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章末綜合測評(三) 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
(時間：120分鐘 滿分：150分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．若函數(shù)f(x)＝α2－cos x，則f′(α)等于( )
A．sin α B．cos α
C．2α＋sin α D．2α－sin α
A [f′(x)＝(α2－cos x)′＝sin x，當(dāng)x＝α?xí)r，f′(α)＝sin α.]
2．若曲線y＝在點(diǎn)P處的切線斜率為－4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是( )
A. B.或
C. D.
B [y′＝－，由－＝－4，得x2＝，從而x＝，分別代入y＝，得P點(diǎn)的坐標(biāo)為，2或－，－2.]
3．已知a為函數(shù)f(x)＝x3－12x的極小值點(diǎn)，則a＝( )
【導(dǎo)學(xué)號：97792179】
A．－4 B．－2
C．4 D．2
D [f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝2，當(dāng)x∈(－∞，－2)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)遞增；當(dāng)x∈(－2，2)時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)遞減；當(dāng)x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，函數(shù)遞增，所以a＝2.]
4．函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
D [f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.
由f′(x)>0，得x>2，故選D.]
5．過點(diǎn)(0,1)且與曲線y＝在點(diǎn)(3,2)處的切線垂直的直線方程為( )
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y＋2＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x－y＋1＝0
D [y′＝′＝＝，
∴y′|x＝3＝－，故與切線垂直的直線斜率為2，
所求直線方程為y－1＝2x，
即2x－y＋1＝0.故選D.]
6．對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－1)f′(x)≥0，則必有( )
A．f(0)＋f(2)<2f(1)
B．f(0)＋f(2)>2f(1)
C．f(0)＋f(2)≤2f(1)
D．f(0)＋f(2)≥2f(1)
D [①若f′(x)不恒為0，則當(dāng)x>1時，f′(x)≥0，當(dāng)x<1時，f′(x)≤0，
所以f(x)在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，
在(－∞，1)內(nèi)單調(diào)遞減．
所以f(2)>f(1)，f(1)
2f(1)．
②若f′(x)＝0恒成立，則f(2)＝f(0)＝f(1)，
綜合①②，知f(0)＋f(2)≥2f(1)．]
7．函數(shù)y＝的最大值為( )
A．e－1 B．e C．e2 D.
A [y′＝＝，令y′＝0，得x＝e.
當(dāng)x>e時，y′<0；當(dāng)00.
故y極大值＝f(e)＝e－1.因?yàn)樵诙x域內(nèi)只有一個極值，所以ymax＝e－1.]
8．如圖1，有一個是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的導(dǎo)數(shù)f′(x)的圖象，則f(－1)的值為( )
圖1
A. B．－
C. D．－或
B [f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，其圖象為開口向上的拋物線，故不是圖①，圖②中，a＝0，f′(x)＝x2－1，與已知矛盾；故f′(x)的圖象為圖③，∴f′(0)＝0，a＝1，又其對稱軸在y軸右邊，故a＝－1，∴f(x)＝x3－x2＋1，∴f(－1)＝－.]
9．以長為10的線段AB為直徑作半圓，則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為( )
A．10 B．15
C．25 D．50
C [設(shè)內(nèi)接矩形的長為x，
則寬為，
∴S2＝x2＝y(tǒng)，
∴y′＝50x－x3.
令y′＝0，得x2＝50或x＝0(舍去)，
∴S＝625，即Smax＝25.]
10．對任意的x∈R，函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在極值點(diǎn)的充要條件是( )
A．0≤a≤21 B．a(chǎn)＝0或a＝7
C．a(chǎn)<0或a>21 D．a(chǎn)＝0或a＝21
A [f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，當(dāng)Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21時，f′(x)≥0恒成立，函數(shù)不存在極值點(diǎn)．]
11．已知函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖2所示．記y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y＝f′(x)，則不等式xf′(x)≤0的解集為 ( )
【導(dǎo)學(xué)號：97792180】
圖2
A.∪[0,1]∪[2,3)
B.∪[1,2]∪
C.∪[2,3)
D.∪∪
A [對于不等式xf′(x)≤0，當(dāng)－即af(b)0)的單調(diào)減區(qū)間是(0,4)，則k的值是__________．
[f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x，令f′(x)＝0得x＝0或x＝－，
由題意知－＝4，解得k＝.]
16．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax在區(qū)間(－1,1)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．
[3，＋∞) [f′(x)＝－3x2＋a，由題意知f′(x)≥0在x∈(－1,1)時恒成立，
即a≥3x2在x∈(－1,1)時恒成立，又x∈(－1,1)時，3x2<3，則a≥3.]
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)(1)已知曲線f(x)＝－在x＝4處的切線方程為5x＋16y＋b＝0，求實(shí)數(shù)a與b的值．
(2)直線l：y＝x＋a(a≠0)和曲線C：y＝x3－x2＋1相切，求實(shí)數(shù)a的值.
【導(dǎo)學(xué)號：97792181】
[解] (1)f′(x)＝－－，由題意知f′(4)＝－－＝－，
解得a＝1，
∴f(x)＝－，f(4)＝－＝－.
