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新版-□□新版數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)資料□□-新版
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專題三 概率及期望與方差
建知識網(wǎng)絡(luò) 明內(nèi)在聯(lián)系
[高考點撥] 本專題涉及面廣，往往以生活中的熱點問題為依托，在浙江新高考中的考查方式十分靈活，背景容易創(chuàng)新．基于上述分析，本專題按照“古典概型”“隨機變量及其分布”兩個方面分類進行引導(dǎo)，強化突破．
突破點6 古典概型
(對應(yīng)學(xué)生用書第24頁)
[核心知識提煉]
3、提煉1古典概型問題的求解技巧
(1)直接列舉：涉及一些常見的古典概型問題時，往往把事件發(fā)生的所有結(jié)果逐一列舉出來，然后進行求解．
(2)畫樹狀圖：涉及一些特殊古典概型問題時，直接列舉容易出錯，通過畫樹狀圖，列舉過程更具有直觀性、條理性，使列舉結(jié)果不重、不漏．
(3)逆向思維：對于較復(fù)雜的古典概型問題，若直接求解比較困難，可利用逆向思維，先求其對立事件的概率，進而可得所求事件的概率．
(4)活用對稱：對于一些具有一定對稱性的古典概型問題，通過列舉基本事件個數(shù)結(jié)合古典概型的概率公式來處理反而比較復(fù)雜，利用對稱思維，可以快速解決.
提煉2求概率的兩種常用方法
(1)將所求事件
4、轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率．
(2)若一個較復(fù)雜的事件的對立面的分類較少，可考慮利用對立事件的概率公式，即“正難則反”．它常用來求“至少”或“至多”型事件的概率．
[高考真題回訪]
回訪 古典概型
1．(20xx·浙江高考)從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是( )
A. B.
C. D.
D [“所取的3個球中至少有1個白球”的對立事件是“所取的3個球都不是白球”，因而所求的概率P＝1－＝1－＝.]
2．(20xx·浙江高考)在3張獎券中有一、二等獎各1張，另1張無獎．甲、乙兩人各
5、抽取1張，兩人都中獎的概率是________．
[記“兩人都中獎”為事件A，
設(shè)中一、二等獎及不中獎分別記為1,2,0，那么甲、乙抽獎結(jié)果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6種．
其中甲、乙都中獎有(1,2)，(2,1)，2種，所以P(A)＝＝.]
3．(20xx·浙江高考)從3男3女共6名同學(xué)中任選2名(每名同學(xué)被選中的機會均等)，這2名都是女同學(xué)的概率等于__________．
[用A，B，C表示三名男同學(xué)，用a，b，c表示三名女同學(xué)，則從6名同學(xué)中選出2人的所有選法為：AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，C
6、a，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15種選法，其中都是女同學(xué)的選法有3種，即ab，ac，bc，故所求概率為＝.]
(對應(yīng)學(xué)生用書第25頁)
熱點題型1 古典概型
題型分析：古典概型是高考考查概率的核心，問題背景大多是取球、選人、組數(shù)等，求解的關(guān)鍵是準(zhǔn)確列舉基本事件，難度較小.
【例1】 (1)(20xx·浙東北教學(xué)聯(lián)盟高三一?？荚?)袋子里有大小、形狀相同的紅球m個，黑球n個(m＞n＞2)．從中任取1個球是紅球的概率記為p1.若將紅球、黑球個數(shù)各增加1個，此時從中任取1個球是紅球的概率記為p2；若將紅球、黑球個數(shù)各減少1個，此時從中任取1個球是紅球的概率記為p3，則( )
7、 A．p1＞p2＞p3 B．p1＞p3＞p2
C．p3＞p2＞p1 D．p3＞p1＞p2
(2)已知M＝{1,2,3,4}，若a∈M，b∈M，則函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數(shù)的概率是( )
【導(dǎo)學(xué)號：68334080】
A. B.
C. D.
(1)B (2)A [(1)由題意得p1＝，p2＝，p3＝，則＝＝1＋，＝＝1＋，＝＝1＋，則－＝－＝＜0，－＝－＝＞0，所以＞＞，所以p3＞p1＞p2，故選D.
