新編高三文科數學通用版二輪復習：第1部分 專題6 突破點15　函數與方程 Word版含解析

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1、 突破點15　函數與方程 提煉1　函數y＝f(x)零點個數的判斷　(1)代數法：求方程f(x)＝0的實數根． (2)幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數的性質找出零點． (3)定理法：利用函數零點的存在性定理，即如果函數y＝f(x)在區(qū)間a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點． 提煉2　已知函數零點個數，求參數的值或取值范圍　已知函數零點個數，求參數的值或取值范圍問題，一般利用數形結合轉化為兩個函數圖象的交點個數問題．要注意觀察是否需要將

2、一個復雜函數轉化為兩個相對較為簡單的函數，常轉化為定曲線與動直線問題． 回訪1　函數零點個數的判斷 1．(20xx·湖北高考)函數f(x)＝2sin xsin－x2的零點個數為________． 2　f(x)＝2sin xsin－x2＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，由f(x)＝0，得sin 2x＝x2. 設y1＝sin 2x，y2＝x2，在同一平面直角坐標系中畫出二者的圖象，如圖所示． 由圖象知，兩個函數圖象有兩個交點，故函數f(x)有兩個零點．] 2．(20xx·福建高考)函數f(x)＝的零點個數是________． 2　當x≤0時，令x2－2＝0，

3、解得x＝－(正根舍去)， 所以在(－∞，0]上有一個零點． 當x>0時，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數．又因為f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，f(2)·f(3)<0，所以f(x)在(2,3)內有一個零點． 綜上，函數f(x)的零點個數為2.] 回訪2　已知函數零點個數，求參數的值或取值范圍 3．(20xx·湖南高考)若函數f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，則實數b的取值范圍是__________． (0,2)　由f(x)＝|2x－2|－b＝0得|2x－2|＝b. 在同一平面直角坐標系中畫出y＝|2x－2|與y＝b的圖

4、象，如圖所示， 則當0

5、圖象有5個交點， 此時，由得x2＋(5－a)x＋4＝0. 由Δ＝0得(5－a)2－16＝0，解得a＝1，或a＝9(舍去)， 則當1＜a＜2時，兩個函數圖象有4個交點． 故實數a的取值范圍是1＜a＜2.]  熱點題型1　函數零點個數的判斷 題型分析：函數零點個數的判斷常與函數的奇偶性、對稱性、單調性相結合命題，難度中等偏難． 　(1)(20xx·秦皇島模擬)已知定義在R上的函數f(x)滿足：①圖象關于(1,0)點對稱；②f(－1＋x)＝f(－1－x)；③當x∈－1,1]時，f(x)＝則函數y＝f(x)－|x|在區(qū)間－3,3]上的零點個數為(　　) A．5　　 　 B.6　

6、　 C.7　　 　 D.8 (2)(20xx·鄭州二模)已知定義在R上的奇函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，當0＜x≤1時，f(x)＝logx，則方程f(x)－1＝0在(0,6)內的零點之和為(　　) 【導學號：85952062】 A．8　　　 B.10 C.12　　　 D.16 (1)A　(2)C　(1)因為f(－1＋x)＝f(－1－x)，所以函數f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱，又函數f(x)的圖象關于點(1,0)對稱，如圖所示，畫出f(x)以及g(x)＝|x|在－3,3]上的圖象，由圖可知，兩函數圖象的交點個數為5，所以函數y＝f(x)－|x|在區(qū)間－3,3]上

7、的零點個數為5，故選A. (2)因為函數f(x)為定義在R上的奇函數，所以當－1≤x＜0時，f(x)＝－f(－x)＝－log(－x)，又因為函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，所以函數f(x)的圖象的對稱軸為x＝2k＋1，k∈Z，在平面直角坐標系內畫出函數f(x)的大致圖象如圖所示，由圖易得直線y＝1與函數f(x)的圖象在(0,6)內有四個交點，且分別關于直線x＝1和x＝5對稱，所以方程f(x)－1＝0在(0,6)內的零點之和為2×1＋2×5＝12，故選C.] 求解此類函數零點個數的問題時，通常把它轉化為求兩個函數圖象的交點個數問題來解決．函數F(x)＝f(x)－g(x)的零點就

8、是方程f(x)＝g(x)的實數根，也就是函數y＝g(x)的圖象與函數y＝f(x)的圖象交點的橫坐標．其解題的關鍵步驟為：①分解為兩個簡單函數；②在同一坐標系內作出這兩個函數的圖象；③數交點的個數，即原函數的零點的個數． 提醒：在畫函數圖象時，切忌隨手一畫，注意“草圖不草”，畫圖時應注意基本初等函數圖象的應用，以及函數性質(如單調性、奇偶性、對稱性等)的適時運用，可加快畫圖速度，從而將問題簡化． 變式訓練1]　(1)(20xx·合肥二模)定義在R上的奇函數f(x)，當x≥0時，f(x)＝則關于x的函數F(x)＝f(x)－a(0＜a＜1)的零點個數為(　　) A．2　　　 B.3 C.4　