即切點(diǎn)為.
∵在切線5x＋16y＋b＝0上，
∴54＋16＋b＝0，即b＝8，
從而a＝1，b＝8.
(2)設(shè)直線l和曲線C相切于點(diǎn)P(x0，y0)，
由y′＝3x2－2x得y′|x＝x0＝3x－2x0，
由題意知3x－2x0＝1，解得x0＝－或x0＝1，
于是切點(diǎn)的坐標(biāo)為或(1,1)．
當(dāng)切點(diǎn)為時，＝－＋a，即a＝.
當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時，1＝1＋a，即a＝0(舍去)．
∴實(shí)數(shù)a的值為.
18．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線垂直于直線y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．
[解] (1)對f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝－－，
由y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線垂直于直線y＝x知
f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)可知f(x)＝＋－ln x－，
則f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因x＝－1不在f(x)的定義域(0，＋∞)內(nèi)，舍去．
當(dāng)x∈(0,5)時，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)x∈(5，＋∞)時，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)上為增函數(shù)．
由此知函數(shù)f(x)在x＝5時取得極小值f(5)＝－ln 5，無極大值．
19．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)y＝f(x)＝4x3＋ax2＋bx＋5在x＝與x＝－1處有極值．
(1)寫出函數(shù)的解析式．
(2)指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
(3)求f(x)在[－1,2]上的最值．
[解] (1)y′＝12x2＋2ax＋b，由題設(shè)知當(dāng)x＝與x＝－1時函數(shù)有極值，則x＝與x＝－1滿足y′＝0，
即解得
所以y＝4x3－3x2－18x＋5.
(2)y′＝12x2－6x－18＝6(x＋1)(2x－3)，列表如下：
x
(－∞，
－1)
－1
y′
＋
0
－
0
＋
y
↗
y極大值
＝16
↘
y極小值
＝－
↗
由上表可知(－∞，－1)和為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．
(3)因?yàn)閒(－1)＝16，f＝－，f(2)＝－11，
所以f(x)在[－1,2]上的最小值是－，最大值為16.
20．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a>0，b∈R)有極值，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)的極值點(diǎn)是f(x)的零點(diǎn)．(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值)
(1)求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
(2)證明：b2>3a；
(3)若f(x)，f′(x)這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于－，求a的取值范圍．
[解] (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，得
f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝32＋b－.
當(dāng)x＝－時，f′(x)有極小值b－.
因?yàn)閒′(x)的極值點(diǎn)是f(x)的零點(diǎn)，
所以f＝－＋－＋1＝0.
又a>0，故b＝＋.
因?yàn)閒(x)有極值，故f′(x)＝0有實(shí)根，
從而b－＝(27－a3)≤0，即a≥3.
當(dāng)a＝3時，f′(x)>0(x≠－1)，
故f(x)在R上是增函數(shù)，f(x)沒有極值；
當(dāng)a>3時，f′(x)＝0有兩個相異的實(shí)根
x1＝，x2＝.
列表如下：
x
(－∞，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
極大值
↘
極小值
↗
故f(x)的極值點(diǎn)是x1，x2.
從而a>3.
因此b＝＋，定義域?yàn)?3，＋∞)．
(2)證明：由(1)知，＝＋.
設(shè)g(t)＝＋，則g′(t)＝－＝.
當(dāng)t∈時，g′(t)>0，
從而g(t)在上單調(diào)遞增．
因?yàn)閍>3，所以a>3，
故g(a)>g(3)＝，即>.
因此b2>3a.
(3)由(1)知，f(x)的極值點(diǎn)是x1，x2，且x1＋x2＝－a，
x＋x＝.
從而f(x1)＋f(x2)＝x＋ax＋bx1＋1＋x＋ax＋bx2＋1
＝(3x＋2ax1＋b)＋(3x＋2ax2＋b)＋a(x＋x)＋b(x1＋x2)＋2
＝－＋2＝0.
記f(x)，f′(x)所有極值之和為h(a)，
因?yàn)閒′(x)的極值為b－＝－a2＋，
所以h(a)＝－a2＋，a>3.
因?yàn)閔′(a)＝－a－<0，
于是h(a)在(3，＋∞)上單調(diào)遞減．
因?yàn)閔(6)＝－，于是h(a)≥h(6)，故a≤6.
因此a的取值范圍為(3,6]．
21．(本小題滿分12分)若函數(shù)f(x)＝ax3－bx＋4，當(dāng)x＝2時，函數(shù)f(x)有極值－.
(1)求函數(shù)的解析式．
(2)若方程f(x)＝k有3個不同的根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
[解] (1)f′(x)＝3ax2－b，由題意知
即，解得
故f(x)＝x3－4x＋4.
(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4
＝(x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
↘
－
↗
因此，當(dāng)x＝－2時，f(x)有極大值，當(dāng)x＝2時，f(x)有極小值－，
所以函數(shù)f(x)＝x3－4x＋4的圖象大致如圖所示．
若f(x)＝k有3個不同的根，則直線y＝k與函數(shù)f(x)的圖象有3個交點(diǎn)，所以－
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