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第八節(jié) 曲線與方程
A組 基礎(chǔ)題組
1.方程x=1-4y2所表示的曲線是( )
A.雙曲線的一部分 B.橢圓的一部分
C.圓的一部分 D.直線的一部分
2.已知點P是直線2x-y+3=0上的一個動點,定點M(-1,2),Q是線段PM延長線上的一點,且|PM|=|MQ|,則Q點的軌跡方程是( )
A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0
C.2x-
3、y-1=0 D.2x-y+5=0
3.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),M為橢圓上一動點,F1為橢圓的左焦點,則線段MF1的中點P的軌跡是( )
A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線
4.已知A(-1,0),B(1,0)兩點,過動點M作x軸的垂線,垂足為N,若=λ·,當λ<0時,動點M的軌跡為( )
A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線
5.已知點O(0,0),A(1,-2),動點P滿足|PA|=3|PO|,則P點的軌跡方程是( )
A.8x2+8y2+2x-4y-5=0 B.8x2+8y2-2x-4y-5=0
C.8x2+8y2+2x+4y-5=0
4、 D.8x2+8y2-2x+4y-5=0
6.已知定點A(4,0)和圓x2+y2=4上的動點B,動點P(x,y)滿足+=2,則點P的軌跡方程為 .?
7.已知動圓Q過定點A(2,0)且與y軸截得的弦MN的長為4,則動圓圓心Q的軌跡C的方程為 .?
8.在△ABC中,A為動點,B,C為定點,B-a2,0,Ca2,0(a>0),且滿足條件sinC-sinB=12sinA,則動點A的軌跡方程是 .?
9.已知圓C1的圓心在坐標原點O,且恰好與直線l1:x-y-22=0相切.
(1)求圓的標準方程;
(2)設(shè)點A為圓上一動點,AN⊥x軸于點N,若動點Q滿
5、足=m+(1-m)(其中m為非零常數(shù)),試求動點Q的軌跡方程.
10.已知長為1+2的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動,P是AB上一點,且=.求點P的軌跡方程.
B組 提升題組
11.設(shè)圓(x+1)2+y2=25的圓心為C,A(1,0)是圓內(nèi)一定點,Q為圓周上任一點,AQ的垂直平分線與CQ的連線的交點為M,則M點的軌跡方程是( )
A.4x221-4y225=1 B.4x221+4y225=1
C.4x225-4y221=1 D.4x225+4y221=1
12.在△ABC中
6、,已知A(2,0),B(-2,0),G,M為平面上的兩點且滿足++=0,||=||=||,∥,則頂點C的軌跡為( )
A.焦點在x軸上的橢圓(長軸端點除外)
B.焦點在y軸上的橢圓(短軸端點除外)
C.焦點在x軸上的雙曲線(實軸端點除外)
D.焦點在x軸上的拋物線(頂點除外)
13.在平面直角坐標系中,O為坐標原點,A(1,0),B(2,2),若點C滿足=+t(-),其中t∈R,則點C的軌跡方程是 .?
14.△ABC的頂點A(-5,0),B(5,0),△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上,求頂點C的軌跡方程.
15.已知定點F(0,1
7、)和直線l1:y=-1,過定點F與直線l1相切的動圓的圓心為點C.
(1)求動點C的軌跡方程;
(2)過點F的直線l2交動點C的軌跡于兩點P,Q,交直線l1于點R,求·的最小值.
答案全解全析
A組 基礎(chǔ)題組
1.B x=1-4y2兩邊平方,可變?yōu)閤2+4y2=1(x≥0),表示的曲線為橢圓的一部分.
2.D 設(shè)Q(x,y),易得P(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.
3.B 設(shè)橢圓的右焦點是F2,由橢圓的定義可得|MF1|+|MF2|=2a>2c,所以|PF1|+|PO|=12(|MF1|+|MF2|
8、)=a>c,所以點P的軌跡是以F1和O為焦點的橢圓.
4.C 設(shè)M(x,y),則N(x,0),所以=y2,λ·=λ(x+1,0)·(1-x,0)=λ(1-x2),所以y2=λ(1-x2),即λx2+y2=λ,當λ<0時,變形為x2+=1,所以當λ<0時,動點M的軌跡為雙曲線.
5.A 設(shè)點P的坐標為(x,y),則(x-1)2+(y+2)2=3x2+y2,整理得8x2+8y2+2x-4y-5=0.