9、　　 D.5 (2)已知函數f(x)＝cos x，g(x)＝2－|x－2|，x∈－2,6]，則函數h(x)＝f(x)－g(x)的所有零點之和為(　　) A．6　　　 B.8 C.10　　　 D.12 (1)D　(2)D　(1)在同一坐標系中畫出函數y＝f(x)和y＝a(0＜a＜1)的圖象，如圖所示： 兩圖象共有5個交點，所以F(x)有5個零點． (2)函數h(x)＝f(x)－g(x)的零點之和可轉化為f(x)＝g(x)的根之和，即轉化為y1＝f(x)和y2＝g(x)兩個函數圖象的交點的橫坐標之和．又由函數g(x)＝2－|x－2|與f(x)的圖象均關于x＝2對稱，可知函數h(x)

10、的零點之和為12.] 熱點題型2　已知函數的零點個數求參數的取值范圍 題型分析：已知函數的零點個數求參數的取值范圍，主要考查學生的數形結合思想和分類討論思想，對學生的畫圖能力有較高要求． 　(1)(20xx·重慶模擬)已知函數f(x)＝且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1,1]內有且僅有兩個不同的零點，則實數m的取值范圍是(　　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ (2)(名師押題)已知函數f(x)＝g(x)＝kx＋1(x∈R)，若函數y＝f(x)－g(x)在x∈－2,3]內有4個零點，則實數k的取值范圍是(　　) A. B.(2，＋∞) C. D.(2，4] (

11、1)A　(2)C　(1)令g(x)＝0，則f(x)＝m(x＋1)，故函數g(x)在(－1,1]內有且僅有兩個不同的零點等價于函數y＝f(x)的圖象與直線y＝m(x＋1)有且僅有兩個不同的交點． 函數f(x)的圖象如圖中實線所示． 易求kAB＝，kAC＝－2， 過A(－1,0)作曲線的切線，不妨設切線方程為y＝k(x＋1)， 由得kx2＋(2k＋3)x＋2＋k＝0， 則Δ＝(2k＋3)2－4k(2＋k)＝0，解得k＝－. 故實數m的取值范圍為∪. (2)當x＝0時，顯然有f(x)≠g(x)， 即x＝0不是y＝f(x)－g(x)的零點． 當x≠0時，y＝f(x)－g(x)在x

12、∈－2,3]內的零點個數即方程f(x)＝g(x)(－2≤x≤3)的實根的個數． 當0＜x≤3時，有kx＋1＝x2＋3，即k＝x＋； 當－2≤x＜0時，有kx＋1＝1＋4xcos πx，即k＝4cos πx. 則y＝f(x)－g(x)(－2≤x≤3)的零點個數等價于函數y＝k與y＝的圖象的交點個數，作出這兩個函數的圖象，如圖所示， 由圖知2＜k≤，故選C.] 求解此類逆向問題的關鍵有以下幾點：一是將原函數的零點個數問題轉化為方程根的個數問題，并進行適當化簡、整理；二是構造新的函數，把方程根的個數問題轉化為新構造的兩個函數的圖象交點個數問題；三是對新構造的函數進行畫圖；四是觀察圖

13、象，得參數的取值范圍． 提醒：把函數零點轉化為方程的根，在構造兩個新函數的過程中，一般是構造圖象易得的函數，最好有一條是直線，這樣在判斷參數的取值范圍時可快速準確地得到結果． 變式訓練2]　(1)(20xx·湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數并且是R上的單調函數，若函數y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，則實數λ的值是(　　) 【導學號：85952063】 A. B. C.－ D.－ (2)(20xx·汕頭一模)設函數f(x)是定義在R上的周期為2的函數，且對任意的實數x，恒有f(x)－f(－x)＝0，當x∈－1,0]時，f(x)＝x2，若g(x)＝f(x)－log

14、ax在x∈(0，＋∞)上有且僅有三個零點，則a的取值范圍為(　　) A．3,5] B.4,6] C.(3,5) D.(4,6) (1)C　(2)C　(1)令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，且f(x)是奇函數，則f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，又因為f(x)是R上的單調函數，所以2x2＋1＝x－λ只有一個零點，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一個零點，則Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－， 故選C. (2)因為f(x)－f(－x)＝0， 所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函數， 根據函數的周期性和奇偶性作出f(x)的圖象如圖所示： 因為g(x)＝f(x)－logax在x∈(0，＋∞)上有且僅有三個零點，所以y＝f(x)和y＝logax的圖象在(0，＋∞)上只有三個交點， 所以解得3＜a＜5.]