shù)來表達？即如何用α與β。各自用三角函數(shù)表示cos(α β)=？，也就是我們可以把sinα、cosα、sinβ、cosβ當成已知數(shù)去求cos(α β)。 2、學法指導，探索新知 在學習數(shù)學時，大家已體會到數(shù)形結合的思想是很重要的，我們現(xiàn)在怎么辦呢？ 生：建立平面直角坐標系，把α、β與α β畫出來，根據(jù)單位圓中的正弦線與余弦線的定義。（此時教師把畫圖在黑板上） 師：啟發(fā)學生在同一直角坐標系內(nèi)作出單位圓，并以X軸正半軸為始邊分別作α、β、α β這三個角（圖1）。 生：共同始邊與單位圓交點坐標是P1(1，0)，α、β、α β的終邊與單位圓的交點是： P2（cosα，sinα），P3(cosβ，sinβ) P4(cos（α β)，sin（α β） 師：引導學生發(fā)現(xiàn)P1、P2、P3、P4這四點坐標，出現(xiàn)了cosα，cosβ，cos(α β)，α β的終邊與單位圓的交點P4的坐標是用α β的三角函數(shù)線表示的，故可考慮尋找出與線段P1P4相等的另一線段，利用（多媒體展示）。將△P1OP4進行旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段P1P4的長度保持不變，將△P1OP4旋轉(zhuǎn)到哪里呢？（讓學生自己思考、探索、發(fā)現(xiàn)） 生：要想得到α、β、α β等量關系應將△P1OP4旋轉(zhuǎn)到一邊與α或β終邊重合的位置，即將△P1OP4旋轉(zhuǎn)到△P5OP2的位置，如圖2，求出P5點坐標為（cos(-β)，sin(-β)）。 師：讓學生自己用兩點間的距離公式完成由|P1P4|=|P2P5|得出結論的運算過程。即：cos(α β)=cosαcosβ-sinαsinβ（板書）。接著引導學生觀察公式的結構特征，并強調(diào)α、β為任意角，故啟發(fā)學生將上公式中的β?lián)Q為-β，公式怎樣？（提問）生：cos(α-β)=cosαcosβ sinαsinβ 師：再次引導學生將以上兩個公式進行比較，注意區(qū)別 （三）入理 1、質(zhì)疑答辯，排難解惑 為了進一步加強學生對公式的理解記憶，下面設計三個例題：例1讓學生熟悉公式；例2是公式逆用來增強學生對公式記憶理解；例3作變式訓練。從而提高學生的綜合計算能力。 例1：不查表，計算下列各式的值。 ⑴cos75 ⑵cos15 例2：化簡 ⑴cos42cos18-sin42sin18 ⑵cos70sin40-sin110cos40 例3：已知sinα= ，α∈（ ）；cos 的值。 以上三個例題都由學生自己先練，然后巡堂了解，及時用物投影機將學生的解答反饋、展示、講解。 2、互問互檢，鞏固強化 請學生結合例題，自己編相關的題讓同桌解答，教師巡堂視選較好的題，利用實物投影讓學生評價解答。 （四）診斷 1、分層總結，全體達標 師：下面請同學們小結一個本節(jié)課學習的主要內(nèi)容。 生：兩角和與差的余弦公式的推導及其初步應用。 師：在推導兩角和與差的余弦公式的推導過程中，運用了什么數(shù)學思想方法？ 生：用數(shù)形結合的數(shù)學思想解決問題。 2、承上啟下，留下懸念 為了下一課時的學習內(nèi)容并結合學生提出的問題安排，下面2道題練習，這樣可以達到承上啟下的目的，也激發(fā)了學生的求知欲望，留下很好的懸念。 ⑴不查表求sin（90-75），及sin（90 15）的值。 ⑵若α、β均為銳角，且 ， ，求角β。 1、畫出一個銳角、一個鈍角的正弦線、余弦線。 2、如果角α的終邊與單位圓相交于點P，點P的坐標能否用角α的三角函數(shù)值表示？怎樣表示？ 3、寫出同一坐標軸上兩點間距離公式。 通過復習使學生熟悉基礎知識、特別是用角的正、余弦表示特殊點的坐標，為新課的推進做準備。 