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規(guī)范答題示例9 解析幾何中的探索性問題
典例9 (12分)已知定點(diǎn)C(－1,0)及橢圓x2＋3y2＝5，過點(diǎn)C的動直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
(1)若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－，求直線AB的方程；
(2)在x軸上是否存在點(diǎn)M，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
審題路線圖 (1)→→
(2)→→→
規(guī)范解答·分步得分
構(gòu)建答題模板
解 (1)依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x＋1)，
將y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，消去y整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.2分
2、
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
由線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－，得＝－＝－，解得k＝±，適合①.
所以直線AB的方程為x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.4分
(2)假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M(m,0)，使·為常數(shù)．
(ⅰ)當(dāng)直線AB與x軸不垂直時，由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝. ③
所以·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)
＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2.7分
將③代入，整理得·＝＋m2＝＋m2＝m2＋2m－－.9分
注意到·是與k無關(guān)的常數(shù)，
從而有6m＋14＝0，解得m
3、＝－，此時·＝.10分
(ⅱ)當(dāng)直線AB與x軸垂直時，此時點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，當(dāng)m＝－時，也有·＝.11分
綜上，在x軸上存在定點(diǎn)M，使·為常數(shù).12分
第一步
先假定：假設(shè)結(jié)論成立．
第二步
再推理：以假設(shè)結(jié)論成立為條件，進(jìn)行推理求解．
第三步
下結(jié)論：若推出合理結(jié)果，經(jīng)驗證成立則肯定假設(shè)；若推出矛盾則否定假設(shè)．
第四步
再回顧：查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯點(diǎn)(特殊情況、隱含條件等)，審視解題規(guī)范性.
評分細(xì)則 (1)不考慮直線AB斜率不存在的情況扣1分；
(2)不驗證Δ>0，扣1分；
(3)直線AB方程寫成斜截式形式同樣給分；
(4)沒有假設(shè)存在點(diǎn)M不扣分；
(5
4、)·沒有化簡至最后結(jié)果扣1分，沒有最后結(jié)論扣1分．
跟蹤演練9 已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋12＝0相切．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)A(－4,0)，過點(diǎn)R(3,0)作與x軸不重合的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，連接AP，AQ分別交直線x＝于M，N兩點(diǎn)，若直線MR，NR的斜率分別為k1，k2，試問：k1k2是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．
解 (1)由題意得 ∴
故橢圓C的方程為＋＝1.
(2)設(shè)直線PQ的方程為x＝my＋3，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由
得(3m2＋4)y2＋18my－21＝0，
且Δ＝(18m)2＋84(3m2＋4)>0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝.
由A，P，M三點(diǎn)共線可知，＝，
∴yM＝.同理可得yN＝，
∴k1k2＝×＝＝
∵(x1＋4)(x2＋4)＝(my1＋7)(my2＋7)
＝m2y1y2＋7m(y1＋y2)＋49
∴k1k2＝＝－，為定值．
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