6.答案 (x-2)2+y2=1
解析 設(shè)B(x0,y0),由+=2,得4+x0=2x,y0=2y,得x0=2x-4,y0=2y,代入圓的方程得(2x-4)2+4y2=4,即(x-2)2+y2
9、=1.
7.答案 y2=4x
解析 設(shè)Q(x,y).因為動圓Q過定點A(2,0)且與y軸截得的弦MN的長為4,所以MN22+|x|2=|AQ|2,所以|x|2+22=(x-2)2+y2,整理得y2=4x.所以動圓圓心Q的軌跡C的方程是y2=4x.
8.答案 16x2a2-16y23a2=1(x>0且y≠0)
解析 由正弦定理得|AB|2R-|AC|2R=12×|BC|2R,即|AB|-|AC|=12|BC|,故動點A的軌跡是以B,C為焦點,a2為實軸長的雙曲線右支(除去頂點).
即動點A的軌跡方程為16x2a2-16y23a2=1(x>0且y≠0).
9.解析 (1)設(shè)圓的半徑為r
10、,圓心到直線l1的距離為d,則d=|-22|12+(-1)2=2.
因為r=d=2,圓心為坐標原點O,所以圓C1的方程為x2+y2=4.
(2)設(shè)動點Q(x,y),A(x0,y0),
∵AN⊥x軸于點N,
∴N(x0,0),
由題意知,(x,y)=m(x0,y0)+(1-m)·(x0,0),
解得x=x0,y=my0,即x0=x,y0=1my.
將點Ax,1my代入圓C1的方程x2+y2=4,得動點Q的軌跡方程為x24+y24m2=1.
10.解析 設(shè)A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),
則=(x-x0,y),=(-x,y0-y),
又=,
所以x-x0=-22
11、x,y=22(y0-y),
得x0=1+22x,y0=(1+2)y.
因為|AB|=1+2,即x02+y02=(1+2)2,
所以1+22x2+(1+2)y]2
=(1+2)2,
化簡得x22+y2=1.
所以點P的軌跡方程為x22+y2=1.
B組 提升題組
11.D 因為|MQ|=|MA|,所以|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,因此M點的軌跡是以C(-1,0),A(1,0)為焦點的橢圓,其中a=52,c=1,∴b2=214,∴M點的軌跡方程是4x225+4y221=1.故選D.
12.B 設(shè)C(x,y)(y≠0),則由++=0,知G為△ABC的重心,得
12、Gx3,y3.
因為||=||=||,所以M為△ABC的外心,所以點M在y軸上,又∥,則有M0,y3.
所以x2+-y32=4+y29,
化簡得x24+y212=1,
又A(2,0),B(-2,0),C為△ABC的三個頂點,所以y≠0.
所以頂點C的軌跡為焦點在y軸上的橢圓(除去短軸端點).
13.答案 y=2x-2
解析 設(shè)C(x,y),則=(x,y),+t(-)=(1+t,2t),所以x=t+1,y=2t,消去參數(shù)t得點C的軌跡方程為y=2x-2.
14.解析 如圖,|AD|=|AE|=8,
|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,
所以|CA|-|CB|=8-
13、2=6.
根據(jù)雙曲線的定義,所求軌跡是以A,B為焦點,實軸長為6的雙曲線的右支(除去與x軸的交點),方程為x29-y216=1(x>3).
15.解析 (1)由題設(shè)知點C到點F的距離等于它到l1的距離,
∴點C的軌跡是以F為焦點,l1為準線的拋物線,
∴動點C的軌跡方程為x2=4y.
(2)由題意知,直線l2的斜率存在,方程可設(shè)為y=kx+1(k≠0),與動點C的軌跡方程x2=4y聯(lián)立,消去y,得x2-4kx-4=0.
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
則x1+x2=4k,x1x2=-4.
又R-2k,-1,
∴·=x1+2k,y1+1·x2+2k,y2+1
=x1+2k·x2+2k+(kx1+2)·(kx2+2)
=(1+k2)x1x2+2k+2k(x1+x2)+4k2+4
=-4(1+k2)+4k2k+2k+4k2+4
=4k2+1k2+8.
∵k2+1k2≥2(當且僅當k2=1時取等號),
∴·≥4×2+8=16,
即·的最小值為16.
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