學生通過獨立思考和分組討論，可以用特殊值法證明猜想不成立，三種方法的出現(xiàn)，培養(yǎng)學生多角度考慮問題的發(fā)散思維能力，合作學習的習慣。隨后的提問會激發(fā)學生想要解決問題的主觀需要，提高思維的主動性。 1、通過幾何畫板動態(tài)演示，給學生以直觀感受，讓他們認識到：平面內(nèi)兩點間距離和同一坐標軸上兩點間距離總能構成一個直角三角形，利用勾股定理即可解決。 2、兩角和余弦公式的證明中存在兩個困難：①三角函數(shù)表示單位圓上點的坐標，它雖然算理簡單，但學生由于陌生而很不習慣，通過前 面習環(huán)節(jié)應該有所熟悉。②在用到：cos2（α+β）+sin2（α+β）=1時，需要教師特別指出，公式中只要求是“同角”，并不在乎角的具體度數(shù)和形式。 3、兩角和的余弦學完之后，要強調(diào)其中兩角均為任意角，這樣一來，兩角差的余弦只是兩角和的余弦的特殊形式。 4、兩個誘導公式學生在初中就學習過，但今天應通過證明，并將以前的銳角拓展到任意角。（2）式的證明實際上是（1）式的逆應用，體現(xiàn)了代數(shù)思想，也實踐了學以制用的原則。 5、例1的作用一方面讓學生熟練兩角和與差的余弦公式，另一方面也向?qū)W生展示了公式的一種實際應用價值，即：將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和與差。 例2的目的在于熟悉公式，同時對同角三角函數(shù)關系有復習的作用，其難度不是很大，在提供了公式之后，學生應當能夠完成. 小結 本節(jié)課我們學習了下面兩組公式，在公式的記憶上，我們應注意函數(shù)和符號的變化。 1、平面內(nèi)兩點間距離公式： P1P2= (x2-x1)2+(y2-y1)2 2、兩角和與差的余弦： （同名之積相加減，運算符號左右反。） cos（α+β）= cosα cosβ- sinα sinβ cos（α-β）= cosα cosβ+ sinα sinβ 7、小節(jié)以十四字口訣概括兩角和與差的三角函數(shù)關系式，既體現(xiàn)了公式的本質(zhì)特征，又朗朗上口，便于記憶。有助于學生對本節(jié)課的內(nèi)容更好地掌握。 練習鞏固 8、課堂練習有助于學生進一步熟悉公式，加深學生對公式的理解和認識。回饋教學效果。思考題對學生本節(jié)課所學知識方法的考察要求較高，但能力較強學生能夠完成，也是為下一節(jié)課的內(nèi)容做準備。體現(xiàn)問題必須略高于學生現(xiàn)有知識水平的原則。 設計說明 本節(jié)課授課內(nèi)容為是第一課時。本節(jié)課的教學對正弦線、余弦線定義；用角的余弦、正弦表示單位圓上點的坐標；同圓上相等的圓心角所對的弦長相等這些知識有較強的依耐性，因此在復習環(huán)節(jié)做了必要的準備。本節(jié)課采用“創(chuàng)設情境----提出問題----探索嘗試----啟發(fā)引導----解決問題”的過程來實現(xiàn)教學目標。有利于知識產(chǎn)生、發(fā)展、解決這一認知過程的完整體現(xiàn)。在教學手段上使用多媒體技術，使重點得到突出，抽象變得直觀，有效增加課堂容量。 在教學過程環(huán)節(jié)，采用先提出問題，再逐步展開的方式，能夠充分調(diào)動學生的學習積極性，讓學生的探索具有明確的目的性，減少盲目性。在兩角和的余弦公式得到后，利用代數(shù)思想推出兩角差的余弦公式和誘導公式，使學生進一步體會代數(shù)思想的深刻性。通過對公式的對比，可以加深學生對公式特征的印象，同時體會公式的線形美與對稱美，給學生以美的陶冶。作業(yè)的布置中，突出了學生學習的個體差異現(xiàn)實，使學有余力的學生產(chǎn)生挑戰(zhàn)的心理感受，也為下一節(jié)內(nèi)容的學習做準備。