(2)記事件A為“函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數(shù)”．
因為f(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以f′(x)＝
8、3ax2＋2bx＋1.
因為函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，所以f′(x)≥0在R上恒成立．
又a>0，所以Δ＝(2b)2－4×3a＝4b2－12a≤0在R上恒成立，即a≥.
所以當(dāng)b＝1時，有a≥，故a可取1,2,3,4，共4個數(shù)；
當(dāng)b＝2時，有a≥，故a可取2,3,4，共3個數(shù)；
當(dāng)b＝3時，有a≥3，故a可取3,4，共2個數(shù)；
當(dāng)b＝4時，有a≥，故a無可取值．
綜上，事件A包含的基本事件有4＋3＋2＝9(種)．
又a，b∈{1,2,3,4}，所以(a，b)共有4×4＝16(種)．
故所求事件A的概率為P(A)＝.故選A.]
[方法指津]
利用古典概
9、型求事件概率的關(guān)鍵及注意點
1．關(guān)鍵：正確列舉出基本事件的總數(shù)和待求事件包括的基本事件數(shù)．
2．注意點：(1)對于較復(fù)雜的題目，列出事件數(shù)時要正確分類，分類時應(yīng)不重不漏．
(2)當(dāng)直接求解有困難時，可考慮求其對立事件的概率．
[變式訓(xùn)練1] (20xx·溫州調(diào)研)若將甲、乙兩個球隨機放入編號為1,2,3的三個盒子中，每個盒子的放球數(shù)量不限，則在1,2號盒子中各有一個球的概率是________．
[將甲、乙兩個球隨機放入編號為1,2,3的三個盒子中，每個盒子的放球數(shù)量不限，則有3×3＝9種不同放法，其中在1,2號盒子中各有一個球的結(jié)果有2種，故所求概率是.]
熱點題型2 互斥事件
10、與對立事件的概率
題型分析：互斥事件與對立事件的概率常與古典概型等交匯命題，主要考查學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化能力，難度中等.
【例2】 現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4個學(xué)生課余參加學(xué)校社團文學(xué)社與街舞社的活動，每人參加且只能參加一個社團的活動，且參加每個社團是等可能的．
(1)求文學(xué)社和街舞社都至少有1人參加的概率；
(2)求甲、乙同在一個社團，且丙、丁不同在一個社團的概率．
[解] 甲、乙、丙、丁4個學(xué)生課余參加學(xué)校社團文學(xué)社與街舞社的情況如下：
文學(xué)社
街舞社
1
甲乙丙丁
2
甲乙丙
丁
3
甲乙丁
丙
4
甲丙丁
乙
5
乙丙丁
甲
6
甲乙
11、丙丁
7
甲丙
乙丁
8
乙丙
甲丁
9
甲丁
乙丙
10
乙丁
甲丙
11
丙丁
甲乙
12
甲
乙丙丁
13
乙
甲丙丁
14
丙
甲乙丁
15
丁
甲乙丙
16
甲乙丙丁
共有16種情形，即有16個基本事件. 6分
(1)文學(xué)社或街舞社沒有人參加的基本事件有2個，
故所求概率為＝. 9分
(2)甲、乙同在一個社團，且丙、丁不同在一個社團的基本事件有4個，故所求概率為＝. 12分
[方法指津]
1．直接求法：將所求事件分解為一些彼此互斥事件的和，運用互斥事件概率的加法公式計算．
2．間接求法：先求此事件
12、的對立事件，再用公式P(A)＝1－P()求解，即運用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法會較簡便．
提醒：應(yīng)用互斥事件概率的加法公式的前提是確定各個事件是否彼此互斥．
[變式訓(xùn)練2] (名師押題)根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3.
(1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；
(2)求該地1位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率．
【導(dǎo)學(xué)號：68334081】
[解] 記事件A為“該車主購買甲種保險”，事件B為“該車主購買乙種保險但不購買甲種保險”，事件C為“該車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種”，事件D為“該車主甲、乙兩種保險都不購買”. 4分
(1)由題意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3， 6分
又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8. 12分
(2)因為D與C是對立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2. 15分
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